www.helman.eu
1
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
∞
∞
V
0
a
x
I
II
III
Podstawy Fizyki Fazy Skondensowanej
Ćwiczenia
Ψ,
·
·
̂ !":
̂Ψ, !"
·
! #
ı̂ ∂
∂
&̂ ∂
∂
k( ∂
∂ )
·
!
·
ı̂
&̂
k(
̂Ψ, ! Ψ,
+( !
,
,
:
+(Ψ, !
∂
∂
·
! -
·
+(Ψ, !- Ψ,
Zadanie 1
Energia kinetyczna postępowego ruchu gazowej cząsteczki jest równa
.
/
0. Jaka jest długość fali de Brolie’a tej
cząsteczki w temperaturze T.
+
3
2 0
/
23 4
5
5
4
3
2 0
6547
/
23
30
5
/
4
/
3
4
5
√330
Zadanie 2
Cząstka jest uwięziona w nieskończenie wysokiej studni potencjału. Wyznacz możliwe wartości energii tej cząstki
oraz funkcje własne odpowiadające kolejnym stanom cząstki.
!
/
23
∂
/
∂
/
Ψ
23+
! Ψ 0
Ψ
:
√
23+
!
Ψ0 0 Ψ;
0 : < :
www.helman.eu
2
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
0
=
:
=
Ψ
cos sin cos sin
Ψ 2 sin
2 C
Ψ C sin
D C
/
sin
/
E
=
F
1
sin
/
1 cos
/
H
cos
/
H sin
/
H cos 2H
sin
/
H cos
/
H sin
/
H 1 cos
/
H cos 2H
2 cos
/
H 1 cos 2H
sin
/
H 1
1
2
1
2 cos 2H
1
2 1 cos 2H
D C
/
1
2 1 cos 2E
=
F
1
C
/
2 D1 cos 2E
=
F
C
/
2 #
I|
F
=
I
1
2 sin2K
F
=
)
1
2 C
/
; 0
1
4 C
/
Msin 2;
NOPOQ
RF
sin 0
S
RF
T
1
2 C
/
; 1
C U
2
;
VW
;
√23+
!
VW
;
√23+
!
+
V
/
W
/
!
/
23;
/
EX; V 1,2,3, …
Ψ U
2
; sin 6
VW
; · 7
n
n
3
2
1
a
a
0
0
www.helman.eu
3
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 3
Określ współczynniki transmisji i odbicia rozpatrując cząstkę poruszającą się w stronę potencjału schodkowego o
wysokości
Z
F
.
[ 0 0
CC
\
\
]
C
^
/
[
::
\
\
]
:
^
/
Ψ
_
:
Ψ
__
C
Ψ
_
0 Ψ
__
0 Ψ
_
`
0 Ψ
__
`
0
a
:
a
C
aa
< : C
a
b
:
a
b
C
aa
bb
<
b
:
b
C
bb
<
b
:
b
C
bb
c
: C
b
:
b
C
bb
I d
: C
:
bb
b
C
I
: : C
bb
b
C < 2 C ]
bb
b
1^ <
C
2
6
bb
b
17
<
C
2
b
bb
b
: C <
:
C
1
2
b
bb
b
bb
b
bb
b
b
bb
bb
b
b
√
23+
!
bb
e23+ Z
F
!
Zadanie 4
Rozważ elektron w cienkiej warstwie półprzewodnika. Wyznacz grubości warstwy wiedząc, że różnica energii
pomiędzy poziomem podstawowym i pierwszym poziomem wzbudzonym wynosi
0,05
Z, 3
g
9,1 · 10
.i
j
5 6,62 · 10
.l
mn 0,05
Z 8 · 10
/F
m
+
V
/
W
/
!
/
23;
/
∆+ +
/
+
i
W
/
!
/
23;
/
2
/
1
/
3W
/
!
/
23;
/
; U
3W
/
!
/
23∆+ W!
U 3
23∆+
5
2
U 3
23∆+
; 3,31 · 10
.l
mnU
3
2 · 9,1 · 10
.i
j · 8 · 10
/F
m
Zadanie 5
Cząstka o masie m znajduje się w jednowymiarowej przestrzeni w pewnym
stanie stacjonarnym opisana jest funkcją
falową postaci
Ψ C
qrsr
r
gdzie a i C to pewne stałe.
a)
Wyznacz wartość C zakładając że jest znana
6t
r
E
uv
v
√W7
b)
Wyznacz energię potencjalną tej cząstki w zależności od wielkości x, wiedząc, że jej energia całkowita to
+
=
r
!
r
/w
a)
Ψ C
qrsr
r
t C
/
/
qrsr
r
E
uv
v
C
/
t
=
r
r
E
uv
v
; < E
x
=
Z
F
I
II
www.helman.eu
4
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
y
r
=
t
r
E
uv
v
1
y
r
=
√W 1 C z
=
√{
b)
!
r
/w
,
r
,
r
Ψ ZΨ
=
r
!
r
/w
Ψ
∂
/
∂
/
Ψ
∂
/
∂
/
Ψ
|
| M
;
/
2 · 2 · ΨT ;
/
Ψ ;
/
;
/
Ψ Ψ ;
/
;
l
/
!
/
23 Ψ ;
/
;
l
/
ZΨ
;
/
!
/
23 Ψ
!
/
23 ;
/
;
l
/
Z
;
/
!
/
23
Z
;
/
!
/
23
!
/
23 ;
/
;
l
/
;
/
!
/
23
;
/
!
/
23
;
l
/
!
/
23
;
l
/
!
/
23
3-
/
;
l
!
/
3 < -
/
;
l
!
/
3
/
< -
;
/
!
3 < ;
/
-3
!
+
;
/
!
/
23
-3
!
!
/
23
-!
2
www.helman.eu
5
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
a
b
c
Ćwiczenia – 17.03.2010
Zadanie 6
Cząstka znajduje się w trójwymiarowym pudle z całkowicie nieprzepuszczalnymi ściankami. Krawędzie pudła mają
wymiary odpowiednio a, b, c. Wyznaczyć możliwe wartości energii tej cząstki.
2
2
sin
sin
sin
x
y
z
x
x
x
x
y
y
y
y
z
z
z
z
E
m
A
k x
k y
k z
n
k a
n
k
a
n
k b
n
k
b
n
k c
n
k
c
π
π
π
π
π
π
−
∆Ψ = Ψ
Ψ =
⋅
⋅
=
=
=
=
=
=
ℏ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
z
y
x
z
n
n
n
mE
a
b
c
n
n
n
E
m
a
b
c
π
π
=
+
+
=
+
+
ℏ
ℏ
Zadanie 7
Wyznacz średniokwadratowe wychylenie i średniokwadratową energię potencjalną oscylatora harmonicznego.
2
2
2
2
1
cos
x
x
A
t
T
ω
σ
=
=
+
(
)
0
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
1
cos
cos
1 sin
cos
sin
cos 2
2 cos
sin
T
T
dt
x
A
tdt
T
t
t
t
t
t
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
= −
−
=
−
∫
∫
2
1 cos 2
sin
t
t
ω
ω
= +
−
(
)
2
2
2
0
2
2
2
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
2
1
1
4
sin 2
sin
2
2
2
2
T
t
t
A
x
t dt
T
A
A
x
T
T
T
T
T
T
ω
ω
ω
π
ω
ω
ω
+
=
=
+
=
+
=
+
∫
0
2
0
2
2
2
1
2
4
P
A
T
kA
E
k x
=
=
=
www.helman.eu
6
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 8
Cząstka o masie m porusza się po osi OX w jednowymiarowym polu potencjalnym
2
2
1
2
U
m
x
ω
=
. Stosując zasadę
nieoznaczoności oszacować najmniejszą energię cząstki w tym polu.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
4
4
2
0
x
x
x
x
x
x
A
A
x
x
x
x
A
p
p
x p
p
p
A
A
p
m
x
E
m
A
d
E
m
dA
mA
ω
ω
∆ =
→
=
→ ∆ =
=
∆ =
∆ ∆ =
∆ =
→
=
+
=
=
+
= −
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
2
4
ℏ
3
2
mA
+
4
A
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
min
m
A
A
m
m
m
E
ω
ω
ω
ω
=
→
=
=
=
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
4 m
ℏ
m
m
ω
+
ℏ
ω
4
m
2
ω
1
4
4
2
ω
ω
ω
=
+
=
ℏ
ℏ
ℏ
Zadanie 9
Oszacować energię minimalną elektronu w atomie wodoru oraz jego odległość od jądra opierając się na relacji
nieoznaczoności Heisenberga.
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
4
x
x
y
y
z
z
x
y
z
C
K
P
x
r
p
p
y
r
p
p
x
r
p
p
p
p
p
e
E
E
E
m
r
πε
∆ =
∆ =
∆ =
∆ =
∆ =
∆ =
+
+
=
+
=
−
Obliczenia na x:
2
2
2
0
2
2
3
2
0
2
2
3
4
8
3
0
4
4
3
4
x
x
x
y
z
C
p
x
p
r
p
p
p
r
e
d
E
r
dr
mr
e
mr
r
πε
πε
∆ ⋅ ∆ =
=
→
=
=
=
=
−
= −
+
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
2
3
mr
ℏ
2
4
e
=
2
0
r
πε
2
0
2
3
r
me
πε
→
=
ℏ
www.helman.eu
7
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
2
2
2
2
2
0
0
0
2
2
3
3
3
3
4
8
C
e
E
m
me
me
πε
πε
πε
=
−
=
ℏ
ℏ
ℏ
2
ℏ
2
m
4
8
e
m 9
2
2
4
3
0
π ε
ℏ
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
4
3
24
12
2
24
24
24
me
me
me
me
me
me
π ε
π ε
π ε
π ε
π ε
π ε
−
=
−
=
−
= −
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
4
2
2
2
0
24
C
me
E
π ε
= −
ℏ
Zadanie 10
Funkcja falowa elektronu w stanie podstawowym w atomie wodoru ma postać
( )
1
r
r
r
Ae
−
Ψ
=
gdzie
3
1
1
A
r
π
=
i
jest wielkością stałą, natomiast r
1
to promień pierwszej orbity Bohra. Określić:
a)
Najbardziej prawdopodobną odległość pomiędzy elektronem a jądrem.
b)
Wartość średnią E
p
elektronu w polu jądra.
c)
Wykorzystać gęstość prawdopodobieństwa i funkcję falową.
Korzystamy z zależności:
2
1
ax
ax
x
xe dx
e
a
a
=
−
∫
zmieniamy także współrzędne z kartezjańskich na sferyczne
2
0
4
P
e
E
r
πε
=
−
1
2
2
2
r
r
A e
r
−
1
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
sin
sin
sin
cos
1 1
2
4
2
2
V
r
r
P
P
dr d
d
e r
E
d
d
A e
dr
d
E
π
π
π
π
θ
θ φ
φ
θ θ
θ θ
θ
πε
π
∞
−
⋅ ⋅
⋅
=
−
= −
= + =
= −
⋅
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
2
2
4
e A
π
⋅
1
1
1
1
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
1
0
0
1
0
2
4
4
4
4
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
P
P
e A
r e
dr
r e
dr
r r
r
r r
r
r
r
r
r
r
e A
e A
e A
e A
E
e
e
e A r
E
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
∞
∞
−
−
∞
∞
−
−
⋅
= −
⋅
=
+
⋅ +
⋅ ∞ +
= −
⋅
−
−
=
⋅
=
⋅ ⋅
− ⋅
=
⋅
=
∫
∫
r
dr
( )
( )
( )
2
r dr
r
dV
r dr
ρ
ρ
= Ψ
( )
2
2
4
r
r dr
π
= Ψ
( )
1
2
2
2
4
2
0
r
r
d
r
A e
r
dr
ρ
π
−
=
= −
1
2
2
1
r
r
A e
r
−
4
π
2
r
1
2
2
r
r
A e
−
+
8 r
π
( )
( )
1
1
2
2
1
1
0
P
V
P
V
r
r
r
r
E
r
dV
E
r
dV
→
= − +
=
Ψ
=
Ψ
∫
∫
www.helman.eu
8
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia – 24.03.2010
Będziemy liczyć czynniki upakowania przestrzennego
w sytuacji dwuwymiarowej oznaczymy jako
0
S
S
η
=
w trójwymiarowej jako
0
V
V
η
=
.
Zadanie 11
Zadanie 12
Oblicz współczynnik upakowania płaskiego układu heksagonalnego.
Zadanie 13
Obliczyć współczynnik upakowania przestrzennej sieci regularnej:
a)
Sieci prostej
b)
Płasko centrowanej
c)
Przestrzenie centrowanej
a)
3
0
3
4
1
2
8
8
3
6
a
V
V
a
π
π
η
=
=
=
b)
3
3
0
3
3
1
1 4
8
6
2
4 4
2 2
2
8
2 3
2
2
3
6
64
r
V
a
a
r
V
a
a
π
π
η
π
+
⋅
=
=
=
=
=
c)
3
0
3
4
3
2
3
4
3
3
4
8
a
V
a
r
V
a
π
π
η
=
=
=
=
a
a
2
0
2
4
4
a
S
S
a
π
π
η
=
=
=
2
0
3
3
4
4
6
3
1
3
6
2
2
2
a
S
S
a
a
π
π
π
η
=
=
=
=
www.helman.eu
9
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 14
Obliczyć współczynnik upakowania dla prymitywnej sieci heksagonalnej, przyjmując że
8
3
c
a
=
( )
3
0
2
4
4
4
2
3
2
12
12
12
8
8
2 2
sin 60
3
3
3
a
V
V
a a
π
π
π
π
η
=
=
=
=
=
° ⋅
Zadanie 15
Oblicz odległość najbliższych atomów w krysztale wolframu mającym sieć regularną przestrzennie centrowaną o
stałej sieci a=0,316nm.
min
3
4
3
3
2
0,316
2, 74
2
2
a
r
a
l
r
nm
A
=
=
=
=
=
Zadanie 16
Gęstość kryształu NaCl wynosi 2180kg/m
3
. Obliczyć stałą jego sieci krystalicznej.
Masa atomowa μ
Cl
=35,45 μ
Na
=22,9898 U=1,6605
.
10
-23
kg
(
)
(
)
(
)
3
3
3
4
4
4
k
Cl
Na
k
Cl
Na
k
k
Cl
Na
m
U
V
a
U
m
V
a
U
a
µ
µ
µ
µ
ρ
µ
µ
ρ
=
+
=
+
=
=
+
=
Zadanie 17
Obliczyć stałą krystaliczną sieci miedzi wiedząc że ma ona sieć regularną płasko centrowaną, masa atomowa
μ
Cu
=63,55 oraz gęstość ρ
Cu
=8890kg/m
3
. U=1,6605
.
10
-23
kg
3
3
3
4
4
4
3, 6
k
Cu
k
k
Cu
Cu
k
m
U
V
a
m
U
U
a
A
V
a
µ
µ
µ
ρ
ρ
=
=
=
=
=
=
www.helman.eu
10
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 18
Obliczyć liczbę atomów zawartych w komórce elementarnej srebra przyjmując stałą sieci a=4,0862Å masę atomową
srebra μ=107,868 oraz ρ=10500kg/m
3
. U=1,6605
.
10
-23
kg
3
3
Ag
Ag
nU
a
a
n
U
µ
ρ
ρ
µ
=
⇒
=
Zadanie 19
Obliczyć promień atomu który można umieścić w luce oktaedrycznej przy zwartym ułożeniu kul o jednakowej
wielkości o promieniu R.
Zadanie 20
Oblicz liczbę komórek elementarnych zawartych w 1cm
3
NaCl oraz stałą sieci tego kryształu wiedząc że jego gęstość
wynosi ρ=2180 a masa molowa 58,5g/mol.
(
)
3
4
Cl
Na
U
a
µ
µ
ρ
+
=
Liczę ile jest moli w m
3
potem ile jest cząstek w m
3
potem obliczam ile jest komórek elementarnych a potem się
domyśl
(oblicz to w końcu!!!)
}
3
Z
2
2
2
2
2
2
2
2 1
2
2
2
2
2
2
2
2
a
r
a
r
a
a
r
a
r
R
a
R
a
r
a
r
R
+
=
=
−
=
−
=
−
−
=
=
−
www.helman.eu
11
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 31.03.2010 określanie wskaźników Millera
( )
{ }
[ ]
wskaźniki paszczyzny
kierunek
hkl
hkl
uvw
Zadanie 21
W pewnym krysztale regularnym płaszczyzna sieniowa odcina na poszczególnych osiach odcinki o długościach x=a,
y=-a, z=2a wyznaczyć jej wskaźniki Millera
( )
(
)
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2 1
hkl
D
D
D
h
k
l
x
y
z
h
k
l
a
a
a
h
k
l
a
a
a
=
=
=
=
=
=
−
−
=
=
=
−
Zadanie 22
W pewnym krysztale regularnym płaszczyzna sieniowa odcina na poszczególnych osiach odcinki o długościach x=3,
y=-2, z=4 a wyznaczyć jej wskaźniki Millera
( )
(
)
1
1
1
3
2
4
4
6
3
12
12
12
4
6
3
hkl
D
D
D
h
k
l
x
y
z
h
k
l
h
k
l
=
=
=
=
=
=
−
−
=
=
=
−
Zadanie 23
Oblicz odległość między płaszczyznami (100), (110), (111).
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
2
2
2
1
1
1
1
3
3
3
hkl
hkl
hkl
hkl
hkl
hkl
hkl
h
k
l
d
a
d
a
d
a
a
a
d
d
a
a
a
d
d
a
a
+
+
=
+
+
=
=
→
=
+ +
=
=
→
=
+ +
=
=
→
=
www.helman.eu
12
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 24
Oblicz odległość między płaszczyznami (112)dla kryształu o strukturze tetragonalnej o stałej sieci a=b=5,34Å i
c=7,8Å).
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
hkl
hkl
h
k
l
d
a
c
a
c
d
a
c
a
c
a c
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
=
Zadanie 25
Oblicz cosinusy kierunkowe normalnej do płaszczyzny o wskaźnikach Millera (135) dla sieci regularnej
[
]
2
2
2
1
3
5
15
5
3
15
15
15
15 5 3
ˆ
ˆ
ˆ
15
5
3
15
5
3
225
25
9
259
16,1
15
cos
16,1
3
cos
16,1
5
cos
16,1
u
v
w
h
k
l
u
v
w
u
v
w
a
i
j
k
a
α
β
γ
= =
= =
=
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+ =
=
=
=
=
Zadanie 26
Obliczyć wartość kąta zawartego między dwoma prostymi
[110] i [111] w sieci kubicznej prostej kryształu o stałej sieci
a=4,08Å
2
2
2
2
3
cos
a
a
b
b
a
a
α
+
=
=
=
2
a
6
3
3
6
arccos
35, 2
3
α
=
=
=
°
Drgania sieci krystalicznej. Fonony – optyczne i akustyczne.
Jeśli mielibyśmy kryształ gdzie w komórce elementarnej występuje 1 atom – N=1 – w przypadku takiego kryształu
mogą wystąpić 3 fonony akustyczne. Liczba fononów 3N = 3
.
1 = 3 (LA, 2TA) – jeden fonon wzdłużny i dwa
poprzeczne – w takim krysztale nie mogą występować fonony optyczne.
Zjawisko dyspersyjne między tymi fononami. Rozpracuj komórkę prymitywną.
Kryształy Peroskitowe ABO
3
. A – Jon, B – inny jon.
www.helman.eu
13
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zdolność dyspersyjna.
Dla N=1
Dla N=2
3
3 2
6
N
= ⋅ =
co daje 3 fonony akustyczne i 3 fonony optyczne.
Fonony optyczne
~ 0
~ 0
Fonony akustyczne
~ 0
~ 0
ω
{
/=
q
Γ
{
/=
-
-
=
LO
2TO
LA
2TA
ω
{
/=
q
Γ
{
/=
-
-
=
ω
{
=
q
Γ
{
=
www.helman.eu
14
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 07.04.2010
Relacja miedzy wektorami sieci prostej i odwrotnej
Jeżeli przez
i
,
/
,
.
oznaczymy wektory sieci prostej, to relacja między wektorami sieci odwrotnej
i
,
/
,
.
:
i
/
.
|
i
·
/
.
|
/
.
i
|
i
·
/
.
|
.
i
/
|
i
·
/
.
|
Objętość komórki prymitywnej rozpiętej na wektorze komórki odwrotnej
Z
`
y
|
i
·
/
b
.
|
1
|
i
·
/
.
|
1
V
Jest równa odwrotności objętości komórki prymitywnej sieci prostej.
Ciepło właściwe (w naszych rozważaniach ciepło właściwe molowe)
Aby móc określić ciepło właściwe trzeba znać energię wewnętrzną kryształu
Istnieją dwie (w rzeczywistości trzy) metody opisujące drgania sieci.
1.
Model klasyczny
– który oparty jest o drgania klasycznego, jest najprostszy i bardzo niedokładny. Nie zdaje
egzaminu w niskich temperaturach.
2.
Model Einsteina
– Einstein założył, że drgania są wykonywane przez oscylatory kwantowe. Przyjął także, że
wszystkie oscylatory drgają z taką samą częstotliwością, opisuje więc raczej fonony optyczne, ponieważ
akustyczne wykazują znaczną dyspersję.
3.
Model Debye’a
– Debye dodał do metody Einsteina dyspersję. Założył, że częstotliwość jest zależna od
wektora falowego (przy czym dla małego q zależność ta jest liniowa) założył drgania kolektywne.
Fonony bada się w pobliżu środka pierwszej strefy Brillouina Γ (np. metodą Ramana) wynika z niej, że energia
fononów optycznych jest tysiąckrotnie większa od akustycznych (np. długością argonową 488nm)
Fononów akustycznych więc nie da się badać metodą Ramana. Świetnie za to bada się je metodą nieelastycznego
rozpraszania neutronów. Dodatkowo w odróżnieniu do metody Ramana metodą nieelastycznego rozpraszania
neutronów można badać fonony w całej strefie Brillouina nie tylko w bezpośrednim otoczeniu Γ (środka pierwszej
strefy Brillouina).
1.
Model klasyczny
3
0 3[0
U – energia wewnętrzna układu
N
A
– liczba oscylatorów (w naszym przypadku liczba Avogadro)
k – stała Boltzmanna
[
- stała gazowa. Równa iloczynowi liczby Avogadro i stałej Boltzmanna.
3 – pojawiła się we wzorze ze względu na trzy stopnie swobody oscylatorów.
C
E
E0 3[ 25
m
3X ·
www.helman.eu
15
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
2.
Model Einsteina – posłużymy się rozkładem Bosego-Einsteina
V5
5
1
- średnia energia oscylatora harmonicznego
V - funkcja rozkładu Bosego-Einsteina
V
1
1
3
5
1
Określmy teraz w takim wypadku
C
dla:
a)
0 5
0 5 R
1
5
0
C
E
E0 3
E
E0
5
1 5
0 1
3
E
E0
5
5
0
3
E
E0 ]
5
5 0^ 3
E
E0 0 3
C
3[
Czyli dla bardzo wysokich temperatur mamy pokrycie się z modelem klasycznym.
b)
0 5
0 5 R
1 R
1
C
E
E0 3
E
E0 M
5
T 3
5
/
0
/
3
]
5
0^
/
3[ ]
5
0^
/
C
V
3R
Krzywa doświadczalna
(np. kalorymetrem)
pokazuje że
C
~0
.
Model klasyczny
Model Einsteina
T
C
V
3R
Jest to całkowicie błędne
Krzywa doświadczalna
(np. kalorymetrem)
pokazuje że
C
~0
.
Model klasyczny
T
www.helman.eu
16
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
3.
Model Debye`a
Debye dodał do modelu Einsteina zależność liniową pomiędzy częstością a wektorem falowym.
-
ś
~
gdzie
ś
to średnia prędkość fononów
Gdzie
to częstotliwość Debye`a.
Rozkład częstości oscylatorów w modelu Debye`a:
jE
4W
/
ś
.
E
D jE
F
D
4W
/
ś
.
·
5
1
E
F
Ta funkcja musi być unormowana, aby to zrobić trzeba ją scałkować po całej objętości.
D jE
F
3
D
4W
/
ś
.
E
F
4W
ś
.
D
/
E
F
4W
ś
.
K
1
3
.
K
F
4W
3
ś
.
w
.
4W
3
ś
.
w
.
3
w
.
9
4W
ś
.
R
¡
¢
£
¢
¤
w
3U
4W
¥
ś
ś
.
4W
9
w
.
I
D
4W
/
4W
9
w
.
·
5
1
E
F
D
/
w
.
9
·
5
1
E
F
9
5
w
.
D
.
1
E
F
Dygresja:
Wprowadzamy
5
0 R
0
5 R E
0
5 E R
w
5
w
0
¦
0
Gdzie
¦
to temperatura Debye`a
5
w
¦
ω
q
j
w
www.helman.eu
17
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
w
¦
5
9
5
w
.
D
60
5 7
.
1
0
5 E
F
9
5
w
.
D ]
0
5 ^
l
.
1 E
F
9
5
w
.
]
0
5 ^
l
D
.
1 E
F
9
5
6¦
5 7
.
]
0
5 ^
l
D
.
1 E
F
9
0
l
¦
.
D
.
1 E
F
9[
0
l
¦
.
D
.
1 E
F
Określmy teraz w takim wypadku
C
dla:
a)
0 5
0 5
w
w
R ∞ < D
.
1 E
v
F
W
l
15
9[
0
l
¦
.
·
W
l
15
3
5 ·
[W
l
¦
.
0
l
C
E
E0
3
5 ·
[W
l
¦
.
E
E0 0
l
3
5 ·
[W
l
¦
.
· 40
.
C
12
5 ·
[W
l
¦
.
· 0
.
Czyli dla niskich temperatur mamy pokrycie z krzywą doświadczalną.
b)
0 5
0 5
w
1
9[
0
l
¦
.
D
.
1 E
F
9[
0
l
¦
.
D
.
1 1 E
F
9[
0
l
¦
.
D
/
E
F
9[
0
l
¦
.
K
1
3
.
K
F
9[
0
l
¦
.
1
3
w
.
3[
0
l
¦
.
w
.
3[
0
l
¦
.
¦
.
0
.
3[0
C
E
E0
E
E0 3[0 3[
Czyli dla wysokich temperatur mamy zgodność z modelem klasycznym, Einsteina i z krzywą doświadczalną.
C
V
3R
C
~0
.
Model klasyczny
Model Einsteina
Model Debye`a
C
~0
.
T
www.helman.eu
18
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 28.04.2010
Zadanie 27
Obliczyć minimalną długość fali cieplnej w tytanie, jeżeli temperatura Debye’a dla tytanu wynosi
¦ 5˚C a prędkość
rozchodzenia się dźwięku w tytanie jest równa
6000
w
ª
,
1,38 · 10
/.
,
5 6,626 « 10
–.l
m « n 4,135 «
10
–i
Z « n
w
¦
5
4
4
w ®
5
¦
6,66 · 10
.l
· 6 · 10
.
1,38 · 10
/.
· 5 10¯
Zadanie 28
Jaka jest maksymalna energia fononów w krysztale ołowiu jeżeli temperatura Debye’a dla ołowiu wynosi
¦ 94.
w
¦
5 < 5
w
¦
+ 5
w
¦ 1,38 · 10
/.
· 94 0,08
Z
Zadanie 29
Określić ilość ciepła niezbędną do ogrzania kryształu
;CX o masie 3 20j od temp 0
i
2 do 0
/
4,
temperatura Debye’a dla
¦
°=y±
320, masa molowa ;CX ² 58,5
³
w±
Ciepło właściwe molowe:
´
12
5 ·
[W
l
¦
.
· 0
.
µ
m
· 3X¶
Ciepło właściwe masowe:
C
´
²
12
5² ·
[W
l
¦
.
· 0
.
µ
m
· j¶
· 3 D C
E0
r
¸
3 D
12
5² ·
[W
l
¦
.
· 0
.
E0
r
¸
12
5² ·
[W
l
¦
.
· 3 D 0
.
E0
r
¸
12
5² ·
[W
l
¦
.
· 3 µ
1
4 0
l
¶
¸
r
3
5² ·
[W
l
¦
.
· 3 · ¹0
/
l
0
i
l
º
Zadanie 30
Przy podgrzewaniu srebra
² 108
³
w±
o masie
3 10j od temperatury 0
i
10 do 0
/
20 zużyto · 0,71m
ciepła określić temperaturę Debye’a dla srebra zakładając że
¦ 0
·
3
5² ·
[W
l
¦
.
· 3 · ¹0
/
l
0
i
l
º
¦
.
3
5² ·
[W
l
· · 3 · ¹0
/
l
0
i
l
º
¦ U
3
5² ·
[W
l
· · 3 · ¹0
/
l
0
i
l
º
¥
www.helman.eu
19
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 31
Wyliczyć graniczną częstotliwość Debye’a, jeżeli wiadomo, że ciepło molowe
´
dla srebra przy temp
0 20
wynosi
´
1,7
¼
w± ½
C
12
5 ·
[W
l
¦
.
· 0
.
¦ U
12
5 ·
[W
l
C
· 0
.
¥
w
¦
5
5
U12
5 ·
[W
l
C
· 0
.
¥
Zadanie 32
Posługując się teorią ciepła właściwego określić energię wewnętrzną jednego mola kryształu w temperaturze
0 0,1¦. Temperatura Debye’a dla danego kryształu wynosi ¦ 300.
3
5 ·
[W
l
¦
.
0
l
3
5 ·
[W
l
¦
.
0,1
l
¦
l
3
5 · [W
l
· ¦ · 10
l
3
5 · 8,31 · 3,14
l
· 300 · 10
l
14,5
Zadanie 33
Długość Fali λ fononu odpowiadającego częstotliwości
0,01
w
wynosi
4 52V3 określić temperature Debye’a
¦ jeżeli średnia wartość prędkości dźwięku w krysztale wynosi 4,8
w
ª
.
w
¦
5
4
4
¦
5
w
1005
100
5
4
Zadanie 34
Określić pęd Fononu o częstotliwości
0,1
w
. Średnia prędkość dźwięku w tym krysztale wynosi
1380
w
ª
a
¦ 100.
5
4
5
0,1
5
w
0,1
5
¦
5 0,1
¦
Zadanie 35
Oblicz liczbę fononów występujących w zakresie częstotliwości
∆ 4 ¾ 4,1¿À w krysztale o objętości Z 1´3
.
i temperaturze T=300K. średnia prędkość propagacji fali w krysztale wynosi
6000
w
ª
.
j · Á · VE
3
4W
/
.
1
1
E ·
1
1000 12
3,14 · 4
/
6000
.
1
Â,·iF
Ã¥Ä
·l
i,ÅÆ·.FF
1
0,1 ·
1
1000 4,4 · 10
Æ
www.helman.eu
20
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
K
L
F-P
LA+2T
A
F
F
ª
~
¦
¦
2
Wprowadzenie do spektroskopii Brillouina
równe prawdopodobieństwa
rozpraszanie kwazi-elastyczne
nie jest czysto elastyczne
nie jest czysto sprężyste
´
F
~
-
F
-
Ç
F
ª
|~| È
F
ª
È
F
sin
¦
2
ª
sin
¦
2 2
F
sin
¦
2
F
-
F
´ V ~
-
Ç
-
F
-
ª
2
F
sin
¦
2
~
-
Ç
´ V
-
Ç
∆-
É
∆-
É
2
-
F
´ V sin
¦
2
∆-
É
2
-
F
V
´ sin
¦
2
prędkość propagacji fononów w krysztale
¦ kąt rozpraszania
-
F
promieniowanie padające
V współczynnik załamania światła
´ prędkość światła
•
Zmiana długości fali (Raman) nie ma wpływu na przesunięcie danego modu
•
W przypadku Brillouine’a długość fali ma wpływ na przesunięcie Brillouine’a
•
W procesie oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z drganiami sieci (fononami o częstości
-
Ç
i wektorze falowym
~) mogą powstawać lub zanikać fonony (stokesowskie i antystokesowskie linie
Brillouinesowskie w widmie).
www.helman.eu
21
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 36
Na kryształ lodu pada światło o długości
4 455V3. Pod kątem ¦ 65˚ obserwuje się światło rozproszone w
skutek efektu Brillouina. Obliczyć częstotliwość fononów oraz wartość względnej zmiany częstotliwości
rozproszonego promieniowania.
3230 3/n
4
´
2W´
-
F
-
F
2W´
4
∆-
É
2
V
´
2W´
4 sin
¦
2 4
WV
4 sin
¦
2
Zadanie 37
Światło laserowe o długości fali
4 694V3 pada na kryształ kwarcu ulegając rozproszeniu w skutek drgań
akustycznych sieci krystalicznej. Obliczyć względną zmianę częstotliwości światła rozproszonego przyjmując
V 1,54 6000
w
ª
¦ 90°
∆-
É
-
F
∆-
É
· 4
F
´ · 2W 4
WV
4
F
sin
¦
2
4
F
´ · 2W 2
V
´ sin
¦
2 4,35 · 10
Zadanie 38
Obliczyć prędkość fal podłużnych w krysztale mających sieć stałą regularną przestrzennie centrowaną mającą stałą
sieci
; 1¯ dla którego temperatura Debye’a Θ 208
1 atom
~
w=
Í
{
=
2 atomy
~
w=
Í
{
/=
w
Θ
5
- 2W
w
2W
Θ
5 ~
w
2W
Θ
5~
w
2W
Θ
5
2;
W 4
Θa
5
Zadanie 39
Obliczyć prędkość dźwięku w krysztale o strukturze regularnej prostej
Θ 300, ; 2,5¯
w
Θ
5
w
4
-
~ 2W
Θ
5
;
W 2
Θa
5
www.helman.eu
22
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 05.05.2010
Typy drgań normalnych (wykonuje je każda molekuła)
I
:Ï
reprezentują drgania jednowymiarowe
+ dwukrotnie zdegenerowane
Ð trójkrotnie zdegenerowane
opisuje drgania symetryczne względem osi o najwyższej krotności
: opisuje drgania antysymetryczne względem osi o najwyższej krotności
³
oznacza że drganie jest symetryczne względem środka symetrii
Ñ
oznacza że drganie jest antysymetryczne względem środka symetrii
i
oznacza symetryczność drgania względem innej osi niż oś o najwyższej krotności
/
oznacza antysymetryczność drgania względem innej osi niż oś o najwyższej krotności
`
symetryczność drgania względem płaszczyzny symetrii (jeśli płaszczyzn jest wiele, mówimy wówczas o
symetryczności względem płaszczyzny horyzontalnej)
``
antysymetryczność drgania względem płaszczyzny symetrii (jeśli płaszczyzn jest wiele, mówimy wówczas o
antysymetryczności względem płaszczyzny horyzontalnej)
i
drganie pełno symetryczne
Tabela wkładów atomów niezmieniających swego
położenia pod wpływem danej operacji symetrii do
pełnego charakteru operacji na danej molekule
Operacje symetrii
Wkłady
Ò – operacja tożsamościowa
3
Ó
Ô
oś właściwa
-1
Ó
Õ
0
Ó
Ö
1
Ó
×
2
Ø płaszczyzna symetrii (dowolna)
1
Ù centrum symetrii (środek)
-3
Ú
Õ
oś niewłaściwa
-2
Ú
Ö
-1
Ú
×
0
V
Û
1
5 Ü 5
Ý
Χ
Ý
Û
Χ
Ý
ß
®
Ýài
V
Û
liczba reprezentacji danego typu (jest zawsze równa liczbie całkowitej)
Suma wszystkich operacji w danej grupie punktowej jest równa rzędowi grupy punktowej
5 rząd grupy punktowej
5
Ý
liczba operacji symetrii w danej klasie
Χ
Ý
Û
wkład wynikający z reprezentacji redukowalnej
Χ
Ý
ß
wkład z tabeli charakterów
W widmach absorpcyjnych w podczerwieni aktywne są tylko te drgania, które transformują się poprzez translacje
, , 0
, 0
, 0
translacje w odpowiednich kierunkach
Aktywność w widmie Ramana
www.helman.eu
23
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
/
/
/
H
/
H
/
H
/
Tensor polaryzowalności:
á
H
H
H
H
H
H
H
H
H
â
www.helman.eu
24
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 12.05.2010
Zadanie 40
Wyznacz liczbę i symetrię drgań wykonywanych przez molekułę wody
À
/
ã
Rozpatrujemy molekułę więc grupa punktowa
C
/
Pierwsza rzecz jaką robimy to przygotowanie tabeli do reprezentacji redukowalnej i następnie nieredukowalnej
C
/
+
C
/
ä
å2
ä
æ2
Liczba
nieprzemieszczających
się atomów
3
1
3
1
Wkład
3
-1
1
1
Γ
gx
reprezentacja
redukowalna
9
-1
3
1
Magiczna formuła:
V
Û
1
5 Ü 5çΧ
Ý
Û
Χ
Ý
ß
®
Ýài
V
¸
1
4 ¹1 · 1 · 9 1 · 1 · 1 1 · 1 · 3 1 · 1 · 1º
12
4 3
V
r
1
4 ¹1 · 1 · 9 1 · 1 · 1 1 · 1 · 3 1 · 1 · 1º
4
4 1
V
É
¸
1
4 ¹1 · 1 · 9 1 · 1 · 1 1 · 1 · 3 1 · 1 · 1º
12
4 3
V
É
r
1
4 ¹1 · 1 · 9 1 · 1 · 1 1 · 1 · 3 1 · 1 · 1º
8
4 2
Γ
=±
3
i
/
3:
i
2:
/
Γ
=®ª.
i
:
i
:
/
Γ
é.
/
:
i
:
/
Γ
êªë±
Γ
=±
Γ
=®ª.
Γ
é.
3
i
/
3:
i
2:
/
i
:
i
:
/
/
:
i
:
/
2
i
:
i
Ó
Ôì
Ò
Ó
Ô
Ø
í
îÔ
Ø
í
ïÔ
ð
ñ
1
1
1
1
0
H
, H
, H
ð
Ô
1
1
-1
-1
[
H
ò
ñ
1
-1
1
-1
0
, [
H
ò
Ô
1
-1
-1
1
0
, [
H
Zadanie 41
Wyznacz liczbę i symetrię drgań molekuły czterochlorku węgla
CCX
l
o symetrii punktowej
0
x
.
C
/
+
8C
.
3C
/
6ó
l
6ä
x
www.helman.eu
25
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Liczba
nieprzemieszczających
się atomów
5
2
1
1
3
Wkład
3
0
-1
-1
1
Γ
gx
reprezentacja
redukowalna
15
0
-1
-1
3
Magiczna formuła:
V
Û
1
5 Ü 5çΧ
Ý
Û
Χ
Ý
ß
®
Ýài
V
¸
1
24 ¹1 · 1 · 15 8 · 1 · 0 3 · 1 · 1 6 · 1 · 1 6 · 1 · 3º
24
24 1
V
r
1
24 ¹1 · 1 · 15 8 · 1 · 0 3 · 1 · 3 6 · 1 · 1 6 · 1 · 3º
0
24 0
V
ô
1
24 ¹1 · 2 · 15 8 · 1 · 0 3 · 1 · 1 6 · 0 · 1 6 · 0 · 3º
24
24 1
V
¸
1
24 ¹1 · 3 · 15 8 · 0 · 0 3 · 1 · 1 6 · 1 · 1 6 · 1 · 3º
24
24 1
V
¸
1
24 ¹1 · 3 · 15 8 · 0 · 0 3 · 1 · 1 6 · 1 · 1 6 · 1 · 3º
72
24 3
Γ
=±
i
+_ 0
i
30
/
Γ
=®ª.
0
/
Γ
é.
0
i
Γ
êªë±
Γ
=±
Γ
=®ª.
Γ
é.
i
+ 0
i
30
/
0
i
0
/
i
+ 20
/
Zadanie 42
Wyznacz liczbę i symetrię drgań dla molekuły amoniaku
À
.
o symetrii
C
.
C
.
+
2C
.
3ä
Liczba
nieprzemieszczających
się atomów
4
1
2
Wkład
3
0
1
Γ
gx
reprezentacja
redukowalna
12
0
2
Magiczna formuła:
V
Û
1
5 Ü 5çΧ
Ý
Û
Χ
Ý
ß
®
Ýài
V
¸
1
6 ¹1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2º
18
6 3
V
r
1
6 ¹1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2º
6
6 1
V
ô
1
6 ¹1 · 2 · 12 2 · 1 · 0 3 · 0 · 2º
24
6 4
www.helman.eu
26
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Γ
=±
3
i
/
4+
Γ
=®ª.
i
+
Γ
é.
/
+
Γ
êªë±
Γ
=±
Γ
=®ª.
Γ
é.
3
i
/
4+
i
+
/
+ 2
/
2+
Zadanie 43
Wyznacz liczbę i symetrię drgań dla molekuły amoniaku
:
.
o symetrii
Á
.
Á
.
+
2C
.
3C
/
ä
®
2ó
.
3ä
Liczba
nieprzemieszczających
się atomów
4
1
2
4
1
2
Wkład
3
0
-1
1
-2
1
Γ
gx
reprezentacja
redukowalna
12
0
-2
4
-2
2
Magiczna formuła:
V
Û
1
5 Ü 5çΧ
Ý
Û
Χ
Ý
ß
®
Ýài
V
¸
ö
1
12 ¹1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1 · 1 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2º
12
12 1
V
r
ö
1
12 ¹1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1 · 1 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2º
12
12 1
V
ô
ö
1
12 ¹1 · 2 · 12 2 · 1 · 0 3 · 0 · 2 1 · 2 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2º
36
12 3
V
¸
öö
1
12 ¹1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1 · 1 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2º
0
12 0
V
r
öö
1
12 ¹1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1 · 1 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2º
24
12 2
V
ô
öö
1
12 ¹1 · 2 · 12 2 · 1 · 0 3 · 0 · 2 1 · 2 · 4 2 · 1 · 2 3 · 0 · 2º
12
12 1
Γ
=±
i
`
/
`
3+
`
2
/
``
+
``
Γ
=®ª.
/
``
+
`
Γ
é.
/
`
+
``
Γ
êªë±
Γ
=±
Γ
=®ª.
Γ
é.
i
`
/
`
3+
`
2
/
``
+
``
/
``
+
`
/
`
+
``
i
`
2+
`
/
``
Ćwiczenia z dnia 19.05.2010
Analiza symetrii położeniowych
:ã
.
5 atomów, oktaedry w narożach tej komórki, struktura kubiczna, 8 oktaedrów.
duży czarny atom
: środki oktaedrów
ã
.
Atomy tlenu w wierzchołkach
:ã
.
symetria ÷33ø3 0
i
www.helman.eu
27
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
ã
;
: ã
3ã Á
l
´ lub E
Czytamy od końca
ã
1 oznacza, że w komórce elementarnej nie może być dwóch atomów o tej samej symetrii
Jeden – tylko dwa atomy, ich symetria jest taka sama
Dwa – dwa różne atomy w różnych miejscach o takiej samej symetrii
ã
najwyższa możliwa symetria oktaedryczna
Á
l
3 tleny
Ile drgań wprowadza każdy z tych atomów?
15 drgań – 3 translacje, 3 libracje (wyhamowanie rotacyjne)
ã
cÐ
iÑ
ç
E
V ;3 j
V
ç
Ej;V ;
Ð
iÑ
3
I
Á
l
2Ð
iÑ
Ð
/Ñ
6 3
I Γ
15
² nigdy w ramanie, może być aktywna w podczerwieni.
Γ
=
Ѫ
Ð
b
fonony akustyczne
W spektroskopii optycznej
:ã
.
nie zaobserwujemy drgań
:ã
.
:;0 ã
.
tytanian baru
ã
i
4Ð
iÑ
Ð
/Ñ
Ð
=
Ѫ
Ð
iÑ
W fazie wysokotemperaturowej ma taką symetrię w
0
y
120° zmienia fazę na struktury ã
i
< C
i
. Jeżeli obniżamy
temperaturę zmniejsza się symetria, gdy występuje przejście fazowe. Gdy przejście fazowe nie występuje to stała
sieci się zmienia.
1 oznacza ile takich jednostek strukturalnych mieści się w komórce elementarnej.
Komórka prymitywna jest komórką spektroskopową w ramanie, i ma mniejszą V od elementarnej komórki.
W Oktaedrach tleny są rozróżnialne, nie możemy odczytać tego faktu z tablic.
C
i
1
:
C
l
0 C
l
ã1 C
l
2ã2 C
/
∞ nieskończoność (odnośnie tabeli) dane rentgenostrukturalne
Tabela13b
Ba
„a”?
C
l
i
+
Ti
„b”
C
l
i
+
O(1)
C
l
i
+
2O(2)
C
/
i
:
i
2+
1
Gdyby
2 to Γ 30
Γ
ê
4
i
:
i
5+
Przejście typu przesunięciowego
4
i
[, [ó :
i
[ó 5+[, [ó
www.helman.eu
28
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 44
Określ liczbę i symetrię drgań normalnych w krysztale o strukturze perowskitu
W dwóch przypadkach
a)
Z jednym typem jonów w pozycji b
b)
Z dwoma różnymi jonami w pozycji b w stosunku 1 do 1
a)
:ã
.
b)
:
F,
`
:
F,
``
ã
.
/
:
`
:
``
ã
Â
Ð33ø3
jeśli w „b” w środkach znajdują się jony rozróżnialne to następuje porządkowanie w jeśli się porządkują to zmniejsza
się symetria.
Stała sieci zwiększa się dwa razy
Objętość komórki elementarnej jest 4x większa od prymitywnej.
ã
i
ã
÷33ø3 < Ð33ø3
/
8 atomów
0
x
Γ Ð
iÑ
Ð
/³
:
`
4 atomy
ã
Γ Ð
iÑ
:
``
4 atomy
ã
Γ Ð
iÑ
ã
Â
24 atomy
Á
/
Ó
Öì
Γ
i³
+
³
Ð
i³
2Ð
iÑ
Ð
/³
Ð
/Ñ
Γ
i³
+
³
Ð
i³
5Ð
iÑ
2Ð
/³
Ð
/Ñ
:
F,
`
:
F,
``
ã
.
/
:
`
:
``
ã
Â
ó
/
srtont
X
aluminium
0;
tantan
ã
Â
tlen
ó
/
X0;ã
Â
duże różnice w promieniach jonowych
Γ
é
2Ð
/³
i³
+
³
obecne w ramanie
W widmie powinny wystąpić 4 linie
i³
Ð
/³
+
³
i³
elementy diagonalne tensora Ramana
(
̂
̂
ª
(
ª
Polaryzacja – najistotniejsze.
+
³
wzdłuż elementów diagonalnych polaryzacja
i³
+
³
powinniśmy rejestrować w każdej geometrii równoległej
www.helman.eu
29
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 26.05.2010
Funkcja rozkładu Fermiego Diraca
+
1
ôô
1
0 0
+
energia Fermiego
Poziom Fermiego w zwykłych temperaturach:
+
5
/
23 ]
2V
8W^
/
.
Maksymalna energia elektronu w najwyższym zajętym poziomie energetycznym w metalu
+
w=
5
/
83 3WV
/
.
Parametr zwyrodnienia poziomów energetycznych w metalach
ô
W temperaturze zera bezwzględnego elektrony wypełniają najpierw najniższe stany energetyczne, a następnie coraz
wyższe aż do energii Fermiego. W temperaturze wyższej od 0K pewna niewielka część elektronów może przekroczyć
tę wartość energii tak iż Energia Fermiego staje się średnią energią kinetyczną elektronów które mogą przenieść się
do stanów niezajętych, a więc są to elektrony swobodne.
Zadanie 45
Wyznaczyć funkcję rozkładów Fermiego w temp różnej od 0K dla elektronu znajdującego się na poziomie Fermiego.
Otrzymany wynik przedyskutować.
+
1
ôô
1
1
1 1
1
2
Na poziomie
+
może być tylko jeden elektron
Zadanie 46
Znaleźć różnicę energii (w jednostkach
0)między elektronem znajdującym się na poziomie Fermiego a elektronem
znajdującym się na poziomie którego prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi
i
0,2 oraz
/
0,8
i
1
ô
¸
ô
1
1
½
+
+
www.helman.eu
30
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
ô
¸
ô
1
i
1
+
i
+
0 ln ]
1
i
1^
+
i
+
0 ln ]
1
i
1^
+
i
+
0 ln ]
1
0,2 1^ 0 ln 4
+
/
+
0 ln ]
1
0,8 1^ 0 ln
1
4 0 ln 4
Zadanie 47
W jaki sposób i ile razy zmieni się prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektrony poziomu energetycznego w
metalu jeżeli poziom ten jest położony o 0,1eV wyżej od poziomu Fermiego, a temperatura zmienia się od 1000K do
300K.
Stała Boltzmana
8,62 · 10
g
½
+
1
ôô
1
i
1
F,ig
Æ,Â/·iF
Ã
g
½ ·iF
¥
½
1
1
F,i
Æ,Â/·iF
Ã
·iF
¥
1
1
i,iÂ
1 0,2386
/
1
F,i
Æ,Â/·iF
Ã
·.FF
1
1
F,i
Æ,Â/·iF
Ã
·iF
¥
1
0,02049
i
/
11,64
Zadanie 48
Wyznaczyć prawdopodobieństwo zapełnienia pasma przewodnictwa przez elektrony w półprzewodniku jeśli
wiadomo, że poziom Fermiego leży w środku pasma zabronionego a dla elektronów w paśmie przewodnictwa można
posługiwać się rozkładem Boltzmanna zamiast Fermiego (szerokość pasma wzbronionego
∆+
³
0).
+ +
1
2 ∆+
³
+
1
6ôô
7
1
1
i
/∆ô
1
∆ô
1
]
∆ô
/
^
∆ô
/
Zadanie 49
Oblicz energię Fermiego w
0 0 dla aluminium. Przyjąć że na każdy atom aluminium przypadają trzy elektrony
swobodne. Gęstość aluminium
} 2,7 10
.
³
w
¥
masa atomowa
² 26,98
³
w±
.
+
1
2
∆+
³
∆+
³
www.helman.eu
31
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Jak opisać ilość elektronów w metalu?
Ze względna to że elektrony można opisać za pomocą funkcją rozkładu Fermiego ponieważ są fermionami. Można je
podzielić na dwa obszary do poziomu Fermiego i powyżej.
D +j+E+
v
F
D 1 · j+E+
ô
F
D 0 · j+E+
v
ô
D 1 · j+E+
ô
F
Ponieważ mogą się znaleźć 2 elektrony o przeciwnych spinach możemy zapisać:
j E 2
4WZ
5
.
/
E
j+E+
Wyrażamy energię za pomocą pędu.
+
/
23
/
23+
√23+
E
3
√23+
E+ U
3
/
23+ E+ z
3
2+ E+
j+E+ 2
4WZ
5
.
23+z
3
2+ E+ 2
4WZ
5
.
U43
.
+
/
2+ E+
8WZ
5
.
e23
.
+E+
D j+E+
ô
F
D
8WZ
5
.
e23
.
+E+
ô
F
8WZ
5
.
e23
.
D √+E+
ô
F
8WZ
5
.
e23
.
K
2
3 +
/
.
K
F
ô
8WZ
35
.
23+
/
.
g
8WZ
35
.
23+
/
.
+
V
g
8WZ
35
.
23
/
.
/
.
5
/
83 ]
3V
g
W ^
/
.
1n
/
2n
/
2
Â
3n
/
3
.g
walencyjne
g
3
±
g
3
}
²
+
5
/
83 ]
9}
²W ^
/
.
Zadanie 50
Określić jaka część elektronów przewodnictwa w metalu w temperaturze
0 ma energię kinetyczną większą od
połowy energii Fermiego.
www.helman.eu
32
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
i
D j+E+
ô
i
/ô
D
8WZ
5
.
e23
.
+E+
ô
i
/ô
8WZ
5
.
e23
.
D √+E+
ô
i
/ô
8WZ
5
.
e23
.
K
2
3 +
/
.
K
i
/ô
ô
8WZ
35
.
23+
/
.
1 U
1
8
/
8WZ
35
.
23+
/
.
i
/
1 U
1
8
i
/
1 U
1
8 0,65
Zadanie 51
Wykazać że w metalu w temperaturze
0:
a)
Średnia arytmetyczna prędkość elektronów przewodnictwa wynosi
0,75
w=
b)
Średnia kwadratowa prędkość wynosi
!
0,7746
w=
VE C
/
E
"
t
VE
qs
F
t
VE
qs
F
C t
.
E
qs
F
C t
/
E
qs
F
#14
l
#
F
qs
#13
.
#
F
qs
3
4
w=
0,75
w=
/
øøø t
/
VE
qs
F
t
VE
qs
F
C t
l
E
qs
F
C t
/
E
qs
F
#15
#
F
qs
#13
.
#
F
qs
3
5
w=
/
e
/
øøø U3
5
w=
/
U
3
5
w=
0,7746
w=
Zadanie 52
Wyznacz liczbę oraz symetrię drgań normalnych cząsteczek
trans
/
Ð
/
o płaskiej strukturze opisanej symetrią
C
/
.
Podzielić drgania na wewnętrzne i zewnętrzne oraz opisać ich aktywność w widmach IR i RS
Liczba drgań
3 3 \ 4 12
C
/
+
C
/
ä
LNA
4
2
0
2
Wkład
3
-1
-3
1
Γ
gx
12
-2
0
2
V
1
4 1 \ 12 \ 1 1 \ 2 \ 1 1 \ 0 \ 1 1 \ 2 \ 1
12 2 2
4
3
V
É
1
4 1 \ 12 \ 1 1 \ 2 \ 1 1 \ 0 \ 1 1 \ 2 \ 1
12 2 2
4
3
V
$
1
4 1 \ 12 \ 1 1 \ 2 \ 1 1 \ 0 \ 1 1 \ 2 \ 1
12 2 2
4
2
V
É
$
1
4 1 \ 12 \ 1 1 \ 2 \ 1 1 \ 0 \ 1 1 \ 2 \ 1
12 2 2
4
4
www.helman.eu
33
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Γ
3
³
3:
³
2
Ñ
4:
Ñ
Γ
=®ª
Ñ
:
Ñ
Γ
³
:
³
Γ
ªë
3
³
3:
³
2
Ñ
4:
Ñ
Ñ
:
Ñ
³
:
³
2
³
[, [ó 2:
³
[
Ñ
3:
Ñ
Zadanie 53
Wyznacz przesunięcie Brillouina dla geometrii
¦ 90°. Na podstawie otrzymanej zależności oblicz prędkość
propagacji fali sprężystej w krysztale o współczynniku załamania światła
V 1,45. Długość fali światła
wzbudzającego
4 514,5V3 a zaobserwowane przesunięcie Brillouina wynosi Δ- 27&À
4
´
2W´
- < -
2W´
4
Δ- 2
V
´ - sin
¦
2
Δ-´
2V- ]sin
¦
2^
i
Δ-´
2V 2W´
4
]sin
¦
2^
i
Δ-4
4VW ]sin
¦
2^
i
Zadanie 54
Oblicz energię Fermiego w
0 0 dla miedzi. Przyjąć że na każdy atom aluminium przypadają dwa elektrony
swobodne. Gęstość aluminium
} 2,7 10
.
³
w
¥
masa atomowa
² 26,98
³
w±
.
Ze względna to że elektrony można opisać za pomocą funkcją rozkładu Fermiego ponieważ są fermionami. Można je
podzielić na dwa obszary do poziomu Fermiego i powyżej.
D +j+E+
v
F
D 1 · j+E+
ô
F
D 0 · j+E+
v
ô
D 1 · j+E+
ô
F
Ponieważ mogą się znaleźć 2 elektrony o przeciwnych spinach możemy zapisać:
j E 2
4WZ
5
.
/
E
j+E+
Wyrażamy energię za pomocą pędu.
+
/
23
/
23+
√23+
E
3
√23+
E+ U
3
/
23+ E+ z
3
2+ E+
j+E+ 2
4WZ
5
.
23+z
3
2+ E+ 2
4WZ
5
.
U43
.
+
/
2+ E+
4WZ
5
.
e83
.
+E+
D j+E+
ô
F
D
4WZ
5
.
e83
.
+E+
ô
F
4WZ
5
.
e83
.
D √+E+
ô
F
4WZ
5
.
e83
.
K
2
3 +
/
.
K
F
ô
8WZ
35
.
23+
/
.
g
8WZ
35
.
23+
/
.
www.helman.eu
34
Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
+
V
g
8WZ
35
.
23
/
.
/
.
5
/
83 ]
3V
g
W ^
/
.
g
2
yÑ
g
2
}
²
+
5
/
83 ]
6}
²W ^
/
.
Zadanie 55
Wychodząc z funkcji rozkładu energetycznego elektronów przewodnictwa, znaleźć funkcję rozkładu prędkości
elektronów w metalu w temperaturach
0 0 i 0 ' 0. Przedstawić przybliżony obraz tej funkcji dla obu
temperatur.
0 0
V+E+ j++E+
+ c1 EX; 0 ( + ) +
0 EX; + ' +
I
j E 2
4WZ
5
.
/
E
Wyrażamy energię za pomocą pędu.
+
/
23 <
/
23+ < √23+
E
3
√23+
E+ U
3
/
23+ E+ z
3
2+ E+
j+E+ 2
4WZ
5
.
23+z
3
2+ E+
4WZ
5
.
U83
.
+
/
2+ E+
4WZ
5
.
e83
.
+E+
V+E+
4WZ
5
.
e83
.
+ \ 1 \ E+
Zależność między energią a prędkością:
+
3
/
2 < √+ z
3
2 < E+ 3 E
Podstawiamy:
VE
4WZ
5
.
e83
.
z
3
2 3 E
4WZ
5
.
e43
Â
/
E
8W3
.
Z
5
.
/
E
0 ' 0
+
1
6ôô
7
1
1
]w
r
/ô
/
^
1
VE
8W3
.
Z
5
.
/
+E
8W3
.
Z
5
.
/
1
6ôô
7
1
E
8W3
.
Z
5
.
/
1
]w
r
/ô
/
^
1
E