2 

Prawdopodobieństwo, tw. Bayesa, rozkład Bernoulliego i Poissona 

 
 
Zad.1 Rzucamy monetą tak długo aż wypadnie orzeł.  
Obliczyć prawdopodobieństwo, że: 
a) wykonano 7 rzutów 
b) wykonano nie mniej niż 4 a nie więcej niż 6 rzutów. 
c) wykonano parzystą liczbę rzutów  
Zad.2 Rzucamy kostką do gry tak długo aż wypadnie 6.  
Obliczyć prawdopodobieństwo, że 
a) wykonano 4 rzuty 
b) wykonano nie mniej niż 2 a nie więcej niż 4 rzutów. 
c) wykonano nieparzystą liczbę rzutów  
d) wykonano liczbę rzutów podzielną przez 3. 
Zad. 3 Dana jest przeliczalna przestrzeń zdarzeń elementarnych. 
 





N

n

n







:



 oraz prawdopodobieństwo określone w następujący sposób: 

n

n

C

P

3

2

)

(





. Znaleźć stałą C. 

Zad.4 Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt z kwadratu 





2

1

1

0

:

)

,

(













y

x

y

x

K

 leży: 

 a) pod prostą 

x

y

2



. 

 b) pod parabolą 

2

x

y 

 

 Zad. 5 Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt z prostokąta 





2

1

:

)

,

(









y

x

y

x

P

 leży: 

a) w obszarze 





1

:

)

,

(







y

x

y

x

A

 

b) należy do koła o środku w punkcie 

)

0

,

0

(

i promieniu 1. 

c) leży nad parabolą 

2

x

y 

 

d) leży między wykresami funkcji 

x

y

i

x

y





2

. 

Zad. 6 Dwie osoby umówiły się w klubie muzycznym pomiędzy godziną  
21.00 a 22.00. Dodatkowo postanowiły, że osoba która przyjdzie pierwsza, czeka na drugą 
15 minut. Jeżeli w tym czasie druga osoba nie przyjdzie, pierwsza osoba odchodzi. 
Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo tego, że osoby te spotkają się. Przyjąć, że moment  
pojawienia się każdej z osób w klubie jest czysto przypadkowy. 
Zad. 7. Czas przejazdu rowerem ścieżką rowerową na trasie Bydgoszcz Myślęcinek 
wynosi 20 minut. W losowo wybranym momencie między godziną 10:00 a 12:00 
wyruszają tą trasą dwaj przyjaciele. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spotkają się jeżeli 
jeden wyjeżdża z Bydgoszczy a drugi z Myślęcinka.  
Zad.8 Test  wykrywa chorobę u 98 osób na 100 chorych, oraz u 3 osób na 100 zdrowych. 
Wiadomo, że 0,2% populacji cierpi na tą chorobę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 
wylosowana osoba, u której test wykrył chorobę jest  zdrowa. 
Zad. 9 Sondaż przeprowadzony w pewnym mieście na temat budowy obwodnicy dał 
następujące wyniki: 40% wypowiedziało się za budową, a wśród nich 80% zajmowało się 
transportem. Natomiast wśród przeciwników tego przedsięwzięcia 30% to osoby zajmujące 
się transportem. Losowo wybrana osoba stwierdziła, że zajmuje się transportem. Obliczyć 
prawdopodobieństwo, że jest ona przeciwnikiem budowy. 
Zad. 10 W pewnym zakładzie produkuje się 10% produktów wadliwych. Przeprowadzono 
dodatkową kontrolę, przy której 5% elementów wadliwych mogło zostać 
zakwalifikowanych jako dobrych, a 2% dobrych jako wadliwe. 
Obliczyć prawdopodobieństwo, że element, który przy dodatkowej kontroli został 
zakwalifikowany jako dobry jest rzeczywiście dobry. 
 

3 

 
Zad. 11 Sklep sprzedaje trzy rodzaje wiertarek do drewna. 45% asortymentu pochodzi z 
fabryki I, 30% z II a 25% z trzeciej. 
3% wiertarek z I fabryki, 4% z II oraz 1% z III jest wadliwych. 
Obliczyć prawdopodobieństwo, że zakupiona sprawna wiertarka pochodzi z II fabryki. 
Zad. 12 Pracownik odsługuje 5 obrabiarek automatycznych funkcjonujących niezależnie 
od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny obrabiarka wymaga interwencji 
pracownika wynosi 0,8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: 
a) żadne z urządzeń nie będzie wymagało interwencji pracownika 
b) co najmniej dwa będą wymagały interwencji 
c) wszystkie będą wymagały interwencji. 
Zad. 13 W fabryce produkującej miksery poddano kontroli technicznej partię 10 mikserów. 
Prawdopodobieństwo, że mikser przestanie działać w trakcie kontroli wynosi 0,01. 
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w czasie kontroli: 
a) wszystkie urządzenia będą działać 
b) przestanie działać 1 mikser 
c) przestaną działać co najwyżej dwa  
Zad. 14 Według badań 10% detali wyprodukowanych w pewnym zakładzie jest 
wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej próbie 7 detali co 
najwyżej jeden będzie wadliwy. 
Zad. 15 Firma transportowa ma 10 samochodów dostawczych, z których każdy codziennie 
wyjeżdża z prawdopodobieństwem 0,8. Oblicz prawdopodobieństwo normalnej pracy firmy 
w najbliższym dniu jeżeli wiadomo, że normalny ruch wymaga co najmniej 7 kursujących 
samochodów. 
Zad. 16 Urządzenie do kserowania przeciętnie 4 na 800 kopii robi odbitki wadliwe. 
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 500 kopii: 
a)  dwie będą wadliwe 
b) co najwyżej trzy będą wadliwe 
Zad. 17 Średnia miesięczna liczba kolizji samochodowych na pewnym skrzyżowaniu 
wynosi 2. Przyjmując, że miesięczna liczba kolizji drogowych ma rozkład Poissona  
znaleźć prawdopodobieństwo, że w najbliższym miesiącu: 
a) wystąpią 3 kolizje 
b) co najwyżej jedna kolizja. 
Zad. 18 Prawdopodobieństwo wygrania na loterii wynosi 0,002. Korzystając z przybliżenia 
Poissona wyznaczyć prawdopodobieństwo, że wśród 400 osób grających na tej loterii 
a) żadna nie wygra 
b) wygra 1 osoba 
c) wygra od 1 do 4 osób. 
 
Odp. 

128

1

)

1a

,

64

1

)

1b

,

3

1

)

1c

 , 

1296

125

)

2a

, 

1296

455

)

2b

, 

11

6

)

2c

, 

91

25

)

2d

, 

1

)

3



C

, 

,

)

4

4

1

a

,

0

)

4b

,

)

5

2

1

a

,

)

5

8



b

,

)

5

12

5

c

24

1

)

5d

, 

5625

,

0

)

6

, 

36

25

)

7

, 

94

,

0

)

8 

,  

64

,

0

)

9

,.

96

,

0

)

10

, 

299

,

0

)

11

 Odp. 

00032

,

0

)

12a

, 

99328

,

0

)

12 b

, 

32768

,

0

)

12c

, 

904

,

0

)

13a

, 

091

,

0

)

13b

,  

9995

,

0

)

13c

 ,

85

,

0

)

14

,

879

,

0

)

15

, 

26

,

0

)

16a

, 

76

,

0

)

16b

, 

18

,

0

)

17a

, 

41

,

0

)

17b

, 

45

,

0

)

18a

, 

36

,

0

)

18b

,

55

,

0

)

18c

.