DYNAMIKA BUDOWLI 

 

 
 
 
 
 

 

wszystko płynie 

wszystko drga 

 

 
 
 
 
 
 
 

 

Wszystkie procesy twórcze w przyrodzie dzieją się w stanach dalekich 
od równowagi

. 

 

 

Michał Heller 

Szczęście w przestrzeniach Banacha, 1997 

 
 
 
 
 
 
 

Gdańsk, 2007 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

2 

1.  Drgania swobodne nietłumione 

 
Drgania konstrukcji o jednym stopniu swobody: 
 

1.  Drgania swobodne: 

a)  Nietłumione: 

0

mu ku

+

=

 

b)  Tłumione: 

0

mu cu ku

+

+

=

 

 

2.  Drgania wymuszone: 

( )

mu cu ku

p t

+

+

=

 

a)  Siłą harmoniczną 

0

( )

sin( )

p t

p

t

ω

=

 

b)  Impulsem 
c)  Siłą dowolną 

 
Drgania swobodne nietłumione 
 

 

 
 
 
Siły sprężystości 

s

f  i bezwładności 

i

f : 

  ( )

( ),

s

f t

ku t

=

 (1.1) 

 
  ( )

( ).

i

f t

mu t

=

 (1.2) 

 

0

0.5

1

1.5

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

t [s]

s

ila

 [

N

]

sila bezwladosci f

i

sila sprezystosci f

s

 

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-2

-1

0

1

2

u [m]

s

ila

 [

N

]

sila bezwladosci f

i

sila sprezystosci f

s

 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

3 

Drgania swobodne nietłumione opisane są następującym równaniem: 
 
 

0

mu ku

+

=

, (1.3) 

 
gdzie  m oznacza masę,  k  sztywność. Drgania swobodne zapoczątkowane są poprzez wytrącenie 
układu z pozycji równowagi poprzez warunki początkowe, tzn. przyłożenie wychylenia początko-
wego

0

u  lub/i prędkości początkowej 

0

u w czasie 

0

t

=

. Warunki początkowe mają następującą po-

stać: 
 
 

0

0

(0)

,       (0)

u

u

u

u

=

= . (1.4) 

 
Równanie  (1.3) wraz z warunkami początkowymi  (1.4) tworzy zagadnienie własne. Rozwiązanie 
powyższego równania stanowią w dynamice konstrukcji drgania własne nierzeczywistego układu 
bez tłumienia. 
 
Równanie charakterystyczne ma postać:  
 
 

2

0

ms

k

+ = . (1.5) 

 
Jego rozwiązaniem są dwa pierwiastki zespolone: 
 
 

1

2

      s

n

n

s

i

i

ω

ω

=

= −

, (1.6) 

 
gdzie 

n

ω

 oznacza częstość kołową drgań (naturalną) mierzoną w rad/s wyrażoną wzorem: 

 

 

n

k

m

ω

=

. (1.7) 

 
Rozwiązaniem ogólnym równania (1.3) jest: 
 
 

1

2

1

2

1

2

( )

n

n

i t

i t

s t

s t

u t

A e

A e

A e

A e

ω

ω

−

=

+

=

+

. (1.8) 

 
Korzystając z zależności między funkcjami wykładniczymi a trygonometrycznymi: 
 

 

cos

sin

,

cos

sin

,

n

n

i t

n

n

i t

n

n

e

t i

t

e

t i

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

=

+

=

−

 (1.9) 

 
równanie (1.8) może być zapisane jako: 
 
  ( )

cos

sin

n

n

u t

A

t B

t

ω

ω

=

+

. (1.10) 

 
Stałe A oraz B zostaną wyznaczone z warunków brzegowych (1.4): 
 

 

(0)

(0)     

n

u

A u

B

ω

=

=

. (1.11) 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

4 

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-0.5

0

0.5

u(0) 

u(0) 

. 

T

n

 

C

 

 

 
Amplituda drgań zależna od warunków początkowych: 
 
 

2

2

C

A

B

=

+

 (1.12) 

 
pozwala zapisać wzór (1.10) w postaci zwiniętej: 
 
  ( )

sin(

)

n

u t

C

t

ω

ϕ

=

+

, (1.13) 

gdzie: 

 

A

arctg

B

ϕ

=

. (1.14) 

Czas potrzebny do wykonania jednego cyklu drgań nazywany jest okresem drgań: 
 

 

2

n

n

T

π

ω

=

. (1.15) 

 
Częstotliwość mierzona w Hertzach wyraża się następującym wzorem: 
 

 

1

2

n

n

n

f

T

ω

π

=

=

. (1.16) 

Naturalna częstość kołowa drgań może być wyrażona w alternatywnej formie: 
 

 

n

st

g

ω

δ

=

, (1.17) 

 
gdzie ugięcie statyczne 

st

δ

 wyraża się wzorem: 

 

 

st

mg

k

δ

=

. (1.18) 

 
Stąd wzór (1.17) zapisać można jako: 

 

1

n

st

k

m

m

ω

δ

=

=

. (1.19) 

 
Drgania swobodne nietłumione zaprezentowane są w pliku 

cw1_01.m 

t [s] 

u [m] 

f

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

5 

Z

ADANIE

 1.1 

Dany jest wspornik o długości 

L, z masą m skupioną na jego końcu, EI = const. Obliczyć częstość 

drgań swobodnych nietłumionych. 
 

 

 
 

2

3

1

11

0

3

L

M

L

ds

EI

EI

δ

=

=

∫

 

 
 
 

3

11

1

3

n

EI

m

mL

ω

δ

=

=

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

6 

Z

ADANIE

 1.2 

Dany jest wspornik o długości L = 2 m wykonany ze stali o module sprężystości E = 200GPa i gę-
stości 

ρ

 = 7850kg/m

3

. Belka ma przekrój dwuteowy o następujących wymiarach: b = 10  cm, 

h = 12 cm, g = 2 cm, t = 1 cm. Obliczyć częstotliwości drgań w obu kierunkach. Z jakiej długości 
wspornika należy skupić masę, aby otrzymać poprawne wyniki? 
 

 

 
Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego: 
Pole powierzchni 

2

52 cm

A

=

 

 

Momenty bezwładności: 

4

4

2117.333 cm
334.333 cm

x

y

I
I

=

=

 

 
Masa skupiona z ¼ długości belki 

20.41 kg

M

=

 

 

3

3

3

278.93 rad/s  

  

44.39 Hz

3

110.84 rad/s  

  

17.64 Hz

y

y

x

n

n

y

x

x

n

n

EI

f

mL

EI

f

mL

ω

ω

=

=

⇒

=

=

=

⇒

=

 

 
Porównując z analitycznym wzorem na pierwszą częstość drgań wspornika o masie rozłożonej 

μ

: 

1

2

3.515 EI

L

ω

μ

=

 

 
masa rozłożona po długości belki 

40.82 kg/m

μ

=

 

 

2

2

3.515

283.03 rad/s  

  

45.05 Hz

3.515

112.47 rad/s  

  

17.90 Hz

y

y

x

n

n

y

x

x

n

n

EI

f

L

EI

f

L

ω

μ

ω

μ

=

=

⇒

=

=

=

⇒

=

 

 
Wniosek: skupienie masy z ¼ długości wspornika i wymodelowanie przy użyciu jednego stopnia 
swobody dobrze odzwierciedla pierwszą częstość drgań. 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

7 

Z

ADANIE

 1.3 

Pierwsza częstość drgań belki swobodnie podpartej przy uwzględnieniu rzeczywistego ciągłego 
rozkładu masy dana jest wzorem: 

2

2

EI

L

π

ω

μ

=

. 

Z jakiej długości belki swobodnie podpartej należy skupić masę, aby otrzymać poprawną częstość 
drgań swobodnych. Przyjąć belkę długości L = 1200 mm, o wysokości przekroju h = 20 i szeroko-
ści b = 60 mm wykonaną z pleksiglasu; gęstość pleksiglasu wynosi r = 1190 kg/m

3

 a moduł sprę-

żystości E = 3300 MPa. 
 
 

8

4

4 10   m

x

I

−

= ⋅

 

1.428 kg/m

μ

=

 

 
Rzeczywista częstość drgań wynosi: 
 

2

2

65.90 rad/s

EI

L

π

ω

μ

=

=

 

 
 
 
Masa skupiona do środka belki z ½ L: 
 

0.8568 kg

M

=

 

3

11

48

L

EI

δ

=

 

3

11

1

48

65.42 rad/s

n

EI

M

ML

ω

δ

=

=

=

 

 
 
 
 
 
Masa skupiona do środka belki z L: 
 

1.7136 kg

M

=

 

3

11

48

L

EI

δ

=

 

3

11

1

48

46.26 rad/s

n

EI

M

ML

ω

δ

=

=

=

 

 
 
 
Wniosek: w przypadku modelowania belki swobodnie podpartej za pomocą jednego stopnia swobo-
dy masę należy zbierać z ½ długości belki. 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

8 

Z

ADANIE

 1.4 

Dana jest rama jak na rysunku. Obliczyć częstość drgań swobodnych, jeżeli EI = const. 
 

 

Jest to układ statycznie niewyznaczalny, rozważyć musimy dwa stany: obciążenie obciążeniem ze-
wnętrznym, oraz nadliczbową reakcją: 
 

 

 

10

11

1

0

X

δ

δ

+

=  

 

3

1

0

10

0

32

L

M M

L

dx

EI

EI

δ

−

=

=

∫

 

 

3

1

1

11

0

2

L

M M

L

dx

EI

EI

δ

=

=

∫

 

 

1

1

16

X

=

 

 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

9 

 

 
Aby obliczyć przemieszczenie od siły P = 1 w układzie statycznie niewyznaczalnym możemy sko-
rzystać z twierdzenia redukcyjnego: 
 
 

3

0

11

0

13

1536

L

MM

L

dx

EI

EI

δ

=

=

∫

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Częstość drgań naturalnych: 

3

11

1

1536

13

n

EI

m

mL

ω

δ

=

=

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

10 

Z

ADANIE

 1.5 

Wyznaczyć boczną sztywność ramy oraz odpowiadającą jej częstość drgań własnych. 
a) 

b

EI

= ∞ ; b) 

0

b

EI

= ; c) 

.

b

EI

const

=

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Odp. a) 

3

24

c

EI

k

h

=

; b) 

3

6

c

EI

k

h

=

; c=

3

96

7

c

EI

k

h

=

 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

11 

2. Więzi sprężyście odkształcalne 

 

 

 
a) Połączenie szeregowe 
 

 

 
Sumaryczne przemieszczenie układu sprężyn: 
 
 

1

2

n

u u

u

u

= +

+ +

…

. (2.1) 

 
W każdej sprężynie działa stała siła: 
 

 

1

2

1

2

,     

,  

 ,  

n

n

P

P

P

u

u

u

k

k

k

=

=

=

…

. (2.2) 

 
Po podstawieniu otrzymujemy: 

 

1

2

1

1

1

n

P

u P

k

k

k

k

⎛

⎞

=

+

+ +

=

⎜

⎟

⎝

⎠

…

, (2.3) 

 
gdzie k oznacza sztywność zastępczą układu szeregowego: 
 

 

1

1

2

1

1

1

1

1

n

i

n

i

k

k

k

k

k

=

=

+

+ +

=

∑

…

. (2.4) 

 

 

1

P ku

P

k

u

u

k

P

δ

=

=

= =

1

2

1

1

1

k

k

k

=

+

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

12 

b) Połączenie równoległe 
 

 

 
 
Siła działająca na układ jest sumą sił występujących we wszystkich sprężynach: 
 
 

1

2

n

P P P

P

= +

+ +

…

. (2.5) 

 
Przemieszczenie jest jednakowe dla wszystkich sprężyn: 
 
 

1

1

2

2

    

  

  

n

n

P

k u P

k u

P

k u

=

=

=

…

. (2.6) 

 
Po podstawieniu otrzymujemy: 
 
 

1

2

(

)

n

P u k

k

k

ku

=

+ + +

=

…

, (2.7) 

 
gdzie k oznacza sztywność zastępczą połączenia równoległego: 
 

 

1

2

1

n

n

i

i

k k

k

k

k

=

= + + +

=

∑

…

. (2.8) 

 
 

 

 
 

1

2

k k

k

= +  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

13 

Z

ADANIE

 2.1 

Wyznaczyć sztywność układu i częstość drgań swobodnych, jeżeli EI = const, 

3

9

B

EI

k

L

=

. 

 

 
Schemat rozpatrzymy jako superpozycję dwóch stanów: 
 
a) ugięcie punktu 1 przy założeniu, że w punkcie B istnieje podpora stała 

 

 

2

3

1

1

0

8

L

M

L

dx

EI

EI

δ

=

=

∫

 

 
b) ugięcie punktu 1 przy założeniu, że nieskończenie sztywna belka opiera się na podporze spręży-
stej 

 

 

3

1

6

B

B

B

L

R

k

EI

δ

=

=

 

3

2

3
2

4

B

L

EI

δ

δ

=

=

 

3

1

2

3

8

L

EI

δ δ δ

= +

=

 

3

1

8

3

EI

k

L

δ

= =

 

3

3

8

L

mEI

ω

=

 

 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

14 

Z

ADANIE

 2.2 

Wyznaczyć sztywność i częstość drgań układu jak na rysunku: 

Sztywność sprężyny łączącej belki wynosi 

3

96

s

EI

k

L

=

, EI = const. 

 

 

 
 
 
Układ składa się z trzech części o ustalonej sztywności: 
 
- belka górna 
 

 

 
 
 

3

3

48

     

 

48

g

g

L

EI

k

EI

L

δ

=

=

 

 
 
 
 
 
 
- belka dolna 
 
 

 

 
 
 
 

3

3

192

192

d

d

L

EI

k

EI

L

δ

=

=

 

 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

15 

- sprężyna    

3

96

s

EI

k

L

=

 

 
 

 

 
 
 
 
Belka dolna i sprężyna łączą się szeregowo w układ, który połączony jest z belką górną równolegle: 
 
 
 

3

64

'

d s

d

s

k k

EI

k

k

k

L

=

=

+

 

 
 

Zastępcza sztywność układu: 

3

112

'

g

EI

k k

k

L

=

+ =

 

 

3

112EI

mL

ω

=

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

16 

Z

ADANIE

 2.3 

Obliczyć częstość drgań  własnych maszyny o ciężarze  Q = 3 kN znajdującej się na końcu belki 
wspornikowej długości 3 m, o przekroju jak na rysunku (b = 18 cm,  h = 20 cm,  grubość  ścianki 
d = 1 cm, E = 205 GPa), jeżeli pomiędzy belką a maszyną znajduje się podkładka o współczynniku 
sprężystości k = 1 MN/m. 
 

 

 
 

 

 
 
 

4

2574.713 cm

x

I

=

 

 
 

sztywność wspornika: 

3

11

1

3

586462.406 N/m

w

EI

k

L

δ

=

=

=

 

 
 
sztywność podkładki: k = 1 MN/m 
 

sztywność układu: 

1

1

1

0.000002705   

    =369666.753 N/m

c

c

w

k

k

k

k

=

+ =

⇒

 

 
 
 

34.77 rad/s

k

kg

m

Q

ω

=

=

=

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

17 

Z

ADANIE

 2.4 

Znaleźć częstość drgań własnych, okres drgań oraz ilość drgań na minutę fundamentu o ciężarze 
Q

 = 2000kN. Pole powierzchni podstawy wynosi A = 10 m

2

, a współczynnik sprężystości podłoża 

k

z

 = 25 MN/m

3

. 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

18 

3.  Drgania swobodne tłumione

 

 

 

 
 
 
Siły sprężystości 

s

f

,  bezwładności 

i

f

 dane są wzorami (1.1) i (1.2) natomiast siła tłumienia 

d

f

 

zdefiniowana jest następująco: 
 
  ( )

( )

d

f t

cu t

=

. (3.1) 

 

0

5

10

15

20

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [s]

si

ly

  

f

i

  

 f

s

  

 f

d

  

[N

]

sila bezwladosci f

i

sila sprezystosci f

s

sila tlumienia f

d

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u [m]

si

ly

  

f

i

  

 f

s

  

 f

d

  

[N

]

sila bezwladosci fi
sila sprezystosci fs
sila tlumienia fd

 

 
 
 
Drgania swobodne tłumione opisane są następującym równaniem: 
 
 

0

mu cu ku

+

+

=

 (3.2) 

 
gdzie m oznacza masę, k sztywność, c tłumienie. Warunki początkowe, czyli wychylenie początko-
we 

0

u

 i/lub prędkość początkowa 

0

u

, mają następującą postać: 

 
 

0

0      

(0)

(0)

u

u

u

u

=

= . (3.3) 

 
Równanie charakterystyczne jest postaci:  
 
 

2

0

ms

cs k

+ + = . (3.4) 

 
Jeżeli zdefiniujemy liczbę tłumienia jako: 
 

 

kr

c

c

ξ

=

, (3.5) 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

19 

gdzie 

kr

c

 oznacza tłumienie krytyczne: 

 
 

2

kr

n

c

m

ω

=

, (3.6) 

 
równanie (3.4) można zapisać w formie: 
 
 

2

2

2

0

n

n

s

s

ξω

ω

+

+

= . (3.7) 

 
Jego rozwiązaniem są dwa pierwiastki: 
 
 

2

1,2

1     

n

n

s

ξω ω ξ

= −

±

−

. (3.8) 

 
Pierwiastki (3.8) mogą być rzeczywiste lub urojone, w zależności od wartości liczby 

ξ

. Rozważy-

my 3 przypadki: 
 

1

ξ

>  - tłumienie nadkrytyczne  

 
Pierwiastki (3.8) równania (3.4) są rzeczywiste, a odpowiedź układu opisuje następujące równanie: 
 
 

1

2

1

2

( )

s t

s t

u t

C e

C e

=

+

 (3.9) 

czyli: 
 

2

2

1

1

1

2

( )

(

)

n

n

n

t

t

t

u t

e

C e

C e

ω

ξ

ω

ξ

ξω

−

−

−

−

=

+

. (3.10) 

 
Z warunków brzegowych mamy: 
 
 

0

1

2

1

0

2

(

0)

   

     

u t

u

C

C

C

u

C

=

=

=

+

⇒

=

−

 (3.11) 

 

 

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

2

2

1

2

( )

(

)(

)

       

(

1

1

)

n

n

n

n

n

n

t

t

t

n

t

t

t

n

n

u t

e

C e

C e

e

C e

C e

ω

ξ

ω

ξ

ξω

ω

ξ

ω

ξ

ξω

ξω

ω ξ

ω ξ

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

+

+

+

−

−

+

−

 (3.12) 

 
 

2

2

0

1

2

(

0)

(

1)

(

1)

n

n

n

n

u t

u

C

C

ξω ω ξ

ξω ω ξ

=

=

=

−

−

− +

−

+

−  (3.13) 

 
 

2

2

2

0

0

2

(

1)

(

1

1)

n

n

n

n

n

n

u

u

C

ξω ω ξ

ξω ω ξ

ξω ω ξ

=

−

−

− +

+

− −

+

−  (3.14) 

 

 

2

0

0

2

2

(

1)

2

1

n

n

n

u

u

C

ξω ω ξ

ω ξ

−

−

−

−

=

−

 (3.15) 

 

 

2

0

0

1

2

(

1

)

2

1

n

n

n

u

u

C

ω ξ

ξω

ω ξ

− −

−

=

−

 (3.16) 

 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

20 

Po uwzględnieniu warunków brzegowych: 
 

 

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

0

0

0

0

2

2

1

1

1

1

0

0

0

2

(

1

)

(

1)

( )

(

)

2

1

2

1

[ (

)

(

)]

2

2

1

n

n

n

n

n

n

n

n

t

t

t

n

n

n

n

n

n

t

t

t

t

t

n

n

u

u

u

u

u t

e

e

e

u

u

e

e

e

e

e

u

ω

ξ

ω

ξ

ξω

ω

ξ

ω

ξ

ω

ξ

ω

ξ

ξω

ω ξ

ξω

ξω ω ξ

ω ξ

ω ξ

ξω

ω ξ

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− −

−

−

−

−

−

=

+

=

−

−

+

+

−

=

+

−

 (3.17) 

 
Ostatecznie: 
 

 

(

)

(

)

2

2

2

(0)

(0)

( )

(0) cosh

1

sinh

1

1

n

t

n

n

n

n

u

u

u t

e

u

t

t

ξω

ξω

ω

ξ

ω

ξ

ω ξ

−

⎛

⎞

+

⎜

⎟

=

− +

−

⎜

⎟

−

⎝

⎠

 (3.18) 

 
 

1

ξ

=  - tłumienie krytyczne  

 
Pierwiastki są rzeczywiste: 
 

1

2

n

s

s

ξω

=

= −

. (3.19) 

Odpowiedź układu: 
 

(

)

1

2

( )

n

t

u t

e

C

C t

ω

−

=

+

. (3.20) 

Z warunków brzegowych: 
 

0

1

(

0)

u t

u

C

=

=

=

 (3.21) 

 
 

1

2

2

( )

(

)(

)

n

n

t

t

n

u t

e

C

C t

C e

ξω

ξω

ξω

−

−

=

−

+

+

 (3.22) 

 
 

0

1

2

2

0

0

(

0)

   

   

n

n

u t

u

C

C

C

u

u

ξω

ξω

=

=

= −

+

⇒

=

+

 (3.23) 

Po uwzględnieniu warunków brzegowych: 
 
 

0

0

0

( )

[

(

) ]

n

t

n

u t

e

u

u

u t

ξω

ξω

−

=

+

+

 (3.24) 

 
 

(

)

( )

(0)(1

)

(0)

n

t

n

u t

e

u

t

u

t

ω

ω

−

=

+

+

 (3.25) 

 
 

1

ξ

<  - tłumienie podkrytyczne  

 
Pierwiastki są zespolone: 
 

2

1,2

1

      

n

n

s

i

ξω

ω

ξ

= −

±

−

. (3.26) 

 
Częstość drgań kołowych tłumionych zdefiniujmy jako: 
 
 

2

1

D

n

ω

ω

ξ

=

−

. (3.27) 

 
Odpowiedź układu: 
 

1

2

1

2

( )

s t

s t

u t

C e

C e

=

+

, (3.28) 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

21 

czyli: 
 
 

(

)

1

2

( )

n

D

D

t

i

t

i

t

u t

e

C e

C e

ξω

ω

ω

−

−

=

+

. (3.29) 

 
Zamieniając na postać trygonometryczną: 
 
 

(

)

( )

cos

sin

n

t

D

D

u t

e

A

t B

t

ξω

ω

ω

−

=

+

 (3.30) 

 
Uwzględniając warunki brzegowe: 
 

0

(

0)

u t

u

A

=

=

=  (3.31) 

 
 

(

)

(

)

cos

sin

sin

cos

n

n

t

t

n

D

D

D

D

D

D

u

e

A

t B

t

e

A

t

B

t

ξω

ξω

ξω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

−

= −

+

+

−

+

 (3.32) 

 

 

0

0

0

(

0)

   

   

n

n

D

D

u

u

u t

u

A

B

B

ξω

ξω

ω

ω

+

=

=

= −

+

⇒

=

 (3.33) 

 

 

0

0

0

( )

cos

sin

n

t

n

D

D

D

u

u

u t

e

u

t

t

ξω

ξω

ω

ω

ω

−

⎛

⎞

+

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

 (3.34) 

 
 
gdzie stałe A i B są następujące: 
 

 

(0)

(0)

(0)       

n

D

u

u

A u

B

ξω

ω

+

=

=

 (3.35) 

 
 

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

czas [s]

pr

z

em

ies

z

c

z

eni

e [

m

]

tlumienie krytyczne 

ξ

=1

tlumienie podkrytyczne 

ξ

<1

tlumienie nadkrytyczne 

ξ

>1

 

 
 
 
Drgania swobodne tłumione zaprezentowane są w pliku cw2_01.m 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

22 

Logarytmiczny dekrement tłumienia 
 
Liczbę  tłumienia 

ξ

 można wyznaczyć eksperymentalnie poprzez pomiar drgań  swobodnych.         

W tym celu określić należy iloraz dwóch kolejnych maksymalnych wychyleń: 
 

 

2

1

( )

2

exp

(

)

1

j

D

j

u

u t

u t T

u

πξ

ξ

+

⎛

⎞

⎜

⎟

=

=

⎜

⎟

+

−

⎝

⎠

 (3.36) 

 
Logarytmicznym dekrementem tłumienia 

δ  określa się wielkość będącą logarytmem naturalnym z 

ilorazu dwóch kolejnych wychyleń: 
 

 

2

1

2

ln

1

j

j

u

u

πξ

δ

ξ

+

=

=

−

 (3.37) 

Jeżeli tłumienie 

ξ

 jest małe (

0.2

ξ

<

), co ma miejsce w rzeczywistych konstrukcjach, logarytmicz-

ny dekrement tłumienia może być uproszczony do postaci: 
 
 

2

δ

πξ

 (3.38) 

 
Aby określić liczbę tłumienia, niekoniecznie trzeba posługiwać się ilorazem dwóch kolejnych am-
plitud. Po j cyklach amplituda zmniejsza wartość z 

1

u  do 

1

j

u

+

: 

 

 

3

1

1

2

1

2

3

4

1

j

j

j

j

u

u

u

u u

e

u

u u u

u

δ

+

+

=

=

 (3.39) 

 
a logarytmiczny dekrement tłumienia przyjmuje postać: 
 

 

1

1

1

ln

2

j

u

j

u

δ

πξ

+

=

 (3.40) 

 
Stąd  łatwo wyznaczyć liczbę cykli potrzebną do zmniejszenia amplitudy o zadaną wartość. Na 
przykład liczba cykli j potrzebna do zmniejszenia amplitudy o 50 % wynosi: 
 

 

50%

0.11

j

ξ

 (3.41) 

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

2

4

6

8

10

 

 

Liczba tłumienia 

ξ 

Lo

gar

yt

m

iczn

y de

kre

m

ent

 tł

umien

ia 

δ 

2

2

1

πξ

δ

ξ

=

−

2

δ

πξ

=

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

23 

Z

ADANIE

 3.1 

Dany jest układ o znanej liczbie tłumienia 

ξ

. Znaleźć liczbę cykli drgań swobodnych potrzebną do 

redukcji amplitudy drgań do 10% w stosunku do amplitudy początkowej. Prędkość początkowa jest 
równa zeru. 
 
 
 
 
 
 
 
 

10%

0.366

 j

ξ

 

 
Z

ADANIE

 3.2 

Dany jest zbiornik na wodę. Za pomocą kabla przymocowanego do 
górnej części zbiornika przyłożono boczną siłę Q = 10 MN 
powodując wychylenie zbiornika o 2 m. Kabel przecięto 
wprowadzając konstrukcję w drgania. Po upływie 2 sekund, zbiornik 
wykonał 4 pełne cykle drgań, a amplituda zmniejszyła się do 1 m.  
Obliczyć: 
a) liczbę tłumienia  
b) okres drgań nietłumionych  
c) sztywność  
d) masę  
e) tłumienie  
f) liczbę cykli potrzebną do zmniejszenia amplitudy drgań do 0.2m. 
 
 

 
a) 

2.76%

ξ

=

 

 
 
b) 0.4998 

s

n

T

=

 

 
 
c) 

5 MN/m

k

=

 

 
 
d) 

31.63955 t

m

=

 

 
 
e) 21955.29 

kg/s

c

=

 

 
 
f)   13.28 cykli

j

 

 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

24 

Z

ADANIE

 3.3 

Znaleźć częstość naturalną drgań i liczbę tłumienia belki wspornikowej na podstawie eksperymen-
talnie pomierzonego przyspieszenia swobodnego końca belki. Porównać wyznaczoną naturalną 
częstość drgań z częstością wyznaczoną analitycznie poprzez skupienie masy belki do jednego 
punktu. Wykonana z pleksiglasu belka ma długość L = 480 mm, a jej przekrój jest prostokątny wy-
sokości h = 20 i szerokości b = 60 mm. Gęstość pleksiglasu wynosi r = 1190kg/m

3

 a moduł Youn-

ga E = 3300 MPa.  

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

czas [s]

p

rz

y

s

pi

es

z

eni

e [

m

/s

2

]

u

5

=5.3293 m/s

2

 

t

5

=0.3794 s

.. 

u

11

=1.4088 m/s

2

 

t

11

=0.6376 s

.. 

 

 

1

ln

2

i

j i

u

j

u

ξ

π

+

=

 

 

5

11

1

1

5.3293

ln

ln

0.035 3.5%

2 6

12

1.4088

u

u

ξ

π

π

=

=

=

=

 

 
Ponieważ w czasie 

0.6376

0.3794

0.2582 

t

s

s

s

=

−

=

 belka wykonuje 6 cykli drgań to okres drgań 

tłumionych 

D

T  jest równy 

0.2582 s

0.0403 s

6

D

T

=

=

 

 
Okres drgań naturalnych 

2

2

1

0.0403 1 (0.035)

0.0402 s

n

D

T

T

ξ

=

−

=

−

=

 

 

Naturalna częstość drgań 

2

2

156.298 rad/s  

 

24.875 Hz

0.0402

2

n

n

n

n

f

T

ω

π

π

ω

π

=

=

=

⇒

=

=

 

 
Teraz obliczymy częstość drgań skupiając masę z ¼ długości wspornika: 

0.17136 kg

M

=

 

8

4

4 10   m

x

I

−

= ⋅

 

 

3

3

144.554 rad/s  

  

23.006 Hz

2

x

n

n

n

EI

f

ML

ω

ω

π

=

=

⇒

=

=

 

 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

25 

Z

ADANIE

 3.4 

Maszyna o ciężarze Q = 250 kN zamocowana jest do podłoża za pomocą 4 sprężyn i 4 tłumików. 
Pionowe przemieszczenie pod wpływem ciężaru własnego maszyny wynosi 0.8 cm. Tłumiki zapro-
jektowano tak, aby redukowały amplitudę pionowych drgań do 1/8 początkowej amplitudy po 2 
cyklach drgań. Obliczyć: 
a) częstość drgań nietłumionych; 
b) liczbę tłumienia; 
c) częstość drgań tłumionych. 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Odp. 35.02 

rad/s

n

ω

=

, 

0.165

ξ

=

, 34.54 

rad/s

d

ω

=

 

 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

26 

4. Drgania 

wymuszone 

siłą harmoniczną  

 

Drgania wymuszone siłą harmoniczną nietłumione 

 

 

 
Drgania wymuszone sinusoidalną siłą harmoniczną nietłumione opisane są następującym równa-
niem: 
 
 

0

sin

mu ku

p

t

ω

+

=

, (4.1) 

 
gdzie m oznacza masę, k - sztywność, 

ω  - częstość siły wymuszającej, 

0

p  amplitudę siły wymu-

szającej. Warunki początkowe, czyli wychylenie początkowe 

0

u  i/lub prędkość początkowa 

0

u , 

mają następującą postać: 
 
 

0

0      

(0)

(0)

u

u

u

u

=

= . (4.2) 

 
Równanie (4.1) jest niejednorodne. Jego rozwiązanie jest sumą całki ogólnej i całki szczególnej: 
 
  ( )

( )

( )

c

p

u t

u t

u t

=

+

. (4.3) 

 
Całka ogólna równania jednorodnego: 
 

0

mu ku

+

=

. (4.4) 

Równanie charakterystyczne ma postać: 
 

2

2

0

n

s

ω

+

= , (4.5) 

 

1,2

n

s

i

ω

= ±

. (4.6) 

Całka ogólna ma postać:  
  ( )

cos

sin

c

n

n

u t

A

t B

t

ω

ω

=

+

. (4.7) 

 
Całka szczególna równania niejednorodnego (4.1) ma postać: 
 
  ( )

sin

cos

p

u t

D

t E

t

ω

ω

=

+

. (4.8) 

 

Wyznaczenie stałych C i D: 
 

cos

sin

p

u

D

t E

t

ω

ω

ω

ω

=

−

, (4.9) 

 

2

2

sin

cos

p

u

D

t E

t

ω

ω

ω

ω

= −

−

. (4.10) 

 
Podstawiając(4.9) i (4.10) do równania (4.1) zapisanego w postaci: 
 

 

2

sin

o

n

p

u

u

t

m

ω

ω

+

=

, (4.11) 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

27 

 

2

2

2

2

sin

cos

sin

cos

sin

o

n

n

p

D

t E

t

D

t

E

t

t

m

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω

ω

−

−

+

+

=

 (4.12) 

 

(

)

(

)

2

2

2

2

cos

sin

sin

o

n

n

p

t E

E

t D

D

t

m

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

+

−

=

 (4.13) 

 

2

2

2

2

2

2

0  

  

0

1

  

  

n

o

o

n

n

E

E

E

p

p

D

D

D

m

m

ω

ω

ω

ω

ω

ω

⎧

−

=

⇒

=

⎪

⎛

⎞

⎨

−

=

⇒

=

⎜

⎟

⎪

−

⎝

⎠

⎩

 (4.14) 

 

(

)

(

)

2

2

1

1

/

o

n

n

p

D

m

ω

ω ω

=

−

 (4.15) 

 

(

)

2

1

1

/

o

n

p

D

k

ω ω

=

−

 (4.16) 

 
Całka ogólna równania niejednorodnego (4.1): 
 

 

  ( )

cos

sin

sin

n

n

u t

A

t B

t D

t

ω

ω

ω

=

+

+

. (4.17) 

 
Wyznaczenie stałych A i B z warunków brzegowych (4.2): 
 
 (0)

o

u

A

A u

= ⇒ =  (4.18) 

  ( )

sin

cos

cos

n

n

n

n

u t

A

t B

t D

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

= −

+

+

 (4.19) 

 

(0)

o

n

n

u

D

u

B

D

B

ω

ω

ω

ω

−

=

+

⇒ =

 (4.20) 

 

(

)

(

)

2

/

1

/

o

o

n

n

n

u

p

B

k

ω ω

ω

ω ω

=

−

−

 (4.21) 

 
Po podstawieniu stałych A, B, D do równania (4.17) otrzymujemy ostateczną odpowiedź układu: 
 

 

0

0

2

2

drgania "zanikające"

drgania ustalone

/

(0)

1

( )

(0) cos

sin

sin

1 ( /

)

1 ( /

)

n

n

n

n

n

n

p

p

u

u t

u

t

t

t

k

k

ω ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

⎡

⎤

⎡

⎤

=

+

−

+

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

⎣

⎦

⎣

⎦

 (4.22) 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

czas [s]

p

rz

e

m

ie

s

zcze

n

ie

[m

]

odpowiedz calkowita
drgania ustalone

 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

28 

Współczynnik dynamiczny, zjawisko rezonansu: 
 
Rozważmy drgania ustalone o częstości siły wymuszającej 

ω : 

 

 

0

2

1

( )

sin

1 ( /

)

n

p

u t

t

k

ω

ω ω

=

−

 (4.23) 

 
Wielkość 

0

/

p k  może być interpretowana jako ugięcie statyczne układu wywołane przez siłę 

0

p  

przyłożoną w sposób statyczny: 

 

0

0

( )

st

p

u

k

=

 (4.24) 

 
a równanie (4.23) przyjmie postać: 

 

0

2

1

( ) ( )

sin

1 ( /

)

st

n

u t

u

t

ω

ω ω

=

−

 (4.25) 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

-0.3

-0.2

-0.1

0   

0.1 

0.2 

0.3 

t [s]

u [

m

]

odpowiedz rezonansowa ukladu nietlumionego

 

 
Współczynnikiem dynamicznym 

d

R  (zwielokrotnienia amplitudy drgań) nazywamy iloraz amplitu-

dy drgań do amplitudy ugięcia statycznego: 
 

 

2

1

1 ( /

)

d

n

R

ω ω

=

−

 (4.26) 

 
 

0

( ) ( )    

sin

st

d

u t

u

R

t

ω

=

 (4.27) 

 
 

0

0

max ( )

( )  

st

d

u t

u

u

R

=

=

 (4.28) 

 
Funkcja dynamiczności obciążenia ( )

R t - iloraz odpowiedzi konstrukcji  ( )

u t  spowodowanej siłą 

zmienną w czasie do przemieszczenia statycznego, tzn. przemieszczenia powstałego pod działaniem 
siły statycznej równej maksymalnej wartości siły zmiennej w czasie: 
 

 

0

( )

( )

sin

( )

d

st

u t

R t

R

t

u

ω

=

=

 (4.29) 

 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

29 

Częstotliwość rezonansowa zdefiniowana jest jako częstotliwość, dla której współczynnik 

d

R  osią-

ga maksymalną wartość, czyli dla 

n

ω

ω

→

. 

 

0

1

2

3

4

-60

-40

-20

0

20

40

60

ω

/

ω

n

 [-]

1/

(1-

(

ω

/

ω

n

)

2

) [

-]

    

0

1

2

3

4

0

10

20

30

40

50

60

ω

/

ω

n

 [-]

R

d

 [-

]

 

 

 

Drgania wymuszone siłą harmoniczną tłumione 

 

 

 
Drgania wymuszone sinusoidalną siłą harmoniczną tłumione opisane są następującym równaniem: 
 
 

0

sin

mu cu ku

p

t

ω

+

+

=

, (4.30) 

 
gdzie m oznacza masę, k - sztywność, c - tłumienie, 

ω  - częstość siły wymuszającej, 

0

p  amplitudę 

siły wymuszającej. Warunki początkowe, czyli wychylenie początkowe 

0

u  i/lub prędkość począt-

kowa 

0

u , mają następującą postać: 

 
 

0

0      

(0)

(0)

u

u

u

u

=

= . (4.31) 

 
Równanie (4.30) jest niejednorodne. Jego rozwiązanie jest sumą całki ogólnej i całki szczególnej: 
 
  ( )

( )

( )

c

p

u t

u t

u t

=

+

 (4.32) 

 
Całka ogólna równania (4.30) dla tłumienia podkrytycznego ma postać (3.30): 
 
 

(

)

( )

cos

sin

n

t

D

D

u t

e

A

t B

t

ξω

ω

ω

−

=

+

, (4.33) 

 
natomiast całka szczególna jest postaci (4.8): 
 
  ( )

sin

cos

p

u t

D

t E

t

ω

ω

=

+

. (4.34) 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

30 

Wyznaczenie stałych D i E: 
 cos

sin

p

u

D

t E

t

ω

ω

ω

ω

=

−

 (4.35) 

 
 

2

2

sin

cos

p

u

D

t E

t

ω

ω

ω

ω

= −

−

 (4.36) 

 
Podstawiając (4.35) i (4.36) do równania (4.30) zapisanego w postaci: 
 

 

2

2

sin

o

n

n

p

u

u

u

t

m

ω ξ

ω

ω

+

+

=

 (4.37) 

otrzymujemy związek: 
 

 

(

)

(

)

2

2

2

sin

cos

2

cos

sin

sin

cos

sin

n

n

o

D

t E

t

D

t E

t

D

t E

t

p

t

m

ω

ω

ω

ω

ξω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

−

+

−

+

+

=

=

 (4.38) 

 

(

)

(

)

2

2

2

2

sin

2

cos

2

sin

o

n

n

n

n

p

t

D

E

D

t

E

D

E

t

m

ω

ω

ξω ω ω

ω

ω

ξω ω ω

ω

−

−

+

+

−

+

+

=

 (4.39) 

 

 

(

)

2

2

2

2

2

2

-

2

0   

   

2

-

- 2

n

n

n

n

o

n

n

E

E

D

E

D

p

D

E

D

m

ω

ω

ω

ξω ω ω

ξω ω

ω

ξω ω ω

⎧

−

⎪

+

+

=

⇒

=

⎪

⎨

⎪

+

=

⎪⎩

 (4.40) 

 

 

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

n

n

o

n

n

n

n

E

E

p

E

m

ω

ω

ω

ω

ω

ξω ω ω

ξω ω

ξω ω

−

−

−

−

+

=

 (4.41) 

 

 

(

)

2

2

2

2

2

n

o

n

n

p

E

m

ω

ω

ξω ω

ξω ω

⎛

⎞

−

−

⎜

⎟

−

=

⎜

⎟

⎝

⎠

 (4.42) 

 

 

(

)

2

2

2

2

(2

)

2

n

n

o

n

p

E

m

ω

ω

ξω ω

ξω ω

⎛

⎞

−

+

⎜

⎟ =

⎜

⎟

−

⎝

⎠

 (4.43) 

 

 

(

)

2

2

2

2

2

(2

)

o

n

n

n

p

E

m

ξω ω

ω

ω

ξω ω

−

=

−

+

 (4.44) 

 

 

[

]

0

2

2

2

2 ( /

)

1 ( /

)

2 ( /

)

n

n

n

p

E

k

ξ ω ω

ω ω

ξ ω ω

−

=

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

 (4.45) 

 
Na podstawie zależności (4.40) otrzymujemy stałą D : 

 

 

 

(

)

[

]

(

)

2

2

2

2

0

2

2

2

2 ( /

)

2

2

1 ( /

)

2 ( /

)

n

n

n

n

n

n

n

E

p

D

k

ω

ω

ω

ω

ξ ω ω

ξω ω

ξω ω

ω ω

ξ ω ω

−

−

−

=

=

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

 (4.46) 

 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

31 

 

[

]

2

0

2

2

2

1 ( /

)

1 ( /

)

2 ( /

)

n

n

n

p

D

k

ω ω

ω ω

ξ ω ω

−

=

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

 (4.47) 

 

 

Wyznaczenie stałych A i B. Całka ogólna równania niejednorodnego (4.33): 
 
 

(

)

( )

cos

sin

sin

cos

n

t

D

D

u t

e

A

t B

t

D

t E

t

ξω

ω

ω

ω

ω

−

=

+

+

+

 (4.48) 

 

 

 

(

0)

o

o

u t

A E u

A u

E

=

= + =

⇒ =

−  (4.49) 

 

 

[

]

0

2

2

2

2 ( /

)

1 ( /

)

2 ( /

)

n

o

n

n

p

A u

k

ξ ω ω

ω ω

ξ ω ω

−

=

+

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

 (4.50) 

 

 

 

 

(

)

( )

cos

sin

sin

cos

         

cos

sin

n

t

n

D

D

D

D

D

D

u t

e

A

t B

t

A

t B

t

D

t E

t

ξω

ξω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

⎡

⎤

=

−

+

−

+

+

⎣

⎦

+

−

 (4.51) 

 

 

(

0)

n

D

o

u t

A B

D

u

ξω

ω

ω

=

= −

+

+

=  (4.52) 

 

 

o

n

o

n

D

D

D

D

u

D

A

u

B

D

A

ω

ξω

ω

ω

ξ

ω

ω

ω

ω

−

+

=

=

−

+

 (4.53) 

 

 

[

]

[

]

2

0

2

2

2

0

2

2

2

1 ( /

)

1 ( /

)

2 ( /

)

2 ( /

)

    

1 ( /

)

2 ( /

)

o

n

D

D

n

n

n

n

o

D

n

n

u

p

B

k

p

u

k

ω ω

ω

ω

ω

ω ω

ξ ω ω

ω

ξ ω ω

ξ

ω

ω ω

ξ ω ω

−

=

−

+

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

⎛

⎞

−

⎜

⎟

+

+

⎜

⎟

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

⎝

⎠

 (4.54) 

 
Ostatecznie odpowiedź układu jest wyrażona następująco: 
 
 

(

)

drgania ustalone

 drgania zanikające

( )

cos

sin

sin

cos

n

t

D

D

u t

e

A

t B

t

D

t E

t

ξω

ω

ω

ω

ω

−

=

+

+

+

 (4.55) 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

czas [s]

pr

z

em

ies

z

c

z

e

ni

e

[m

]

odpowiedz calkowita
drgania ustalone

 

 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

32 

Dla częstości wymuszenia 

n

ω ω

=

 odpowiedź układu przyjmuje postać: 

 

 

0

2

1

( )

cos

sin

cos

2

1

n

t

D

D

n

p

u t

e

t

t

t

k

ξω

ξ

ω

ω

ω

ξ

ξ

−

⎡

⎤

⎛

⎞

⎢

⎥

⎜

⎟

=

+

−

⎜

⎟

⎢

⎥

−

⎝

⎠

⎣

⎦

 (4.56) 

 
Odpowiedź układu nie przekracza wartości 

0

u : 

 

 

0

0

( )

2

st

u

u

ξ

=

 (4.57) 

 

0

2

4

6

8

10

12

14

-0.05

0

0.05

t [s]

u [

m

]

odpowiedz rezonansowa ukladu tlumionego

 

 

 
Współczynnik dynamiczny: 
 

 

[

]

2

2

2

1

1 ( /

)

2 ( /

)

d

n

n

R

ω ω

ξ ω ω

=

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

 (4.58) 

 
 

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-5

0

1

5

10

ω / ω

n

 [ - ]

R

d

 [ - ]

ξ=0.01

ξ=0.1

ξ=0.2

ξ=1.0

ξ=0.7

 

 
 
 

( )

0

2

st

u

ξ

 

( )

0

2

st

u

ξ

−

 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

33 

Z

ADANIE

 4.1 

Na belce o długości L = 4 m umieszczony jest silnik o ciężarze Q = 40 kN wywołujący drgania si-
nusoidalne o amplitudzie 

0

p  = 2 kN  i  częstości wymuszenia 500 obrotów na minutę. Obliczyć 

amplitudę drgań nietłumionych oraz tłumionych dla 

5%

ξ

=

. Zbadać przypadek rezonansu dla 

drgań tłumionych. EI = 24150 kNm

2

. 

 

 

 

Ugięcie statyczne od ciężaru silnika: 

3

0.2208 cm

48

Q

QL

EI

δ

=

=

 

Sztywność układu: 

3

11

1

48

1811250 N/m

EI

k

L

δ

=

=

=

 

Częstość drgań: 

3

11

1

48

66.65 rad/s

n

EI

m

mL

ω

δ

=

=

=

 

 
Ugięcie statyczne układu wywołane przez siłę 

0

p  przyłożoną w sposób statyczny: 

0

0

( )

0.01104 cm

st

p

u

k

=

=

 

Częstość wymuszenia: 

52.36 rad/s

ω

=

 

Współczynnik dynamiczny bez uwzględnienia tłumienia: 

2

1

2.61

1 ( /

)

d

n

R

ω ω

=

=

−

 

Współczynnik dynamiczny z uwzględnieniem tłumienia: 

[

]

2

2

2

1

2.557

1 ( /

)

2 ( /

)

t

d

n

n

R

ω ω

ξ ω ω

=

=

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

 

 
Amplituda drgań nietłumionych: 

0

0

( )  0.0288 

cm

st

d

u

u

R

=

=

 

Amplituda drgań tłumionych: 

0

0

( )  0.0282 

cm

t

st

d

u

u

R

=

=

 

 
W przypadku rezonansu: 

66.65 rad/s

n

ω ω

=

=

 

Współczynnik dynamiczny: 

[

]

2

2

2

1

10

1 ( /

)

2 ( /

)

t

d

n

n

R

ω ω

ξ ω ω

=

=

⎡

⎤

−

+

⎣

⎦

 

 
Amplituda drgań tłumionych: 

0

0

( )  0.1104 

cm

t

st

d

u

u

R

=

=

 

Odpowiedź układu nie przekracza wartości 

0

u : 

0

0

( )

0.1104 cm

2

st

u

u

ξ

=

=

 

 

2

3

1

11

0

48

L

M

L

ds

EI

EI

δ

=

=

∫

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

34 

Z

ADANIE

 4.2 

Jaka powinna być stała sprężyny 

s

k , którą należy wstawić pod silnik o wadze Q = 2 kN,  aby 

współczynnik dynamiczny 

d

R  drgań harmonicznych o częstości 

10 rad/s

ω

=

 spełniał warunek 

d

R < 0.5? Belka ma długość L = 2 m, I = 328 cm

4

, E = 200 GPa. 

 

 

 
Sztywność belki:  

3

11

3

L

EI

δ

=

 

3

3

b

EI

k

L

=

 

Sztywność szeregowego połączenia układu belka-sprężyna:  

b s

b

s

k k

k

k

k

=

+

 

Częstość naturalna drgań: 

3

2

3

3

3

(

)

s

b s

n

b

s

s

EI

k

k k

k

L

EI

m

m k

k

m

k

L

ω

=

=

=

+

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎝

⎠

 

 

(

)

2

1

0.5

1

/

d

n

R

ω ω

=

<

−

        czyli 

2

2

3

n

ω
ω

>  

 

2

2

3

2 3

2

3

3

m

3

9

9

s

EI

EI

L

k

EI

EI m L

mL

ω

ω

ω

ω

<

=

−

⎛

⎞

−

⎜

⎟

⎝

⎠

 

 

s

k

< 6988.85 N/m 

 
Przyjęto: 

s

k

=  

 

        rad/s

n

ω

=

 

 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

35 

Z

ADANIE

 4.3 

Masa m, sztywność k oraz naturalna częstość 

n

ω

 nietłumionego układu o jednym stopniu swobody 

są nieznane. Do wyznaczenia tych wielkości zastosowano test wzbudzenia harmonicznego. Przy 
częstotliwości wzbudzenia 4 Hz wystąpił rezonans. Następnie masę zwiększono o 5 kg i wówczas 
rezonans wystąpił przy częstotliwości wymuszenia 3 Hz. Wyznaczyć masę i sztywność. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.43 kg

m

=

, 

4061 N/m

k

=

 

 
Z

ADANIE

 4.4 

Układ o jednym stopniu swobody poddano wzbudzeniu siłą sinusoidalną. Przy rezonansie amplitu-
da przemieszczenia została pomierzona i wynosiła 2 m. Przy wzbudzeniu częstością 

ω  równą 1/10 

naturalnej częstości 

n

ω

 amplitudą wyniosła 0.2 m. Ile wynosi liczba tłumienia? 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

0.0495

ξ

=

 

 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

36 

5. Projektowanie 

konstrukcji 

o jednym stopniu swobody obciążonych dy-

namicznie

 

 
 
Dany jest układ o jednym stopniu swobody (m, k, c) obciążony siłą p(t). 
 

 

 
Równanie ruchu: 
 
 

( )

mu cu ku

p t

+

+

=

 (5.1) 

Przenosząc wyrazy związane z masą i tłumieniem na prawą stronę otrzymujemy: 
 
  ( )

z

p

ku

p t

mu cu

=

−

−

 (5.2) 

 
gdzie 

z

p  oznacza zastępczą siłę statyczną. 

 
 

z

p

ku

=

 (5.3) 

 
Siła zastępcza 

z

p  osiąga wartość minimalna i maksymalną dla minimalnego i maksymalnego prze-

mieszczenia u: 
 

 

min

min

max

max

z

z

p

ku

p

ku

=

=

 (5.4) 

 
 

 

 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

37 

 

 
 
 
Obwiednia momentów jest sumą momentów od obciążenia statycznego oraz dynamicznego: 
 

 

max

min

obw  

= 

dyn

Q

dyn

M

M

M

M

±

 (5.5) 

 

 

1 z  max

1

1 z  min

obw  

= 

M p

M

M Q

M p

±

 (5.6) 

 
 
Przypadki szczególne: 
 
Drgania swobodne bez tłumienia: 
 

0

mu ku

+

=

 

( )

sin(

)

n

u t

C

t

ω

ϕ

=

+

 

2

z

n

p

mu m C kC

ω

= −

=

=

                                      

 min

 max

            

z

z

p

kC

p

kC

= −

=

 

 
Drgania wymuszone harmonicznie: 
 

0

sin

mu cu ku

p

t

ω

+

+

=

 

min,max

0

( )  

st

d

u

u

R

= ∓

 

 min

min

0

 max

max

0

z

d

z

d

p

ku

p R

p

ku

p R

= −

= −

=

=

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

38 

Z

ADANIE

 5.1 

Wyznaczyć obwiednię momentów zginających odciężaru masy i dynamicznych momentów wywo-
łanych warunkiem początkowym (

0) 0.4 

m/s

u t

=

=

. Belka ma długość L = 4.8 m, wykonana jest z 

dwóch stalowych dwuteowników  I 180 (I

x-x

 = 1450  cm

4

). Moduł sprężystości stali E = 200 GPa. 

Ciężar Q = 20 kN. 

 

 
Moment bezwładności przekroju 

4

2900 cm

x

I

=

 

 

Przemieszczenie od siły jednostkowej: 

2

6

1

11

0.496 10  m/N

M

ds

EI

δ

−

=

=

⋅

∫

 

 

Częstość drgań własnych: 

11

1

31.447 rad/s

n

m

ω

δ

=

=

 

 

Amplituda drgań masy: 

[

]

2

2

2

2

(0)

(0) +

0.01272 m

n

u

C

A

B

u

ω

⎡

⎤

=

+

=

=

⎢

⎥

⎣

⎦

 

 

Zastępcza siła statyczna 

11

25645.161 N

z

C

p

kC

δ

=

=

=

 

1

Q

M

M Q

=

 

1

dyn

z

M

M p

= ±

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika Budowli 

 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

Magdalena Rucka & Krzysztof Wilde 

 

 

 

________________________________________________________________________________________________ 
2007-02-26 

39 

Z

ADANIE

 5.2 

Na belce (I220, I

x-x

 = 3060 cm

4

) znajduje się maszyna o ciężarze Q = 20 kN wywołująca wymusza-

jącą siłę harmoniczną amplitudzie 

0

2 kN

p

=

. Liczba obrotów wirnika maszyny wynosi 400 obro-

tów/minutę. Dobrać podkładkę pod maszynę tak, by maksymalne naprężenia przy zginaniu nie 
przekraczały 90 

MPa

dop

σ

=

. L = 5m. 

 

   

 

 

Przemieszczenie od siły jednostkowej: 

2

6

1

11

0.373 10  m/N

M

ds

EI

δ

−

=

=

⋅

∫

 

 
Częstość naturalna drgań 36.263 

rad/s

n

ω

=

 

 
Częstość wymuszenia:     

41.888 rad/s

ω

=

 

 

Współczynnik dynamiczny: 

2

1

2.991

1 ( /

)

d

n

R

ω ω

=

=

−

 

 
Zastępcza siła statyczna: 

0

5.982 kN

z

d

p

R p

=

=

 

 
Moment maksymalny: 

max

1

(

)

31.178 kNm

z

M

Q p M

=

+

=

 

 

Maksymalne naprężenia: 

max

max

112.077 MPa > 90 MPa = 

dop

x

M

y

I

σ

σ

=

=

 

 
Naprężenia maksymalne przekraczają wartość dopuszczalną, trzeba dobrać podkładkę zmieniającą 
częstość drgań własnych układu. Dopuszczalna zastępcza siła statyczna musi wynosić: 
 
 

0.8636 kN

z

p

≤

 

 

0

0.8636 kN

z

d

p

R p

=

=

 

 

2

1

0.432

1 ( /

)

d

n

R

ω ω

=

=

−