Teoria sygnałów
ID II
semestr zimowy
30 h wykładu +30 h ćwiczeń rachunkowych
Henryka Danuta Stryczewska
INSTYTUT PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I
ELEKTROTECHNOLOGII
Teoria sygnałów
ID II
semestr zimowy
30 h wykładu +30 h ćwiczeń rachunkowych
Henryka Danuta Stryczewska
INSTYTUT PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I
ELEKTROTECHNOLOGII
2
Program wykładów
1.
Wprowadzenie. Literatura. Wiadomości organizacyjne.
Podstawowe pojęcia teorii sygnałów. Sygnały i systemy
analogowe i cyfrowe. Cele analizy sygnałów.
Przetwarzanie sygnałów. Przykłady sygnałów i systemów.
2.
Klasyfikacja sygnałów. Sygnał mocy i sygnał energii.
Przykłady. Transformacje sygnałów w dziedzinie czasu.
Sygnały okresowe
i prawie okresowe. Modulacja
amplitudy, fazy i częstotliwości sygnału.
3.
Parametry sygnałów deterministycznych - wartość średnia,
skuteczna. Sygnały zespolone. Rozkład sygnałów na
składowe. Przykłady wybranych sygnałów
deterministycznych. Podstawowe zagadnienia występujące
w cyfrowej obróbce sygnałów. Moc i energia sygnałów.
4.
Sygnały dystrybucyjne. Właściwości dystrybucji Diraca.
Inne sygnały dystrybucyjne.
3
5. Sygnały wykładniczy i harmoniczny. Ciągły sygnał
wykładniczy zespolony i jego przypadki. Wyższe
harmonicznych sygnału ciągłego. Dyskretny sygnał
wykładniczy zespolony i jego przypadki. Warunek
okresowości sygnału harmonicznego ciągłego i dyskretnego.
Porównanie sygnału harmonicznego ciągłego i dyskretnego.
6. Systemy czasu ciągłego i dyskretnego. Przykłady systemów.
Schemat blokowy. Połączenia systemów. Systemy ze
sprzężeniem zwrotnym- przykład. Podstawowe właściwości
systemów. Systemy liniowe stacjonarne LTI. Równania
różniczkowe i różnicowe opisujące układy LTI- przykłady
rozwiązań.
7. Analiza w dziedzinie czasu systemów LTI. Obliczanie
odpowiedzi systemu LTI ciągłego i dyskretnego na dowolny
sygnał na podstawie jego odpowiedzi czasowej na sygnał
impulsowy. Przykłady. Systemy o skończonej (FIR) i
nieskończonej (IIR) odpowiedzi impulsowej.
4
8. Badanie właściwości systemów LTI na podstawie ich
odpowiedzi impulsowej. Niewyprzedzalne systemy LTI
opisane równaniami różniczkowymi i różnicowymi o stałych
współczynnikach – konstruowanie schematów blokowych dla
systemów pierwszego rzędu.
9. Odpowiedź liniowego układu stacjonarnego na sygnał
zespolony - pojęcie funkcji własnej i wartości własnej
systemu LTI. Szereg Fouriera sygnałów ciągłych okresowych.
Warunki Dirichleta. Wzór Parsevala. Przykłady.
10. Szereg Fouriera sygnałów okresowych dyskretnych.
Wyznaczanie współczynników szeregu Fouriera sygnału
dyskretnego, przykłady. Właściwości dyskretnego szeregu
Fouriera. Wzór Parsevala dla sygnału okresowego
dyskretnego. Szeregi Fouriera a systemy LTI- odpowiedź
częstotliwościowa.
11. Filtracja sygnałów. Przykłady filtrów sygnałów ciągłych. Filtry
sygnałów dyskretnych opisywane równaniami różnicowymi.
Przykłady.
5
12. Przedstawienie sygnałów nieokresowych: dyskretna
transformata Fouriera. Problemy zbieżności dyskretnej
transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera
sygnałów periodycznych. Wybrane właściwości dyskretnego
przekształcenia Fouriera. Zależność Parsevala. Właściwości
splotu.
13. Własność
powielania. Zestawienie właściwości i
podstawowych transformat Fouriera. Dualizm: dyskretnego
szeregu Fouriera, między dyskretną transformatą Fouriera a
ciągłym szeregiem Fouriera.
14. Próbkowanie sygnałów. Próbkowanie sygnału ciągłego.
Twierdzenie o próbkowaniu. Częstotliwość Nyquista.
15. Rekonstrukcja sygnału na podstawie jego próbek. Wybrane
zagadnienia próbkowania sygnału dyskretnego.
6
Koncepcja sygnału
Pojęcie sygnału
wykorzystywane jest w wielu dziedzinach
nauki i technologii:
• telekomunikacja,
• astronomia,
• teoria i projektowanie obwodów,
• sejsmologia,
• inżynieria biomedyczna,
• generacja i przesył energii,
• sterowanie procesami chemicznymi,
• obróbka dźwięków,
• rozpoznawanie mowy,
• rekonstrukcja obrazów,
• nauki społeczne i ekonomiczne, ekonometria, bankowość
7
Zastosowania przetwarzania
sygnałów
badanie zachowania się systemów za pomocą
analizowania ich odpowiedzi na różne rodzaje
sygnałów wejściowych
projektowanie systemów do obróbki sygnałów –
należą tu: systemy do odzyskiwania sygnałów, które
zostały z jakiegoś powodu zakłócone, zaśmiecone,
rekonstruowanie obrazów, np. wnętrza zbiornika z
paliwem, czy odległej gwiazdy
8
projektowanie systemów do analizy sygnału
wejściowego,
z którego wyprowadza się
żądane
informacje.
Przykłady:
- rynek finansowy (analizując jego zachowania i trendy
w przeszłości można wyciągnąć informacje dotyczące
prawdopodobnych zachowań w przyszłości),
- elektrokardiogram (analizując zapis pracy serca
stawiamy diagnozę o jego stanie)
modyfikacja i sterowanie parametrami systemu, np. na
drodze odpowiedniego doboru sygnałów wejściowych
lub zastosowanie specjalnego systemu. Ważnym
zagadnieniem w tej klasie zastosowań jest pojęcie
sprzężenia zwrotnego.
9
Szeroką dziedziną zastosowań, w której pojęcie sygnału i
jego obróbki oraz związane z tym zagadnienia są niezwykle
istotne, jest
telekomunikacja.
Należą tu takie problemy jak:
•
konstruowanie
sygnałów o szczególnych
właściwościach, np. o częstotliwości zapewniającej
możliwość jego przesyłania na dalekie odległości,
•
filtrowanie sygnałów,
•
modulacja i demodulacja,
•
transmisja danych do wielu urządzeń jednym kanałem
transmisyjnym (tzw. multipleksowanie w dziedzinie
czasu i w dziedzinie częstotliwości oraz de-
multipleksowanie).
10
Przykładowy system przetwarzania sygnałów
11
Operacje na sygnałach
Główna cechą
sygnału
jest to, że niesie on informacje
o zachowaniu systemów i naturze zjawisk.
Obecnie wielokrotnie musimy dokonywać
przekształceń sygnałów z analogowych na dyskretne i
na odwrót. Proces przechodzenia z sygnału
analogowego na cyfrowy nazywamy
dyskretyzacją
i
odbywa się za pomocą tzw. próbkowania a proces
odwrotny
uciąglaniem
sygnału i do tego
wykorzystujemy
aproksymację
.
12
Najbardziej znany
przykład dyskretyzacji systemów ciągłych, to
numeryczne rozwiązywanie równań, w których wszystkie operacje
wykonywane są na sygnałach cyfrowych (np. operacje
różniczkowania zastępujemy różnicami skończonymi).
Współcześnie, ponieważ dysponujemy
wysokiej klasy systemami
cyfrowymi
(mikroprocesorami), wszelkie operacje dotyczące
obserwacji i sterowania systemami odbywają się w dziedzinie
dyskretnej.
Znacznie łatwiej prowadzić
obserwacje i sterowanie systemem w
dziedzinie dyskretnej niż ciągłej.
Proces uciąglania
prowadzimy w celu znalezienia bardziej ogólnych
prawidłowości rządzących systemami.
13
Sygnał może być funkcja wielu zmiennych
i zwykle jest, np. obraz
(nieruchomy - f. współrzędnych prostokątnych, ruchomy jw. + czas), ale
omawiać będziemy tylko
sygnały jednej zmiennej niezależnej
i będziemy
przez tę zmienną rozumieć czas: ciągły t, bądź dyskretny n.
Sygnał
możemy przedstawić w postaci
graficznej
oraz za pomocą funkcji
analitycznej
. Zawsze jeśli sygnał jest opisany analitycznie, można go
przedstawić w postaci graficznej.
Sygnał otrzymany graficznie, np. na ekranie oscyloskopu lub jako wynik
obliczeń numerycznych,
aproksymujemy
aby mieć jego analityczną
postać.
a)
b)
x(t)
0
t
x[n]
3
n
2
1
4
-1
0
-2
14
Podział sygnałów
Wśród sygnałów ciągłych wyróżniamy:
•
Ograniczone co do wartości,
to takie których wartości
liczbowe w całym zakresie zmiennej niezależnej n nie
przekraczają pewnej liczby
•
O skończonym czasie trwania,
do których zaliczymy
sygnały różne od zera w ograniczonym przedziale czasu
oraz równe zeru dla czasu spoza tego przedziału
•
O ograniczonym widmie
, to zbiór sygnałów, których
widmo X(jw) jest ograniczone pewną stałą W.
Widmo sygnału -
transformata Fouriera sygnału x[n]
15
Sygnał dyskretny może mieć skończona lub nieskończoną
długość. Sygnał dyskretny o skończonej długości zawiera się w
przedziale od N
1
do N
2
, przy czym N
2
>N
1
. Czas trwania sygnału
wyznaczamy jako: N=N
2
-N
1
+1.
Sygnały dyskretne dzielimy na:
• Sygnały kwantowane w pionie
• Sygnały kwantowane w poziomie
• Sygnały cyfrowe
x(t)
t
0
t
0
t
0
t
Sygnał kwantowany w pionie
Sygnał kwantowany w poziomie
Sygnał cyfrowy
16
Dyskretyzacja sygnału
17
Energia sygnału
∑
∑
∫
∫
∞
+
−∞
=
+
−
=
∞
→
∞
∞
∞
−
−
∞
→
∞
=
=
=
=
n
N
N
n
N
def
T
T
T
def
]
n
[
x
]
n
[
x
lim
E
dt
)
t
(
x
dt
)
t
(
x
lim
E
2
2
2
2
18
Moc sygnału
∑
∫
+
−
=
∞
→
∞
−
∞
→
∞
+
=
=
N
N
n
N
def
T
T
T
def
]
n
[
x
N
lim
P
dt
)
t
(
x
T
lim
P
2
2
1
2
1
2
1
19
Moc sygnału okresowego
dt
)
t
(
x
T
P
,
]
n
[
x
N
P
T
T
N
n
N
∫
∑
=
=
−
=
0
2
1
0
2
1
1
20
Sygnał mocy i energii
•
Sygnały o skończonej energii
, E<∞. Takie sygnały muszą mieć
zerową moc średnią -
sygnał energii.
Przykładem sygnału o
skończonej energii i zerowej mocy jest sygnał bramki.
•
Sygnały o skończonej mocy średniej i nieskończonej energii.
Jeśli
sygnał niesie niezerową moc średnią, to w nieskończonym przedziale
czasu uzyskamy nieskończoną ilość energii. Przykładem takiego
sygnału jest każdy sygnał stały oraz sygnały okresowe -
sygnał
mocy,
np. sygnał stały x[n]=4, którego moc średnia wynosi 16, zaś
energia jest nieskończenie duża.
•
Sygnały, których moc i energia mają w nieskończonym przedziale
czasu nieskończoną wartość.
21
Zależności przydatne przy wyznaczaniu parametrów
sygnałów dyskretnych
• suma skończonego szeregu sygnału wykładniczego,
a
- liczba zespolona
∑
−
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠
α
α
α
=
α
=
α
1
0
1
1
N
n
n
N
-
1
-
1
dla
N
(
)
∑
∑
=
+
=
α
α
=
α
+
N
k
N
k
k
k
d
d
k
0
1
0
1
• suma nieskończonego szeregu sygnału wykładniczego
1
<
α
(
)
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
α
−
α
=
α
α
−
α
=
α
α
−
=
α
k
n
k
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
0
2
0
22
Parametry sygnałów deterministycznych
Średnia bieżąca
Wartość średnia
sygnału okresowego
Wartość średnia
całego sygnału
Wartość średnia w
przedziale czasu
Sygnał dyskretny x[n]
Sygnał ciągły x(t)
Parametr
( )
∫
−
=
2
1
1
2
1
t
t
dt
t
x
t
t
x
( )
∫
τ
+
τ
−
∞
→
τ
τ
=
dt
t
x
x
2
1
lim
( )
okres
,
−
=
∫
+
T
dt
t
x
T
x
T
t
t
T
o
o
1
( )
,
∫
+
−
τ
τ
=
T
t
T
t
t
d
x
T
x
2
1
∑
=
+
−
=
2
1
1
1
1
2
n
n
n
n
x
n
n
x
]
[
∑
−
=
∞
→
+
=
N
N
n
N
N
n
x
N
x
]
[
lim
1
2
1
∑
+
−
=
+
=
N
n
N
n
k
n
k
x
N
x
]
[
1
2
1
(
)
okres
,]
[
−
=
∑
−
+
=
N
n
x
N
x
N
n
n
n
o
o
1
1
23
Parametry sygnałów deterministycznych
Wariancja sygnału
Wartość skuteczna
sygnału okresowego
Wartość skuteczna
całego sygnału
(wartość średniokwadratowa)
Wartość skuteczna
w przedziale czasu
Sygnał dyskretny x[n]
Sygnał ciągły x(t)
Parametr
( )
∫
−
=
2
1
2
1
2
1
t
t
dt
t
x
t
t
X
( )
∫
τ
+
τ
−
∞
→
τ
τ
=
dt
t
x
x
2
2
2
1
lim
( )
[
]
∫
τ
τ
−
∞
→
τ
τ
−
τ
τ
=
σ
d
x
x
x
2
2
1
lim
∑
=
+
−
=
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
x
n
n
x
]
[
∑
−
=
∞
→
+
=
N
N
n
N
n
x
N
x
]
[
lim
2
2
1
2
1
[
]
∑
−
=
∞
→
−
+
=
σ
N
N
n
N
x
x
n
x
N
2
1
2
1
]
[
lim
(
)
∑
−
+
=
=
1
2
1
N
n
n
n
o
o
n
x
N
X
]
[
( )
∫
+
=
T
t
t
o
o
dt
t
x
T
X
2
1
24
Transformacje sygnału w dziedzinie
zmiennej niezależnej
•
Przesunięcie w czasie
, zwane przesunięciem fazowym –
sygnały opóźnione i
wyprzedzające (y[n]=x[n-n
o
] – w
zależności od znaku n
o
system wprowadza opóźnienie -n
o
>0
lub przyspieszenie n
o
<0)
•
Odwrócenie sygnału
w dziedzinie czasu (odbicie względem
początku układu współrzędnych) y[n]=x[-n]
•
Skalowanie sygnału w dziedzinie czasu
(x[2n] – sygnał
skompresowany, x[n/2] – sygnał rozciągnięty
W ogólnym przypadku transformacji sygnału obejmującym trzy
powyższe operacje zapiszemy: x[an+b], gdzie dla |a|>1 otrzymamy
sygnał liniowo skompresowany (ściśnięty), dla 0<|a|<1 sygnał liniowo
rozciągnięty w czasie, dla a<0 uzyskamy odwrócenie sygnału w czasie;
wartość i znak b decydują o przesunięciu fazowym sygnału.
25
Przykłady transformacji sygnałów
26
Sygnał parzysty i nieparzysty
27
Przykłady sygnałów deterministycznych
analogowych i ich równania
• Sygnały impulsowe o ograniczonej energii
28
• Sygnały o nieskończonym czasie trwania
i o ograniczonej energii
29
• Sygnały o ograniczonej mocy średniej
- nieokresowe
30
• Sygnały o ograniczonej mocy średniej
okresowe
31
32
• Sygnały zmodulowane
k
a,
k
f
,k
φ
,
- głębokość modulacji,
ω
o
- częstotliwość nośna,
33
Sygnały okresowe i prawie okresowe
x(t)=sin(2
π5t)
x(t)=sin(2
π5t)+sin(2π10t)
x(t)=sin(2
π5t)+0,2sin(2π25t)
x(t)=sin(2
π5t)+sin(2π(π)t)
34
Sygnały zmodulowane
x(t)=exp[-20(t-0,5)
2
] sin(2
π10t)
x(t)=exp(-5t) sin(2
π10t)
x(t)=sin[2
π(10t
2
)]
x(t)=sin[2
π(10t+(10/2π2)sin2π2t)]
35
Sygnały dystrybucyjne
• Impuls Diraca (delta Kronekera)
• Ciągi aproksymujące dystrybucję Diraca
• Związek impulsu Diraca z sygnałem skoku jednostkowego
( )
( )
1
0
=
δ
⎩
⎨
⎧
=
∞
≠
=
δ
∫
+∞
∞
−
dt
t
t
,
0
t
dla
0
t
dla
( )
( )
( )
2
2
1
0
τ
π
−
→
τ
τ
=
τ
δ
τ
δ
=
δ
t
e
t
t
t
,
,
lim
36
Właściwości dystrybucji Diraca
•
Mnożenie przez stałą
•
Zmiana skali
( )
∫
+∞
∞
−
=
δ
a
dt
t
a
( )
( )
( )
t
a
at
t
T
T
t
δ
=
δ
δ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ
1
,
•
Parzystość dystrybucji
( ) ( )
t
t
−
δ
=
δ
•
Właściwość próbkowania dystrybucji
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
) ( ) ( )
t
t
x
t
t
t
x
t
x
t
t
x
δ
=
−
δ
δ
=
δ
0
0
0
37
•
Właściwość powtarzania
( ) (
)
(
) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) (
) (
)
0
0
t
t
x
t
t
t
x
t
x
t
t
x
t
x
d
t
x
d
t
x
−
=
−
δ
⊗
=
δ
⊗
=
τ
τ
δ
τ
−
=
τ
τ
−
δ
τ
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
•
Właściwość filtracji
( ) ( )
( )
( ) (
)
( )
0
0
0
t
x
dt
t
t
t
x
x
dt
t
t
x
=
−
δ
=
δ
∫
∫
∞
+
∞
−
+∞
∞
−
38
Pochodna dystrybucji Diraca
( )
( )
( )
( ) (
)
( )
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
′
−
=
−
δ′
=
δ′
τ
δ′
=
τ
δ′
0
0
0
t
x
dt
t
t
t
x
t
t
dt
d
t
,
,
39
Parzysta i nieparzysta para dystrybucji
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
δ
=
2
1
2
1
2
1
t
t
t
II
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
δ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
δ
=
2
1
2
1
2
1
t
t
t
II
1/2
-1/2
1/2
(t)
1/2
-1/2
1/2
(t)
40
Dystrybucja grzebieniowa (funkcją sza)
0
1
-1
2
-2
3
-3
t
(t)
(t/T)
(1/T)
T
0
( )
( )
( )
(
)
∑
∑
∞
+
−∞
=
+∞
−∞
=
−
δ
=
δ
=
k
T
k
kT
t
t
III
t
t
III
41
Właściwości dystrybucji grzebieniowej
•
Właściwość próbkowania
( ) ( )
(
)
( ) (
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(
)
∑
∑
∞
+
−∞
=
+∞
−∞
=
−
δ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
δ
+
δ
+
+
δ
−
+
+
δ
−
=
−
δ
=
n
n
nT
t
nT
x
T
t
III
T
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
n
t
n
x
t
III
t
x
)
(
)
(
1
1
1
0
1
1
2
2
K
K
•
Właściwość powielania okresowego
( )
( )
(
) (
)
( ) ( )
( )
∑
∑
∞
+
−∞
=
+∞
−∞
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⊗
+
+
+
+
+
+
+
+
−
=
−
=
⊗
n
n
nT
t
x
T
t
III
T
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
n
t
x
t
III
t
x
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
3
K
K
K
42
Dyskretny sygnał impulsowy (próbka)
43
Właściwości dyskretnego impulsu
•
Właściwość powtarzania
[ ]
[ ] [
] [ ] [ ] [ ]
n
x
n
n
x
k
n
k
x
n
x
k
=
⊗
=
−
=
∑
+∞
−∞
=
δ
δ
•
Właściwość przemienności
[ ]
[ ] [
]
[
] [ ]
∑
∑
+∞
−∞
=
+∞
−∞
=
−
=
−
=
k
k
n
k
n
x
k
n
k
x
n
x
δ
δ
44
•
Właściwość filtracji
[ ] [ ] [ ]
[ ] [
] [ ]
0
0
0
n
x
n
n
k
x
x
k
k
x
k
k
=
−
=
∑
∑
∞
+
−∞
=
+∞
−∞
=
δ
δ
•
Właściwość parzystości
[ ] [ ]
n
n
δ
δ
=
−
•
Zmiana skali
[ ]
[ ]
n
n
δ
α
α
δ
1
=
45
Sygnał wykładniczy ciągły i dyskretny
α > 1
0<
α <1
-1<
α < 0
α < -1
46
Sygnał sinusoidalny
N= 12
N= 31
nieokresowy
x [n] = e
j
ωn
Warunek okresowości
47
Sygnały dyskretne okresowe różnej częstotliwości
48
Sygnały wykładniczy zespolony rosnący i
malejące
49
Porównanie sygnału ciągłego i dyskretnego
x [n] = e
j
ωn
x (t)] = e
j
ωt
Nieskończenie wiele sygnałów
harmonicznych o tym samym
okresie (pulsacji) podstawowym
Skończona liczba harmonicznych
równa okresowi N
Te same sygnały dla częstotliwości
różniących się o 2
π
Różne sygnały dla różnych k
ω
o
Okresowy tylko dla
ω
o
=2
πm/N
Okresowy dla każdej wartości
ω
o
Największą częstotliwość oscylacji ma sygnał dyskretny okresowy dla
ω
o
= ±
π i jego nieparzystych wielokrotności, zaś dla ω
o
=0 bądź 2
πk sygnał,
otrzymujemy sygnał stały.
50
Aproksymacja sygnału bramki za pomocą szeregu
sygnałów harmonicznych
Sygnał analogowy
(efekt Gibbsa)
Sygnał dyskretny
51
Podstawowe właściwości systemów
Liniowość systemu
(zasada addytywności +homogeniczności =zasada superpozycji)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
n
y
n
y
n
y
n
x
n
x
n
x
2
1
2
1
β
α
β
α
+
=
+
=
Stacjonarność systemu
[ ]
[
]
[ ]
[
]
0
1
0
1
n
n
y
n
y
n
n
x
n
x
−
=
−
=
52
Przyczynowość systemów i sygnałów
Jeżeli
y
1
[n]
i
y
2
[n]
są odpowiedziami systemu na sygnały wejściowe
odpowiednio
x
1
[n]
i
x
2
[n]
, a ponadto sygnały te dla
n<N
, są sobie równe to:
System jest przyczynowy jeżeli odpowiedź jego zależy tylko od
wartości sygnałów wejściowych i wyjściowych w przeszłości i w badanej
chwili.
Systemy
nieprzyczynowe
, zwane
wyprzedzającymi
, to takie, w
których wartość sygnału wyjściowego w badanej chwili zależy także od
przyszłych wartości sygnału na wejściu. Przykładami takich systemów są:
· systemy, w których zmienną niezależną nie jest czas (np. systemy
cyfrowego przetwarzanie obrazów),
· systemy w których uśredniamy dane zebrane w pewnym okresie czasu
(ceny akcji na giełdzie, dane demograficzne, sygnały meteorologiczne), i w
których interesuje nas określenie wolnozmiennych trendów w danych,
zawierających także szybkozmienne (często przypadkowe) fluktuacje.
x
1
[n] = x
2
[n] dla
n
<N
y
1
[n] = y
2
[n] dla
n
<N
53
Filtr średniej ruchomej rzędu M
(
jako przykład systemu wyprzedzającego)
System, w którym uśredniamy dane zebrane w pewnym
przedziale czasu, aby usunąć przypadkowe (nietypowe dla
danego zjawiska) zakłócenia, nazywamy filtrem średniej
ruchomej rzędu M (gdzie rząd filtru oznacza uśrednianie na
liczbie próbek równej M). Jest to system
nieprzyczynowy
.
[ ]
[
]
∑
+
−
=
−
+
=
M
M
k
k
n
x
M
n
y
1
2
1
54
Odwracalność systemów
System jest odwracalny, jeżeli jest możliwe znalezienie takiego
systemu, który włączony z nim kaskadowo da na wyjściu sygnał
wejściowy.
55
Pamięć systemu
System jest z pamięcią, jeżeli potrafi gromadzić wartości sygnału
wejściowego i wyjściowego z przeszłości.
Konsekwencja tej właściwości jest to, że w systemach bez
pamięci wartość sygnału wyjściowego w chwili n zależy tylko od
wartości sygnału wejściowego w tej samej chwili.
Systemy bez pamięci opisane są równaniami algebraicznymi, zaś
systemy z pamięcią równaniami różnicowymi.
Przykładami systemów dyskretnych z pamięcią są sumator
(akumulator) i filtr średniej ruchomej.
56
Stabilność systemów
|x[n]|<B
x
dla każdego n,
|y[n]|<B
y
dla każdego n,
gdzie: B
x
i B
y
są dowolnymi skończonymi stałymi.
W literaturze anglojęzycznej określamy , że układ jest stabilny
w sensie BIBO (Bounded Input Bounded Output)
57
Analiza systemów liniowych, stacjonarnych
w dziedzinie czasu
• relacja między sygnałem wejściowym i wyjściowym
• charakterystyki czasowe
• równania różnicowe
δ
[n]
h
[n]
s
[n]
u
[n]
Odpowiedzią systemu cyfrowego
na sygnał w postaci impulsu
Diraca
δ
[n], nazywamy
odpowiedzią impulsową
i oznaczamy
h
[n]
, zaś odpowiedź systemu na sygnał skoku jednostkowego
u
[n]
, oznaczamy przez
s
[n]
i nazywamy
odpowiedzią skokową
(na skok jednostkowy).
58
Wyznaczanie odpowiedzi systemu dyskretnego
h[n]
x
[n]
y
[n]
Odpowiedź
y[n]
systemu liniowego stacjonarnego na dowolny
sygnał
x[n]
, wyznaczamy znając odpowiedź impulsową
h[n]
tego systemu, z zależności:
[ ]
[ ] [
]
∑
+∞
−∞
=
−
=
k
k
n
x
k
h
n
y
[ ] [ ] [ ]
n
x
n
h
n
y
⊗
=
splot
59
60
61
62
Połączenia systemów
Kaskadowe, szeregowe
h
1
[n]
h
2
[n]
Ze sprzężeniem zwrotnym
Równoległe
h
1
[n]
h
2
[n]
+
+
h
1
[n]
63
• Odpowiedź impulsowa szeregowo połączonych systemów
liniowych
stacjonarnych o odpowiedziach impulsowych
równych odpowiednio h
1
[n] i h
2
[n] jest równa splotowi
odpowiedzi impulsowych:
[ ] [ ]
[ ]
n
h
n
h
n
h
2
1
⊗
=
• Odpowiedź impulsowa równolegle połączonych systemów
liniowych
stacjonarnych o odpowiedziach impulsowych
równych odpowiednio h
1
[n] i h
2
[n] jest równa sumie
odpowiedzi impulsowych:
[ ] [ ] [ ]
n
h
n
h
n
h
2
1
+
=
64
• Liniowy system stacjonarny jest stabilny jeżeli
jego odpowiedź impulsowa jest absolutnie sumowana
(ma skończoną sumę):
• Liniowy system stacjonarny jest przyczynowy,
(niewyprzedzający) jeżeli jego odpowiedź impulsowa
spełnia warunek:
h[k] = 0
dla k<0
[ ]
∞
<
∑
+∞
−∞
=
n
n
h
65
Równania różniczkowe i różnicowe
W dziedzinie czasu relacja między sygnałem wejściowym i
wyjściowym dla systemu LTI jest opisana liniowym równaniem
różniczkowym (dla układu analogowego ) bądź różnicowym
(układ dyskretny) N-tego rzędu o stałych współczynnikach,
postaci:
LTI
x[n]
y[n]
( )
( )
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
−
=
−
=
M
k
k
N
k
k
k
k
M
k
k
N
k
k
k
k
k
n
x
b
k
n
y
a
dt
t
x
d
b
dt
t
y
d
a
0
0
0
0
]
[
]
[
(1)
66
Rozwiązanie równania różniczkowego (różnicowego) składa się z rozwiązania
równania jednorodnego (rozwiązanie ogólne- odpowiedź swobodna) oraz
rozwiązania szczególnego (odpowiedź wymuszona):
( )
0
0
0
0
∑
∑
=
=
=
−
=
N
k
k
N
k
k
k
k
k
n
y
a
dt
t
y
d
a
]
[
(2)
Rozwiązanie wymaga podania dodatkowych warunków początkowych. Jeśli
system jest liniowy, stacjonarny i przyczynowy to możemy zapisać:
( )
[ ]
[ ]
0
0
0
0
0
0
0
0
n
n
n
y
n
n
n
x
t
t
t
y
t
t
t
x
≤
=
⇒
≤
=
≤
=
⇒
≤
=
dla
dla
dla
dla
)
(
67
Dla układów liniowych stacjonarnych i przyczynowych odpowiedź systemu
y(t)/y[n] dla czasu t>t
0
(n>n
0
) można zatem wyznaczyć z równań (1) dla
następujących warunków początkowych:
( )
( )
( )
[ ] [
]
[
]
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
−
−
N
n
y
n
y
n
y
dt
t
dy
dt
t
dy
t
y
N
N
K
K
Równania (1) można zapisać w postaci:
( )
( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
N
k
k
M
k
k
N
k
k
k
k
k
k
M
k
k
k
n
y
a
k
n
x
b
a
n
y
dt
t
y
d
a
dt
t
x
d
b
a
t
y
1
0
0
1
0
0
1
1
]
[
]
[
]
[
,
które dla przypadku równania różnicowego nazywamy równaniem
rekurencyjnym
- wartości sygnału wyjściowego w czasie n zależą od wartości
wejścia i wyjścia w tym czasie i w chwilach wcześniejszych.
68
Dla
N=0, równania upraszczają się do postaci:
( )
( )
[ ]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
=
−
=
=
∑
∑
=
=
0
0
0
0 0
0 0
M
n
a
b
n
h
k
n
x
a
b
n
y
dt
t
x
d
a
b
t
y
n
M
k
k
k
k
M
k
k
dla
]
[
]
[
równanie różnicowe dla N=0
nazywamy równaniem
nierekurencyjnym
- dla wyznaczenia
wartości sygnału wyjściowego w
czasie n wystarczy znajomość wartości
sygnału wejściowego w czasie n i w
chwilach wcześniejszych.
Systemy opisane równaniem
rekurencyjnym mają odpowiedź
impulsową nieskończoną -
systemy
NOI,
zaś systemy opisane równaniem
nierekurencyjnym
- systemy SOI
mają
skończoną odpowiedź impulsową.
Gdy N
≥1, równanie jest nierekurencyjne i wymaga do rozwiązania warunków
początkowych, których liczba określona jest rzędem równania.
69
Elementy schematów blokowych
Element opóźniający
Element całkujący i różniczkujący
∫x(t)dt
z
-1
x[n]
x[n-1]
x(t)
∫
D
x(t)
dx(t)/dt
Element mnożący
a
x[n]
a x[n]
x(t)
a x(t)
70
Schemat blokowy równania różnicowego
]
[
]
[
]
[
n
bx
n
ay
n
y
=
−
+
1
z
-1
+
x[n]
y[n-1]
-a
y[n-1]
b
-a
bx[n]
y[n]
71
Schemat blokowy równania różniczkowego
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
[
]
τ
τ
−
τ
+
=
=
+
∫
t
t
ay
bx
t
y
t
y
t
bx
t
ay
t
t
y
0
0
d
d
d
x[t]
+
-ay(t)
b
-a
bx[t]
∫
y(t)
72
Przykład:
Wyznaczyć odpowiedź układu liniowego stacjonarnego
opisanego równaniem różniczkowym I rzędu:
na sygnały: skoku jednostkowego, impulsowy, wykładniczy
przy założeniu, że dla
t<0, y(0)=0
( )
( ) ( )
t
x
t
y
dt
t
dy
=
+
2
73
74
Przykład:
Wyznaczyć odpowiedź układu liniowego stacjonarnego opisanego
równaniem różnicowym I rzędu
na sygnał impulsowy:
którym
y[-1]=0
]
[
]
[
]
[
n
x
n
y
n
y
=
−
−
1
2
1
,
]
[
]
[
n
K
n
x
δ
=
75
Rozwiązanie równania ma postać:
K
n
y
n
x
n
y
K
y
x
y
K
y
x
y
K
y
x
y
n
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
=
=
−
+
=
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
0
2
1
1
1
1
2
1
0
0
2
1
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
M
a odpowiedź impulsowa:
]
[
]
[
n
u
n
h
n
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
1
76
Przekształcenia całkowe: Laplace'a , transformacja Z,
przekształcenie Fouriera
Metody analizy sygnałów polegające na zastąpieniu równań
różniczkowych (różnicowych) opisujących relacje wejście -
wyjście równaniami algebraicznymi wykorzystują
przekształcenia: Laplace'a jednostronne i dwustronne (sygnały
analogowe), Laurenta , Fouriera i inne.
W równaniach różniczkowych i różnicowych występują
sygnały jako funkcje argumentu rzeczywistego t(n). Takie
funkcje czasu nazywamy
oryginałem
lub
funkcją oryginalną.
Ich odpowiednik w dziedzinie zmiennej zespoonej
77
Każdej funkcji rzeczywistej czasu f(t) można przyporządkować
funkcję zmiennej zespolonej s=
σ
+j
ω,
którą nazywamy
parametrem zespolonym
.
Funkcję tę nazywamy transformatą funkcji czasu lub
obrazem
funkcji czasu w zbiorze liczb zespolonych, oznaczamy przez
F(s)
i wyznaczamy z zależności:
ds
e
s
F
j
t
f
dt
e
t
f
s
st
j
c
j
c
st
∫
∫
∞
+
∞
−
∞
∞
−
−
π
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
F
przekształcenie proste
przekształcenie odwrotne
w którym c - liczba rzeczywista dodatnia nie mniejsza od odciętej zbieżności
transformaty, c
≥
σ
78
Przekształcenie Laplace'a proste i odwrotne oznaczamy
jako:
[
]
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
s
F
L
t
f
t
f
L
s
1
F
−
=
=
Zestawienie oryginałów i transformat Laplace'a
wybranych funkcji spotykanych w teorii sygnałów i
systemów przedstawiono w tablicy
79
1
( )
t
δ
)
(t
Au
s
A
a
s
±
1
at
e
m
t
ω
sin
2
2
ω
+
ω
s
2
2
ω
+
s
s
t
ω
cos
2
1
s
t
(
)
2
1
a
s
+
at
te
−
80
Podstawowe wzory i twierdzenia
Twierdzenie 1: (o liniowości):
{
}
{
}
{ }
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
bG
s
aF
t
g
bL
t
f
aL
t
bg
t
af
L
+
=
+
=
+
Twierdzenie 2: (o podobieństwie, zmianie skali):
{
}
0
1
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
a
s
F
a
at
f
L
,
)
(
Twierdzenie 3: (o przesunięciu zespolonym):
{
}
(
)
stala
dowolna
,
)
(
−
−
=
k
k
s
F
t
f
e
L
kt
81
Twierdzenie 4 :(o opóźnieniu-przesunięciu rzeczywistym):
{
}
)
(
)
(
s
F
e
h
t
f
L
sh
−
=
−
Twierdzenie 5 :(graniczne): Jeżeli F(s)=L{f(t)} oraz
a) jeżeli istnieje granica prawostronna:
to:
b) jeśli wszystkie bieguny funkcji F(s)
znajdują się w obszarze
Ω,
dla dowolnie małego
ε>0, to:
)
(
lim
)
(
t
f
f
t
0
0
0
→
<
+
=
)
(
lim
)
(
s
sF
f
s
∞
→
+
=
0
)
(
lim
)
(
lim
)
(
s
sF
t
f
f
s
t
0
→
∞
→
=
=
∞
! Uwaga, jeśli bieguny funkcji F(s) leżą na osi urojonej (
ε=0), to twierdzenie
nie obowiązuje - istnienie granicy F(s) nie zawsze oznacza istnienie granicy f(t)
82
Twierdzenie 6 (o transformacie funkcji okresowej): jeżeli f(t) jest funkcja
okresową o okresie T, to:
gdzie: F
T
(s) jest transformatą funkcji f(t) za okres.
{
}
( )
( )
dt
t
f
s
F
s
F
t
f
L
st
T
T
sT
T
−
−
∫
=
−
=
e
)
(
e
)
(
0
1
Twierdzenie 7 (o transformacie pochodnej):
{
}
( )
( )
+
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0
0
f
s
sF
s
f
s
F
s
t
f
L
)
(
)
(
)
(
'
{
}
( ) ( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
+
−
+
+
n
n
n
n
s
f
s
f
s
f
s
F
s
t
f
L
0
0
0
1
2
)
(
)
(
'
)
(
)
(
83
Twierdzenie 8 (o transformacie całki):
s
s
F
d
f
L
t
)
(
)
(
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
τ
τ
∫
0
Twierdzenie 9 (o transformacie splotu funkcji - twierdzenie
Borela):
{
}
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
G
s
F
d
t
g
t
f
L
t
g
t
f
L
t
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
τ
τ
−
=
⊗
∫
0
Twierdzenie 10 (o transformacie pochodnej splotu - całki
Duhamela):
( ) ( )
s
G
s
sF
t
g
t
f
t
L
t
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
τ
τ
−
∫
d
)
(
)
(
d
d
0
84
Region zbieżności transformaty Laplace'a
Właściwość 1:
Obszar zbieżności transformaty X(s) składa się z pasm równoległych do osi
urojonych (j
ω
).
Właściwość 2:
Wymierna transformata Laplace'a nie zawiera biegunów w obszarze
zbieżności.
Właściwość 3:
Jeśli x(t) jest funkcją o skończonym czasie i jest bezwzględnie całkowalna, to
obszarem zbieżności jest cała płaszczyzna zmiennej zespolonej s.
Właściwość 4:
Jeśli funkcja x(t) jest prawostronna i jeśli prosta Re{s}=
σ
0
znajduje się w
obszarze zbieżności, to wszystkie wartości s, dla których Re{s}>
σ
0
także
znajdują się w obszarze zbieżności.
Właściwość 5:
Jeśli funkcja x(t) jest lewostronna i jeśli prosta Re{s}=
σ
0
znajduje się w
obszarze zbieżności, to wszystkie wartości s, dla których Re{s}<
σ
0
będą także
w obszarze zbieżności.
85
Właściwość 6:
Jeśli funkcja x(t) jest obustronna i jeśli prosta Re{s}=
σ
0
znajduje się w obszarze
zbieżności, to obszar zbieżności jest pasmem na płaszczyźnie zmiennej
zespolonej.
Właściwość 7:
Jeśli transformata X(s) funkcji x(t) jest wymierna, wtedy jej obszar zbieżności
jest ograniczony biegunami, bądź rozciąga się do nieskończoności i żadne
bieguny nie znajdują się w jego obszarze.
Właściwość 8:
Jeśli transformata X(s) funkcji x(t) jest wymierna, i jeśli jest prawostronna , to
jej obszar zbieżności jest ograniczony biegunem leżącym najbardziej na prawo,
zaś jeśli jest lewostronna , to jej obszar zbieżności jest ograniczony biegunem
leżącym najbardziej na lewo.
przykłady
86
Wyznaczenia oryginału transformaty
odwrotna transformata Laplace'a
W celu wyznaczenia oryginału transformaty wykorzystuje się:
•
tablice oryginałów i transformat
•
metodę residuów bazująca na twierdzeniu Heaviside'a
Stosowanie tablic oryginałów i transformat jest najprostszą
metodą i zawsze, gdy to możliwe, tak wyznaczamy oryginał x(t)
.
87
Metoda residuów bazuje na możliwości przedstawienia
transformaty w postaci ilorazu wielomianów funkcji wymiernych
zmiennej zespolonej s,
przy czym zakładamy, że:
- ułamek L(s)/M(s) jest nieskracalny,
- stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.
0
1
1
1
0
1
1
1
b
s
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
a
s
N
s
L
s
F
n
n
n
n
l
l
l
l
+
+
+
+
+
+
=
=
−
−
−
−
K
K
)
(
)
(
)
(
88
Twierdzenie
Heaviside'a
mówi,
że funkcję
operatorową X(s) posiadająca bieguny jednokrotne
można rozłożyć na ułamki proste:
gdzie: n - jest stopniem wielomianu M(s) i oznacza
liczbę biegunów funkcji X(s)
n
n
k
k
n
i
i
i
s
s
A
s
s
A
s
s
A
s
s
A
s
M
s
L
s
X
−
+
−
+
+
−
=
−
=
=
∑
=
K
K
1
1
1
)
(
)
(
)
(
89
Współczynniki od A
1
do A
n
wyznaczamy ze wzoru na residuum
funkcji X(s), według:
(
)
[
]
(
)
∏
≠
=
→
=
−
=
=
−
=
=
n
k
i
i
k
k
k
k
k
s
s
k
s
s
s
M
s
M
s
L
s
X
s
s
s
X
A
k
1
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
lim
)
(
res
k
s
s
t
s
k
k
s
s
L
e
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
1
1
Ponieważ, transformata odwrotna:
więc oryginał funkcji operatorowej wyrazimy:
t
s
n
k
k
k
k
s
M
s
L
t
x
e
)
(
'
)
(
)
(
∑
=
=
1
Podstawowy wzór
Heaviside'a
90
Jeśli jeden z biegunów funkcji operatorowej
X(s) jest biegunem
zerowym s
0
=0, wtedy funkcje operatorową przedstawiamy w
postaci:
a oryginał liczymy z zależności:
1
−
=
=
n
m
s
sN
s
L
s
X
,
)
(
)
(
)
(
(
)
∏
∑
≠
=
=
−
=
+
=
m
k
i
i
k
k
t
s
m
k
k
k
k
s
s
s
N
s
N
s
s
L
N
L
t
x
k
1
1
0
0
)
(
'
e
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
91
Przekształcenie
Z
Ciągowi liczb f[n] można przyporządkować funkcję zmiennej zespolonej
z, według:
[ ]
[ ]
{
}
)
(
)
(
z
F
Z
n
f
z
n
f
z
F
n
n
1
−
∞
−∞
=
−
=
=
∑
Transformata dyskretna
Oryginał dyskretny
Obszar zbieżności szeregu znajduje się na płaszczyźnie zmiennej zespolonej
na zewnątrz lub wewnątrz okręgu jednostkowego.
Zestawienie oryginałów i transformat Laurenta wybranych funkcji
spotykanych w teorii sygnałów i systemów przedstawiono w tablicy
92
[ ]
n
δ
1
[ ]
n
u
1
−
z
z
a
z
z
−
n
a
1
2
2
+
ω
−
ω
T
z
z
T
z
cos
sin
T
n
ω
sin
1
2
2
2
+
ω
−
ω
−
T
z
z
T
z
z
cos
cos
T
n
ω
cos
2
1)
(
−
z
z
n
(
)
2
a
z
z
−
1
−
n
na
93
Podstawowe własności przekształcenia
Z
Twierdzenie 1 (o liniowości):
{
}
{ }
{ }
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
bG
z
aF
t
g
bZ
t
f
aZ
t
bg
t
af
Z
+
=
+
=
+
Twierdzenie 2 (o ciągu przesuniętym):
[
]
{
}
( )
[
]
{
}
( )
[ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
+
=
−
∑
−
=
−
−
1
0
k
m
m
k
k
z
m
f
z
F
z
k
n
f
Z
z
F
z
k
n
f
Z
94
Twierdzenie 3 (o transformacie ciągu sum):
[ ]
( )
z
F
z
z
k
f
Z
n
k
1
0
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∑
=
Twierdzenie 4 (o różniczkowaniu transformaty):
[ ]
{
}
( )
z
z
F
z
n
nf
Z
d
d
−
=
Twierdzenie 5 (o zamianie zmiennej z na az):
[ ]
{
}
( )
az
F
n
f
a
Z
n
=
−
95
Twierdzenie 6a (graniczne):
( )
[ ]
0
f
z
F
z
=
∞
→
lim
Twierdzenie 6b (graniczne):
[ ]
(
) ( )
z
F
z
n
f
z
n
1
1
1
−
=
→
<
∞
→
lim
lim
Twierdzenie 7 (o splocie dwóch ciągów):
[ ] [ ]
{
}
( ) ( )
z
G
z
F
n
g
n
f
Z
=
⊕
96
Transformata odwrotna przekształcenia
Z
Przekształcenie odwrotne dyskretne przyporządkowuje funkcji
zmiennej zespolonej F(z) sygnał dyskretny (ciąg liczbowy) f[n].
Omówione zostaną 2 metody.
Obie dotyczą wymiernej funkcji F(z), którą można przedstawić
w postaci iloczynu funkcji wymiernych postaci:
przy czym zakładamy , że m>=
ν.
0
1
1
1
0
1
1
1
a
z
a
z
a
z
a
b
z
b
z
b
z
b
z
M
z
L
z
F
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
−
−
−
ν
−
ν
ν
ν
K
K
)
(
)
(
)
(
97
• Metoda rozwinięcia w szereg potęgowy
W metodzie mnożymy licznik i mianownik transformaty
F(z)
przez z
-m
. Dzieląc następnie licznik tak otrzymanego wyrażenia
przez mianownik otrzymuje się szereg:
,
którego kolejne współczynniki są wyrazami poszukiwanego ciągu.
Metodę stosujemy, gdy chcemy wyznaczyć kilka początkowych
wyrazów sygnału.
[ ]
∑
∞
−∞
=
−
=
n
n
z
n
f
z
F )
(
98
• Metoda rozkładu na ułamki proste - odpowiednik metody bazującej
na twierdzeniu
Heaviside'a
∑
=
−
=
=
m
k
k
k
z
z
A
z
N
z
L
z
F
1
)
(
)
(
)
(
(
)
( )
)
(
'
)
(
)
(
lim
k
k
k
z
z
k
z
N
z
L
z
N
z
z
z
L
A
k
=
−
=
→
Oryginał
f[n] funkcji operatorowej F(z) wyrazimy następująco:
[ ]
1
1
−
=
∑
=
n
k
m
k
k
k
z
z
N
z
L
n
f
)
(
'
)
(
99
Przykłady:
Wyznaczyć transformaty następujących sygnałów dyskretnych:
Wyznaczyć oryginały następujących transformat dyskretnych:
[ ] [ ] [
]
[ ]
[ ]
[
]
n
n
n
u
n
f
n
u
n
u
n
f
4
3
1
1
2
3
6
−
−
δ
+
=
−
−
=
( )
( )
(
)(
)
2
2
2
2
5
3
2
2
3
4
−
−
−
=
+
−
=
z
z
z
z
z
F
z
z
z
z
F
100
Układy cyfrowe i ich rozwiązywanie z wykorzystaniem transformacji Z
m
m
m
y
m
y
y
y
y
y
n
n
x
m
n
x
b
n
x
b
n
x
b
m
n
y
a
n
y
a
n
y
a
n
y
−
−
−
=
−
=
−
=
−
<
=
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
+
]
[
,
]
[
,
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
K
K
K
2
1
1
0
2
1
2
1
0
0
1
2
1
- warunki początkowe
Rozwiązanie zawiera:
- odpowiedź wymuszoną, będącą rozwiązaniem równania (1) przy zerowych
warunkach początkowych,
- odpowiedź swobodną, będącą rozwiązaniem równania jednorodnego
(1)
101
Dla układu I rzędu:
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
(
) (
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( ) (
)
(
) ( )
(
)
(
)
( )
( )
z
Y
z
Y
a
z
z
y
a
z
X
a
z
b
z
b
z
Y
z
a
y
a
z
X
z
a
z
b
b
z
Y
y
a
z
X
z
b
b
z
a
z
Y
z
X
z
b
z
X
b
y
z
Y
z
a
z
Y
y
n
x
b
n
x
b
n
y
a
n
y
p
w
+
=
+
−
+
+
+
=
+
−
+
+
+
=
−
+
=
+
+
=
+
+
=
−
−
+
=
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
]
[
],
[
]
[
]
[
]
[
Odpowiedź wymuszoną układu cyfrowego wyznaczamy znając transmitancję
systemu H(z) (transformatę jego odpowiedzi impulsowej h[n]):
( )
( ) ( )
z
X
z
H
z
Y
w
=
102
Gdy
x[n]=
δ
[
n] to X(z)=1, wtedy dla układu I rzędu zapiszemy:
( ) (
)
(
)
( )
[ ]
[ ]
( )
[ ]
n
u
a
a
b
b
n
a
b
n
h
a
z
z
a
b
b
a
b
z
H
a
z
z
a
b
b
a
b
a
z
a
z
a
z
z
b
b
a
b
a
z
z
b
b
a
b
a
z
b
z
b
z
H
n
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
δ
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
=
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=
+
+
=
103
Przykład:
Dla układu dyskretnego opisanego równaniem:
obliczyć: h[n], H(z), oraz odpowiedź układu na wymuszenie
sygnałem skoku jednostkowego x[n]=u[n].
]
[
]
[
]
[
]
[
1
3
4
1
2
1
−
+
=
−
−
n
x
n
x
n
y
n
y
104
Analiza częstotliwościowa sygnałów i systemów
Szereg i przekształcenie Fouriera
Dla sygnału okresowego szereg Fouriera pozwala określić
amplitudy
częstotliwości podstawowej i wyższych
harmonicznych.
W przypadku funkcji nieokresowych analizowaną funkcję
rozpatruje się w nieskończenie długim przedziale czasu i
stosuje całkowe przekształcenie Fouriera.
Za pomocą analizy częstotliwościowej można też badać
szeregi dyskretne – w takim przypadku stosuje się tzw.
dyskretną analizę częstotliwościową - szczególnie ważną przy
obliczeniach na maszynach cyfrowych.
105
Szereg Fouriera funkcji okresowej ciągłej
(
)
(
)
(
)
∑
∞
+
−∞
=
π
=
=
θ
+
ω
+
+
θ
+
ω
+
θ
+
ω
+
=
k
t
T
jk
k
n
n
a
t
n
a
t
a
t
a
a
t
x
2
0
2
0
2
1
0
1
0
2
e
sin
...
sin
sin
)
(
- równanie syntezy
(
)
α
β
+
β
α
=
β
+
α
cos
sin
cos
sin
sin
t
n
a
t
n
a
t
a
t
a
a
t
x
n
n
n
n
0
0
0
1
1
0
1
1
0
ω
θ
+
ω
θ
+
+
+
ω
θ
+
ω
θ
+
=
sin
cos
cos
sin
...
sin
cos
cos
sin
)
(
(
)
(
)
[
]
∑
=
ω
+
ω
+
=
n
k
k
k
t
k
B
t
k
A
A
t
x
1
0
0
0
2
sin
cos
)
(
106
107
Współczynniki szeregu Fouriera
( )
∫
=
T
t
t
x
T
A
0
0
1
2
d
Równanie analizy
( )
t
t
x
T
a
t
jk
T
k
d
e
0
1
ω
−
∫
=
( ) (
)
∫
ω
=
T
k
t
t
k
t
x
T
A
0
0
2
d
cos
( )
t
t
x
T
a
T
d
∫
= 1
0
( ) (
)
∫
ω
=
T
k
t
t
k
t
x
T
B
0
0
2
d
sin
108
Widmo amplitudowe i fazowe sygnału
Wykres współczynników Fouriera, przedstawiający udział
poszczególnych harmonicznych w sygnale x(t), daje obraz rozkładu
zawartych w nim częstotliwości;
wykres ten jest nazywany
widmem częstotliwościowym
lub krótko
–
widmem
sygnału.
Współczynniki szeregu Fouriera są liczbami zespolonymi.
|a
k
|=f(k) - widmo amplitudowe
≮a
k
=f(k) - widmo fazowe
109
Przykład:
wyznaczyć widmo amplitudowe i fazowe następującego
sygnału rzeczywistego:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
ω
+
ω
+
ω
+
=
2
2
2
1
0
0
0
t
t
t
t
x
cos
cos
sin
)
(
( )
( )
2
0
1
4
2
2
1
1
4
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
4
2
4
2
1
1
0
>
=
−
=
=
+
=
=
+
=
−
=
−
=
+
=
=
π
−
−
π
−
k
a
a
a
a
a
a
k
,
j
e
j
e
j
j
j
j
j
j
110
Sygnał okresowy prostokątny i jego widmo
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
<
=
2
0
1
1
1
T
t
T
T
t
t
x
,
,
)
(
T
π
=
ω
2
0
(
)
0
1
1
0
1
1
0
≠
π
ω
=
=
∫
−
ω
−
k
k
T
k
t
e
T
a
T
T
t
jk
k
,
sin
d
T
T
t
T
a
T
T
1
0
2
1
1
1
=
=
∫
−
d
111
Współczynniki szeregu Fouriera (widmo) sygnału okresowego prostokątnego
dla wybranych wartości T w stosunku do T
1
M
π
=
=
π
−
=
=
π
=
=
=
≠
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=
=
−
−
−
5
1
3
1
1
2
1
0
2
4
5
5
3
3
1
1
0
1
a
a
a
a
a
a
a
k
k
k
a
T
T
k
,
sin
T=8T
1
T=16T
1
T=4T
1
112
Effekt Gibbsa
113
Zależność Parsevala
( )
∑
∫
+∞
−∞
=
=
k
k
T
a
dt
t
x
T
2
2
1
114
Porównanie sygnału wykładniczego (okresowego)
analogowego i dyskretnego
x [n] = e
j
ωn
x (t)= e
j
ωt
Nieskończenie wiele sygnałów
harmonicznych o tym samym
okresie (pulsacji) podstawowym
Skończona liczba harmonicznych
równa okresowi N
Te same sygnały dla częstotliwości
różniących się o 2
π
Różne sygnały dla różnych k
ω
o
Okresowy tylko dla
ω
o
=2
πm/N
Okresowy dla każdej wartości
ω
o
Największą częstotliwość oscylacji ma sygnał dyskretny okresowy dla
ω
o
= ±
π i jego nieparzystych wielokrotności, zaś dla ω
o
=0 bądź 2
πk sygnał,
otrzymujemy sygnał stały.
115
Sygnał dyskretny okresowy i jego widmo Fouriera
równania analizy i syntezy
[ ]
[ ]
[ ]
∑
∑
∑
∑
=
π
−
=
ω
−
+∞
=
π
=
ω
=
=
=
=
N
n
n
N
k
N
n
n
k
k
N
k
n
N
k
k
N
k
n
k
k
n
x
N
n
x
N
a
a
a
n
x
2
2
1
1
0
0
j
j
j
j
e
e
e
e
równanie syntezy
równanie analizy
Zależność Parsevala
[ ]
∑
∑
=
=
=
N
k
k
N
n
a
n
x
N
2
2
1
116
Przykład:
wyznaczyć widmo
amplitudowe i fazowe następującego
sygnału rzeczywistego:
[ ]
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
ω
+
ω
+
ω
+
=
2
2
3
1
0
0
0
n
n
n
n
x
cos
cos
sin
j
j
j
j
j
j
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
1
2
2
1
1
0
−
=
=
+
=
−
=
−
=
+
=
=
−
−
a
a
a
a
a
117
Sygnał dyskretny okresowy prostokątny i jego widmo
[ ]
⎩
⎨
⎧
≤
=
,
,
0
1
1
N
n
n
x
N
π
=
ω
2
0
K
K
,
,
,
,
sin
sin
,
,
,
,
N
N
k
N
k
N
N
k
N
a
N
N
k
N
N
a
k
k
2
0
2
1
2
1
2
0
1
2
1
1
±
±
≠
π
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
π
=
±
±
=
+
=
118
Współczynniki szeregu Fouriera (widmo) sygnału okresowego prostokątnego
dla wybranych wartości N w stosunku do N
1
, 2N
1
+1=5
N=10
N=20
N=40
119
Odwzorowanie sygnału dyskretnego prostokątnego za sumy pomocą
sygnałów harmonicznych
[ ]
[ ] [ ]
2
1
2
−
=
=
=
∑
−
=
π
N
M
n
x
n
x
a
n
x
M
M
k
n
N
k
k
)
)
j
e
120
Podstawowe właściwości szeregu Fouriera
F
ciągłego i dyskretnego
Liniowość szeregu Fouriera:
( )
( )
k
k
SF
Bb
Aa
t
By
t
Ax
+
↔
+
Przesunięcie w dziedzinie czasu:
( )
(
)
k
t
T
k
k
t
k
SF
k
SF
a
e
a
e
t
t
x
a
t
x
0
0
0
2
0
π
ω
=
↔
−
↔
j
j
Odwrócenie w czasie:
( )
( )
k
SF
k
SF
a
t
x
a
t
x
−
↔
−
↔
( ) ( )
( )
( )
k
k
k
k
a
a
t
x
t
x
a
a
t
x
t
x
−
=
⇒
−
−
=
=
⇒
−
=
−
−
121
Skalowanie w czasie:
[ ]
[
]
/
a
m
m
n
x
a
n
x
k
DSF
k
DSF
1
↔
↔
( )
( )
( )
t
T
jk
k
k
k
SF
k
SF
e
a
t
x
a
t
x
a
t
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
π
∞
−∞
=
∑
=
α
↔
α
↔
/
2
Dla n będącego wielokrotnością m.
Okresowe o okresie mN
Skalowanie w
dziedzinie
częstotliwości:
( )
( )
M
k
SF
t
jM
k
SF
a
t
x
e
a
t
x
−
ω
↔
↔
0
122
Sprzężenie:
[ ]
[ ]
k
DSF
k
DSF
a
n
x
a
n
x
−
∗
∗
↔
↔
Splot okresowy
[ ] [
]
k
k
DSF
N
r
b
Na
r
n
y
r
x
↔
−
∑
=
( ) (
)
k
k
SF
T
b
Ta
t
y
x
↔
τ
τ
−
τ
∫
d
Mnożenie sygnałów
[ ] [ ]
l
k
N
l
l
k
k
SF
b
a
b
a
n
y
n
x
−
=
∑
=
⊗
↔
( ) ( )
l
k
l
l
k
k
SF
b
a
b
a
t
y
t
x
−
∞
−∞
=
∑
=
⊗
↔
123
Pochodna:
( )
( )
k
SF
k
SF
a
T
k
t
t
x
a
t
x
π
↔
↔
2
j
d
d
Pierwsza różnica
[ ]
[ ] [
]
k
N
k
DSF
k
DSF
a
n
x
n
x
a
n
x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
↔
−
−
↔
π
− 2
1
1
j
e
Suma bieżąca
Całka
( )
( )
(
)
k
SF
t
k
SF
a
k
t
t
x
a
t
x
0
1
ω
↔
↔
∫
∞
−
j
d
[ ]
[ ]
(
)
k
k
DSF
n
k
k
DSF
a
k
x
a
n
x
0
1
1
ω
−
−∞
=
−
↔
↔
∑
j
e
O skończonej wartości i okresowa tylko
wtedy, gdy a
0
=0
124
{ }
{ }
( )
{ }
{ }
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
t
x
a
a
a
a
−∠
=
∠
=
−
=
⇒
=
=
−
−
−
∗
−
Im
Im
Re
Re
Symetria sprzężenia dla sygnałów rzeczywistych
Ponadto,
- gdy sygnał jest rzeczywisty i parzysty to współczynniki a
k
szeregu są rzeczywiste i parzyste
- gdy sygnał jest rzeczywisty i nieparzysty to współczynniki
a
k
są czysto urojone i nieparzyste
125
Odpowiedź częstotliwościowa systemu LTI
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
(
)
(
)
[ ]
[ ]
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⇔
=
ω
=
ω
=
⇔
=
=
τ
τ
=
ω
=
τ
τ
=
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−
π
∞
+
−∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−
∞
+
=
ω
−
∞
+
−∞
=
ω
−
∞
+
−∞
=
ω
−
∞
+
−∞
=
ω
∞
+
−∞
=
τ
ωτ
−
−
+∞
−∞
=
+∞
−∞
=
τ
τ
−
∑
∑
∑
∑
∑
∫
∑
∫
N
jk
k
k
n
N
k
N
jk
n
k
n
N
k
N
k
k
k
k
t
k
n
k
t
k
n
k
n
n
k
k
s
H
a
b
H
a
n
y
a
n
x
jk
H
a
b
jk
H
a
t
y
a
t
x
n
h
H
d
h
H
z
k
h
z
H
d
h
s
H
2
2
2
2
0
0
0
0
e
e
e
e
e
e
e
e
e
j
e
j
j
j
j
j
j
j
126
Przykład 1:
Okresowy sygnał
, którego współczynniki
szeregu Fouriera wynoszą:
podano na zaciski systemu liniowego stacjonarnego o
odpowiedzi impulsowej: .
Należy wyznaczyć współczynniki szeregu Fouriera b
k
odpowiedzi systemu
y(t).
( )
t
k
n
k
a
t
x
π
−
+
−
=
∑
=
2
3
3
j
e
,
,
,
,
3
1
2
1
4
1
1
3
3
2
2
1
1
0
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
a
a
a
a
a
a
a
( )
( )
t
u
t
h
t
−
= e
P
rzykład 2: Znaleźć odpowiedź y[n] systemu dyskretnego LTI
na sygnał , jeśli jego odpowiedź impulsowa
wynosi:
[ ]
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=
N
n
n
x
2
cos
[ ]
[ ]
1
1
+
<
α
<
−
α
=
,
n
u
n
h
n
127
Filtracja sygnałów
Odpowiedzi częstotliwościowe czterech idealnych filtrów
cyfrowych zero-fazowych o rzeczywistych współczynnikach
odpowiedzi impulsowej przedstawione są na rysunkach:
π
−π
ω
c
−ω
c
Η
LP
(e
j
ω
)
1
π
−π
ω
c
−ω
c
Η
HP
(e
j
ω
)
1
ω
ω
c1
π
−π
−ω
c1
Η
BS
(e
j
ω
)
1
−ω
c2
ω
c2
ω
ω
π
−π
ω
c1
ω
c2
−ω
c1
Η
BP
(e
j
ω
)
1
−ω
c2
ω
(a)
(c)
(d)
(b)
128
Filtry dolno- i górnoprzepustowy są opisane funkcjami przejścia
pierwszego rzędu postaci odpowiednio:
π
−π
ω
c
−ω
c
Η
LP
(e
j
ω
)
1
( )
1
1
1
1
2
1
−
−
α
−
+
⋅
α
−
=
z
z
z
H
LP
π
−π
ω
c
−ω
c
Η
HP
(e
j
ω
)
1
( )
1
1
1
1
2
1
−
−
α
−
−
⋅
α
+
=
z
z
z
H
HP
129
Filtry pasmowe z rysunków c i d są opisane funkcjami przejścia
drugiego rzędu rzędu postaci odpowiednio:
( )
(
)
2
1
2
1
1
1
2
1
−
−
−
α
+
α
+
β
−
−
⋅
α
−
=
z
z
z
z
H
BP
( )
(
)
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
−
−
−
−
α
+
α
+
β
−
+
β
−
⋅
α
+
=
z
z
z
z
z
H
BS
ω
c1
π
−π
−ω
c1
Η
BS
(e
j
ω
)
1
−ω
c2
ω
c2
ω
π
−π
ω
c1
ω
c2
−ω
c1
Η
BP
(e
j
ω
)
1
−ω
c2
ω
130
Łącząc szeregowo opisane wyżej proste filtry cyfrowe, można
budować filtry z bardziej ostrą odpowiedzią impulsową.
Łącząc K dolnoprzepustowych filtrów pierwszego rzędu.
Wypadkowa funkcja przejścia takiej struktury będzie opisana
funkcja przejścia postaci:
( )
K
LP
z
z
z
G
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
α
−
+
⋅
α
−
=
−
−
1
1
1
1
2
1
Podane filtry idealne należą do grupy o NOI i zerowej fazie.
Konstruuje się także filtry, w których funkcja przejścia
odpowiada skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) z
odpowiedzią fazową będącą liniową funkcją
ω.
131
Przykłady filtrów:
1) dolnoprzepustowy
2) górnoprzepustowy
( )
( )
( )
ω
=
ω
=
j
j
H
dt
t
dx
t
y
[ ] [
]
[
]
( ) (
)
(
)
2
1
2
1
1
2
1
2
/
cos
e
e
e
]
[
/
j
j
j
ω
=
+
=
−
+
=
ω
−
ω
−
ω
H
n
x
n
x
n
y
132
3) Filtr rekursywny I -rzędu (system NOI)
[
] [ ]
( )
[ ]
[ ]
n
u
a
n
h
a
H
n
x
n
ay
n
y
n
=
−
=
=
−
−
ω
−
ω
,
e
e
]
[
j
j
1
1
1
6
0,
=
a
6
0,
−
=
a
133
3) Filtr nierekursywny (system SOI):
gdzie, y[n] jest średnią ważoną po N+M+1 wartościach x[n], od
x[n-M] do x[n+N], z wagami równymi współczynnikom b
k
.
- dolnoprzepustowy
a) N+M+1=3
[ ]
( )
∗
=
∑
−
=
M
N
k
k
n
x
b
n
y ]
[
[
] [ ] [
]
(
)
[
] [ ] [
]
(
)
( ) (
)
(
)
ω
+
=
+
+
=
+
δ
+
δ
+
−
δ
=
+
+
+
−
=
ω
−
ω
ω
cos
e
e
e
]
[
]
[
j
j
j
2
1
3
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
H
n
n
n
n
h
n
x
n
x
n
x
n
y
134
[
]
( )
2
2
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
2
/
sin
sin
e
e
poza
]
[
]
[
j
j
ω
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
ω
+
+
=
+
+
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
−
+
+
=
−
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
ω
−
=
ω
−
ω
−
=
∑
∑
N
M
e
M
N
M
N
H
M
n
N
M
N
n
h
k
n
x
M
N
n
y
M
N
j
M
N
k
k
M
N
k
b) N+M+1=33 (M=N=16)
c) N+M+1=65 (M=N=32)
135
Filtr nierekursywny (SOI) - górnoprzepustowy
[ ] [
]
[
]
( ) (
)
(
)
2
1
2
1
1
2
1
2
/
sin
je
e
e
]
[
/
j
j
j
ω
=
−
=
−
−
=
ω
ω
−
ω
H
n
x
n
x
n
y
-wszystkie filtry SOI są stabilne, bo odpowiedź impulsowa
jest skończona, a zatem sumowalna.
- dla N>0 w równaniu filtr jest systemem nieprzyczynowym,
tj. y[n]zależy od przyszłych wartości x[n]. W filtracji w czasie
rzeczywistym, w równaniu musimy założyć N
≤0
( )
∗
136
Próbkowanie sygnałów
Próbkowanie polega na przekształceniu sygnału ciągłego w
równoważny sygnał dyskretny a następnie w sygnał cyfrowy.
Przekształcenie powinno umożliwiać odtworzenie sygnału
ciągłego na podstawie sygnału dyskretnego (ciągu próbek) z
dowolną dokładnością.
137
Próbkowanie za pomocą funkcji Sza
( ) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( ) (
)
∑
∑
∞
+
−∞
=
∞
+
−∞
=
−
δ
=
−
δ
=
=
n
p
n
p
nT
t
nT
x
t
x
nT
t
t
p
t
p
t
x
t
x
138
( )
( ) (
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
∑
∑
∫
∞
+
−∞
=
∞
+
−∞
=
+∞
∞
−
ω
−
ω
=
ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
ω
δ
π
=
ω
θ
θ
−
ω
θ
π
=
ω
k
s
p
k
p
k
j
X
T
j
X
T
k
T
j
P
d
j
P
j
X
j
X
1
2
2
2
1
139
Twierdzenie o próbkowaniu
Niech x(t) oznacza sygnał analogowy o ograniczonym widmie,
takim, że X(j
ω
)=0 dla |
ω
|>
ω
M
.
Sygnał x(t) jest jednoznacznie określony (równoważny) przez
zbiór odległych o T jego próbek x(nT), n=0, ±1, ±2,... , jeśli
częstotliwość próbkowania:
ω
s
≥2
ω
M
a graniczny czas próbkowania:
T
≤π/
ω
M
gdzie:
ω
s
= 2
π/T, ω
M
- częstotliwość Nyquista
140
W dziedzinie częstotliwości,
idea dowodu twierdzenia o
próbkowaniu polega na
zastosowaniu do widma X(j
ω
)
sygnału x(t) dwóch
znoszących się wzajemnie
operacji:
• przedłużania okresowego
widma - powielenia
• filtracji widma powielonego.
141
Próbkowanie składa się z następujących
operacji:
•
Powielanie okresowe widma X(j
ω
) sygnału x(t),
• Filtrowanie powielonego widma X
p
(j
ω
) za pomocą
idealnego filtru dolno-przepustowego o częstotliwościach
odcięcia
±
ω
c,
takiej, że:
ω
M
<|
ω
c
|<
ω
s
-
ω
M
• Przekształcanie przefiltrowanego widma X(j
ω
) na sygnał
w dziedzinie czasu x(t).
142
Odtworzenie sygnału ciągłego ze znajomości ciągu
jego próbek
Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona
Dowolną funkcję czasu można przedstawić w postaci szeregu
Kotielnikowa-Shannona, który ma postać szeregu Fouriera z
funkcja bazową Sa:
( )
( )
(
)
(
)
∑
∞
=
−∞
=
−
π
=
n
n
m
nT
t
f
Sa
nT
x
t
x
2
143
144
Przyczyny błędów próbkowania
• niepoprawny dobór częstotliwości próbkowania,
• założenie idealności filtru dolnoprzepustowego,
• założenie idealności impulsów bramkujących.