1

Filtry analogowe

W³aœciwoœci uk³adów liniowych, funkcja przenoszenia (I)

Z matematycznego punktu widzenia uk³adem liniowym nazywa siê taki uk³ad, który mo¿e byæ opisany

za pomoc¹ liniowych równañ ró¿niczkowych. Istotn¹ w³aœciwoœci¹ uk³adów liniowych jest to, ¿e

spe³niaj¹ one zasadê

i

.

W uk³adzie liniowym zawieraj¹cym sta³e elementy skupione zale¿noœæ miêdzy sygna³ami

wyjœciowym

a wejœciowym

mo¿e byæ opisana za pomoc¹

:

(1)

przy czym:

- wspó³czynniki rzeczywiste;

.

Pierwiastki zespolone

,

s¹, odpowiednio, zerami oraz biegunami funkcji przenoszenia

.

Rozk³ad zer i biegunów na p³aszczyŸnie zmiennej

opisuje w³asnoœci funkcji przenoszenia uk³adu.

Poniewa¿ wspó³czynniki wielomianów

,

s¹ rzeczywiste wiêc zera i bieguny s¹ liczbami

rzeczywistymi albo wystêpuj¹ w parach zespolonych sprzê¿onych.

y(t)

x(t)

Y(s)= {y(t)}; X(s)=

{x(t)}

K(s)

k(t) bêd¹c¹ tzw.

(t)

x(t) = (t) ),

k(t) =

{K(s)}

operatorowej funkcji

przenoszenia

bêd¹c¹ wymiern¹ funkcj¹ zespolonej pulsacji

K(s)

s= +j

d w

K(s)=Y(s) / X(s) = [b s +b

s

+...+b ] / [a s +a s +...+a ]=

= [b (s-z )...(s-z )] / [a (s-s )...(s-s )] = L(s) / M(s)

a , b

z s

K(s)

s

L(s) M(s)

m

m -

1

0

n

n-1

0

m

1

m

n

1

n

j

i

i

j

m

m -

1

n

n-1

L

L

L

Operatorowa funkcja przenoszenia

jest transformat¹ Laplace'a funkcji

odpowiedzi¹ impulsow¹ uk³adu czyli odpowiedzi¹ na pobudzenie w postaci funkcji Diraca

( tzn

kiedy:

co z kolei oznacza, ¿e:

.

d

d

-1

Warunek ten jest spe³niony je¿eli czêœci

rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego

s¹ ujemne, tzn. bieguny funkcji

przenoszenia

le¿¹ w lewej pó³p³aszczyŸnie zmiennej .

M(s)

K(s)

s

superpozycji proporcjonalnoœci

Uk³ad opisany funkcj¹ przenoszenia (1) jest stabilny je¿eli dla wymuszenia

o skoñczonym

czasie trwania odpowiedŸ

zanika do zera.

x(t)

y(t)

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

2

Filtry analogowe

Doprowadzaj¹c na wejœcie uk³adu sygna³ sinusoidalny otrzymuje siê czêstotliwoœciow¹ funkcjê

przenoszenia

, tzn:

(2)

która, bêd¹c zespolon¹ funkcj¹ pulsacji

, mo¿e byæ przedstawiona za pomoc¹ dwóch sk³adowych:

czêœci rzeczywistej

i urojonej

b¹d¿ modu³u

i fazy

. Czeœæ urojona

i

charakterystyka fazowa

s¹ funkcjami nieparzystymi zmiennej

natomiast czêœæ rzeczywista

i charakterystyka amplitudowa

funkcjami parzystymi. Definiuje siê ponadto tzw. opóŸnienie

grupowe

:

(3)

W uk³adach stabilnych sk³adow¹ rzeczywist¹

oraz urojon¹

wi¹¿¹ zale¿noœci ca³kowe

zwane

.

Wa¿n¹ klasê uk³adów liniowych stawnowi¹

dla których danej

charakterystyce

odpowiada minimalna wartoœæ fazy

.

W uk³adach takich charakterystyki amplitudowa i fazowa powi¹zane s¹

zale¿noœciami ca³kowymi zwanymi

.

Dla dowolnej minmalnofazowej funkcji wymiernej

, której licznik i mianownik przedstawiæ mo¿na

zawsze w postaci iloczynów wielomianów I- i II-stopnia, zastosowaæ mo¿na aproksymacjê

charakterystyk czêstotliwoœciowych asymptotycznymi odcinkami prostej otrzymuj¹c tzw.

. Wartoœci na osi rzêdncyh i odciêtych wyra¿ane s¹ tutaj w

skali logarytmicznej. Inaczej mówi¹c, przy opisie uk³adów minimalnofazowych skorzystaæ mo¿na z

w³aœciwoœci superpozycji logarytmicznych charakterystyk amplitudowo fazowych.

K(j )

K(j ) = K(s) |

= A( ) e

= P( )+jQ( )

P( )

Q( )

A( )

( )

Q( )

( )

P( )

A( )

( )

( ) = - d ( )/d

P( )

Q( )

A( )

( )

K(j )

w

w

w

w

w

w

w

w

w

f w

w

f w

w

w

w

t w

t w

f w w

w

w

w

f w

w

s=jw

j ( )

f w

zwi¹zkami Hilberta

tzw. uk³ady minimalnofazowe

Stabilne uk³ady minimalnofazowe

odznaczaj¹ siê tym, ¿e nie tylko bieguny ale i zera funkcji przenoszenia le¿¹ w lewej

pó³p³aszczyŸnie zmiennej .

zwi¹zkami Bodego

charakterystyki asymptotyczne Bodego

s

W³aœciwoœci uk³adów liniowych, funkcja przenoszenia (II)

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

3

Filtry analogowe

W ogólnym przypadku za idealny uk³ad niezniekszta³caj¹cy przyjmuje siê taki uk³ad, którego funkcja
przenoszenia dana jest wzorem:

(4)

czyli:

,

Idealny uk³ad niezniekszta³caj¹cy odznacza siê wiêc niezale¿n¹ od czêstotliwoœci charakterystyk¹
amplitudow¹ oraz liniow¹ charakterystyk¹ fazow¹ (a co za tym idzie, sta³¹ wartoœci¹ opóŸnienia).

Idealna charakterystyka - w sensie wzoru (4) nie mo¿e byæ zrealizowana w oparciu o rzeczywiste
uk³ady liniowe zawieraj¹ce sta³e elementy skupione, dlatego te¿ w procesie projektowania uk³adu
stosuje siê zawê¿one pojêcia charakterystyk idealnych.

Projektowanie uk³adów liniowych polega na aproksymacji pewnych charakterystyk przyjêtych za
idealne za pomoc¹ charakterystyk mo¿liwych do osi¹gniêcia w uk³adach rzeczywistych. Odnosi siê to
zarówno do charakterystyk amplitudowych, jak i fazowych.

Bardzo istotn¹ u¿ytkowo i niezwykle szeroko stosowan¹ klas¹ uk³adów liniowych s¹
bêd¹ce strukturami maj¹cymi zadanie oddzia³ywania na okreœlone sk³adowe czêstotliwoœciowe
sygna³u.

K(j ) = k e

A( ) = k , ( )=-

( ) = -

w

w

f w wt t w

t

0

0

0

0

-jw t

0

filtry analogowe

Jednym z najistotniejszych jest podzia³ filtrów pod k¹tem
w³aœciwoœci czêstotliwoœciowych. Rozró¿nia siê zatem filtry:

.

d o l n o p r z e p u s t o w e ,

g ó r n o p r z e p u s t o w e ,

pasmowoprzepustowe, pasmowozaporowe, mieszane

Aproksymacja idealnych charakterystyk czêstotliwoœciowych,

projektowanie filtrów analogowych (I)

Rys. 1. Charakterystyki
czêstotliwoœciowe
idealnego filtru
dolnoprzepustowego

Rys. 2. Charakterystyki
czêstotliwoœciowe
filtrów rzeczywistych

pasmo zaporowe

w

g

w

-w

g

k

0

pasmo przepustowe

pasmo zaporowe

A( ), ( )

w f w

górnoprzepustowy

pasmowozaporowy

pasmowoprzepustowy

dolnoprzepustowy

w

A( )

w

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

4

Filtry analogowe

Najczêœciej stosowane charakterystyki rzeczywiste
aproksymuj¹ce charakterystyki idealne to:

maksymalnie p³aska (wartoœæ modu³u

) -

Butterwortha

równomiernie falista (wartoœæ modu³u

) -

Czebyszewa

maksymalnie liniowej fazy

A( )

A( )

w

w

S t o s u n k o w o

p r o s t a

w

p r o j e k t o w a n i u

( a p r o k s y m a c j i

matematycznej). W stosunku do innych ma najbardziej plaski
przebieg

w paœmie przepustowym. Osi¹ga siê to kosztem

mniejszej stromoœci charakterystyki w paœmie zaporowym oraz
relatywnie nieliniowej charakterystyki fazowej.

Przy jej opisie wykorzystuje siê tzw. wielomiany Czebyszewa.
Stosunkowo z³o¿ona w projektowaniu (aproksymacji
matematycznej). W paœmie przepustowym charakteryzuje siê
jednakowymi odchy³kami od wartoœci œredniej. Filtr tego typu
odznacza siê dobrymi w³aœciwoœciami pasmowymi i filtracyjnymi.
Odbywa siê to kosztem nieliniowej charakterystyki fazowej i
gorszych w³aœciwoœci impulsowych (odpowiedŸ nieaperiodyczna).

Jest równoznaczna z maksymalnie p³ask¹ charakterystyk¹
opóŸnienia grupowego. Z³o¿ona w projektowaniu (aproksymacji
matematycznej); stosuje siê tutaj czêsto tzw. wielomiany Bessela
(filtr z charakterystyk¹ Thomsona). Odznacza siê równomiernym
przebiegiem charakterystyki fazowej kosztem niezbyt dobrych
w³aœciwoœci pasmowych i filtracyjnych. Filtr taki posiada zbli¿on¹
do aperiodycznej odpowiedŸ jednostkow¹ przez co chêtnie
stosowany jest w uk³adach impulsowych.

Aproksymacja idealnych charakterystyk czêstotliwoœciowych,

projektowanie filtrów analogowych (II)

Rys. 3. Amplitudowe charakterystyki

czêstotliwoœciowe filtrów dolnoprzepustowych

idealna

równomiernie falista

maksymalnie p³aska

w

g

w

k

0

k

0, œ

r

k

0, g

A( )

w

Jakkolwiek charakterystyki idealne i

aproksymacyjne odniesione zosta³y
tutaj do filtru dolnoprzepustowego, to
analogiczne metody aproksymacji
mog¹ byæ stosowane tak¿e przy
projektowaniu filtrów o innego typu
c h a r a k t e r y s t y k a c h
c z ê s t o t l i w o œ c i o w y c h ( n p .
górnoprzepustowych). Wymaga to
odpowiedniego przetransformowania
zmiennej .

w

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

5

Filtry analogowe

Transformacja czêstotliwoœci i metoda
obwiedni

1. Transformacja czêstotliwoœci

Metody te stosowane s¹ do projektowania filtrów
o

r ó ¿ n e g o

t y p u

c h a r a k t e r y s t y k a c h

czêstotliwoœciowych na bazie odpowiednika
dolnoprzepustowego.

Polega na takiej zamianie zmiennej s, po której
pierwotny uk³ad (prototyp) dolnoprzepustowy
ulega przekszta³ceniu w swój odpowiednik np.
œrodkowoprzepustowy, górnoprzepustowy itd.

P r z y k ³ a d .

T r a n s f o r m a c j a

u k ³ a d u

dolnoprzepustowego na œrodkowoprzepustowy

Odpowiednikiem œrdokowoprzepustowym reaktancji
indukcyjnej X = j L jest reaktancja obwodu równa zeru dla

=

i proporcjonalna do przetransformowanej zmiennej

czêstotliwoœciowej

. Takiej transformacji indukcyjnoœci L

odpowiada transformacja zmiennej czêstotliwoœciowej
wg zale¿noœci:

=

-

/

(5)

Ogólnie rzecz bior¹c, operator dolnoprzepustowy s
podlega transformacji na operator œrodkowoprzepustowy
p wg zale¿noœci:

p = s +

/s

(6)

g d z i e :

-

c z ê s t o t l i w o œ æ

œ r o d k o w a

f l t r u

pasmowoprzepustowego - rys. 4.

w

w w

W

W w w w

w

w

0

0

0

2

2

0

Natomiast transformacja odwrotna do (6) nie jest
jednoznaczna !

Dla w¹skiego przedzia³u czêstotliwoœci

:

2(

)

(7)

p 2(s

j

)

(8)

Czynnik 2 uwzglêdnia tutaj przesuniêcie na osi

w

kierunku czêstotliwoœci dodatnich, sk³adowych
ujemnoczêstotliwoœciowych. Wskutek czego

dla

zachowania wartoœci powierzchni pola (a zatem mocy
sygna³u), charakterystyki pasmowoprzepustowe musz¹ byæ
2 -

k r o t n i e

w ê ¿ s z e

o d

i c h

o d p o w i e d n i k ó w

dolnoprzepustowych (rys. 5).

w » w

W » w-w

»

-/+ w

w -

-

0

0

0

Projektowanie filtrów analogowych (III)

Rys. 4. Równowa¿ne
elementy dolno-
i pasmowoprzepustowe

w

0

2

= 1/LC

L

C

R

R

L

C

L

C

Rys. 5. Amplitudowe charakterystyki czêstotliwoœciowe

równowa¿nych uk³adów: dolno- i pasmowoprzepustowego

w

g

w

g

w

0

w

k

0

k

0

Ö

2

A( )

w

Dobroæ filtru:
Q =

/

w w

0

g

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

6

Filtry analogowe

W analogiczny sposób dokonaæ mo¿na transformacji uk³adu dolnoprzepustowego na:

nastêpuje zamiana indukcyjnoœci (pojemnoœci) na pojemnoœci (indukcyjnoœci)

p=1/s

(9)

nastêpuje zamiana indukcyjnoœci (pojemnoœci) na obwód rezonansu równoleg³ego (szeregowego)

p=1/(s+

/s)

(10)

górnoprzepustowy

pasmowozaporowy

w

0

2

Projektowanie filtrów analogowych (IV)

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

7

Filtry analogowe

2. Metoda obwiedni

obwiednia odpowiedzi

odpowiedŸ

oprogramowania

in¿ynierskiego typu CAD

W przypadku uk³adów w¹skopasmowych, dla których s³uszne s¹ zale¿noœci (7), (8) transformacja

czêstotliwoœci - odniesiona do opisu tych samych uk³adów w dziedzinie czasu, prowadzi do tzw. metody

obwiedni.

Je¿eli bowiem

, to funkcja

posiada transformatê

. Wyra¿enie

jest

ogólnym opisem przebiegu sinusoidalnego o czêstotliwoœci równej

zmodulowanego amplitudowo

funkcj¹

- st¹d nazwa metody. A zatem

w¹skopamowego uk³adu

pasmowoprzepustowego na pobudzenie przebiegiem impulsowym jest taka sama jak

pierwotnego uk³adu dolnoprzepustowego, co ilustruje rys. 6.

Filtry projektuje siê obecnie przy

wykorzystaniu

(CAD - ang.

Computer Added Designing), w tym

u d o s t ê p n i a n e g o

n a

w ³ a s n y c h

witrynach WWW przez producentów

mikrouk³adów elektronicznych !

f(t) <-> F(s)

f(t)e

F(s-s )=F(p/2)

f(t)e

f

f(t)

j

t

j

t

w

w

0

0

0

0

Projektowanie filtrów analogowych (V)

y(t)

y (t)

p

t

t

Rys. 6. Odpowiedzi impulsowe
równowa¿nych uk³adów:
a) dolno

,

b) pasmowoprzepustowego

przepustowego

a)

b)

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV

Rys. 7. Górnoprzepustowy f

ze wzmacniaczem operacyjnym

w uk³adzie Sallena-Keya oraz jego podstawowe parametry

iltr aktywny

Dolna czêstotliwoœæ graniczna:
(R =R =R, C =C =C): f

=1/(2 RC)

Wzmocnienie napiêciowe:
k =

Dobroæ:
Q=1/(3-k )

Nachylenie charakterystyki:
12 dB/okt.

1

2

1

2

d.gr.

0

0

p

1+ R /R

3

4

U

we

U

wy

R

1

C

1

R

3

R

2

C

2

R

4

8

Filtry analogowe

Pod wzglêdem

filtry analogowe podzieliæ mo¿na na:

sposobu realizacji

pasywne (RC, LC)

aktywne (RC, LC)

ceramiczne (kwarcowe)

Filtry te buduje siê przy wykorzystaniu wy³¹cznie elementów pasywnych: rezystorów, cewek
(pojedynczych lub sprzê¿onych) oraz kondensatorów. Uk³ady LC wykorzystuje siê przy wysokich i b.
wysokich czêstotliwoœciach (radiowych i telewizyjnych) oraz tam, gdzie istotna jest du¿a sprawnoœæ
energetyczna (filtry energetyczne). Maj¹ one na ogó³ gorsz¹ sta³oœæ parametrów ni¿ realizacje RC ale
pozwalaj¹ osi¹gaæ wartoœci pewnych parametrów (np. dobroci) które s¹ niemo¿liwe do osi¹gniêcia w
realizacjach RC. Filtry LC s¹ trudno przestrajalne.

Filtry te buduje siê przy wykorzystaniu
elementów pasywnych - g³ównie R i C
oraz elementów aktywnych (np.
tranzystorów) lub z³o¿onych uk³adów
elektronicznych (np. wzmacniaczy
operacyjnych - rys. 7).

. Filtry aktywne

LC pracuj¹ zwykle w zakresie w.cz. - w roli wzmacniaczy selektywnych. Znajduj¹ zastosowanie w
technice radiowej, telewizyjnej oraz telekomunikacji. Filtry aktywne s¹ zwykle ³atwiej przestrajalne ni¿
pasywne.

Filtry te charakteryzuj¹ siê wybitnie dobrymi w³aœciwoœciami filtracyjnymi oraz bardzo du¿¹ sta³oœci¹
parametrów w czasie. Ich wad¹ jest praktyczna nieprzestrajalnoœæ. Znajduj¹ zastosowanie w technice
radiowej, telewizyjnej oraz telekomunikacji.

Mog¹

posiadaæ w³aœciwoœci (g³ównie
c h a r a k t e r y s t y k i
czêstotliwoœciowe) nieosi¹galne w
uk³adach pasywnych

Realizacje filtrów analogowych

Elektronika Analogowa i Cyfrowa

MCHT, Sem. IV