Model dynamiczny (cały wykład 3) 

 

Stan systemu - najmniejsza liczba danych o systemie w danej chwili, która wraz z wartościami wejściowymi od tej chwili pozwala 
określić stan i wielkości wyjściowe modelu w przyszłości 
 
Zmienne stanu – taki (minimalny) zestaw zmiennych, których znajomość w danej chwili zawiera całą informację o przeszłości 
systemu 
 
Wektor stanu X=[ x1 x2 x3 … xn]

T 

– wektor zmiennych stanu  

 
Przestrzeń stanów – n-wymiarowa przestrzeń, w której każdy stan jest przedstawiony jako punkt 
 
Parametry systemu – dodatkowe czynniki opisujące specyfikę działania systemu 



 

techniczne – różnice pomiędzy poszczególnymi systemami działającymi w tych samych warunkach 



 

środowiska i warunków działania – różnice pomiędzy warunkami działania tego samego systemu 

 
System dynamiczny zdefiniowany tak: 

 

 
Można zapisać za pomocą równania stanu (układ rów. Różniczkowych 1. rzędu) 

 

 
Oraz równania wyjścia 

 

 
Etapy budowy modelu: 



 

wybór wielkości bilansowych, 



 

ułożenie równań bilansowych, 



 

wybór wielkości stanu, 



 

ułożenie równań stanu, 



 

określenie wielkości wyjściowych. 

 
 

Lagrange, Euler, różniczkowanie 

 

Zasada najmniejszego działania (wariacyjna Hamiltona): 
Najbardziej ogólne sformułowanie praw ruchu systemów mechanicznych. 
Dla systemu konserwatywnego (bez strat energii) można sformułować funkcję Lagrange’a (stanu) L(q, ̇,t) spełniającą warunek: 
przebieg q(t) od q

1 

do q

2

  odbywa się tak, że całka (S – działanie)      

∫  (    ̇   )  

 

 

 

 

  przyjmuje wartość minimalną. 

 
 
 
Równania Eulera-Lagrange’a – powstają z zasady najmniejszego działania 
Tworzą układ N równań różniczkowych zwyczajnych 2. rzędu. Równania uzupełnione o 2N warunków początkowych 
jednoznacznie określają równania ruchu konserwatywnego systemu mechanicznego. Wyrażają drugie prawo Newtona – 
równowagi sił. 
 

 

 
N - liczba stopni swobody systemu = liczbie wsp. uogólnionych = liczbie prędkości uogólnionych 
q

k

 - współrzędne uogólnione, niezależne parametry jednoznacznie opisujące położenie systemu 

 ̇

 

 - prędkości uogólnione 

Q

k

 - siła uogólniona związana ze współrzędną uogólnioną q

k

 

T -  energia kinetyczna systemu mechanicznego T 

 
Dla konserwatywnych systemów mechanicznych (ruch w polu potencjalnym – siły są potencjalne) 

 

 
T – energia kinetyczna 
U – energia potencjalna systemu 
 
 
Równania różniczkowe: 
 
Podstawianie w równaniach różniczkowych: 

 

 
Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy dowolną funkcję y=y(x) spełniającą to równanie w pewnym przedziale.  
Rozwiązanie ogólne to takie, które zawiera n dowolnych stałych c

1 

… c

n

 tak, ze że możemy na nie nałożyć n warunków 

początkowych 
Rozwiązanie szczególne mamy wtedy, kiedy mamy wartości w/w stałych 
 
PRZEPATRZEĆ WYKŁAD 4 str. 28-end i nauczyć się metod 
 
 
 

Przekształcenie Laplace’a 

 

Operatory – odwzorowują wielkości wejściowe będące funkcjami (np. czasu) na inne funkcje (tego samego – np. czasu) 
reprezentujące wielkości wyjściowe. Pozwalają w ten sposób operować na liczbach zamiast funkcji. 
 
Przekształcenie Laplace’a – operator przekształcający funkcję f(s) zmiennej rzeczywistej na funkcję F(s) zmiennej zespolonej 
               

 

 

f(t) ciągła,  
f(t)=0 dla t<0, 
wartości ograniczone 

 

Odwrotne przekształcenie Laplace’a – znając transformatę funkcji F(s) możemy wyznaczyć funkcję f(s) 
 

 

 

Wykorzystanie transformaty Laplace'a umożliwia:  



 

rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach, 



 

rozwiązywanie niektórych równań różniczkowych cząstkowych, 



 

rozwiązywanie pewnych klas równań całkowych czy też różniczkowo-całkowych, 



 

badanie odpowiedzi impulsowej układu oraz badanie stabilności układu 

Różniczkowanie oryginału: 
 

 

 
Impuls Diraca i skok jednostkowy: 
 

 

 

 

Ostatnia wartość z tabelki wzorów (mam nadzieję, że jakby co, to ją po prostu da) 
 

 

Transmitancja operatorowa 

 

Transmitancja operatorowa G(s) to stosunek transformat Laplace’a sygnału wyjściowego Y(s) i sygnału wejściowego U(s), przy 
założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe. 
 

 

 

Transmitancja operatorowa charakteryzuje odpowiedź modelu na pewne standardowe sygnały wejściowe, np. odpowiedź 
modelu na skok jednostkowy otrzymamy dzieląc transmitancję przez operator s.