Zadanie 8
Twierdzenie CASTIGLIANO (omówić + wzorki)
Wyznaczyć dla belki pokazanej na rysunku, obciążonej obciążeniem ciągłym q,
przemieszczenia w punkcie B:
y
B
ugięcie w punkcie B
v
B
kąt ugięcia (kat obrotu) w punkcie B
Zaliczenie:
Opracowanie ZADANIA przesłać w formie elektronicznej (np. word, pdf) w terminie 2 tygodni po
wygłoszonym referacie na adres:
piotr.paczos@put.poznan.pl
plik zapisać w postaci:
Nazwa Grupy_Nazwisko1Pierwsza litera imienia_ Nazwisko2Pierwsza litera imienia_zadanie numer.doc, np.
M1_PaczosP_TomczykT_ZAD1.doc
TEORIA
Energię sprężystą dowolnego układu można przedstawić w postaci kwadratowej funkcji jednorodnej
sił obciążających układ.
𝑉 =
1
2
∑ ∑ 𝛿
𝑖𝑘
𝑃
𝑖
𝑃
𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑖=1
,
gdzie:
𝛿
𝑖𝑘
− liczby wpływowe.
Siły zewnętrzne
𝑃
𝑖
, czyli
𝑃
1
, 𝑃
2
, … , 𝑃
𝑛
przyjmujemy jako zmienne niezależne i różniczkujemy
powyższe wyrażenie cząstkowo względem dowolnej siły zewnętrznej
𝑃
𝑖
.
𝜕𝑉
𝜕𝑃
𝑖
=
1
2
𝑃
1
(
𝛿
1𝑖
+ 𝛿
𝑖1
)
+
1
2
𝑃
2
(
𝛿
2𝑖
+ 𝛿
𝑖2
)
+ ⋯ + 𝑃
𝑖𝛿
𝑖𝑖
+
1
2
𝑃
𝑛
(
𝛿
𝑛𝑖
+ 𝛿
𝑖𝑛
)
Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Maxwella o wzajemności przemieszczeń jest
𝛿
1𝑖
= 𝛿
𝑖1
,
𝛿
2𝑖
+ 𝛿
𝑖2
,
𝛿
𝑛𝑖
+ 𝛿
𝑖𝑛
więc wyrażenie przyjmuje postać:
𝜕𝑉
𝜕𝑃
𝑖
= 𝑃
1
𝛿
𝑖1
+ 𝑃
2
𝛿
𝑖2
+ ⋯ + 𝑃
𝑖
𝛿
𝑖𝑖
+ ⋯ + 𝑃
𝑛
𝛿
𝑖𝑛
Prawa strona tego wyrażenia to przemieszczenie
𝑢
𝑖
punktu i układu w kierunku działania siły
zewnętrznej
𝑃
𝑖
.
Przyjmując kolejno
𝑖 = 1,2, … , 𝑛 otrzymamy ostatecznie:
𝝏𝑽
𝝏𝑷
𝒊
= 𝒖
𝒊
− 𝑻𝒘𝒊𝒆𝒓𝒅𝒛𝒆𝒏𝒊𝒆 𝑪𝒂𝒔𝒕𝒊𝒈𝒍𝒊𝒂𝒏𝒐
Pochodna cząstkowa energii sprężystej względem dowolnej zewnętrznej siły uogólnionej jest równa
przemieszczeniu uogólnionemu w punkcie działania tej siły.
Siła uogólniona jest to siła skupiona lub moment zewnętrzny, a odpowiadające przemieszczenia
uogólnione to przemieszczenia liniowe punktu działania siły lub momentu.
Postać ogólna twierdzenia Castigliano może być stosowana w także tych przypadkach kiedy
obciążenie jest typu złożonego i znane są podstawowe siły wewnętrzne rozważanego układu
sprężystego, jak:
M – moment gnący M = M(x)
T – siła tnąca, poprzeczna, ścinająca T = T(x)
N – siła normalna N=N(x)
M
s
– moment skręcający M
s
= M
s
(x)
Energia sprężysta odkształcenia dla pojedynczego pręta o długości l wynosi:
𝑉 = 𝑉
𝑧𝑔𝑖𝑛
+ 𝑉
𝑟𝑜𝑧𝑐/ś𝑐𝑖𝑠𝑘
+ 𝑉
ś𝑐𝑖𝑛
+ 𝑉
𝑠𝑘𝑟ę𝑐
𝑉 =
1
2
∫
𝑀
2
𝑑𝑥
𝐸𝐼
𝑙
0
+
1
2
∫
𝑁
2
𝑑𝑥
𝐸𝐴
+ 𝑘
′
1
2
∫
𝑇
2
𝑑𝑥
𝐺𝐴
+
𝑙
0
𝑙
0
1
2
∫
𝑀
𝑠
2
𝑑𝑥
𝐺𝐼
0
𝑙
0
Po wykorzystaniu powyższego wyrażenia na energię sprężystą wzór Castigliano przyjmie postać
ogólną dla pojedynczego pręta o długości
𝑙 :
𝜕𝑉
𝜕𝑃
𝑖
= 𝑢
𝑖
=
∫ [
𝑀
𝐸𝐼
∙
𝜕𝑀
𝜕𝑃
𝑖
+
𝑁
𝐸𝐴
∙
𝜕𝑁
𝜕𝑃
𝑖
+ 𝑘
′
∙
𝑇
𝐺𝐴
∙
𝜕𝑇
𝜕𝑃
𝑖
+
𝑀
𝑠
𝐺𝐼
0
∙
𝜕𝑀
𝑠
𝜕𝑃
𝑖
]
𝑑𝑥
𝑙
0
W przypadku gdy chcemy obliczyć kąt obrotu (kąt ugięcia) belki to obciążeniem zewnętrznym jest
𝑀
𝑖
. Twierdzenie Castigliano przyjmuje postać:
𝜕𝑉
𝜕𝑀
𝑖
= 𝜗
𝑖
=
∫ [
𝑀
𝐸𝐼
∙
𝜕𝑀
𝜕𝑀
𝑖
+
𝑁
𝐸𝐴
∙
𝜕𝑁
𝜕𝑀
𝑖
+ 𝑘
′
∙
𝑇
𝐺𝐴
∙
𝜕𝑇
𝜕𝑀
𝑖
+
𝑀
𝑠
𝐺𝐼
0
∙
𝜕𝑀
𝑠
𝜕𝑀
𝑖
]
𝑑𝑥
𝑙
0
W przypadku rozwiązywania belek, w których dominujące jest zginanie najistotniejszy jest pierwszy
składnik uwzględniający energię zginania. Pozostałe składniki można pominąć i twierdzenie
Castigliano przyjmie postać:
𝑢
𝑖
=
𝜕𝑉
𝜕𝑃
𝑖
=
1
𝐸𝐼
∫
𝑀(𝑥)
𝜕𝑀(𝑥)
𝜕𝑃
𝑖
𝑙
0
𝑑𝑥 − 𝑼𝒈𝒊ę𝒄𝒊𝒆
𝜗
𝑖
=
𝜕𝑉
𝜕𝑀
𝑖
=
1
𝐸𝐼
∫
𝑀(𝑥)
𝜕𝑀(𝑥)
𝜕𝑀
𝑖
𝑙
0
𝑑𝑥 − 𝑲ą𝒕 𝒖𝒈𝒊𝒆𝒄𝒊𝒂
WAŻNE! W miejscu, w którym wyznaczamy przemieszczenie musi znajdować się siła uogólniona,
natomiast jeśli nie występuje, to dodajemy w tym miejscu dodatkową, fikcyjną, siłę, której wartość
wynosi 0.
𝑃
𝐹
= 0
ROZWIĄZANIE:
W tym zadaniu wprowadziliśmy dodatkową siłę i moment w punkcie C. Dzięki temu pojawiły się one
w równaniu momentów i możliwe jest wykorzystanie tego równania w celu obliczenia ugięcia i kąta
skręcenia w tym punkcie w sposób analogiczny do przedstawionego przez nas rozwiązania dla punktu
B.
𝑀(𝑥
1
) = −𝑃
𝐹
𝐵
𝑥
1
− 𝑀
𝐹
𝐵
𝑀(𝑥
2
) = −𝑃
𝐹
𝐵
𝑥
2
− 𝑃
𝐹
𝐶
(𝑥
2
− 𝑎) − 𝑞(𝑥
2
− 𝑎)
𝑥
2
− 𝑎
2
− 𝑀
𝐹
𝐵
− 𝑀
𝐹
𝐶
𝜕𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑃
𝐹𝐵
= −𝑥
1
𝜕𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑀
𝐹𝐵
= −1
𝜕𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑃
𝐹𝐵
= −𝑥
2
𝜕𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑀
𝐹𝐵
= −1
{
𝑦
𝐵
=
𝜕𝑉
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
=
𝜕𝑉
1
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
+
𝜕𝑉
2
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
=
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
𝑑𝑥
1
+
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
𝑑𝑥
2
2𝑎
𝑎
𝑎
0
𝑉
𝐵
=
𝜕𝑉
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
=
𝜕𝑉
1
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
+
𝜕𝑉
2
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
=
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
𝑑𝑥
1
+
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
𝑑𝑥
2
2𝑎
𝑎
𝑎
0
𝑦
𝐵
=
1
𝐸𝐼
∫ (−𝑃
𝐹
𝐵
𝑥
1
−
𝑎
0
𝑀
𝐹
𝐵
)(−𝑥
1
)𝑑𝑥
1
+
1
𝐸𝐼
∫ (−𝑃
𝐹
𝐵
𝑥
2
−
2𝑎
𝑎
𝑃
𝐹
𝐶
(𝑥
2
− 𝑎) − 𝑞
(𝑥
2
− 𝑎)
2
2
−𝑀
𝐹
𝐵
− 𝑀
𝐹
𝐶
)(−𝑥
2
)𝑑𝑥
2
𝑦
𝐵
=
1
𝐸𝐼
∫ (−𝑞
(𝑥
2
− 𝑎)
2
2
) (−𝑥
2
)𝑑𝑥
2
2𝑎
𝑎
𝑦
𝐵
=
1
𝐸𝐼
𝑞
2
∫ (𝑥
2
2
− 2𝑥
2
𝑎 + 𝑎
2
)𝑥
2
𝑑𝑥
2
2𝑎
𝑎
𝑦
𝐵
=
1
𝐸𝐼
𝑞
2
∫ (𝑥
2
3
− 2𝑥
2
2
𝑎 + 𝑥
2
𝑎
2
)𝑑𝑥
2
2𝑎
𝑎
𝑦
𝐵
=
1
𝐸𝐼
𝑞
2
[(
𝑥
2
4
4
−
2𝑥
2
3
𝑎
3
+
𝑥
2
2
𝑎
2
2
)|
2𝑎
𝑎
]
𝑦
𝐵
=
1
𝐸𝐼
𝑞
2
(4𝑎
2
−
16𝑎
4
3
+ 2𝑎
4
−
𝑎
4
4
+
2𝑎
4
3
−
𝑎
4
2
)
𝑦
𝐵
=
7𝑞𝑎
4
24𝐸𝐼
𝑉
𝐵
=
1
𝐸𝐼
∫ (−𝑃
𝐹
𝐵
𝑥
1
−
𝑎
0
𝑀
𝐹
𝐵
)(−1)𝑑𝑥
1
+
1
𝐸𝐼
∫ (−𝑃
𝐹
𝐵
𝑥
2
−
2𝑎
𝑎
𝑃
𝐹
𝐶
(𝑥
2
− 𝑎) − 𝑞
(𝑥
2
− 𝑎)
2
2
−𝑀
𝐹
𝐵
− 𝑀
𝐹
𝐶
)(−1)𝑑𝑥
2
𝑉
𝐵
=
1
𝐸𝐼
∫ (−𝑞
(𝑥
2
− 𝑎)
2
2
) (−1)𝑑𝑥
2
2𝑎
𝑎
𝑉
𝐵
=
1
𝐸𝐼
𝑞
2
∫ (𝑥
2
− 𝑎)
2
𝑑𝑥
2
2𝑎
𝑎
𝑉
𝐵
=
1
𝐸𝐼
𝑞
2
[(
(𝑥
2
− 𝑎)
3
3
)|
2𝑎
𝑎
]
𝑉
𝐵
=
1
𝐸𝐼
𝑞
2
(
𝑎
3
3
)
𝑉
𝐵
=
𝑞𝑎
3
6𝐸𝐼
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
WARIANT II
𝑀(𝑥
1
) = −𝑃
𝐹
𝐵
𝑥
1
− 𝑀
𝐹
𝐵
𝑀(𝑥
2
) = −𝑃
𝐹
𝐵
(𝑥
2
+ 𝑎) − 𝑃
𝐹
𝐶
𝑥
2
−
𝑞𝑥
2
2
2
− 𝑀
𝐹
𝐵
− 𝑀
𝐹
𝐶
{
𝑦
𝐵
=
𝜕𝑉
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
=
𝜕𝑉
1
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
+
𝜕𝑉
2
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
=
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
𝑑𝑥
1
+
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑃
𝐹
𝐵
𝑑𝑥
2
𝑎
0
𝑎
0
𝑉
𝐵
=
𝜕𝑉
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
=
𝜕𝑉
1
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
+
𝜕𝑉
2
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
=
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑀(𝑥
1
)
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
𝑑𝑥
1
+
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑀(𝑥
2
)
𝜕𝑀
𝐹
𝐵
𝑑𝑥
2
𝑎
0
𝑎
0