6.2. Zmienna losowa

6.2. Zmienna losowa

Rozpatrzmy zdarzenia, jak np. rzut kostką, losowanie wygranej (samochodu, nagrody

pienięŜnej) w pewnej loterii, rzut monetą. Wynikami tych zdarzeń są odpowiednio: zestaw

oczek otrzymanych na górnej ściance kostki, przedmiot wygranej, pojawienie się orła, reszki.

Często wynik doświadczenia losowego ma charakter jakościowy; aby łatwo te wyniki porów-

nywać (nadać im wymiar ilościowy) wygodnie je reprezentować liczbami rzeczywistymi. Na

przykład liczbą oczek; liczbą określającą wartość nagrody; liczbą 1, gdy pojawi się orzeł, 0,

gdy pojawi się reszka.

W podobny sposób postępujemy z innymi doświadczeniami i zdarzeniami losowymi.

Takie przyporządkowania nazywamy zmiennymi losowymi, wartościami zmiennej losowej są

liczby.

D e f i n i c j a

Niech

Ω

= {

, … ,

, …} będzie zbiorem wyników pewnego doświadczenia lo-

sowego, zaś P prawdopodobieństwem w przestrzeni (

Ω

, P). Funkcję określoną na zbiorze

wyników zbioru

Ω

, której wartościami są liczby rzeczywiste nazywamy zmienną losową.

Zmienną losową moŜe być w praktyce dowolny sposób przypisania liczb zdarzeniom

elementarnym. Zazwyczaj zmienna losowa jest liczbą charakteryzującą wyniki doświadczenia

(zdarzenia elementarne). JeŜeli np. doświadczenie losowe polega na rzucie kostką do gry, to

najprostszą zmienną losową jest liczba oczek na wierzchniej stronie kostki. Jeśli osoba loso-

wo wybiera jabłko, ze skrzyni pełnej jabłek, to zmienną losową moŜe być liczba określająca

masę tego jabłka w gramach itp. Jeśli doświadczenie losowe polega na wyborze osoby z pew-

nej grupy osób, to kaŜdej osobie moŜna przyporządkować liczbę określającą jego wiek w la-

tach (moŜna równieŜ przyporządkować liczbę liter jego nazwiska, liczbę złotych, którą ma

przy sobie, wzrost w cm).

D e f i n i c j a

Zmienną losową X nazywamy skokową (typu skokowego, dyskretną), jeŜeli zbiór war-

tości funkcji X jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym (tzn. wartości zmiennej moŜna

przedstawić jako ciąg liczbowy).

Przykład 1.

Firma produkująca aparaty fotograficzne gromadzi informacje dotyczące okresu bezawa-

ryjnego funkcjonowania tego wyrobu. RozwaŜamy doświadczenie losowe polegające na lo-

sowym wyborze aparatu (wynik doświadczenia – zdarzenie elementarne). KaŜdemu zdarzeniu

elementarnemu przyporządkowujemy okres bezawaryjnej pracy w pełnych miesiącach. W ten

sposób definiujemy zmienną losową, która przyjmuje wartości będące liczbami naturalnymi,

począwszy od zera. Teoretycznie ta zmienna moŜe osiągać dowolnie duŜe wartości. Jest to

zmienna losowa typu skokowego o nieskończonej, przeliczalnej liczbie wartości.

Przykład 2.

Gra polega na rzucie trzema monetami. Wygrywamy 8 zł, gdy pojawią się trzy reszki,

wygrywamy 4 zł, gdy pojawią się dwie reszki. W pozostałych przypadkach przegrywamy 5

zł.

Model probabilistyczny tej gry definiujemy następująco:

(

Ω

, p), gdzie

Ω

= { r r r, r r o, r o r , o r r , o o r , o r o, r o o, o o o},

p (r r r) = p (r r o) = p (r o r ) = p (o r r ) = p (o o r) = p (o r o ) = p (r o o) =

= p (o o o) = 0,125.

Zmienną losową X definiujemy następująco:

X (r r r) = 8; X (r r o) = X (r o r ) = X (o r r ) = 4;

X (o o r) = X (o r o ) = X (r o o) = X (o o o) =

−

D e f i n i c j a

Zmienną losową X nazywamy ciągłą (typu ciągłego), jeŜeli zbiór wartości X moŜna przed-

stawić jako przedział liczbowy (otwarty lub domknięty, ograniczony lub nieograniczony).

Inaczej mówiąc, zmienna losowa skokowa to taka, która moŜe przyjmować skończoną

lub przeliczalną liczbę wartości, zaś zmienna ciągła moŜe przyjmować kaŜdą z nieskończenie

wielu wartości naleŜących do pewnego przedziału liczbowego

Przykład 3.

Doświadczeniem losowym jest wybór osoby z pewnej grupy dorosłych (np. studentów

określonego rocznika studiów, pewnej uczelni) . Zbiorem zdarzeń elementarnych (wyników)

tego doświadczenia jest zbiór osób. Jest wiele moŜliwości określenia róŜnych zmiennych lo-

sowych na takiej grupie, poniewaŜ kaŜdej osobie moŜna przypisać róŜne, charakteryzujące ją

liczby (wiek, nr buta itp.).

Niech np. zmienną losową będzie liczba, którą otrzymujemy następująco: bierzemy pod

uwagę pesel danej osoby, jego cyfry piszemy w odwrotnej kolejności; tworzymy ułamek,

którego kolejnymi cyframi dziesiętnymi są tak otrzymane cyfry, zaś częścią całkowitą jest 0,

gdy tą osobą jest kobieta, a 1, gdy jest męŜczyzną.

Jest to zmienna losowa ciągła, poniewaŜ jej wartościami mogą być dowolne liczby z

przedziału (0, 2).

KaŜde zdarzenie losowe zachodzi z odpowiednim prawdopodobieństwem, a poniewaŜ w

przypadku zajścia określonych zdarzeń, zmienna losowa przyjmuje określoną wartość, to i

wartości tej przypisane jest odpowiednie prawdopodobieństwo.

Przykład 4.

W przypadku gry rozwaŜanej w przykładzie 2 mamy przyporządkowanie: wartościom

zmiennej losowej (są nimi liczby -5, 4, 8) prawdopodobieństwa otrzymania tej wartości.

∈

-5

P(x)

0,125

0,375

0,5

To przyporządkowanie nazywamy rozkładem omawianej zmiennej losowej.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1.

Futerały do okularów sprzedaje się w kolorach zielonym i brązowym, przy czym tych w kolo-

rze zielonym jest dwa razy więcej niŜ w kolorze brązowym. Są one pakowane w folię tak, Ŝe

nie da się bezpośrednio ustalić koloru futerału. Sprzedawca wyłoŜył na ladę 3 opakowania,

które wyjął z szuflady zawierającej 15 futerałów.

a) Określ prawdopodobieństwo, Ŝe wszystkie futerały są tego samego koloru.

b) Zmienną losową określamy, jako liczbę opakowań futerałów w kolorze zielonym.

Zadanie 2.

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema rozróŜnialnymi kostkami do gry. Zdarzenia

elementarne to pary wylosowanych liczb, które są tak samo prawdopodobne. Definiujemy

zmienną losową X jako przyjmującą wartości równe sumie oczek na tych kostkach.

a) Określ zbiór wartości tej zmiennej.

b) Oblicz P(X = 2), czyli prawdopodobieństwo, Ŝe zmienna losowa przyjmuje wartość 2,

P(X = 5), P(5

≤

x < 8 ).

Zadanie 3.

W loterii finansowej obowiązują następujące reguły:

•

rzucamy dwiema kostkami do gry,

•

wygrywamy 12 złotych, jeŜeli wylosujemy sumę oczek równą 12,

•

wygrywamy 6 złotych, jeŜeli wylosujemy sumę oczek równą 3,

•

we wszystkich pozostałych przypadkach przegrywamy 1 zł.

a) Zdefiniuj doświadczenie losowe i zmienną losową związane z tą loterią.

b) Oblicz prawdopodobieństwo przyporządkowane poszczególnym wartościom tej zmiennej.