4
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Definicja
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n
, gdzie
N
n
m,
, nazywamy prostokątną
tablicę złożoną z m n
liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w
m wierszach i n
kolumnach:
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
1
2
ty wiersz
ta kolumna
j
n
j
n
i
i
ij
in
m
m
mj
mn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
i
a
a
a
j
a
a
a
a
ij
a - element macierzy
A
stojący w i -tym wierszu oraz w j -tej kolumnie.
Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu, np.
,
,
A B X
, itp. lub w postaci
ij
m n
a
,
ij
a
,
gdy znany jest jej wymiar.
Macierze
A
i
B
są sobie równe, gdy mają te same wymiary
m n
oraz
ij
ij
a
b
dla każdego
1 i
m
oraz
1
j
n
.
Rodzaje macierzy
1. Macierz wymiaru
m n
, której wszystkie elementy są równe
0
nazywamy macierzą
zerową wymiaru m n
i oznaczamy przez
m n
0
lub
0
, gdy znamy jej wymiar:
0
0
0
0
0
0
0
0
wierszy
0
0
0
0
kolumn
m n
m
n
0
2. Macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą
kwadratową. Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy
kwadratowej. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny, tworzą
główną przekątną macierzy:
11
12
1
21
22
2
1
2
macierz kwadratowa
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3. Macierz kwadratową stopnia
2
n
, w której wszystkie elementy stojące nad główną
przekątną są równe
0
, nazywamy macierzą trójkątną dolną:
główna przekątna
5
11
21
22
31
32
33
1
2
3
0
0
0
0
0
0
macierz trójkątna dolna
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Podobnie określamy macierz trójkątną górną:
11
12
13
1
22
23
2
33
3
0
0
0
macierz trójkątna górna
0
0
0
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
4. Macierz kwadratową stopnia
n , w której wszystkie elementy nie stojące na głównej
przekątnej są równe
0
, nazywamy macierzą diagonalną lub przekątniową stopnia n:
11
22
33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
macierz diagonalna
0
0
0
nn
a
a
a
a
Macierz diagonalną stopnia n , w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe
1, nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez
n
I lub przez I , gdy znany jest jej stopień.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
macierz jednostkowa
0
0
0
n
1
1
1
1
I
Definicja
Niech
ij
A
a
i
ij
B
b
będą macierzami wymiaru
m n
. Sumą (różnicą) macierzy
A
i
B
nazywamy macierz
ij
C
c
, której elementy są określone wzorem:
ij
ij
ij
c
a
b
dla
1 i
m
oraz 1
j
n
. Piszemy wtedy
C
A B
.
Definicja
Niech
ij
A
a
będzie macierzą wymiaru m n
oraz niech
będzie liczbą rzeczywistą lub
zespoloną. Iloczynem macierzy
A
przez liczbę
nazywamy macierz
ij
B
b
, której
elementy są określone wzorem:
ij
ij
b
a
dla
1 i
m
oraz 1
j
n
. Piszemy wtedy
B
A
.
6
Własności działań na macierzach
Niech
,
,
A B C
będą dowolnymi macierzami rzeczywistymi (zespolonymi) tego samego
wymiaru oraz niech
,
będą liczbami rzeczywistymi (zespolonymi). Wtedy:
1.
A B
B
A
2.
A
B C
A B
C
3.
A
A
A
0
0
4.
A
A
0
5.
A B
A
B
6.
A
A
A
7.
A
A
1
8.
A
A
Definicja
Niech macierz
ij
A
a
ma wymiar
m n
, a macierz
ij
B
b
wymiar
n k
. Iloczynem
macierzy
A
i
B
nazywamy macierz
ij
C
c
wymiaru
m k
, której elementy określone są
wzorem:
1 1
2 2
...
ij
i
j
i
j
in nj
c
a b
a b
a b
dla
1 i
m
oraz
1
j
n
. Piszemy wtedy
C
AB
.
Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A równa
się liczbie wierszy macierzy B .
Własności iloczynu macierzy
1. Niech macierz
A
ma wymiar
m n
, a macierze
B
i
C
wymiar
n k
. Wtedy:
A B C
AB
AC
2. Niech macierze
A
i
B
mają wymiar
m n
, a macierz
C
wymiar
n k
. Wtedy:
A B C
AC
BC
3. Niech macierz
A
ma wymiar
m n
, a macierz
B
wymiar
n k
oraz niech
będzie
liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wtedy:
A
B
A B
AB
4. Niech macierz
A
ma wymiar
m n
, macierz
B
wymiar
n k
, a macierz
C
wymiar
k l
. Wtedy:
AB C
A BC
5. Niech macierz
A
ma wymiar
m n
. Wtedy:
n
m
AI
I A
A
Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne, bowiem na ogół
AB
BA
. Zamiast
czynników
...
n
A A
A
piszemy
n
A .
Definicja
Niech
ij
A
a
będzie macierzą wymiaru
m n
. Macierzą transponowaną do macierzy A
nazywamy macierz
ij
B
b
wymiaru n m
, której elementy są określone wzorem:
ij
ji
b
a
gdzie
1 i
m
oraz
1
j
n
. Macierz transponowaną do macierzy
A
oznaczamy przez
T
A .
7
Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami
macierzy transponowanej.
Własności transpozycji macierzy
1. Niech
A
i
B
będą macierzami wymiaru
m n
. Wtedy:
T
T
T
A B
A
B
2. Niech
A
będzie macierzą wymiaru
m n
oraz niech
będzie liczbą rzeczywistą lub
zespoloną. Wtedy:
T
T
A
A
oraz
T
T
A
A
3. Niech
A
będzie macierzą wymiaru m n
, a
B
macierzą wymiaru
n k
. Wtedy:
T
T
T
AB
B A
4. Niech
A
będzie macierzą kwadratową oraz niech
N
r
. Wtedy:
T
r
r
T
A
A
Definicja
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
ij
A
a
nazywamy liczbę rzeczywistą (zespoloną)
det A
określoną następująco:
1. jeżeli macierz
A
ma stopień
1
n
, to
11
det A
a
2. jeżeli macierz
A
ma stopień
2
n
, to
1 1
1 2
1
11
11
12
12
1
1
det
1
det
1
det
...
1
det
n
n
n
A
a
A
a
A
a
A
gdzie
ij
A oznacza macierz stopnia
1
n
otrzymaną z macierzy
A
przez skreślenie i -tego
wiersza i j -tej kolumny.
Wyznacznik macierzy
A
oznaczamy również przez
det
ij
a
lub A .
Reguła obliczania wyznaczników stopnia drugiego
det
a
b
ad
bc
c
d
Reguła obliczania wyznaczników stopnia trzeciego (metoda Sarrusa)
det
a
b
c a
b
d
e
f d
e
aei bfg
cdh
ceg
afh bdi
g
h
i g
h
8
Definicja
Niech
ij
A
a
będzie macierzą kwadratową stopnia
2
n
. Dopełnieniem algebraicznym
elementu
ij
a
macierzy
A
nazywamy liczbę:
1
det
i j
ij
ij
D
A
gdzie
ij
A
oznacza macierz stopnia
1
n
otrzymaną przez skreślenie i -tego wiersza i j -tej
kolumny macierzy
A
.
Twierdzenie (Laplace’a)
Wyznacznik macierzy kwadratowej
n
m
A
, (
2
n
) jest równy sumie iloczynów elementów
dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadających tym elementom dopełnień algebraicznych.
Niech
ij
A
a
będzie macierzą kwadratową stopnia
2
n
oraz niech liczby naturalne i
oraz j , gdzie
1
,
i j
n
, będą ustalone. Wyznacznik macierzy
A
można obliczyć ze
wzorów:
1.
1
1
2
2
det
...
i
i
i
i
in
in
A
a D
a D
a D
rozwinięcie Laplace’a względem i – tego wiersza
2.
1
1
2
2
det
...
j
j
j
j
nj
nj
A
a D
a D
a D
rozwinięcie Laplace’a względem j -tej kolumny
Własności wyznaczników
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest
równy
0
.
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przestawimy między sobą dwie
(dwa) kolumny (wiersze).
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie (dwa) jednakowe kolumny (wiersze)
jest równy
0
.
4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy kwadratowej
zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej
macierzy.
11
12
1
1
11
12
1
1
21
22
2
2
21
22
2
2
1
2
1
2
j
n
j
n
j
n
j
n
n
n
nj
nn
n
n
nj
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
c
c
c
c
a
a
a
a
a
a
Ponadto
11
12
1
1
11
12
1
1
21
22
2
2
21
22
2
2
1
2
1
2
j
n
j
n
j
n
j
n
n
n
n
nj
nn
n
n
nj
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
5. Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza)
dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy
pomnożone przez dowolną liczbę.
6. Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.
7. Wyznacznik macierzy trójkątnej dolnej lub trójkątnej górnej jest równy iloczynowi
elementów stojącej na głównej przekątnej.
9
Definicja
Niech
A
będzie macierzą kwadratową stopnia
n . Macierzą odwrotną do macierzy
A
nazywamy macierz oznaczoną przez
1
A
, która spełnia warunek:
1
1
n
AA
A A
I
gdzie
n
I jest macierzą jednostkową stopnia
n .
Jeżeli macierz
A
ma macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną i wówczas
det
0
A
.
Definicja
Macierz kwadratową
A
nazywamy macierzą osobliwą, gdy
det
0
A
W przeciwnym wypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.
Twierdzenie
1. Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
2. Jeżeli macierz
ij
A
a
stopnia
n jest nieosobliwa, to
11
12
1
21
22
2
1
1
2
1
det
T
n
n
n
n
nn
D
D
D
D
D
D
A
A
D
D
D
gdzie
ij
D
oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów
ij
a
macierzy
A
.
Macierz
ij
D
oznaczamy symbolem
D
A i nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.
Zatem
1
det
T
D
A
A
A
Własności macierzy odwrotnych
Niech macierze
A
i
B
tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech
0
\
C
,
N
n
.
Wtedy macierze
1
A
,
T
A ,
AB
,
A
,
n
A także są odwracalne i prawdziwe są równości:
1
1
det
det
A
A
1
1
A
A
1
1
T
T
A
A
1
1
1
AB
B A
1
1
1
A
A
1
1
n
n
A
A
Literatura
1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania.