Matematyka A, kolokwium, 23 kwietnia 2009, rozwia
,
zania
Poprawione 5 maja.
Po sugestiach niekt´orych os´ob studiujacych na pierwszym roku chemii postanowi lem na-
pisa´c rozwia
,
zania zada´
n z drugiego kolokwium. Mam nadzieje, ze nie wielu pomy lek. Wy-
obra˙zam sobie, ˙ze kilka os´ob przeczyta te rozwia
,
zania i by´c mo˙ze dzie
,
ki tej lekturze lepiej
zrozumie, o czym ostatnio m´owimy.
1. (10 pt.) Obliczy´c ca lke
,
R
π/2
0
sin
3
x cos
3
x ln(sin x)dx .
Rozwia
,
zanie.
R
π/2
0
sin
3
x cos
3
x ln(sin x)dx
y=sin x
=========
dy=cos x dx
R
1
0
y
3
(1 − y
2
) ln y dy =
=
(
y
4
4
−
y
6
6
) ln y −
R
(
y
4
4
−
y
6
6
)
1
y
dy
1
0
=
(
y
4
4
−
y
6
6
) ln y −
R
(
y
3
4
−
y
5
6
)dy
1
0
=
=
(
y
4
4
−
y
6
6
) ln y − (
y
4
16
−
y
6
36
)
1
0
= −
1
16
+
1
36
=
−5
144
,
bowiem lim
y→0
+
y ln y = lim
y→0
+
ln y
1/y
= lim
y→0
+
1/y
−1/y
2
= lim
y→0
+
(−y) = 0 — zastosowali´smy regu le
,
de l’Hospitala. Trzeba by lo obliczy´c granice
,
, bo lim
y→0
+
ln y = −∞ .
2. (10 pt.)
Znale´z´c warto´sci w lasne (r´ownie˙z nierzeczywiste) i wektory w lasne im odpo-
wiadaja
,
ce macierzy A , macierzy A
2
i macierzy A
−1
, je´sli A =
−9 13
−7 10
.
Rozwia
,
zanie.
Liczba λ jest warto´scia
,
w lasna
,
tej macierzy wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem
r´ownania charakterystycznego:
0 =
−9 − λ
13
−7
10 − λ
= (−9 − λ)(10 − λ) − 13 · (−7) = λ
2
− λ + 1 ,
zatem, gdy λ =
1
2
(1 + i
√
3) albo λ =
1
2
(1 − i
√
3) . Wektor
x
y
jest wektorem w lasnym
odpowiadaja
,
cym warto´sci w lasnej λ =
1
2
(1 + i
√
3) wtedy i tylko wtedy, gdy
−9 13
−7 10
x
y
=
−9x + 13y
−7x + 10y
= λ
x
y
=
λx
λy
,
czyli gdy −9x + 13y =
1
2
(1 + i
√
3)x i −7x + 10y =
1
2
(1 + i
√
3)y . Poniewa˙z
1
2
(1 + i
√
3)
jest warto´scia
,
w lasna
,
, wie
,
c te r´ownania sa
,
r´ownowa˙zne, zatem wektor
x
y
jest wektorem
w lasnym wtedy i tylko wtedy, gdy 13y =
1
2
(19 + i
√
3)x tzn., gdy y =
1
26
(19 + i
√
3)x ,
np. wektorem w lasnym odpowiadaja
,
cym λ =
1
2
(1 + i
√
3) jest wektor
26
19+i
√
3
. Og´olnie
dla dowolnej liczby zespolonej t 6= 0 wektor
26t
(19 + i
√
3)t
jest wektorem w lasnym od-
powiadaja
,
cym warto´sci w lasnej
1
2
(1 + i
√
3) .
Druga warto´s´c w lasna, to
1
2
(1 − i
√
3) =
1
2
(1 + i
√
3) , a poniewa˙z macierz jest rzeczywi-
sta, wie
,
c odpowiada jest wektor w lasny
26
19+i
√
3
=
26
19−i
√
3
oraz ka˙zdy inny otrzymany
przez pomno˙zenie tego wektora przez jaka
,
´s liczbe
,
zespolona
,
.
Za l´o˙zmy teraz, ˙ze Av = λv dla pewnego wektora v 6= 0 . Wtedy A
2
v = A(Av) =
A(λv) = λAv = λ
2
v . Oznacza to, ˙ze je´sli v jest wektorem w lasnym macierzy A odpo-
wiadaja
,
cym warto´sci w lasnej λ , to v jest te˙z wektorem w lasnym macierzy A
2
, ale tym
razem odpowiada on warto´sci w lasnej λ
2
. Wobec tego warto´sciami w lasnymi macierzy
A
2
sa
,
liczby
1
2
(1 + i
√
3)
2
=
1
4
(1 + 2i
√
3 − 3) =
1
2
(−1 + i
√
3) oraz
1
2
(1 − i
√
3)
2
=
1
4
(1 − 2i
√
3 − 3) =
1
2
(−1 − i
√
3) . Odpowiadaja
,
im wektory w lasne
26
19+i
√
3
i
26
19−i
√
3
.
Je´sli wyznacznik macierzy jest r´o˙zny od 0 , to — jak wiadomo — macierz ma od-
wrotna
,
. Jest tak w naszym przypadku, bo wyznacznik macierzy A jest r´owny 1 . Iloczyn
wszystkich warto´sci w lasnych macierzy jest r´owny jej wyznacznikowi. Je´sli A = λv , to
A
−1
Av = A
−1
λv = λA
−1
v , zatem A
−1
v =
1
λ
v . Oznacza to, ˙ze je´sli v jest wekto-
rem w lasnym macierzy A odpowiadaja
,
cym warto´sci w lasnej λ , to v jest te˙z wektorem
w lasnym macierzy A
−1
, ale tym razem odpowiada on warto´sci w lasnej λ
−1
=
1
λ
. Wobec
tego warto´sciami w lasnymi macierzy A
−1
sa
,
liczby
1
2
(1 + i
√
3)
−1
=
1
2
(1 − i
√
3) oraz
1
2
(1 − i
√
3)
−1
=
1
2
(1 + i
√
3) . Odpowiadaja
,
im wektory w lasne
26
19+i
√
3
i
26
19−i
√
3
.
3.
Niech
A =
1
54
·
−26
4 − 24
√
3 8 + 12
√
3
4 + 24
√
3
−11
32 − 3
√
3
8 − 12
√
3 32 + 3
√
3
37
, V
1
=
1
4
8
, V
2
=
−4
11
−5
,
V
3
=
12
3
−3
= 3 ·
4
1
−1
.
(1 pt.) Obliczy´c A · V
1
oraz iloczyny skalarne wektor´ow V
1
i V
2
, V
1
i V
3
, V
2
i V
3
.
(4 pt.) Znale´z´c takie liczby α, β, γ, δ , ˙ze A · V
2
= αV
2
+ βV
3
i A · V
3
= γV
2
+ δV
3
.
(5 pt.) Znale´z´c rzeczywiste warto´sci w lasne i wektory w lasne macierzy A .
Rozwia
,
zanie.
Mamy A · V
1
=
1
54
1 · (−26) + 4 · (4 − 24
√
3) + 8 · (8 + 12
√
3)
1 · (4 + 24
√
3) + 4 · (−11) + 8 · (32 − 3
√
3)
1 · (8 − 12
√
3) + 4 · (32 + 3
√
3) + 8 · 37
=
1
54
54
216
432
=
1
4
8
=
V
1
. V
1
· V
2
= −4 + 44 − 40 = 0 , V
1
· V
3
= 12 + 12 − 24 = 0 , V
2
· V
3
= −48 + 33 + 15 = 0 .
AV
2
=
1
54
(−4) · (−26) + 11 · (4 − 24
√
3) + (−5) · (8 + 12
√
3)
(−4) · (4 + 24
√
3) + 11 · (−11) + (−5) · (32 − 3
√
3)
(−4) · (8 − 12
√
3) + 11 · (32 + 3
√
3) + (−5) · 37
=
=
1
54
108 − 324
√
3
−297 − 81
√
3
135 + 81
√
3
=
2 − 6
√
3
−
11
2
−
3
2
√
3
5
2
+
3
2
√
3
= −
1
2
V
2
−
√
3
2
V
3
,
zatem α = −
1
2
, β = −
√
3
2
.
AV
3
=
1
54
12 · (−26) + 3 · (4 − 24
√
3) + (−3) · (8 + 12
√
3)
12 · (4 + 24
√
3) + 3 · (−11) + (−3) · (32 − 3
√
3)
12 · (8 − 12
√
3) + 3 · (32 + 3
√
3) + (−3) · 37
=
=
1
54
−324 − 108
√
3
−81 + 297
√
3
81 − 135
√
3
=
−6 − 2
√
3
−
3
2
+
11
2
√
3
3
2
−
5
2
√
3
=
√
3
2
V
2
−
1
2
V
3
,
zatem γ =
√
3
2
, δ = −
1
2
.
Z wzoru A · V
1
= V
1
i z definicji warto´sci w lasnej wynika, ˙ze V
1
jest wektorem
w lasnym odpowiadaja
,
cym warto´sci w lasnej 1 . Wektory V
1
, V
2
, V
3
sa
,
wzajemnie prosto-
pad le. Niech V be
,
dzie dowolnym wektorem. Istnieja
,
takie liczby a, b, c , ˙ze
V = aV
1
+ bV
2
+ cV
3
,
przy czym wektor V wyznacza liczby a, b, c jednoznacznie. Wobec tego
AV = aAV
1
+ bAV
2
+ cAV
3
= aV + b(αV
2
+ βV
3
) + c(γV
2
+ δV
3
) =
= aV + (bα + cγ)V
2
+ (bβ + cδ)V
3
.
Je´sli V jest wektorem w lasnym odpowiadaja
,
cym warto´sci w lasnej λ , to musi zachodzi´c
r´owno´s´c
λaV
1
+ λbV
2
+ λcV
3
= λV = AV = aV + b(αV
2
+ βV
3
) + c(γV
2
+ δV
3
) =
= aV + (bα + cγ)V
2
+ (bβ + cδ)V
3
,
zatem, poniewa˙z wektory V
1
, V
2
, V
3
sa
,
wzajemnie prostopad le, zachodzi´c musza
,
r´ow-
no´sci λa = a , λb = bα+cγ , λc = bβ +cδ . Ten uk lad r´owna´
n z niewiadomymi a, b, c i pa-
rametrem λ mo˙zna przepisa´c w postaci (1−λ)a = 0 , (α−λ)b+γc = 0 , βb+(δ−λ)c = 0 .
Wyznacznik tego uk ladu r´owna´
n to:
1 − λ
0
0
0
α − λ
γ
0
β
δ − λ
= (1 − λ)
α − λ
γ
β
δ − λ
=
= (1 − λ) (α − λ)(δ − λ) − γβ
= (1 − λ) λ
2
− λ(α + δ) + αδ − γβ
= (1 − λ)(λ
2
+ λ + 1) .
Jasne jest, ˙ze je´sli λ jest liczba
,
rzeczywista
,
, to λ
2
+ λ + 1 > 0 , zatem jedynym rzeczy-
wistym parametrem λ , dla kt´orego uk lad r´owna´
n ma niezerowe rozwia
,
zanie jest λ = 1
— ma on niezale˙znie od warto´sci λ zerowe rozwia
,
zanie, ale nas interesuja
,
rozwia
,
zania
niezerowe. Wtedy jednak musza
,
zachodzi´c r´owno´sci b = 0 = c , a wie
,
c jedynymi rzeczy-
wistymi wektorami w lasnymi tej macierzy sa
,
wektory postaci aV
1
, gdzie a ∈ R \ {0} .
Komentarz: Mo˙zna oczywi´scie znale´z´c wielomian charakterystyczny, a potem jego
pierwiastki. Oka˙ze sie
,
, ˙ze jest on r´owny (1 − λ)(λ
2
+ λ + 1) . Wynika to sta
,
d, ˙ze je´sli
A jest dowolna
,
macierza
,
kwadratowa
,
, a D dowolna
,
macierza
,
tego samego wymiaru o
wyznaczniku r´o˙znym od zera, to wielomiany charakterystyczne macierzy A i D
−1
AD
sa
,
r´owne. Matematycy zwykli m´owi´c, ˙ze macierze A i D
−1
AD sa
,
podobne. W na-
szym przypadku D =
1 −4 12
4 11
3
8 −5 −3
(jej kolejne kolumny to wektory V
1
, V
2
, V
3
) i si la
,
rzeczy D
−1
=
1
162
2
8
16
−4 11 −5
12
3
−3
i je´sli przyjrze´c sie
,
uwa˙znie obliczeniom zaprezento-
wanym wy˙zej, to mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze zachodzi r´owno´s´c D
−1
AD =
1
0
0
0
−
1
2
√
3
2
0 −
√
3
2
−
1
2
,
ale oczywi´scie tekst komentarza nie jest cze
,
´scia
,
rozwia
,
zania.
Dodajmy jeszcze, ˙ze je´sli V ·V
1
= 0 , czyli je´sli wektor V jest prostopad ly do wektora
V
1
, to r´ownie˙z AV ·V
1
= 0 oraz kAV k = kV k i AV ·V = −
1
2
kV k
2
= kV k·kAV k·cos
2π
3
.
Wynika sta
,
d, ˙ze wektory AV i V tworza
,
ka
,
t
2π
3
. Sta
,
d wynika, ˙ze macierz A to macierz
obrotu wok´o l prostej ` , kt´ora przechodzi przez pocza
,
tek uk ladu wsp´o lrze
,
dnych i jest
r´ownoleg la do wektora V
1
. Z tej geometrycznej interpretacji wynika od razu, ˙ze jedyna
prosta przechodza
,
ca przez 0 , kt´ora jest przekszta lcana na siebie za pomoca
,
odwzoro-
wania, kt´ore przeprowadza punkt V ∈ R
3
na punkt A · V , to prosta ` , czyli o´s tego
obrotu.
4. (10 pt.) Znale´z´c rozwia
,
zanie r´ownania r´o˙zniczkowego (1 + t
2
)x
0
(t) = 1 + x(t)
2
, kt´ore
spe lnia warunek x(0) = 1 .
Rozwia
,
zanie.
Mamy arctg t + c =
R
dt
1+t
2
=
R
x
0
(t) dt
1+x
2
=
R
dx
1+x
2
= arctg x . Sta
,
d x(t) = tg(arctg t + c) .
Z r´owno´sci 1 = x(0) = tg(arctg 0 + c) = tg c wynika, ˙ze c =
π
4
. Wobec tego zachodzi
r´owno´s´c:
x(t) = tg(arctg t +
π
4
) =
tg(arctg t)+tg
π
4
1−tg(arctg t)·tg
π
4
=
t+1
1−t
.
Rozwia
,
zanie jest okre´slone dla t < 1 .
5. (10 pt.) Znale´z´c taka
,
funkcje
,
f : (0, ∞) −→ (0, ∞) zmiennej x , ˙ze styczna do jej
wykresu w dowolnym punkcie X = (x, f (x)) przecina dodatnia
,
p´o lo´s pozioma
,
uk ladu
wsp´o lrze
,
dnych w punkcie P (x) i pole tr´ojka
,
ta T o wierzcho lkach (0, 0) , P (x) i X jest
3 razy wie
,
ksze od pola tr´ojka
,
ta prostoka
,
tnego o wierzcho lku (0, 0) , kt´ory powstaje w wy-
niku podzielenia tr´ojka
,
ta T na dwa tr´ojka
,
ty wysoko´scia
,
poprowadzona
,
z wierzcho lka X .
Rozwia
,
zanie.
Poniewa˙z styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x, f (x)) ma przecina´c pozioma o´s
uk ladu wsp´o lrze
,
dnych, wie
,
c f
0
(x) 6= 0 . Liczba f
0
(x) to tangens ka
,
ta nachylenia stycznej
do dodatniego kierunku osi OX . Wobec tego punktem przecie
,
cia osi OX ze styczna
,
jest punkt x −
f (x)
f
0
(x)
, 0
(ten wynk mo˙zna te˙z uzyska´c pisza
,
c r´ownanie stycznej do wy-
kresu funkcji f w punkcie p, f (p)
, czyli y = f
0
(p)(x − p) + f (p) i wstawiaja
,
c 0 w
miejsce y ). Wysoko´s´c poprowadzona z wierzcho lka (x, f (x)) ma by´c zawarta we wne
,
trzu
tr´ojka
,
ta T , a to oznacza, ˙ze spe lniona jest nier´owno´s´c f
0
(x) < 0 . Lewy tr´ojka
,
t ma mie´c
trzy razy mniejsze pole ni˙z tr´ojka
,
t T . Oznacza to, ˙ze 3 ·
1
2
· x · f (x) =
1
2
· x −
f (x)
f
0
(x)
· f (x) ,
tzn. 2x = −
f (x)
f
0
(x)
(podzielili´smy stronami przez f (x) > 0 i pomno˙zyli´smy przez 2 ).
Mamy wie
,
c
f
0
(x)
f (x)
=
−1
2x
. Sta
,
d ln |f (x)| = −
1
2
ln |x| + C albo f (x) = ±e
C 1
√
x
.Poniewa˙z
warto´sci funkcji maja
,
by´c dodatnie, wie
,
c rozwia
,
zaniem zadania jest dowolna funkcja
postaci f (x) =
e
C
√
x
. Oczywi´scie w postaci e
C
mo˙zna zapisa´c dowolna liczbe
,
dodatnia
,
(i ˙zadnej innej, bo C oznacza tu liczbe
,
rzeczywista
,
).
Kilka kwadrat´ow dla potrzebuja
,
cych:
11
2
= 121 , 12
2
= 144 , 13
2
= 169 , 14
2
= 196 ,
15
2
= 225 , 16
2
= 256 , 17
2
= 289 , 18
2
= 324 , 19
2
= 361 , 20
2
= 400 , 21
2
= 441 , 22
2
= 484 ,
23
2
= 529 , 24
2
= 576 , 25
2
= 625 , 26
2
= 676 , 27
2
= 729 , 28
2
= 784 , 29
2
= 841 , 30
2
= 900 ,
31
2
= 961 , 32
2
= 1024 , 33
2
= 1089 , 34
2
= 1156 , 35
2
= 1225 , 36
2
= 1296 , 37
2
= 1369 ,
38
2
= 1444 , 39
2
= 1521 , 40
2
= 1600 , 41
2
= 1681 , 42
2
= 1764 , 43
2
= 1849 , 44
2
= 1936 ,
45
2
= 2025 , 46
2
= 2116 , 47
2
= 2209 , 48
2
= 2304 , 49
2
= 2401 , 50
2
= 2500 , 51
2
= 2601 ,
52
2
= 2704 , 53
2
= 2809 , 54
2
= 2916 , 55
2
= 3025 .
Kilka iloczyn´
ow dla potrzebuja
,
cych: 8 · 12 = 96 , 6 · 18 = 108 , 4 · 24 = 96 , 11 · 24 = 264 ,
4 · 26 = 104 , 3 · 27 = 81 , 5 · 27 = 135 , 11 · 27 = 297 , 4 · 32 = 128 , 5 · 32 = 160 , 8 · 32 = 256 ,
11 · 32 = 352 , 5 · 37 = 185 , 8 · 37 = 296 , 4 · 54 = 216 , 6 · 54 = 324 .