Egzamin z matematyki II – termin uzupełniający
dla studentów ODLEWNICTWA
studia dzienne rok I
17 lutego 2010
Egzamin trwa 90 minut.
Z siedmiu poniższych zadań proszę wybrać pięć i przedstawić ich rozwiązanie.
Do zaliczenia egzaminu z wynikiem pozytywnym wystarczy 10 punktów.
ZADANIE 1 (4 pkt.). Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji
𝑓 𝑥 = arctg 𝑥 𝑓 𝑥 = arcctg 𝑥 i prostą
2𝑦 = 𝑥
.
ZADANIE 2. (4 pkt.) Rozwiąż, w zbiorze liczb zespolonych, równanie
𝑧
3
= 𝑖 − 𝑧
3
𝑖.
ZADANIE 3. (4 pkt.). Zbadaj dla jakich wartości parametru a układ równań
jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla jakich sprzeczny
.
𝑥
+ 𝑎
2
𝑦
𝑥
+
𝑦
𝑦
+
𝑧
=
− 𝑎𝑧 =
+
𝑧
=
−𝑎
𝑎
2
1
.
ZADANIE 4.(4 pkt.)
Wyznacz i naszkicuj dziedzinę funkcji
𝑓 𝑥, 𝑦 = ln
16 − 𝑥
2
− 𝑦
2
𝑥
2
+ 𝑦
2
− 4
oraz oblicz pochodną
∂ f
∂ x
.
ZADANIE 5.(4 pkt.) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥
3
𝑦 + 𝑥
3
+ 2𝑦 .
ZADANIE 6.(4 pkt.) Posługując się współrzędnymi biegunowymi oblicz całkę podwójną
𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
, gdzie D jest obszarem ograniczonym okręgiem
𝑥
2
+ 𝑦 − 1
2
= 1,
prostą
𝑥 = 𝑦 oraz nierównością 𝑥 ≥ 𝑦.