2005-12-19
© Lesław ŁADNIAK
1. P
ODSTAWOWE POJĘCIA I WIELOŚCI
1. PODSTAWOWE POJĘCIA I WIELOŚCI ............................1
1.1.1 Ładunek elektryczny .......................................................1
1.1.2 Napięcie, prąd ................................................................2
1.1.3 Energia, praca, moc .......................................................3
1.1.4 Elementy aktywne i pasywne ..........................................4
1.1.5 Obwód elektryczny..........................................................5
1.1.6 Bilans energii i mocy ......................................................6
1.1.7 Prawa Kirchhoffa ...........................................................7
1.1.8 Przykład. Energia i moc ............Błąd! Nie zdefiniowano
zakładki.
1.1.9 Ładunek, prąd, napięcie ............Błąd! Nie zdefiniowano
zakładki.
Rys. 1. Model atomu
1.1.1 Ładunek elektryczny
Przyjmuje się, że elementarną porcję
elektryczności posiadają elektrony:
e = - 1,6021892
±
0,0000046 10
-19
C
Jednostką ładunku elektrycznego jest
kulomb [C].
Kwarki
mogą mieć ładunki równe ± 2/3
lub ± 1/3 ładunku elektronów, lecz tworzą
one cząstki o ładunku równym całkowitej
wielokrotności
ładunku elektronu.
Wszystkie cząstki mają zawsze ładunek
będący całkowitą wielokrotnością ładunku
elektronu.
Poraz pierwszy elementarny ładunek
elektryczny wyznaczył
Robert Millikan
w
1910
. Wcześniej J.S. Townsend wyznaczył
przybliżony ładunek elektronu ale nie
powiązano go z elementarnym ładunkiem
elektrycznym.
2
© Lesław ŁADNIAK
1.1.2 Napięcie, prąd
Podstawową wielkością fizyczną jest energia, która dostarcza
informacji o ilości pracy, jaką może wykonać dany układ fizyczny.
Praca jest iloczynem siły F oraz drogi dr przebytej w kierunku
działania tej siły:
dW = F
o
dr
Pole elektryczne opisane wektorem natężenia pola E (Rys. 2)
jest to przestrzeń, w której na ładunki elektryczne q działa siła
Coulomba F
C
. Przemieszczając dodatni ładunek q na odległość dr
pole elektryczne oddaje energię równą ilości wykonanej pracy:
dW = F
C
o
dr = q E
o
dr
Stosunek pracy, jaka została wykonana podczas przenoszenia
ładunku q na drodze między punktami A i B, do wartości tego
ładunku nazywamy napięciem elektrycznym:
u
AB
=
W
AB
q 1 V =
1 J
1 C
Wynika
stąd, że zmiana napięcia na odcinku drogi dr w polu
elektrycznym o natężeniu E jest opisana wzorem:
du
=
E
o
dr
Szybkość ukierunkowanego przemieszczania się ładunków
elektrycznych (Rys. 3) nazywamy natężeniem prądu:
i
=
dq
dt 1 A =
1 C
1 s
Z definicji natężenia prądu wynika, że ilość ładunków, które
przemieściły się przez powierzchnię S znajdującą się między
punkami A i B w czasie dt jest proporcjonalna do natężenia prądu:
dq = i dt
Rozpatrując ruch ładunków elektrycznych w fragmencie
przestrzeni, czyli w elemencie układu elektrycznego, należy
pamiętać, że kierunek przepływu prądu elektrycznego jest zgodny
z kierunkiem ruchu dodatnich ładunków elektrycznych, a strzałka
napięcia wskazuje punkt o potencjale wyższym, czyli strzałki
napięcia i strzałki prądu są skierowane przeciwnie (Rys. 4).
dr
F
q
V
B
V
A
i(t)
E
α
Rys. 2. Praca w polu elektrycznym
Rys. 3. Natężenie prądu
Rys. 4. Napięcie i prąd na elemencie układu
3
© Lesław ŁADNIAK
1.1.3 Energia, praca, moc
Uwzględniając zależności wynikających z definicji napięcia
oraz definicji natężenia prądu w równaniu opisującym pracę w
polu elektrycznym stwierdzamy, że zmiana energii elementarnego
fragmentu układu elektrycznego, jest opisana równaniem:
dW = F dr = q E dr = q du =
dq
dt u dt = u(t) i(t) dt
W
równaniu
tym,
u(t) jest wartością chwilową napięcia między
punktami A oraz B, a i(t) jest wartością chwilową prądu płynącego
wzdłuż drogi łączącej punkty A i B.
Z równania opisującego zmiany energii w elementarnym
fragmencie układu elektrycznego wynika, że przepływ prądu
elektrycznego na drodze dr jest możliwy, gdy w danym fragmencie
układu istnieje pole elektryczne o natężeniu E lub w przypadku,
gdy na ładunki znajdujące się w tym elemencie działa siła
zewnętrzna o wartości F.
Jeżeli przyjmiemy, że energia układu nie może zmienić się
skokowo, to dla każdej chwili czasu możemy określić moc
chwilową p(t), czyli wielkość opisującą szybkość zmian energii
układu w danej chwili czasu:
p(t) =
dW
dt
= u(t) i(t)
Jak wynika z powyższego wzoru szybkość przekazywania
energii przez element układu elektrycznego jest proporcjonalna do
iloczynu wartości chwilowych napięcia na elemencie u(t) oraz
prądu i(t) płynącego przez ten element.
Ilość energii dostarczonej do fragmentu układu elektrycznego
od chwili t
0
do chwili t obliczamy całkując wyrażenie opisujące
zmiany wartości chwilowej mocy p(t) w zadanym przedziale
czasu:
W(t
0,
t)
=
⌡
⌠
t
0
t
p(
τ
)
d
τ
=
⌡
⌠
t
0
t
u(
τ
)
i(
τ
)
d
τ
Pole powierzchni pod wykresem zmian wartości chwilowej
mocy jest miarą ilości energii przekazanej do elementu układu.
W celu wyznaczenia ilości energii
zgromadzonej w danym fragmencie układu
w chwili t, należy uwzględnić energię, jaką
posiadał ten fragment układu w chwili t
0
:
W(t)
=
W(t
0
)
+
⌡
⌠
t
0
t
u(
τ
)
i(
τ
)
d
τ
gdzie W(t
o
) jest ilością energii dostarczonej
do fragmentu układu do chwili t
o
.
Jeżeli chwila t
0
jest równa ( -
∞
), czyli
obserwacja układu trwa od początku świata,
to przyjmujemy, że energia początkowa
układu W(t
0
) była równa zeru. W przypadku,
gdy obserwacja układu trwa od umownie
wybranej chwili czasu t
o
= 0, to energia
zgromadzona w układzie W(t
o
) może być
różna od zera.
p(t)
t
t
o
t
x
W(t
o
,t
x
)
Rys. 5. Energia a moc
4
© Lesław ŁADNIAK
1.1.4 Elementy aktywne i pasywne
Jak wynika z równania opisującego zmiany energii w
elementarnym fragmencie układu elektrycznego:
dW = F dr = q E dr = u(t) i(t) dt = p(t) dt
W przypadku, gdy przepływ prądu następuje w wyniku
działania siły zewnętrznej F, to dostarczana do układu energia
ulega przemianie na energię elektryczną. Jeżeli natomiast pole
elektryczne o natężeniu E powoduje przepływ prądu, to energia
pola elektrycznego jest przekazywana do otoczenia przez element
układu elektrycznego. Oznacza to, że w każdym fragmencie układu
elektrycznego dokonywana jest przemiana energii.
Te fragmenty układu elektrycznego, w których następuje
przemiana różnych postaci energii na energię elektryczną
nazywamy elementami aktywnymi. Te części układu, w których
następuje natomiast przemiana energii elektrycznej na inną postać
energii lub jej magazynowanie nazywamy elementami pasywnymi.
W celu rozstrzygnięcia, czy dany element układu jest
elementem pasywnym, czy aktywnym należy porównać ilość
energii dostarczanej do elementu z ilością energii oddawanej przez
ten element.
Element
układu elektrycznego nazywamy pasywnym, jeżeli
energia dostarczona do rozpatrywanego elementu w przedziale
czasu od t
o
do dowolnej chwili t jest większa lub równa zeru (nie
ujemna):
W(t) = W(t
o
) +
⌡
⌠
t
o
t
p(
τ
)d
τ ≥
0
Z
powyższego warunku wynika, że element pasywny może
energię rozpraszać, gromadzić lub może ją również oddawać, ale
zawsze ilość energii oddanej nie może być większa od energii
poprzednio pobranej przez element.
i(t)
u(t)
Element
aktywny
Energia
Energia
elektryczna
Energia
przemiany
Rys. 6. Element aktywny
Element
pasywny
i(t)
u(t)
Energia
Energia
elektryczna
Energia
elektryczna
Rys. 7. Element pasywny
5
© Lesław ŁADNIAK
1.1.5 Obwód elektryczny
Obwodem elektrycznym nazywamy zamkniętą drogę w
przestrzeni, wzdłuż której może płynąć prąd elektryczny, czyli
mogą przemieszczać się ładunki elektryczne lub może
rozprzestrzeniać się fala elektromagnetyczna.
Podstawowym zadaniem obwodu elektrycznego jest
przekazywanie energii elektrycznej z jednego obszaru obwodu
do drugiego obszaru tego obwodu.
Ponieważ przepływ prądu w obwodzie elektrycznym odbywa
się wzdłuż drogi zamkniętej, to w każdym obwodzie elektrycznym
można wyróżnić część, w której energia dostarczana do układu jest
zamieniana na energię elektryczną oraz część, w której energia
elektryczna po zamianie na inną postać energii jest oddawana do
otoczenia. Oznacza to, że każdy obwód elektryczny można
podzielić przynajmniej na dwie części. Na Rys. 8 przedstawiono
najprostszy obwód elektryczny złożony z jednego elementu
aktywnego i jednego elementu pasywnego.
Bardzo praktyczne znaczenie ma podział obwodu elektrycznego
na części w zależności od funkcji pełnionej w procesie przesyłu
energii. Według tego podziału, wśród elementów pasywnych
wyróżnienia się elementy, których przeznaczeniem jest
przekazywanie energii oraz elementy nazywane odbiornikami,
których zadaniem jest przemiana energii elektrycznej na inne
postacie energii (Rys. 11). Taki podział obwodu elektrycznego
ułatwia ocenę start energii związanych z przesyłem energii
elektrycznej z jednej części obwodu do drugiej części tego
obwodu.
W wyniku podziału obwodu elektrycznego na części powstają
obszary zwane węzłami, w których następuje rozpływ prądów.
Fragmenty obwodu znajdujące się między węzłami, przez które
przepływa taki sam prąd, nazywane są gałęziami. Zbiór gałęzi tak
połączonych ze sobą, że istnieje droga zamknięta dla przepływu
prądu nazywany jest oczkiem. Strukturę obwodu elektrycznego
najczęściej odwzorowuje się za pomocą schematu elektrycznego
przyjmując umowne symbole dla każdej z wyróżnionych części
tego obwodu.
Element
pasywny
Energia
oddana
i(t)
u(t)
Element
aktywny
Energia
dostarczona
Energia
przemiany
Energia
elektryczna
Energia
elektryczna
Rys. 8. Obwód elektryczny
Element
przesyłowy
Energia
elektryczna
Energia
elektryczna
i
2
(t)
u
2
(t)
i
1
(t)
u
1
(t)
Energia
elektryczna
Energia
elektryczna
Rys. 9. Element przesyłowy
Odbiornik
energii
elektrycznej
i(t)
u(t)
Energia
Energia
elektryczna
Energia
elektryczna
Rys. 10. Odbiornik energii elektrycznej
i
1
(t)
u
1
(t)
Elementy
aktywne
Układ
przesyłowy
Energia
Odbiorniki
Energia
i
2
(t)
u
2
(t)
Rys. 11. Obwód elektryczny z wyróżnionym
układem przesyłowym
6
© Lesław ŁADNIAK
1.1.6 Bilans energii i mocy
Jak wykazano wcześniej, na każdym odcinku drogi dr wzdłuż
której następuje przepływ prądu elektrycznego i(t), czyli w każdym
fragmencie układu elektrycznego, zachodzi przemiana energii.
Zgodnie z podstawowym prawem fizyki
zasadą zachowania
energii
,
ilość energii dostarczonej do fragmentu układu
elektrycznego jest równa ilości energii elektrycznej zgromadzonej
w tym fragmencie układu:
dW
D
= F dr = dW
E
= p(t) dt
W przypadku, gdy przepływ prądu następuje po drodze
zamkniętej, czyli w obwodzie elektrycznym, to w każdej chwili
czasu całkowita energia obwodu elektrycznego będąca sumą
energii poszczególnych elementów tworzących ten obwód jest
równa ilości energii dostarczanej do obwodu:
W
D
(t) = ⌡⌠
A
B
F dr
= W
E
(t) = ⌡⌠
0
t
p(
τ
)d
τ
Z
powyższych równań wynika, że warunkiem przepływu prądu
elektrycznego w obwodzie elektrycznym jest istnieje obszaru, w
którym kosztem energii zewnętrznej jest wykonywana praca
związana z przemieszczaniem ładunków elektrycznych.
Konsekwencją bilansu energii jest bilans mocy stwierdzający,
że
całkowita moc elementów dostarczających energię do
obwodu elektrycznego musi być równa mocy elementów
oddających tą energię do otoczenia
.
W przypadku, gdy obwód elektryczny składa się z M
elementów aktywnych oraz N elementów pasywnych, to bilans
mocy przyjmuje postać:
Σ
M
m=1
p
m
(t) =
Σ
N
n=1
p
n
(t)
Z bilansu mocy wynika, że suma mocy chwilowych dla
wszystkich elementów obwodu elektrycznego jest równa zeru.
Układ B
i(t)
u(t)
Układ A
Energia
A
B
Rys. 12.
7
© Lesław ŁADNIAK
1.1.7 Prawa Kirchhoffa
Konsekwencją zasady zachowania energii są dwa prawa
Kiechhoffa. Prądowe prawo Kirchhoffa dotyczy bilansu ilości
ładunków przemieszczających się przez węzeł obwodu
elektrycznego. Napięciowe prawo Kirchhoffa dotyczy natomiast
sumy napięć wzdłuż drogi zamkniętej w obwodzie elektrycznym.
Prądowe prawo Kirchhoffa
jest wyrazem niezniszczalności
ładunku elektrycznego i nie gromadzenia się ładunków w węźle.
Węzeł obwodu elektrycznego należy traktować jak pewien
obszar przestrzeni otoczony powierzchnią zamkniętą nazywaną
powierzchnią Gaussa. Do tego obszaru mogą być dostarczane i
odprowadzane ładunki elektryczne (Rys. 14). W węźle zgodnie
zachowania ładunku będącą konsekwencją zasady zachowania
energii, ładunki nie znikają ani nie powstają. Przyjmijmy ponadto,
że ładunki nie gromadzą się w obszarze węzła. W konsekwencji
ilość ładunków dopływających do węzła musi być równa ilości
ładunków wypływających z węzła. Ponieważ za dodatni kierunek
poruszania się przyjmuje się kierunek na zewnątrz otaczającej nas
powierzchni, to dla rozpatrywanego węzła możemy napisać
następujące równanie:
-
dq
1
+ dq
2
- dq
3
= 0
Jeżeli przedstawione zmiany ładunków odniesiemy do czasu, w
jakim one zachodzą, to otrzymamy:
-
dq
1
dt +
dq
2
dt -
dq
3
dt = 0
Korzystając z definicji natężenia prądu dla rozpatrywanego
węzła możemy napisać:
-
i
1
(t) + i
2
(t) - i
3
(t) = 0
Dowolnego
węzła obwodu elektrycznego zachodzi równanie, że
algebraiczna suma prądów dopływających i odpływających z
węzła jest równa zeru lub, że suma prądów dopływających do
węzła jest równa sumie prądów odpływających z węzła:
(1)
Σ
N
n=1
±
i
n
(t) = 0
lub
Σ
K
k=1
i
dk
(t) =
Σ
L
l=1
i
ol
(t)
Rys. 13. Kirchhoff Gustaw Robert (1824-1887)
Q
1
Q
2
Q
3
S
i
1
i
2
i
3
Rys. 14. Węzeł
8
© Lesław ŁADNIAK
Napięciowe prawo Kirchhoffa
jest konsekwencją bilansu
energii albo potencjalność pola elektrycznego w obszarach, w
których nie występują zmiany pola magnetycznego.
Przemieszczając ładunek elektryczny q na drodze z punktu A do
punktu B wykonywana jest praca, której wartość zależy od
wartości przenoszonego ładunku oraz różnicy potencjałów między
punktami A i B:
W
AB
= q (V
A
- V
B
)
Praca pola elektrycznego jest dodatnia, czyli pole elektryczne
wykonuje pracę, jeżeli dodatni ładunek jest przemieszczany
zgodnie z działającą na niego siłą Coulomba, czyli znak pracy
zależy od kierunku przemieszczania ładunków między
poszczególnymi punktami pola.
W przypadku przemieszczania ładunku q w polu elektrycznym
po drodze zamkniętej (Rys. 15) łączącej kilka wybranych punktów
pola, całkowita praca jest sumą prac W
12
, W
23
, W
34
, oraz W
41
wykonanych na drodze między kolejnymi punktami pola.
Ponieważ w obszarach, gdzie nie zachodzą zmiany pola
magnetycznego, pole elektryczne jest polem potencjalnym, czyli
polem, w którym praca nie zależy od kształtu i długości drogi, to
całkowita praca wykonana na drodze zamkniętej jest równa zeru:
W
12
+ W
23
+ W
34
+ W
41
= 0
Jak wynika z powyższego równania, wartość pracy wykonanej
na przynajmniej jednym z odcinków drogi zamkniętej musi mieć
przeciwny znak niż praca wykonana na pozostałych odcinkach tej
drogi.
Uwzględniając związek pracy z ładunkiem oraz fakt, że
napięcie jest różnicą potencjałów, a przemieszczany ładunek jest
różny od zera, otrzymujemy:
q
{
(V
1
- V
2
) + (V
2
- V
3
) + (V
3
- V
4
) + (V
4
- V
1
) } = 0
u
12
(t) + u
23
(t) + u
34
(t) + u
41
(t) = 0
Dla dowolnej drogi zamkniętej w potencjalnym polu
elektrycznym (Rys. 16) słuszne jest równanie, że algebraiczna
suma napięć jest równa zeru:
(2)
Σ
K
k=1
±
u
k
(t)
=
0
lub
Σ
M
m=1
±
e
m
(t)
=
Σ
N
n=1
±
u
n
(t)
Rys. 15. Praca po drodze zamkniętej
R
R
w
E
I
a
b
c
d
I
R
w
E
a
b
d
c
R
a
b
d
c
E
I R
I
V
x
Rys. 16. Zmiana potencjału w obwodzie
elektrycznym