Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 1
Jak oblicza się cenę towaru po podwyżce o x procent? Jak wykonuje się obliczanie liczby gdy podwyższono cenę towaru? Zwiększanie liczby o ustalony procent. Zwiększanie liczby w pamięci o ustalony procent. Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Download to opracowanie.
Podwyższanie ceny towaru o zadany procent
Przedmowa
Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozu-
mieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona dla gimnazjalistów oraz osób starszych
które chcą sobie przypomnieć wszystko na ich temat. Prawie wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione „na
chłopski rozum” z zachowaniem poprawności matematycznej.
Pełną wersję tego opracowania znajdziesz w tym pliku pdf:
http://matmeatyka.strefa.pl/procenty_i_promile.pdf
Spis tematów
1.
Podwyżki procentowe ................................................................................................................................................... 2
— powiększanie liczby o zadany procent ............................................................................................................. 2
— wyliczanie liczby która powiększona o zadany procent da ustaloną liczbę ..................................................... 4
— wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą ....................................................... 6
— powiększanie liczby w pamięci o zadany procent ............................................................................................ 8
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 2
Jak oblicza się cenę towaru po podwyżce o x procent? Jak wykonuje się obliczanie liczby gdy podwyższono cenę towaru? Zwiększanie liczby o ustalony procent. Zwiększanie liczby w pamięci o ustalony procent. Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Download to opracowanie.
Temat: Podwyżki procentowe.
Powiększanie liczby o zadany procent
Załóżmy, że chcesz liczbę
60
powiększyć o
20%
tej liczby. By mieć dobry podgląd na to co będziesz robić, zrób sobie
wykres warstwowy. Narysuj słupek. Nad nim napisz liczbę którą znasz z treści zadania. Podziel ten słupek na 5 „ce-
giełek” po 20% (razem zawsze muszą one dawać 100%).
Obok tego słupka rysujesz drugi słupek (drugi wykres warstwowy) z dostawioną jedną cegiełką. Dlaczego trzeba do-
rysować 1 cegiełkę? Bo zadanie polega na powiększeniu lewego słupka o 20%, czyli o 1 cegiełkę. Teraz już widzisz, że
nowy słupek to
120%
wysokości lewego słupka. Liczysz więc:
120%
ᇣᇤᇥ
,
z liczby
ᇣᇧᇤᇧᇥ
ż
= 1,2 ⋅ 60 =
ૠ
Przypominam, że zamieniając procenty na liczbę trzeba wykonać dzielnie przez 100. W ułamkach dzie-
siętnych jest to równoważne przesunięciu przecinka o 2 miejsca w lewo.
Obliczanie 120% z liczby 60 możesz też wykonać innymi metodami. Zostaną one mówione nieco później.
W zadaniu tym, ważne jest tylko to, by policzyć 120% z liczby 60, a nie jaką metodą to zrobić.
lub zauważasz, że dostawiona cegiełka ma wysokość
12
, więc nowa liczba będzie o
12
większa od liczby
60
, czyli:
+
12
=
ૠ
Zatem powiększając liczbę 60 o 20% jej wartości, dostaniesz liczbę 72.
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 50 powiększysz o 10% tej liczby?
[Podpowiedź. Pierwszy słupek (wykres warstwowy) po-
dziel na 10 cegiełek po 10%. Wysokość jednej cegiełki będzie wynosić 5. Odp. 55.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 35 powiększysz o 20% tej liczby?
[Podpowiedź. Pierwszy słupek (wykres warstwowy) po-
dziel na 5 cegiełek po 20%. Wysokość jednej cegiełki będzie wynosić 7. Odp. 42.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 40 powiększysz o 30% tej liczby?
[Podpowiedź. Pierwszy słupek (wykres warstwowy) po-
dziel na 10 cegiełek po 10%. Ile wynosi wysokość jednej cegiełki. Ile cegiełek trzeba dostawić? Odp. 52.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 18 powiększysz o 20% tej liczby?
[Podpowiedź. Pierwszy słupek (wykres warstwowy) po-
dziel na 5 cegiełek po 20%. Oblicz wysokość jednej cegiełki dzieląc liczbę 18 przez liczbę cegiełek, czyli w tym przypadku przez 5. Odp. 21,6.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 28 powiększysz o 15% tej liczby?
[Podpowiedź. Pierwszy słupek (wykres warstwowy) po-
dziel na 20 cegiełek po 5%. Oblicz wysokość jednej cegiełki dzieląc liczbę 28 przez liczbę cegiełek. Ile cegiełek trzeba dostawić? Odp. 32,2.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 80 powiększysz o 25% tej liczby?
[Podpowiedź. 4 cegiełki po 25%. Odp. 100.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 90 powiększysz o 40% tej liczby?
[Podpowiedź. 10 cegiełek po 10%. Odp. 126.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 140 powiększysz o 15% tej liczby?
[Odp. 161.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 220 powiększysz o 60% tej liczby?
[Odp. 352.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 28 powiększysz o 100% tej liczby?
[Odp. 56.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 40 powiększysz o 150% tej liczby?
[Odp. 100.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 17 powiększysz o 1000% tej liczby?
[Podpowiedź. Jedna cegiełka to 100%. Odp. 187.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 25 powiększysz o 1000% tej liczby?
[Odp. 275.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 49 powiększysz o 1000% tej liczby?
[Odp. 539.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 62 powiększysz o 1500% tej liczby?
[Odp. 992.]
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 3
Jak oblicza się cenę towaru po podwyżce o x procent? Jak wykonuje się obliczanie liczby gdy podwyższono cenę towaru? Zwiększanie liczby o ustalony procent. Zwiększanie liczby w pamięci o ustalony procent. Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Download to opracowanie.
Teraz pokażę Ci różne sposoby obliczania procentu z danej liczby (choć zapewne już je znasz). Będą one dotyczyć
wykresu warstwowego który był na początku tego podtematu (skopiuję go poniżej), czyli powiększania liczby 60
o 12% jej wartości.
Sposób 1
Sposób 2
Sposób 3
Sposób 4
Obliczasz ile wynosi 20% z liczby 60.
20%
ถ
,
z liczby
ᇣᇧᇤᇧᇥ
ż
60
= 0,2 ⋅ 60 =
12
Do liczby
60
dodajesz powyższy wynik.
60
+
12
=
72
Zapisujesz sposób 1 w postaci jednego
działania:
60
+
20%
ถ
,
z liczby
ᇣᇧᇤᇧᇥ
ż
60
ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
=
60
+
12
=
72
Z powyższego wykresu warstwowego
odczytujesz, że po dołożeniu 20% z licz-
by 60,
dostaniesz 120% z liczby 60
. Za-
tem obliczasz tylko takie działanie:
120%
ᇣᇤᇥ
,
z liczby
ᇣᇧᇤᇧᇥ
ż
60
= 1,2 ⋅ 60 =
72
które od razu daje Ci wynik końcowy
i bez konieczności pamiętania o kolej-
ności wykonywania działań.
Zauważasz to samo co w sposobie 3,
ale do wyliczenia szukanej liczby naj-
pierw wypisujesz dane z zadania:
100%
—
60
120%
—
ݔ
Układasz proporcję:
100%
120%
=
60
ݔ
Skracasz symbole % oraz liczbę 100
z liczbą 120 (przez 20).
5
6
=
60
ݔ
Mnożysz po skosie.
5
ݔ = 360 /: 5
ݔ =
72
Zatem powiększając liczbę 60 o 20% tej liczby
ᇣᇧ
ᇧᇤᇧ
ᇧᇥ
łó
ąć
dostaniesz liczbę 72 (niezależnie od wybranego sposobu obliczania).
Uwaga. Gdyby w powyższym zdaniu zostały pominięte słowa „tej liczby”, to wypowiedziane zdanie oznaczałoby,
że liczbę 60 powiększasz o ułamek
co w rezultacie dałoby wynik 60
czyli 60,2.
Zapamiętaj
Powiększając liczbę o zadany procent (sposobem 1, 2, 3), zawsze trzeba dopisać z jakiej liczby jest ten procent
wyliczany.
poprawnie
(dotyczy sposobu 2)
błędnie
(dotyczy sposobu 2)
80
+ 17% z liczby
80
=
80
+ 17% =
148
+ 24% z liczby
148
=
148
+ 24% =
95
+ 9% z liczby
95
=
95
+ 9% =
16
+ 88% z liczby
16
=
16
+ 88% =
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 4
Jak oblicza się cenę towaru po podwyżce o x procent? Jak wykonuje się obliczanie liczby gdy podwyższono cenę towaru? Zwiększanie liczby o ustalony procent. Zwiększanie liczby w pamięci o ustalony procent. Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Download to opracowanie.
Spośród 4-ch różnych sposobów zaprezentowanych nieco wyżej, najszybszy jest sposób 3. Nie trzeba w nim pamię-
tać nawet o kolejności wykonywania działań. Przewagę szybkości tego sposobu nad pozostałymi trzema sposobami
zobaczysz głównie tam, gdzie będzie kilka podwyżek pod rząd, np. w zadaniu o treści:
W styczniu sklep ze sprzętem AGD sprzedawał lodówkę firmy X, za 1600 zł. Miesiąc później podniósł jej ce-
nę o 5%, a w kolejnych kwartałach odpowiednio o 10% i o 6%. Ile obecnie kosztuje ta lodówka?
[Odp. 1958,88 zł.]
Ćwiczenie:
Uzupełnij tabelkę.
zapis działania
wg sposobu 2
zapis działania
wg sposobu 3
zapis równania
wg sposobu 4
Liczbę 40 powiększono o 15% tej liczby.
40 + 15% z liczby 40 =
115% ⋅ 40 =
100%
115%
=
40
ݔ
Liczbę 26 powiększono o 50% tej liczby.
Liczbę 40 powiększono o 125% tej liczby.
225% ⋅ 40 =
Zauważ, że liczba 40 stanowi 100% samej sie-
bie. Jeśli ją powiększysz o 125%, to razem bę-
dziesz mieć 225% liczby 40.
Liczbę 4 powiększono o 328% tej liczby.
Liczbę 60 powiększono o 25,8% tej liczby.
Liczbę 8 powiększono o 32,17% tej liczby.
Liczbę 6,4 powiększono o 3% tej liczby.
Liczbę 8,2 powiększono o 9,1% tej liczby.
Zadanie:
Kilogram cukru na bazarze tydzień temu kosztował
4 zł
, a w tej chwili kosztuje o 15% więcej niż tydzień
temu. Pani Bogusia chce kupić
12 kg
tego cukru. Ile teraz za niego zapłaci?
Wykres warstwowy
Obliczenia sposobem 3
Obliczenia sposobem 4
12 kg
ᇩᇪᇫ
⋅
115%
⋅
4 zł/kg
ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ
ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
, ł/
= 55,20 zł
Zielone kg skrócone zostało z brązowym kg.
Aby obliczyć zieloną liczbę tj. 4,60 zł/kg
trzeba zamiast 115% napisać ułamek
115/100, skrócić go przez 5 i w otrzymanym
ułamku 23/20 skrócić liczbę 20 z niebieską
liczbą 4 zł/kg. W rezultacie obliczenia po-
winny być takie:
= 12 kg ⋅
23
5
⋅ 1 zł/kg =
276
5
zł = 55,20 zł
Skoro podniesiono cenę o 15%, to
za kilogram zapłacono 115% jego
poprzedniej ceny.
100%
—
4 zł/kg
115%
—
ݔ
Układasz proporcję:
100%
115%
=
4 zł/kg
ݔ
Skracasz symbole % oraz liczbę 100
z liczbą 95 (przez 5).
20
19
=
4 zł/kg
ݔ
Mnożysz po skosie.
20
ݔ = 76 zł/kg /: 20
ݔ =
4,60 zł/kg
12 kg
⋅
4,60 zł/kg
= 55,20 zł
Odp.: Pani Bogusia za 12 kg tego cukru tym razem zapłaci 55,20 zł.
Ćwiczenie:
Ile procent wartości towaru zapłaci klient jeśli sklep podniesie cenę o: a) 2%
b) 14%
c) 20,7%?
[Podpowiedź. Do 100% dodaj podany procent. Odp. a) 102%, b) 114%, c) 120,7%.]
Ćwiczenie:
Ile procent wartości towaru zapłaci klient jeśli sklep podniesie cenę o: a) 102% b) 1206% c) 709% ?
[Podpowiedź. Do 100% dodaj podany procent. Odp. a) 202%, b) 1306%, c) 809%.]
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 5
Jak oblicza się cenę towaru po podwyżce o x procent? Jak wykonuje się obliczanie liczby gdy podwyższono cenę towaru? Zwiększanie liczby o ustalony procent. Zwiększanie liczby w pamięci o ustalony procent. Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Download to opracowanie.
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 120 powiększysz o: a) 10%
b) 25%
c) 45%
d) 33,(3)% ?
[Podpowiedź. Powiększanie liczby 120 o podany procent polega dokładnie na tym samym co w zadaniu podnoszenie ceny przez sklep. Pomnóż liczbę 120
przez a) 110%, b) 125%, c) 145%, d) 133,(3)%. Odp.: a) 132, b) 150, c) 174, d) 160.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 120 powiększysz o: a) 1,5%
b) 2,5%
c) 8,5%
d) 66,(6)% ?
[Podpowiedź. Pomnóż liczbę 120 przez a) 101,5%, b) 102,5%, c) 108,5%, d) 166,(6)%. Odp.: a) 121,8; b) 123; c) 130,2; d) 200.]
Ćwiczenie:
Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 16,8 powiększysz o: a) 14%
b) 2,4%
c) 50%
d) 33,(3)% ?
[Odp.: a) 19,152; b) 17,2032; c) 25,2; d) 22,4.]
Ćwiczenie:
Cenę płyty DVD podniesiono o 5% jej ceny. Ile ona kosztuje po podwyżce, jeśli przed podwyżką jej cena
wynosiła 1,20 zł?
[Odp.: 1,26 zł.]
Ćwiczenie:
Abonament na internet został podniesiony o 15% jego ceny. Ile teraz on kosztuje, jeśli przed podwyżką
trzeba było za niego zapłacić 45 zł?
[Odp.: 51,75 zł.]
Ćwiczenie:
Pani Genowefa zarabia 2600 zł netto. Jej pensja brutto jest o 43% wyższa od pensji netto. Ile wynosi
pensja brutto pani Genowefy?
[Odp. 3718 zł.]
Ćwiczenie:
Ania 2 miesiące temu miała 140 cm wzrostu. Teraz jest o 5% wyższa niż 2 miesiące temu. Ile obecnie
Ania ma wzrostu?
[Odp. 147 cm.]
Ćwiczenie:
Pan Józek w tym roku zasiał o 8% więcej jęczmienia niż rok temu. Ile arów jęczmienia zasiał pan Józek
w tym roku, jeśli rok temu miał tym zbożem obsiane 600 m
2
pola?
[Podpowiedź. 1 a = 100 m
2
. Odp. 6,48 a.]
Ćwiczenie:
W 1991 roku, za 30 000 złotych można było kupić 12 zeszytów. Ile trzeba było zapłacić za 8 zeszytów
o 15% droższych?
[Odp. 23000 zł.]
Ćwiczenie:
Długość prostokąta jest o 65% większa od jego szerokości. Ile centymetrów ma długość tego prostoką-
ta, jeśli jego szerokość wynosi 18 mm?
[Odp. 2,97 cm.]
Ćwiczenie:
Jeśli jeden z boków kwadratu o polu 196 cm
2
zostanie zmniejszony o 15%, a drugi zwiększony o 20%, to
powstanie prostokąt. Ile będzie wynosić pole tego prostokąta?
[Odp. 199,92 cm
2
.]
Wyliczanie liczby która powiększona o zadany procent da ustaloną liczbę
Przypuśćmy, że chcesz obliczyć liczbę, która zwiększona np. o
8%
jej wartości da liczbę np.
135
.
Wariant 1
Wariant 2
Wariant 3
Bezpośrednio z treści zadania układasz równanie:
ݔ
ฎ
%
+
8%
ݔ
ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
%
=
135
1,08 ⋅
ݔ = 135 /: 1,08
ݔ = 125
Zauważasz, że powiększając liczbę o
8%
jej warto-
ści dostaniesz
108%
tej liczby.
108%
ݔ
=
135
1,08 ⋅
ݔ = 135 /: 1,08
ݔ = 125
Zauważasz, że powiększając
liczbę o
8%
jej wartości dosta-
niesz
108%
tej liczby.
100%
—
ݔ
108%
—
135
Układasz proporcję:
100%
108%
=
ݔ
135
Skracasz symbole % oraz
liczbę 100 z liczbą 108 (przez
4).
25
27
=
ݔ
135
Mnożysz po skosie.
27
ݔ = 3375 /: 27
ݔ = 125
Zatem zwiększając liczbę 125 o 8% jej wartości dostaniesz liczbę 135.
Zadanie:
Sklep podniósł cenę komputera o
12%
jego wartości. Ile przed podwyżką kosztował ten komputer, jeśli te-
raz kosztuje
868 zł
?
Rozwiązanie na podstawie wariantu 1
Rozwiązanie na podstawie wariantu 2
Rozwiązanie na podstawie wariantu 3
Bezpośrednio z treści zadania układasz równanie:
ݔ
ฎ
%
+
12%
ݔ
ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
%
=
868 zł
.
1,12 ⋅
ݔ = 868 zł /: 1,12
ݔ = 775 zł
Zauważasz, że powiększając liczbę o
12%
jej warto-
ści dostaniesz
112%
tej liczby.
112%
ݔ
=
868 zł
1,12 ⋅
ݔ = 868 /: 1,12
ݔ = 775 zł
Zauważasz,
że
powiększając
liczbę o
12%
jej wartości dosta-
niesz
112%
tej liczby.
100%
—
ݔ
112%
—
868 zł
Układasz proporcję:
100%
112%
=
ݔ
868 zł
Skracasz symbole % oraz
liczbę 100 z liczbą 112 (przez
4).
25
28
=
ݔ
868 zł
Mnożysz po skosie.
28
ݔ = 21700 zł /: 28
ݔ = 775 zł
Odp. Przed podwyżką ten komputer kosztował 775 zł.
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 6
Jak oblicza się cenę towaru po podwyżce o x procent? Jak wykonuje się obliczanie liczby gdy podwyższono cenę towaru? Zwiększanie liczby o ustalony procent. Zwiększanie liczby w pamięci o ustalony procent. Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Download to opracowanie.
Ćwiczenie:
Uzupełnij tabelkę i odpowiedz na zadane pytania.
Zapis działania
wg wariantu 1
Zapis działania
wg wariantu 2
Zapis danych
wg wariantu 3
Jaka liczba powiększona o 10% da liczbę 55?
[Odp. 50]
ݔ + 10%ݔ = 55
ݔ ⋅ 110% = 55
100%
—
ݔ
110%
—
55
Jaka liczba powiększona o 15% da liczbę 69?
[Odp. 60]
Jaka liczba powiększona o 16% da liczbę 145?
[Odp. 125]
Jaka liczba powiększona o 52% da liczbę 152?
[Odp. 100]
Jaka liczba powiększona o 80% da liczbę 9?
[Odp. 5]
Jaka liczba powiększona o 99% da liczbę 398?
[Odp. 200]
Cenę komputera zwiększono o 25% jego ceny. Nowa cena wynosi 1290 zł. Ile kosztował ten
komputer przed obniżką?
[Odp. 1032 zł.]
ݔ ⋅ 125% = 1290 zł
Cenę książki zwiększono o 40% jej ceny. Nowa cena to 91 zł. Ile kosztowała ta książka przed ob-
niżką?
[Odp. 65 zł.]
Cenę 1 kg ziemniaków zwiększono o 6% do ceny 5,30 zł/kg. Ile kosztował kilogram tych ziemnia-
ków przed obniżką?
[Odp. 5 zł.]
Ćwiczenie:
Cenę żelazka zwiększono o 18% na 295 zł. Ile ono kosztowało przed obniżką?
[Odp. 250 zł.]
Ćwiczenie:
Cenę zestawu komputerowego podniesiono o 12% na 6300 zł. O ile złotych podniesiono jego cenę?
[Podpowiedź. Od ceny po podwyżce odejmij cenę przed podwyżką. Odp. 675 zł.]
Ćwiczenie:
W każdy produkt który kupiła Angelika w sklepie został wliczony 23% podatek VAT. Ile złotych wynosił
podatek VAT, jeśli Angelika za te produkty zapłaciła 246 zł?
[Odp. 46 zł.]
Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą liczbę
Przypuśćmy, że znasz cenę towaru przed podwyżką i po podwyżce, a chcesz wyliczyć o ile procent dokonano pod-
wyżki. Załóżmy więc, że jakiś towar przed podwyżką kosztował
800 zł
, a po podwyżce
1100 zł
. Robisz schemat do te-
go zadania w postaci wykresu warstwowego.
Metoda 1 a
Metoda 2 a
Metoda 3 a
Metoda 4 a
Metoda 4 b
Obliczasz o ile złotych podniesiono
cenę tego towaru.
1100 zł
−
800 zł
=
300 zł
Obliczasz jakim procentem ceny
wyjściowej czyli 800 zł jest powyżej
obliczone 300 zł.
300 zł
8
00
zł
⋅ 1
00
% = 37,5%
Powyżej zostały skrócone symbole
zł oraz po 2 zera z liczb 100 i 800.
Bezpośrednio z treści zadania ukła-
dasz równanie:
800 zł
ᇩᇪᇫ
żą
+
ݔ
%
⋅
800 zł
ᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫ
ł
ż ę
=
1100 zł
ᇩᇭᇪᇭᇫ
ż
ݔ
100
⋅
800 zł
ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
=
1100 zł
−
800 zł
ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
ł
ݔ ⋅ 8 zł = 300 zł /: (8 zł)
ݔ = 37,5
W wyniku końcowym nie wyszedł
symbol %, bo został on napisany
w pierwszej linijce.
Obliczasz jakim procentem 800 zł
jest 1100 zł.
1100 zł
8
00
zł
⋅ 1
00
%
ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ
ł
=
137,5%
Od powyższego wyniku odejmujesz
100%, bo chcesz obliczyć o ile
wzrosła cena, a nie jaki stanowi ona
procent ceny przed podwyżką.
137,5% −
100%
= 37,5%
Obliczasz jakim procentem
800 zł jest 1100 zł wypisu-
jąc w poprawny sposób
dane do ułożenia propor-
cji.
100%
—
800 zł
ݔ
—
1100 zł
Układasz proporcję:
100%
ݔ
=
800 zł
1100 zł
Skracasz symbole zł oraz
liczbę 800 z liczbą 1100
(przez 100).
100%
ݔ
=
8
11
Dane z metody 4 przera-
biasz w taki sposób by od
razu dostać wynik końco-
wy.
100%
—
800 zł
ሺ1 + ݔሻ —
1100 zł
Układasz proporcję:
100%
ሺ1 + ݔሻ
=
800 zł
1100 zł
Skracasz symbole zł oraz
liczbę 800 z liczbą 500
(przez 100).
100%
ሺ1 + ݔሻ
=
8
11
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 7
Jak oblicza się cenę towaru po podwyżce o x procent? Jak wykonuje się obliczanie liczby gdy podwyższono cenę towaru? Zwiększanie liczby o ustalony procent. Zwiększanie liczby w pamięci o ustalony procent. Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Download to opracowanie.
Metoda 1 b
To samo co wyżej zapisujesz w po
staci jednego działania.
1100 zł
−
800 zł
ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ
ł
8
00
zł
⋅ 1
00
%
= 37,5%
Metoda 2 b
Robisz prawie to samo co wyżej, ale
w pierwszej linijce pomijasz symbol
%.
800 zł
+
ݔ ⋅
800 zł
=
1100 zł
ݔ ⋅
800 zł
=
1100 zł
−
800 zł
ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
ł
ݔ ⋅ 800 zł =
300 zł
/: (800 zł)
ݔ =
3
8
ݔ = 0,375
ݔ = 37,5%
W wyniku końcowym wyszedł sym-
bol %, bo nie został on napisany
w pierwszej linijce.
Metoda 3 b
Powyższe
działania
zastępujesz
jednym działaniem:
1100 zł
800
zł
⋅ 100%
ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
, %
−
100%
= 37,5%
Zatem by z 800 zł otrzymać 1100 zł, trzeba było 800 zł powiększyć o 37,5%. Patrząc na długość powyższych obliczeń,
łatwo dojdziesz do wniosku, że najlepsza do rozwiązywania tego typu zadań jest metoda 1 b.
Zadanie:
Sklep podniósł cenę roweru z
1480 zł
na
1628 zł
. O ile procent ten sklep podniósł cenę roweru?
Rozwiązanie na podstawie metody 1 b
Rozwiązanie na podstawie metody 4 b
1628 zł
−
1480 zł
ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇫ
ł
1480
zł
⋅ 1
00
% = 10%
Wypisujesz dane z zadania.
100%
—
1480 zł
ሺ1 + ݔሻ —
1628 zł
Plus w nawiasie wziął się stąd, że cenę roweru podnosimy.
Układasz proporcję:
100%
ሺ1 + ݔሻ
=
1480 zł
1628 zł
Skracasz symbole zł oraz liczbę 1480 z liczbą 1628 (przez 148).
100%
ሺ1 + ݔሻ
=
10
11
Mnożysz po skosie.
10
ሺ1 + ݔሻ = 1100%
10
ฏ
%
+ 10
ݔ = 1100%
10
ݔ = 1100% − 1000%
10
ݔ = 100% /: 10
ݔ = 10%
Odp. Sklep cenę tego roweru podniósł o 10%.
Ćwiczenie:
Uzupełnij tabelkę i odpowiedz na zadane pytania.
Zapis działania
wg metody 1 b
Zapis równania
wg metody 2 b
Zapis działania
wg metody 3 b
Zapis danych
wg metody 4 b
Liczbę 16 powiększono na liczbę 20. O ile procent powiększono
liczbę 16?
[Odp. 25%]
20 − 16
16
⋅ 100% =
16 +
ݔ ⋅ 16 = 20
20
16
⋅ 100% − 100% =
100%
—
16
ሺ1 + ݔሻ — 20
Liczbę 120 powiększono na liczbę 210. O ile procent powiększono
liczbę 120?
[Odp. 75%]
Liczbę 15 powiększono na liczbę 20. O ile procent powiększono
liczbę 15?
[Odp. 33,(3)%]
Liczbę 42 powiększono na liczbę 75,6. O ile procent powiększono
liczbę 42?
[Odp. 80%]
Wiktoria miała w portfelu 150 zł. Niestety ktoś ukradł jej portfel.
Ile procent posiadanych pieniędzy w portfelu straciła Wiktoria?
[Odp. 100%.]
Pan Kacper zainwestował w akcje 8000 zł. Po roku jego akcje były
warte 15500 zł. Ile procent zainwestowanej kwoty pan Kacper za-
robił na posiadaniu akcji?
[Odp. 93,75%.]
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Procenty — strona 8
Jak oblicza się cenę towaru po podwyżce o x procent? Jak wykonuje się obliczanie liczby gdy podwyższono cenę towaru? Zwiększanie liczby o ustalony procent. Zwiększanie liczby w pamięci o ustalony procent. Wyliczanie o ile procent trzeba powiększyć jedną liczbę by dostać drugą. Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Download to opracowanie.
Powiększanie liczby w pamięci o zadany procent
To nic trudnego do nauczenia się. Wystarczy w oparciu o poprzednie podtematy wiedzieć, że:
1% danej liczby
oblicza się dzieląc daną liczbę przez
100
1% z liczby 50 = 50 : 100 = 0,5
1% z liczby 150 = 150 : 100 = 1,5
1% z liczby 200 = 200 : 100 = 2
—
2% danej liczby
oblicza się dzieląc daną liczbę przez
50
(lub mnożąc przez 2 i dzieląc przez 100)
2% z liczby 50 = 50 : 50 = 1
2% z liczby 150 = 150 : 50 = 3
2% z liczby 200 = 200 : 50 = 4
2% z liczby 50 = 50 * 2 : 100 = 1
2% z liczby 150 = 150 * 2 : 100 = 3
2% z liczby 200 = 200 * 2 : 100 = 4
3% danej liczby to tyle samo co 1% danej liczby dodać
2% danej liczby
(lub mnożąc przez 3 i dzieląc przez 100)
3% z liczby 50 = 0,5 + 1 = 1,5
3% z liczby 150 = 1,5 + 3 = 4,5
3% z liczby 200 = 2 + 4 = 6
3% z liczby 50 = 50 * 3 : 100 = 1,5
3% z liczby 150 = 150 * 3 : 100 = 4,5
3% z liczby 200 = 200 * 3 : 100 = 6
4% danej liczby to tyle samo co
2% danej liczby
dodać
2% danej liczby
(lub mnożąc przez 4 i dzieląc przez 100)
4% z liczby 50 = 1 + 1 = 2
4% z liczby 150 = 3 + 3 = 6
4% z liczby 200 = 4 + 4 = 8
4% z liczby 50 = 50 * 4 : 100 = 2
4% z liczby 150 = 150 * 4 : 100 = 6
4% z liczby 200 = 200 * 4 : 100 = 8
5% danej liczby
oblicza się dzieląc daną liczbę przez 20
(lub mnożąc przez 5 i dzieląc przez 100)
5% z liczby 50 = 50 : 20 = 2,5
5% z liczby 150 = 150 : 20 = 7,5
5% z liczby 200 = 200 : 20 = 10
5% z liczby 50 = 50 * 5 : 100 = 2,5
5% z liczby 150 = 150 * 5 : 100 = 7,5
5% z liczby 200 = 200 * 5 : 100 = 10
6% danej liczby to tyle samo co
5% danej liczby
dodać
1% danej liczby
(lub mnożąc przez 6 i dzieląc przez 100)
6% z liczby 50 = 2,5 + 0,5 = 3
6% z liczby 150 = 7,5 + 1,5 = 9
6% z liczby 200 = 10 + 2 = 12
6% z liczby 50 = 50 * 6 : 100 = 3
6% z liczby 150 = 150 * 6 : 100 = 9
6% z liczby 200 = 200 * 6 : 100 = 12
7% danej liczby to tyle samo co
5% danej liczby
dodać
2% danej liczby
(lub mnożąc przez 7 i dzieląc przez 100)
7% z liczby 50 = 2,5 + 1 = 3,5
7% z liczby 150 = 7,5 + 3 = 10,5
7% z liczby 200 = 10 + 4 = 14
7% z liczby 50 = 50 * 7 : 100 = 3,5
7% z liczby 150 = 150 * 7 : 100 = 10,5
7% z liczby 200 = 200 * 7 : 100 = 14
8% danej liczby to tyle co
5% danej liczby
dodać
2% danej liczby
dodać
1% danej liczby
(lub mnożąc przez 8 i dzieląc przez 100)
8% z liczby 50 = 2,5 + 1 + 0,5 = 4
8% z liczby 150 = 7,5 + 3 + 1,5 = 12
8% z liczby 200 = 10 + 4 + 2 = 16
8% z liczby 50 = 50 * 8 : 100 = 4
8% z liczby 150 = 150 * 8 : 100 = 12
8% z liczby 200 = 200 * 8 : 100 = 16
9% danej liczby to tyle samo co
5% danej liczby
dodać
2% danej liczby
dodać
2% danej
liczby
(lub mnożąc przez 9 i dzieląc przez 100)
9% z liczby 50 = 2,5 + 1 + 1 = 4,5
9% z liczby 150 = 7,5 + 3 + 3 = 13,5
9% z liczby 200 = 10 + 4 + 4 = 18
9% z liczby 50 = 50 * 9 : 100 = 4,5
9% z liczby 150 = 150 * 9 : 100 = 13,5
9% z liczby 200 = 200 * 9 : 100 = 18
10% danej liczby oblicza się dzieląc daną liczbę przez 10
5% z liczby 50 = 50 : 10 = 5
5% z liczby 150 = 150 : 10 = 15
5% z liczby 200 = 200 : 10 = 20
—
20%
danej liczby oblicza się dzieląc daną liczbę przez 5
5% z liczby 50 = 50 : 5 = 10
5% z liczby 150 = 150 : 5 = 30
5% z liczby 200 = 200 : 5 = 40
—
25% danej liczby oblicza się dzieląc daną liczbę przez 4
5% z liczby 50 = 50 : 4 = 12,5
5% z liczby 150 = 150 : 4 = 37,5
5% z liczby 200 = 200 : 4 = 50
—
50% danej liczby oblicza się dzieląc daną liczbę przez 2
5% z liczby 50 = 50 : 2 = 25
5% z liczby 150 = 150 : 2 = 75
5% z liczby 200 = 200 : 2 = 100
—
Ćwiczenie:
Jak w pamięci można obliczyć
12
% z liczby 50?
[Podpowiedź.
12
=
10
+
2
. Odp. Najpierw trzeba obliczyć
10
% liczby 50 i do otrzy-
manego wyniku dodać
2
% liczby 50.]
Ćwiczenie:
Jak w pamięci można obliczyć
18
% liczby 120?
[Podpowiedź. 18 = 10 + 5 + 3 + 1 lub
18
=
20
−
2
. Odp. Najpierw trzeba obliczyć
20
% liczby 40 i od otrzymanego wyniku odjąć
2
% liczby 40.]
Ćwiczenie:
Jak w pamięci można powiększyć liczbę 60 o jej
30
%?
[Podpowiedź.
30
= 10 ⋅ 3. Odp. Najpierw trzeba obliczyć 10% liczby 60
i otrzymany wynik pomnożyć przez 3. Potem do liczby 60 dodać obliczone 30% z liczby 60.]
Ćwiczenie:
Jak w pamięci można powiększyć liczbę 60 o jej
30
%?
[Podpowiedź. Wystarczy daną liczbę pomnożyć przez 30 i otrzymany wy-
nik podzielić przez 100. Ten sposób pokazuje ostatnia kolumna w powyższej tabeli.]
Ćwiczenie:
Oblicz w pamięci liczbę:
a)
o 50% większą od liczby 140 to …
[Odp. 210.]
b)
o 25% większą od liczby 160 to …
[Odp. 200.]
c)
o 20% większą od liczby 200 to …
[Odp. 240.]
d)
o 10% większą od liczby 180 to …
[Odp. 198.]
e)
o 5% większą od liczby 40 to …
[Odp. 42.]
f)
o 11 % większą od liczby 50 to …
[Odp. 55,5.]