1
MATEMATYKA - Macierze
Niech będą dane dwa zbiory M, N, kolejnych początkowych liczb naturalnych:
M =
1, 2, 3, 4, ..... m-1, m
N =
1, 2, 3, 4, ..... n-1, n
Niech dany będzie iloczyn kartezjański tych zbiorów, którego elementami są pary
licz
b, z których pierwsza należy do zbioru M, zaś druga do zbioru N:
Iloczyn kartezjański
M x N =
i, j
i
1, 2, 3, ..... m
j
1, 2, 3, ..... n
Definicja I
Jeżeli każdej parze ( i,j ) należącej do iloczynu kartezjańskiego
( i,j )
M x N przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę rzeczywistą ( a
ij
) to
funkcję tą nazywa się
macierzą o elementach rzeczywistych.
Niech dane będą dwa zbiory:
M =
1, 2, 3
N =
1, 2
M x N =
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2)
Każdej parze ( i,j )
a
ij
(1,1)
a
11
(1,2)
a
12
Macierz
(2,1)
a
21
(2,2)
a
22
(3,2)
a
32
Każdą macierz można zapisać w postaci tablicy o m – wierszach i o
n
– kolumnach:
a
11
a
12
a
ij
– gdzie:
a
21
a
22
i
– nr wiersz, w którym dany element się znajduje
a
31
a
32
j
– nr kolumny, w której dany element się znajduje
Liczby określające ilość wierszy (liczebność zbioru M), oraz liczby określające
ilość kolumn (liczebność zbioru N) nazywamy wymiarem macierzy i zapisujemy:
m x n
2
Dane są zbiory:
M =
1, 2, 3
N =
1, 2, 3, 4
Zapisać macierz w postaci tablicy wiedząc, że:
a
ij
=
1 dla i<j
-2 dla i=j
½ dla i>j
Rozwiązanie:
a
11
a
12
a
13
a
14
-2 1 1 1
a
21
a
22
a
23
a
24
=
1
/
2
–2 1 1
a
31
a
32
a
33
a
34
1
/
2
½ -2 1
Macierze oznaczać będziemy dużymi literami alfabetu i tak np. macierz A o
elementach a
ij
, wymiaru m x n
oznaczać będziemy A = [a
ij
] m x n
, lub krócej
A
m x n
B = [ a
ij
]
m x n
lub B
m x n
Definicja II
Macierz A = [a
ij
]
m x n
nazywamy
macierzą kwadratową
jeżeli m=n.
A
m x n
= A
n
jeżeli m = n - macierz A stopnia n ( kwadratowa )
a
11
a
12
a
13
........................ a
1(n-1)
a
1n
a
21
a
22
a
23
........................ a
2(n-1)
a
2n
a
31
a
32
a
33
........................ a
3(n-1)
a
3n
A =
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Macierz kwadratowa
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
m = n
a
(n-1)1
a
(n-1)2
a
(n-1)3
..... a
(n-1) (n-1)
a
(n-1) n
a
n1
a
n2
a
n3
................ a
n(n-1)
a
nn
Definicja III
Macierz A = [ a
ij
]
m x n
nazywamy
macierzą prostokątną
jeżeli m
n.
Definicja IV
Elementy a
11
, a
22
, a
33
...... A
nn
( i=j ) macierzy kwadratowej A
n
( A stopnia
n) nazywamy
główną przekątną
macierzy.
3
Definicja V
Macierz A = [a
ij
]
m x n
, której wszystkie elementy a
ij
= 0 nazywamy
macierzą zerową
i oznaczamy:
0
m x n
0 0
0
3 x 2
=
0 0
0 o
Definicja VI
Macierz kwadratową A = [a
ij
]
m x n
, której wszystkie elementy [a
ij
] = 1
nazywamy
macierzą jedynkową
i oznaczamy:
J
m x n
1, 1, 1
J
3 x 3
=
1, 1, 1
1, 1, 1
Definicja VII
Macierz kwadratową A
n
, której elementy [a
ij
] spełniają warunek:
A
ij
=
1 dla i = j
0 dla i
j
nazywamy
macierzą jednostkową
i oznaczamy:
I
n
a
11
a
12
a
13
I
3
=
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
1, 0, 0
I
3
=
0, 1, 0
0, 0, 1
I
2
=
1, 0
0, 1
4
Definicja VIII
Macierz kwadratową A
n
, w której dla każdego i
j , a
ij
= 0 nazywamy
macierzą diagonalną
:
1, 0, 0
A
3
=
0, -2, 0
-
na przekątnej są dowolne liczby rzeczywiste
0, 0, -
5
/
2
reszta zero
Definicja IX
Macierz kwadratową A
n
, w której elementy [a
ij
] = 0 dla i > j - nazywamy
macierzą trójkątną – górną
:
1, 2, 0
.
A
3
=
0, 5, 3
- elementy
poniżej głównej przekątnej to same zera
.
0, 0, 0
Definicja X
Macierz kwadratową A
n
, w której elementy [a
ij
] = 0 dla i < j nazywamy
macierzą trójkątną dolną
:
1, 0, 0
.
A
3
=
-5, 3, 0
- elementy
nad główną przekątną to same zera
.
-2, 0, 1
Definicja XI
Macierz kwadratową A
n
, w której dla każdej pary ( i, j )
M x N (
należącej do iloczynu kartezjańskiego M x N ) spełniony jest warunek a
ij
= a
ji
nazywamy
macierzą symetryczną
:
a
11
a
12
a
13
a
14
1 5 3
.
.
a
21
a
22
a
23
a
24
A
3
=
5 -2 1
A
n
=
.
.
a
31
a
32
a
33
a
34
3 1 0
.
a
41
a
42
a
43
a
44
5
DZIAŁANIA NA MACIERZACH
Niech dane będą macierze:
A = [a
ij
]
m x n
; B = [b
ij
]
m x n
; C = [c
ij
]
m x n
Definicja XII
Sumą macierzy A
m x n
i B
m x n
nazywamy macierz
C
m x n
, w której
elementy c
ij
spełniają warunek:
c
ij
= a
ij
+ b
ij
np.
A
2 x 3
+ B
2 x 3
=
a
11
a
12
a
13
+
b
11
b
12
b
13
+
a
11
b
11
a
12
b
12
a
13
b
13
a
21
a
22
a
23
b
21
b
22
b
23
a
21
b
21
a
22
b
22
a
23
b
23
1 3 -1
0 1 -1
1 4 -2
A + B =
4 2 2
+
2 1 1
=
6 3 3
0 1 5
-3 0 1
-3 1 6
A + B =
2 1
+
1 0 2
=
3 1 ?
3 0
1 1 1
4 1 ?
-
działanie niewykonalne !
Dodajemy macierze tylko tych samych wymiarów !
Definicja XIII
Iloczynem liczby rzeczywistej
przez macierz
A = [a
ij
]
m x n
nazywamy taką macierz
B = [b
ij
]
m x n
, w której
b
ij
=
x a
ij
Np.
a
11
a
12
a
11
a
12
x A
3 x 2
=
a
21
a
22
=
a
21
a
22
a
31
a
32
a
31
a
32
Właściwości powyższych działań:
1. Dodawanie macierzy jest przemienne, czyli :
A + B = B + A - gdy :
A
m x n
; B
m x n
( muszą być jednakowego wymiaru )
2.
Dodawanie macierzy jest łączne :
( A + B ) + C = A + ( B + C )
( muszą być tego samego wymiaru )
3.
Jeżeli A + B = A
B = 0 ( B
jest macierzą zerową 0
m x n
)
4.
Rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę względem dodawania
macierzy :
x (A + B) =
x A +
x B A
m x n
; B
m x n
6
Definicja XIV
Różnicą macierzy A – B
nazywamy sumę macierzy
A
i macierzy
przeciwnej do
B
:
A
– B = A + (-B)
( elementy macierzy B dodajemy z
przeciwnym znakiem )
B = -1B
MNOŻENIE MACIERZY
Definicja XV
Iloczynem macierzy A
m x k
przez macierz B
k x m
nazywamy taką
macierz
C
m x n
, w której elementy c
ij
spełniają warunek :
c
ij
= a
i1
x b
1j
+ a
i2
x b
2j
+ a
i3
x b
3j
+ ............. + a
ik
x b
kj
dla każdej pary ( i , j )
np.
Wyznacz iloczyn A x B :
a
11
a
12
b
11
b
12
a
11
b
11
+ a
12
b
21
a
11
b
12
+ a
12
b
22
A
2 x 3
x B
2 x 2
=
a
21
a
22
x
b
21
b
22
=
a
21
b
11
+ a
22
b
21
a
21
b
12
+ a
22
b
22
a
31
a
32
a
31
b
11
+ a
32
b
21
a
31
b
12
+ a
32
b
22
A
3 x 2
x B
2 x 2
= C
3 x 2
Aby wyznaczyć element znajdujący się w pierwszym wierszu w pierwszej
kolumnie należy wymnożyć pierwszy wiersz pierwszej macierzy przez pierwszą
kolumnę drugiej macierzy,
Aby znaleźć element pierwszy wiersz drugiej kolumny należy wymnożyć pierwszy
wiersz pierwszej macierzy przez
drugą kolumnę drugiej macierzy.
1 3 1
1 2
1+3+2 2+9+2
6 13
A x B =
2 1 1
x
1 3
=
2+1+2 4+3+2
=
5 9
2 2
Własności mnożenia
1.
Mnożenie macierzy nie jest przemienne :
A x B
B x A
2.
Łączność mnożenia :
( A x B ) x C = A x ( B x C )
3.
Rozdzielczość mnożenia względem dodawania :
A x ( B + C ) = A x B + A x C
4.
Jeżeli macierz ( F + G ) mnożymy przez macierz H to :
7
( F + G ) x H = F x H + G x H
( nie wolno przest
awiać elementów )
( F + G ) x H
H x F + H x G
Macierz transponowana
Definicja :
Macierz
B
n x m
nazywa się
transpozycją lub macierzą transponowaną
do
macierzy
A
m x n
, jeśli dla każdej pary
( i j )
M x N
zachodzi równość :
a
ij
= b
ji
A =
a
11
a
12
a
13
A
T
=
a
11
a
21
pierwszy wiersz stał się
a
21
a
22
a
23
a
12
a
22
pierwszą kolumną ,
a
13
a
23
drugi wiersz
– drugą kolumną
Znajdź macierz : A
T
a)
1 2 3
b)
1 2
c)
2 3
A =
0 1 1
A =
0 1
A =
1 1
1 3 1
-1 12
-4 5
7 0
Dane są macierze :
4 1
3 1
A =
5 0
B =
0 0
0 1
2 1
2 2
0 1
Oblicz : a) ( A + B)
T
; b) A
T
+ B
T
Własność :
( A + B )
T
= A
T
+ B
T
Dane są macierze :
1 0 -1
A =
2 -1 3
B =
3 2 0
0 1 2
1 -1 0
Oblicz :
a) (A * B)
T
b) B
T
* A
T
c) A
T
* B
T
Własność :
( A x B )
T
= B
T
x A
T
8
Definicja :
Jeżeli macierz A = [a
ij
]
n x n
( kwadratowa ) spełnia warunek :
A
T
= A
To macierz
A
jest
macierzą symetryczną
( a
ij
= a
ji
)
Definicja :
Macierz kwadratową
A
spełniającą warunek :
A
T
x A = A x A
T
= I
( równa
macierzy jednostkowej ) nazywamy
macierzą ortogonalną
.
Macierz odwrotna
Definicja :
Macierz kwadratową
B = [ b
ij
]
n x n
nazywamy
macierzą odwrotną
do macierzy
A =[a
ij
]
jeśli spełniony jest warunek :
A x B = B x A = I
Macierz odwrotną do macierzy
A
oznaczamy
A
-1
Sprawd
ź, czy macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A :
1)
A =
4 1
B = 1/7
3 -1
5 3
-5 4
2)
-1 2 3
0 -1 1
A =
4 5 1
B =
2 0 1
0 1 -1
-1 1 1
3)
1 2 0
-1 1 -1
A =
5 3 1
2/3 -
1/2 ½
2 1 1
-
2/3 ½ 3/2
1.
Znajdź o ile istnieje macierz odwrotną do macierzy A :
A =
1 2
-2 -4
9
Definicja :
Macierz, która nie posiada macierzy odwrotnej nazywamy
macierzą osobliwą
.
Wyznacz macierz odwrotną do macierzy :
A =
1 2
3 1
Dane są macierze :
1 0 3 1
1 0
A
T
=
1 3 0 2
B =
1 -1
C
T
=
1 2 2 1
5 -1 0 2
2 -1
0 1 4 -1
Oblicz :
a) (C * B
T
– A) * A
T
b) A
T
* [(B * C
T
)
T
– A]
c) B
T
* A
T
– 2C
T
PRZEKSZTAŁCENIA ELEMENTARNE
Definicja :
Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A = [ a
ij
]
m x n
nazywamy
następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy.
T
1
– polega na pomnożeniu wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny
przez liczbę
0
T
2
– polega na zamianie miejscami dwóch dowolnie wybranych wierszy lub kolumn
T
3
– polega na dodaniu do wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny
odpowiada
jących im elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych
przez liczbę
0
Przykład :
Wykonaj na macierzy A
kolejno przekształcenia : T
1
: ( k
2
* 2 ) ; T
3 :
( w
1
+ 2 * w
3
) ;
T
2
: ( k
1
, k
3
)
1 0 2 3
1 0 2 3
1 0 10 5
A =
-1 1 2 0
T
1
: ( k
2
* 2 )
-1 2 2 0
T
3
: ( w
1
+ 2w
3
)
-1 1 2 0
T
2
: ( k
1
,k
3
)
0 0 4 1
0 0 4 1
0 0 4 1
10
10 0 1 5
2 1
–1 0
4 0 0 1
Dana jest macierz :
8 2 4 5
A =
3 2 4 0
-1 1 2 0
wykonać :
a) T = T
2
: ( k
4
, k
2
)
T
2
( k
1
, k
4
)
T
2
( k
3
, k
4
)
b) T = T
3
( k
1
+ (-1) k
3
)
T
1
( k
1
* 2 )
T
2
( w
1
, w
2
)
Twierdzenie :
Jeżeli macierz B powstała z macierzy A poprzez przekształcenie elementarne typu
T
1
, T
2
, T
3
to rząd macierzy A równa się rzędowi macierzy B
rz
A
= rz
B
Aby obliczyć rząd macierzy postaramy się przy pomocy przekształceń elementarnych
na wierszach i kolumnach doprowadzić macierz do postaci :
I 0
0 0
Stopień bloku kwadratowego otrzymanego w prawym górnym rogu macierzy określa
rząd macierzy.
Znajdź rząd macierzy :
1 0 1 0 1
A =
0 1 1 1 0
rz A = 3
3 2 5 1 3
Obliczyć rząd macierzy :
1 2 0 1
A =
3 2 1 0
rzA = 3
1 0 1 2
Własności rzędu macierzy
a)
Jeżeli macierz A jest macierzą diagonalną lub trójkątną to rząd rzA
jest równy ilości niezerowych elementów tej macierzy leżących na głównej
przekątnej.
b) ( Twierdzenie Sylwestra )
Dla dowolnych dwóch macierzy A i B , dla których istnieje iloczyn A x B zachodzi
relacja :
rz ( A B )
min { rzA , rzB }
c)
Dla dowolnych dwóch macierzy A i B tego samego wymiaru zachodzi warunek :
rz ( A + B )
rzA + rzB
d)
Jeżeli macierz jest kwadratowa stopnia n to :
rzA = n
gdy
A
jest macierzą nieosobliwą
det
A
0
11
e) Je
żeli A jest kwadratowa stopnia n to :
rz A < n
gdy
A
jest macierzą osobliwą
det
A = 0
f)
Jeżeli A i B są macierzami stopnia n i istnieje macierz B
-1
(
det
B
0 ) to :
rz A = ( B * A * B
-1
)
g)
Jeżeli A ma wymiar
n x k
i rz A = k to :
rz ( A
T
* A ) = k
( k
– liczba kolumn )
Sprawdzić własność 2 , 3 , 6 dla macierzy :
1 0 2
1 1 2
A =
0 1 1
B =
2 0 1
1 2 0
1
–1 2
Obliczyć rząd :
1 2 3
–1 4
B =
2 1 1 2 1
-1 1 2
–3 3
WYZNACZNIK MACIERZY
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [ a
ij
]
n x n
nazywa się liczbę oznaczoną
symbolem
det
A lub
A
Aby obliczyć wyznacznik macierzy stopnia drugiego korzystamy ze wzoru :
a
11
a
12
= a
11
a
22
- a
12
a
21
a
21
a
22
Oblicz wyznacznik macierzy A , B , C :
A =
2 1
B =
-1 1
C =
6 3
1 0
1 2
4 -1
A
= -1
B
= -3
C
= 21
Gdy macierz jest stopnia trzeciego
do obliczania wyznacznika najczęściej stosuje
się metodę Sarussa. Polega ona na tym, że poniżej wyznacznika stopnia trzeciego
dopisujemy jego pierwszy wiersz, a następnie drugi. Następnie tworzymy sześć
iloczynów ( po trzy czynniki każdy ), z których trzy bierzemy ze znakiem dodatnim, a
trzy pozostałe ze znakiem przeciwnym. Następnie sumujemy.
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
= a
11
a
22
a
33
+ a
21
a
32
a
13
+ a
31
a
12
a
23
- a
13
a
22
a
31
- a
23
a
32
a
11
-
a
31
a
32
a
33
- a
33
a
12
a
21
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
12
Oblicz wyznacznik macierzy :
2 1 3
4 2 2
5 1 1
det
A = 4
A =
4 2 2
B =
1 1 1
C =
2 0 1
det
B = 0
1 1 0
2 1 1
1 1 1
det
C = -4
definicja : (
określenie macierzy A
ij
)
Niech dana będzie macierz kwadratowa A stopnia n. Macierz A
ij
oznacza macierz,
która powstaje z macierzy A przez usunięcie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Zapisz macierz A
13
, A
23
, A
33
jeśli
1 2 0 1
A =
1 1 1 1
-1 2 3 1
0 2 4 1
Definicja :
Minorem M
ij
nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z macierzy A
przez usunięcie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny.
M
ij
=
det
A
ij
=
A
ij
Oblicz minory M
13
, M
11
, M
23
dla macierzy :
1 0 1 1
A =
1 2 1 1
M
11
= 0
0 1 0 1
M
23
= -3
1 1 2
–1
M
13
= -1
Definicja :
Dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
macierzy A
nazywamy liczbę :
D
ij
= (-1)
i+j
* M
ij
D
ij
= (-1)
i+j
*
det
A
ij
Dana jest macierz :
2 4 5 2
A =
3 1 0 1
1 1 0 0
0 2 0 0
zapisz i oblicz dopełnienie algebraiczne a
21
, a
14
a
21
=0 a
14
=0
Dana jest macierz :
2 0 2
B =
3 4 2
1 2 2
oblicz D
11
, D
23
, D
33
D
11
=4 D
23
= -4 D
33
=8
Twierdzenie Laplace’a ( stosuje się do obliczania wyznacznika macierzy dowolnego
stopnia)
Jeżeli A = [a
ij
]
nxn
to wyznacznik macierzy można przedstawić następująco :
13
a
11
a
12
a
13
..... a
1n
a
21
a
22
a
23
..... a
2n
a
31
a
32
a
33
..... a
3n
...............................
...............................
a
n1
a
n2
a
n3
..... a
nn
a)
Rozwinięcie twierdzenia Laplace’a względem i-tego wiersza :
det
A = a
i1
D
i1
+ a
i2
D
i2
+ a
i3
D
i3
+ ..... + a
in
D
in
b)
Rozwinięcie twierdzenia Laplace’a względem j-tej kolumny :
det
A = a
1j
D
1j
+ a
2j
D
2j
+ a
3j
D
3j
+ ..... + a
nj
D
nj
( ustala się ten wiersz lub kolumnę, która zawiera najwięcej zer )
Oblicz wyznacznik stosując rozwinięcie Laplace’a :
1 4 5
A =
0 2 0
2 1 0
det
A =
A
= -20
Stosując twierdzenie Laplace’a oblicz wyznacznik macierzy :
2 1 0 0
2 1 0
1 0 0
2 1 0
A
= -4
A =
3 4 1 1
B =
3 2 1
C =
0 2 1
D =
3 1 0
B
= 2
1 1 1 2
4 1 0
3 2 1
2 4 1
C
= 0
1 1 1 1
D
= -1
Własności wyznacznika :
1.
Jeżeli A jest macierzą diagonalną to
det
A = a
11
* a
22
* a
33
* ..... * a
nn
( iloczynem
wszystkich elementów leżących na jej głównej przekątnej ).
Wyznacznik macierzy jednostkowej = 1
det
I
n
= 1
2.
Jeżeli macierz A
n
jest macierzą trójkątną górną lub dolną to
det
A = a
11
* a
22
* a
33
* ......... * a
nn
( iloczynem wszystkich elementów
leżących na głównej przekątnej ).
3.
Wyznacznik macierzy, której wiersz lub kolumna zawiera wszystkie elementy
zerowe jest równy 0.
4.
Jeżeli A jest macierzą kwadratową stopnia n to wyznacznik macierzy A jest równy
wyznacznikowi macierzy A
T
det
A =
det
A
T
5.
Jeżeli w macierzy A dwa wiersze lub dwie kolumny są identyczne to wyznacznik
macierzy A
jest równy 0
det
A = 0
( dotyczy również macierzy, w której jeden
wiersz lub kolumna jest wielokrotnością innego wiersza lub kolumny).
6.
Jeźeli B =
* A to
det
B =
n
*
det
A ( gdzie n jest stopniem macierzy A ).
7. Twierdzenie
Cauchy’ego
Jeżeli A = [a
ij
]
nxn
B = [b
ij
]
nxn
to
det
( AB ) =
det
A *
det
B
Uwagi :
Jeżeli na macierzy A wykonamy pewne przekształcenia elementarne to wyznacznik
macierzy wyjściowej jest równy wyznacznikowi macierzy otrzymanej po
przekształceniach elementarnych wykonanych na macierzy A przy czym :
14
Jeżeli wykonano przekształcenie T
1
to wyznacznik należy pomnożyć przez 1/
(odwrotność liczby przez którą mnożony był wiersz lub kolumna ).
Jeżeli wykonano przekształcenie T
2
to wyznacznik należy pomnożyć przez (-1)
Przekształcenie typu T
3
nie zmienia wyznacznika.
MACIERZE ODWROTNE
Twierdzenie
Jeżeli
det
A
0 to A
-1
= 1/
det
A [ D
ij
]
T
Wyznacz macierz odwrotną do : A =
1 1
6 8
det
A= 8-6 = 2
0
D
11
= (-1)
2
*
8
= 8
D
12
= (-1)
3
*
6
= -6
D
21
= (-1)
3
*
1
= -1
D
22
= (-1)
4
*
1
= 1
D
ij
=
8 -6
[D
ij
]
T
=
8 -1
-1 1
-6 1
A
-1
=
½ *
8 -1
=
4 -1/2
-6 1
-
3 ½
sprawdzenie:
A * A
-1
= I
A
-1
* A = I zgodne
1 4 5
A =
2 0 3
det
A = 7
0 1 0
D
11
= (-1)
2
*
0 3
= -3 D
12
= (-1)
3
*
2 3
= 0 D
13
= (-1)
4
*
2 0
= 2
1 0
0 0
0 1
D
21
= (-1)
3
*
4 5
= 5 D
22
= (-1)
4
*
1 5
= 0 D
23
= (-1)
5
*
1 4
= -1
1 0
0 0
0 1
D
31
= (-1)
4
*
4 5
= 12 D
32
= (-1)
5
*
1 5
= 7 D
33
= (-1)
6
*
1 4
= -8
0 3
2 3
2 0
-3 0 2
-3 5 12
[ D
ij
] =
5 0 -1
[ D
ij
]
T
=
0 0 7
12 7 -8
2 -1 -8
-3 5 12
-3/7 5/7 12/7
15
A
-1
= 1/7
0 0 7
=
0 0 7/7
2 -1 -8
2/7 -1/7 -8/7
Sprawdzić
Twierdzenie:
Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą (
det
A
0 ) to istnieje ciąg
przekształceń elementarnych sprowadzających tę macierz do macierzy jednostkowej.
Twierdzenie:
Jeżeli ciąg przekształceń elementarnych sprowadza nieosobliwą macierz
kwadratową stopnia n to ten sam ciąg przekształceń elementarnych sprowadza
macierz jednostkową do macierzy A
-1
( przekształcenia dokonujemy albo na
wierszach, albo na kolumnach).
Jeżeli w trakcie przekształceń elementarnych otrzymamy wiersz lub kolumnę zerową
tzn., że macierz odwrotna nie istnieje.
A I
T
n
I A
-1
Wyznacz poprzez operacje elementarne macierz odwrotną do macierzy :
1
–2 1
1 0 3
1 1 1
A =
2 2 0
B =
1 0 2
C =
-1 0 1
1 0 1
1 1 0
0 1 2
C
-1
– nie istnieje
Wyznacz macierz X
z równania :
1. A * X = B
2. A * X
– B = C
3. 3A
– 2X = C
4. XA
2
+ B
T
= XA
5. B
T
* A * B * X
– C(X + C) = 0
6. A(X
– A
T
)
– 2A
2
= 0
1) * A
-1
A * X = B
A
-1
* A * X = A
-1
* B
I * X = A
-1
* B
X = A
-1
*B
2)
A * X
– B =C
+B
A
-1
*
A * X = C + B
A
-1
* A * X = A
-1
(C +B)
X * I = X
I * X = X
A * A
-1
= I
A
-1
* A = I
16
I * X = A
-1
(C +B)
X = A
-1
(C +B)
3) 3A
– 2X = C
- 3A
- 2X = C
– 3A
* -1/2
X = -1/2 ( C
–3A)
4) XA
2
+ B
T
= XA
-XA
XA
2
+ B
T
– XA = 0
- B
T
XA
2
– XA = -B
T
X (A
2
– A) = -B
T
*(A
2
– A)
-1
odwrotność (dzielenie)
X= -B
T
(A
2
– A)
5)
B
T
* A * B * X
– C (X + C) = 0
B
T
* A * B * X
– CX - C
2
= 0
+C
2
B
T
ABX
– CX = C
2
(B
T
AC - C)
-1
*
(B
T
AC - C)X = C
2
X = (B
T
AC
– C)
-1
* C
2
6)
A(X
– A)
T
– 2A
2
= 0
A(X
T
– A
T
)
– 2A
2
= 0
+ 2A
2
A(X
T
– A
T
) = 2A
2
AX
T
– AA
T
= 2A
2
+ AA
T
A
-1
*
AX
T
= 2A
2
+ AA
T
X
T
= A
-1
(2A
2
+ AA
T
)
T
(X
T
)
T
= X
(X
T
)
T
= [A
-1
(2A
2
+ AA
T
)]
T
X = [A
-1
(2A
2
+ AA
T
)]
T
PIERWIASTKI CHARAKTERYSTYCZNE MACIERZY
Definicja:
Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian :
W (
) =
det
( A -
* I )
Definicja:
Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równanie :
det
( A -
I ) = 0
17
Definicja:
Rozwiązanie równania charakterystycznego nazywamy pierwiastkami
charakterystycznymi macierzy A
Znajdź pierwiastki charakterystyczne macierzy A =
1 1
2 1
W (
) =
det
(
1 1
-
1 0
)
2 1
0 1
W (
) =
det
(
1 1
-
0
)
2 1
0
W (
) =
det
1-
1
2 1-
W (
) =
det
(1 -
) (1 -
)
– 2
= (1 -
)
2
– 2 = 1
2
– 2
+
2
– 2 =
2
– 2
- 1
Tworzymy równanie :
2
– 2
- 1 a = 1 b = -2 c = -1
= b
2
– 4ac
= (-2)
2
– 4 * 1 * (-1) = 4 – 4*(-1) = 4 + 4 = 8
= 8
> 0
8
2
1
=
a
b
2
a
b
2
2
2
2
2
2
)
2
1
(
2
2
2
2
2
2
2
)
2
1
(
2
2
2
2
UKŁADY RÓWNAŃ
Definicja :
Układ m o n niewiadomych x
1
, x
2
, x
3
, ........ , x
n
nazywamy układem równań
liniowych, gdy jest w postaci :
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ......... + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ......... + a
2n
x
n
= b
2
...................................................
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ ..........+ a
nn
x
n
= b
n
gdzie a
ij
R i = 1 ...... n j = 1 ......... n
18
Układ można zapisać w postaci równania wektorowego :
m
a
a
a
a
1
13
12
11
..
* x
1
+
m
a
a
a
a
2
23
22
21
..
* x
2
+ .......... +
nm
n
n
n
a
a
a
a
..
3
2
1
* x
n
=
n
b
b
b
b
..
3
2
1
=
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
*
n
x
x
x
...
2
1
=
m
b
b
b
...
2
1
Definicja :
Jeżeli układ nie posiada rozwiązania to nazywamy go układem sprzecznym
Definicja :
Jeżeli układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie to nazywamy go układem
oznaczonym.
Definicja :
Jeżeli układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań to nazywamy go układem
nieoznaczonym.
Twierdzenie Kroneckera-
Capelli’ego :
Układ równań liniowych w postaci :
A * x = b
gdzie A jest macierzą A
mn
x
R
n
jest wektorem w przestrzeni R
n
posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy A równy jest rzędowi
macierzy poszerzonej. rzA = A|B
Przykład :
Dany jest układ równań macierzowych. Sprawdź czy układ posiada rozwiązanie?
Jeżeli tak, to znajdź je.
0
1
1
2
*
2
1
x
x
=
1
4
Należy sprawdzić czy rz A = rz A|b
rz A =
0
1
1
2
2
1
2k
k
0
1
1
0
rz = 2
19
rz A|b =
1
4
0
1
1
2
2
1
2k
k
1
4
0
1
1
0
1
3
k
k
0
4
0
1
1
0
2
3
4k
k
0
0
0
1
1
0
rz = 2
Układ posiada rozwiązanie ponieważ rzA = rzA|b
0
2
1
2
1
x
x
x
=
1
4
1
0
4
2
1
2
1
x
x
x
x
1
= 1
2+x
2
= 4
x
2
= 4-2 = 2
x
2
= 2
Istnieje jedno rozwiązanie : x
1
= 1 , x
2
= 2
Definicja :
1.
Jeżeli rzA
rzA|b to układ równań jest układem sprzecznym
2.
Jeżeli rzA = rzA|b i rz = n to układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie
3.
Jeżeli rzA = rzA|b i rz < n to układ równań posiada nieskończenie wiele
rozwiązań
Wyznacz li
czbę rozwiązań w układzie :
2
1
0
1
0
1
1
2
3
*
3
2
1
x
x
x
=
3
1
2
n = 3
rzA =
2
1
0
1
0
1
1
2
3
1
3
k
k
2
1
0
0
0
1
2
2
3
2
1
*
3
k
1
1
0
0
0
1
1
2
3
3
2
k
k
1
0
0
0
0
1
1
3
3
2
1
k
k
1
0
0
0
0
1
1
3
0
3
1
*
2
k
1
0
0
0
0
1
1
1
0
2
3
k
k
1
0
0
0
0
1
0
1
0
rz = 3
rzA|b =
3
1
2
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
4
k
k
3
0
2
1
0
0
0
0
1
0
1
0
2
4
2k
k
3
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
rz = 3
rzA = rzA|b = n
układ posiada jedno rozwiązanie
20
METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ
Definicja :
Układ n równań liniowych o n niewiadomych w postaci Ax = b nazywamy układem
Cramera, gdy det A
0
Niech macierz A =
n
p
p
p
p
...
3
2
1
Oznaczamy przez A
k
macierz utworzoną z macierzy A przez zastąpienie k-tej
kolumny kolumnę wyrazów wolnych.
A
k
=
n
k
k
p
p
b
p
p
p
p
...
1
1
3
2
1
...
Twierdzenie Cramera
Układ równań Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem :
x
k
=
A
A
k
det
det
k = 1 ......... n
Przykład :
Rozwiąż układ równań metodą Cramera
2
2
1
2
1
2
4
3
1
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
A =
1
0
2
0
1
2
2
1
4
detA =
1
0
2
0
1
2
2
1
4
= 4+0+0-4-0+2 = 2
Ilość równań = 3
Ilość niewiadomych = 3
ilość równań = ilości niewiadomych
det A =2
0 tzn. jest to układ Cramera
x
1
=
A
A
det
det
1
A
1
= ?
x
2
=
A
A
det
det
2
A
2
= ?
x
3
=
A
A
det
det
3
A
3
= ?
A
1
=
1
0
2
0
1
1
2
1
1
= 1+0+0+4-0+1 = 6
21
A
2
=
1
2
2
0
1
2
2
1
4
= 4-8+0-4-0-2 = -10
A
3
=
2
0
2
1
1
2
1
1
4
= 8+0+2+2-0+4 = 16
X
1
=
2
6
= 3
X
2
=
2
10
= -5
X
3
=
2
16
= 8
R
ozwiąż układ równań :
5
7
4
1
2
3
4
4
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n = 3
detA =
7
4
1
1
2
3
4
3
1
= 14+48-3+8-4-63 = 0
Ponieważ detA = 0 to nie jest to układ Cramera
Należy zbadać rzędy macierzy A i macierzy poszerzonej
rz A = 2 rz A|b = 3
rzA
rzA|b
układ nie posiada rozwiązania
Inna szybsza metoda polega na przekształceniach elementarnych. Poprzez
przekształcenia elementarne na wierszach macierzy poszerzonej doprowadzamy
macierz A do macierzy jednostkowej. Rozwiązanie otrzymanego układu równań jest
zarazem rozwiązaniem układu wyjściowego na mocy twierdzenia :
Jeżeli macierz [A
*
|b
*
] powstaje z macierzy [A|b] poprzez przekształcenia elementarne
na wierszach to układy równań :
A
*
x = b
*
Ax = b
Są równoważne (tzn. mają ten sam zbiór rozwiązań).
Rozwiąż jest układ równań :
7
3
3
0
3
3
3
2
1
3
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
22
to nie jest układ Cramera ponieważ liczba niewiadomych jest różna od ilości
równań
Po przekształceniach otrzymujemy :
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
A
*
b
*
Podstawiając wartości z otrzymanej macierzy do układu równań otrzymujemy :
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
0
0
1
1
3
2
1
x
x
x
Równanie otrzymane jest równoważne z równaniem otrzymanym do rozwiązania.
Oba posiadają to samo rozwiązanie.
Jeżeli podczas przekształceń otrzymamy równanie (wiersz) sprzeczne np. 2=0
wnioskujemy, że układ równań nie posiada rozwiązania.