D³ugoœæ
In October 1983, the
meter (m) was redefined as the distance traveled by light in
vacuum during a time of 1/299 792 458 second
Masa
The kilogram (kg), is defined as the mass of a specific
platinum–iridium alloy cylinder kept at the International
Bureau of Weights and Measures at Sevres, France
Wzorce d³ugoœci masy i czasu
T
he second (s), is defined as 9 192 631 770 times the period of vibration of radiation from
the cesium-133 atom
Czas
Dzia³ania na wektorach
Dodawanie (sk³adanie) wektorów
–
a
b
b
a
®
®
®
®
+
=
+ ,
– a
b
c
a
b
c
a
b
c
®
®
®
®
®
®
®
®
®
+
+
=
+
+
=
+
+
(
)
(
).
=
a
b
+
=
c
a
b
b
a
c
a
a
a
a
a
a
®
®
®
®
®
®
=
+
+
+
+
1
2
3
4
5
c
a
b
®
®
®
=
+
a
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
Odejmowanie wektorów
c
a
b
a
b
®
®
®
®
®
=
-
=
+ -
(
)
a
b
a
b
a
c
-
=
+
=
-
b
-
metoda
równoleg³oboku
b
a
a
a
b
b
a
b
c
c
a
b
= +
c
a b
=
-
|
|
(twierdzenie
Pitagorasa)
c
a
b
=
+
2
2
c
a
b
ab
2
2
2
2
180
=
+
-
°-
cos(
)
a
metoda trójk¹ta
metoda
równoleg³oboku
P
a
Q
Q
P
a
a
p
a
q
zadany wektor
zadane kierunki
dla rozk³adu
a
a
a
®
®
®
=
+
p
q
Rozk³ad wektora na wektory sk³adowe.
a
c
b
b
a
a
c
b
b
a
Rzut wektora
c
a
b
®
=
×
cos
$
a
Wersor
a
a a
®
=
$
| $|
$ ||
a
a a
=
Ù
®
1
a
a
a
c
=
r
c
dla
dla
r
r
>
<
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
0
0
Mno¿enie wektorów przez liczbê
c
r a
®
®
= ×
Wersor osi liczbowej OX :
i
®
, $x, $
e
x
, $
n
x
i
X
0
1
1
2
3
4
5
Rzut wektora na oœ liczbow¹
a
a
i
a
i
®
®
®
=
×
=
x
x
cos a
a
x
a
i
X
a
0
-1
1
2
3
4
5
Iloczyn skalarny wektorów
=
a
b
c
a b
a b
ab
®
®
® ®
Þ
×
=
||
a
b
a b
®
®
® ®
^
Þ
×
= 0
c
a b
a b
= ×
=
® ®
cos a
Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny wektorów jest dzia³aniem:
– przemiennym a b
b a
® ®
® ®
×
= × ,
– rozdzielnym wzglêdem dodawania wektorów a b
c
a b
a c
®
®
®
® ®
® ®
×
+
= × + ×
(
)
.
k¹t pomiêdzy a
®
i b
®
cos a =
×
® ®
a b
ab
,
w szczególnoœci rzut wektora a
®
na oœ OX:
a
a i i
®
® ® ®
=
×
x
(
) czyli a
a i
x
= ×
® ®
.
a a
a
® ®
×
=
2
,
dlatego a
a a
=
×
® ®
a
b
a
a
c
b
b
a
a
c
b
b
a
Rzut wektora a
®
na kierunek wektora b
®
c
a
b
a
a b
a b
b
a
a b
a
b
a b b
®
®
®
®
®
=
×
=
×
=
×
×
=
×
cos
$
$
| || $|
$
$
$ ( $) $
a
1
a
x
a
i
X
a
0
-1
1
2
3
4
5
Wektor w dwuwymiarowym kartezjañskim uk³adzie wspó³rzêdnych
Dodawanie wektorów
X
0
Y
a
c
b
a
x
b
x
a
y
b
y
c
y
c
x
}
}
}
}
X
0
Y
a
a
x
a
y
i
j
a
b
a
a
a
®
®
®
=
+
x
y
a
a
i
a
j
a i
a
j
®
®
®
®
®
=
+
=
+
cos
cos
a
b
x
y
a
a
a
=
+
x
2
y
2
c
a
b
®
®
®
=
+
c
a
b
c
a
b
x
x
x
y
y
y
=
+
=
+
Dzia³ania na sk³adowych wektora.
Dodawanie wektorów:
c
a
b
a
a
a
i
a
j
b
i
b
j
a
b
i
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
=
+
=
+
=
× +
× +
× +
×
=
+
x
y
x
y
x
y
x
x
(
) +
+
®
(
)
a
b
j
y
y
,
c
zyli
c
a
b
c
a
b
x
x
x
y
y
y
=
+
=
+
ì
í
î
.
Iloczyn wektora przez liczbê:
c
r a
r a
i
a
j
r a
i
r a
j
®
®
®
®
®
®
=
=
× +
×
=
+
(
)
x
y
x
y
i st¹d
c
r a
c
r a
x
x
y
y
=
=
ì
í
î
.
Iloczyn skalarny wektorów:
c
a b
a
i
a
j
b
i
b
j
a b i i
a b
= ×
=
× +
×
×
× +
×
=
× +
® ®
®
®
®
®
® ®
(
) (
)
x
y
x
y
x x
x y
i j
a b j i
a b
j j
a b
a b
® ®
® ®
® ®
× +
+
× +
×
=
+
y
x
y
y
x x
y
y
Wektor w trójwymiarowym kartezjañskim uk³adzie wspó³rzêdnych
X
Y
a
a
x
a
y
i a
b
Z
j
k
g
a
z
Iloczyn wektorowy wektorów
=
a
b
b
a
a
c
X
a
a
i
a
a
j
a
a
k
®
®
®
®
®
®
=
=
=
x
y
z
cos
cos
cos
a
b
g
a b
a
b
®
®
®
®
Þ
´
=
||
0
a
b
a
b
ab
®
®
®
®
^
Þ
´
=
|
|
a
a
i
a
j
a
k
a i a j
a k
®
®
®
®
®
®
®
=
+
+
=
+
+
cos
cos
cos
a
b
g
x
y
z
a
a
a
a
=
+
+
x
2
y
2
z
2
a
a
a
a
®
®
®
®
=
+
+
x
y
z
c
a
b
®
®
®
=
´ c
c
ab
=
=
®
| |
|sin |
a
c
a
b
a
i
a
j a
k
b
i
b
j b
k
a
®
®
®
®
®
®
®
®
®
=
´
=
× +
× +
×
´
× +
× +
×
=
(
) (
)
x
y
z
x
y
z
x
x
x
y
x z
y
x
y
y
b
i
i
a b
i
j
a b i
k a b
j
i
a b
j
j
®
®
®
®
®
®
®
®
®
®
´ +
´ +
+
´ +
´ +
´ + a b
j k a b k
i
a b
k
j a b k k
a b
a b
y
z
z
x
z
y
z
z
x
y
y
®
®
®
®
®
®
®
®
´ +
´ +
´ +
´
=
=
-
(
x
x z
z
x
y
z
z
y
)
(
)
(
)
k
a b
a b
j
a b
a b
i
®
®
®
+ -
+
+
-
a
b
b
a
®
®
®
®
´
= - ´ , a
b
c
a
b
a
c
®
®
®
®
®
®
®
´
+
=
´ +
´
(
)
.
Dzia³ania na wektorach w trójwymiarowym uk³adzie wspó³rzêdnych
c
a
b
®
®
®
=
± czyli
c
a
b
c
a
b
c
a
b
x
x
x
y
y
y
z
z
z
=
±
=
±
=
±
ì
í
ï
î
ï
, c
r a
®
®
=
czyli
c
r a
c
r a
c
r a
x
x
y
y
z
z
=
=
=
ì
í
ï
î
ï
,