Jednookresowy probabilistyczny model zapasów
(single period stochastic problem, newsboy problem)
Dane
D – popyt w rozpatrywanym okresie, zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym
j
p
}
j
D
{
P
, j = 0, 1, 2,...
(1)
n
s - jednostkowa strata z powodu niedoszacowania popytu, tzn. strata z powodu
jednego nie obsłużonego klienta,
0
n
s
p
s
- jednostkowa strata z powodu przeszacowania popytu, tzn. strata z powodu
nie sprzedanej jednostki towaru,
0
p
s
Optymalizacja
x - wielkość zapasu, zmienna decyzyjna
Y - strata w rozpatrywanym okresie, zmienna losowa zależna od wielkości
zapasu x przy danych D,
n
s ,
p
s
K(x) - oczekiwana strata przy zapasie x
)
Y
(
E
)
x
(
K
(2)
Kryterium optymalności
)}
x
(
K
{
min
)
x
(
K
:
x
x
,...
,
,
x
opt
opt
2
1
0
(3)
Wyznaczenie rozkładu i wartości oczekiwanej straty Y
Liczba jednostek
Popyt
j
D
}
j
D
{
P
zbędnych
brakujących
Strata
j
y
Y
0
0
p
x
0
p
s
x
1
1
p
x-1
0
p
s
)
x
(
1
2
2
p
x-2
0
p
s
)
x
(
2
...
...
...
...
...
x-1
1
x
p
1
0
p
s
1
x
1
x
p
0
0
0
x+1
1
x
p
0
1
n
s
1
x+2
2
x
p
0
2
n
s
2
...
...
...
...
...
2
}
y
Y
{
P
j
=
}
j
D
{
P
1
2
1
0
1
2
1
x
p
p
p
p
p
s
...
p
s
)
x
(
p
s
)
x
(
p
s
x
)
Y
(
E
...
p
s
p
s
x
n
x
n
2
1
2
1
1
1
0
x
j
j
n
x
j
j
p
p
)
x
j
(
s
p
)
j
x
(
s
)
Y
(
E
(4)
(2)
1
1
0
x
j
j
n
x
j
j
p
p
)
x
j
(
s
p
)
j
x
(
s
)
x
(
K
(5)
Funkcja K(x) ma w punkcie x minimum lokalne, jeśli x spełnia układ
nierówności
)
x
(
K
)
x
(
K
)
x
(
K
)
x
(
K
1
1
(6)
Rozwiązaniem powyższego układu jest nierówność (praca domowa, oddaj na
kartce, jeśli chcesz)
x
j
j
p
n
n
x
j
j
p
s
s
s
p
0
1
0
(7)
Bez trudu zauważamy, że
)
x
(
F
}
x
D
{
P
p
x
j
j
0
,
(8)
gdzie F oznacza dystrybuantę zmiennej losowej D.
(7), (8)
)
x
(
F
s
s
s
)
x
(
F
p
n
n
1
(9)
1) Skoro
0
n
s
i
0
p
s
, więc
1
0
p
n
n
s
s
s
(10)
2) Skoro F jest funkcją niemalejącą, więc nierówność (9) albo ma jedno
rozwiązanie i wtedy istnieje jedno minimum (lokalne = globalne) w punkcie
opt
x
x
, albo istnieje kilka kolejnych wartości x takich, że
...
)
x
(
F
)
x
(
F
1
i
wtedy istnieją alternatywne rozwiązania optymalne
,...
x
,
x
x
opt
1
3
3) Optymalna wielkość zapasu jest więc rozwiązaniem nierówności
)
x
(
F
s
s
s
)
x
(
F
opt
p
n
n
opt
1
(11)
Uwaga: jeśli popyt D jest zmienną losową typu ciągłego, wtedy warunek (11)
ma postać (praca domowa, oddaj na kartce, jeśli chcesz)
n
p
n
opt
s
s
s
)
x
(
F
(12)