1

Statystyczna interpretacja 

wyników eksperymentu

Małgorzata Jakubowska

Katedra Chemii Analitycznej

Wydział In

Ŝ

ynierii Materiałowej i Ceramiki AGH

Podstawowe zadanie statystyki

Statystyka

to  uniwersalne  i  łatwo  dostępne 

narzędzie,  które  pomaga  konwertować wyniki 
eksperymentu  na  wiedzę o  badanym  obiekcie  lub 
procesie.

PowaŜnym błędem jest pominięcie analizy 
statystycznej tam, gdzie jest ona potrzebna.

Zalety statystyki

Tworzenie zwartej i treściwej reprezentacji danych:

• dysponujemy nowoczesną aparaturą, która w krótkim czasie     

dostarcza znacznej ilości wyników

• wyniki te naleŜy przekształcić w uŜyteczną informację

• człowiek moŜe brać pod uwagę jedynie ograniczoną liczbę

faktów

• statystyka pomaga zrozumieć dane, wydobyć z nich uŜyteczną

informację i przekształcić ją w wiedzę

Zalety statystyki II

Wnioskowanie w oparciu o niepewne dane:

• dane  eksperymentalne  są niepewne  np.  z  powodu  błędów 

pomiarowych, 

niejednorodności 

badanego 

obiektu, 

niedoskonałości modeli stosowanych do interpretacji

• eksperymentatora interesują wnioski pewne

• statystyka  pozwala  wyeliminować lub  ograniczyć niektóre 

czynniki zmienności

• wynik podawany jest wraz z oszacowaniem niepewności

Zalety statystyki III

Przekształcanie danych do postaci uŜytecznej w 

rozwiązywaniu postawionego zadania:

• informacja zawarta jest w danych w postaci „uwikłanej”

• surowe dane naleŜy przekształcić do formy przydatnej w 

rozwiązywanym problemie

• stosujemy modele dobrze zdefiniowane i często łatwo 

dostępne w systemach analizy danych

• zastosowanie adekwatnego modelu pozwala uzyskać

odpowiedź na postawione pytanie

Niebezpieczeństwa 

stosowania statystyki

Nieumiejętne stosowanie metod statystycznych polega na:
• uŜyciu niewłaściwych pojęć i modeli, które nie są uzasadnione 

teoretycznie i źle reprezentują dane

• ograniczaniu  warstwy  informacyjnej  poprzez  zastosowanie 

zbyt daleko idących uproszczeń

• zbyt  kategorycznym  formułowaniu  wniosków  w  oparciu  o 

niepewne dane

• uruchamianiu  procedur  komputerowych  bez  istotnej  wiedzy  o 

ich działaniu

• niewłaściwej prezentacji danych
• celowym  ukrywaniu  faktów  np.  duŜego  rozrzutu  danych 

eksperymentalnych poprzez podanie jedynie wartości średniej

2

Podstawowe wymogi warunkujące 

miarodajność wyników

• reprezentatywność próbki (próbka musi wiernie 
odzwierciedlać skład chemiczny całego badanego obiektu)

• jednorodność próbki (bardzo istotne, gdy niski poziom analitu 
lub mała masa próbki pobranej do analizy)

• selektywność metody analitycznej (niezaleŜności wyniku od 
wpływu składników matrycy)

• losowość wyników (test znaków róŜnic, test trendu)

Analiza danych 

eksperymentalnych 

Przyczyny niepewności wyników eksperymentu:

• błędy grube

• błędy systematyczne 

• błędy przypadkowe

Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane instrumentem 

o bardzo duŜej precyzji i przy wysokiej dbałości eksperymentalnej, 

nie są dokładne, lecz mają przybliŜony charakter.

Błąd gruby

• wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki eksperymentatora, 

wyraźnej 

niesprawności

sprzętu 

albo 

nieoczekiwanego 

zaburzenia układu pomiarowego

• objawia  się istnieniem  jednego  wyniku  znacząco  odstającego  od 

pozostałych, uzyskanych w danej serii pomiarów

• wynik  pomiaru  obarczony  błędem  grubym  jest  zazwyczaj  łatwo 

zauwaŜalny i naleŜy go odrzucić (wyeliminować)  lub  posłuŜyć się
odpowiednim testem

• ostateczny  wynik  nie  powinien  być obciąŜony  wpływem  błędu 

grubego.

Błąd gruby – test Deana Dixona

• W  wyniku  kilkakrotnie  przeprowadzonej  analizy  uzyskujemy  szereg 

wyników najczęściej róŜniących się między sobą.

• Stwierdzamy, Ŝe jeden z wyników znacznie róŜni się od pozostałych.

• Musimy zdecydować czy naleŜy go odrzucić.

• Decyzja  o  odrzuceniu  wyniku  powinna  opierać się na  przesłankach 

statystycznych.

• W tym celu stosujemy jeden z testów, np. test Deana Dixona.

Błąd gruby – test Deana Dixona

Obliczamy parametr Q według wzoru:

R

y

y

Q

1

2

−

=

gdzie y

1

- wynik wątpliwy, y

2

- wynik mu najbliŜszy, R - rozrzut wyników.

Wartości krytyczne parametru Q testu Deana Dixona 

 

Poziom ufności 1-

αααα

 

Liczba 

wyników 

0.90 

0.95 

0.98 

0.99 

3 

0.886 

0.941 

0.972 

0.988 

4 

0.679 

0.765 

0.846 

0.889 

5 

0.557 

0.642 

0.729 

0.760 

6 

0.482 

0.560 

0.644 

0.698 

7 

0.434 

0.507 

0.586 

0.637 

8 

0.399 

0.468 

0.543 

0.590 

9 

0.370 

0.437 

0.510 

0.555 

10 

0.349 

0.412 

0.483 

0.527 

 
 

Wynik wątpliwy naleŜy 
odrzucić, jeŜeli obliczony 
parametr Q jest większy 
od odczytanej z tablicy 
krytycznej wartości dla 
wybranego poziomu 
istotności.

Błąd systematyczny

• błąd  polegający  na  stałym  lub  zmiennym,  systematycznym  odchyleniu 

wyniku pomiaru od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej 

• przesunięcie wyniku następuje zwykle w tę sama stronę

• dowolna liczba powtórzeń pomiaru nie ujawni nieprawidłowości

• przyczyny: 

nieprawidłowe 

ustawienia 

przyrządu 

pomiarowego, 

niewystarczająca  czystość

chemiczna,  periodyczne  zaburzenia  układu 

pomiarowego  czynnikami  zewnętrznymi,  niedoskonała  standaryzacja lub 
kalibracja, błąd obsługi, niedoskonała procedura pomiarowa

• błąd  ten  eliminuje  się zmieniając  przyrząd  na  pozbawiony  wady  lub 

kontrolując  tok  postępowania  oraz  warunki,  w  których  wykonywany  jest 
pomiar

• czasami daje się skorygować wynik numerycznie po pomiarze

• metody statystyczne nie mają tu zastosowania.

3

Rodzaje błędów systematycznych

stały

B

ł

ą

d

Warto

ść

 mierzona

proporcjonalny

0.0

Warto

ść

 mierzona

złoŜony

0.0

Warto

ść

 mierzona

W

a

rt

o

ś

ć

 m

ie

rz

o

n

a

Zmienna niezale

Ŝ

na

 

Zmienna niezale

Ŝ

na

 

0.0

0.0

0.0

0.0

Zmienna niezale

Ŝ

na

Błędy przypadkowe

• powstaje na skutek działania czynników losowych

• jest  miarą rozrzutu otrzymywanych  wyników  wokół wartości  najbardziej 

prawdopodobnej.

• jego obecność powoduje niemoŜność uzyskania jednakowych wartości wyników 

w danej serii pomiarowej (przy załoŜeniu, Ŝe są mierzone z wystarczającą ilością
miejsc znaczących)

• źródłami  błędów  losowych  są wszelkie  zmienności  występujące  w  sposób 

przypadkowy w  toku  procesu analitycznego (czynniki  zewnętrzne,  właściwości 
obiektu pomiarowego, niestabilna praca urządzeń)

• błędu  przypadkowego  w  zasadzie  nie  da  się wyeliminować ani  skorygować a 

takŜe nie da się go oszacować przed dokonaniem pomiaru

• staramy  się tak  zaprojektować i  przeprowadzić pomiar,  aby  wartość błędu 

przypadkowego była jak najmniejsza

• po  zakończeniu  pomiaru  dokonujemy  oceny  (oszacowania)  wielkości  błędu 

losowego przy uŜyciu narzędzi statystycznych.

Błędy przypadkowe

Tablica Galtona
– model procesu 
pomiaru

Błędy przypadkowe -

modelowanie

Wykonujemy  pomiar wielkości  x,  czyli  spuszczamy  kulkę na  tablicy  Galtona. 
Najmniejsza  działka  naszego  przyrządu  pomiarowego  równa  jest  odległości  między 
kołeczkami w rzędzie. Następujące relacje określają związki pomiędzy rzeczywistym 
i modelowanym pomiarem:

Proces pomiaru

→

ruch kulki na tablicy

Błędy pomiarowe

→

przemieszczenia poziome kulki

Wynik pomiaru

→

numer przegródki, do której trafi

ł

a kulka

1.  Błędy  przypadkowe  obecne  są w  kaŜdym  pomiarze  - spadające  kulki  zawsze 
ulegają zderzeniom z kołeczkami.
2. Błąd  przypadkowy  pomiaru  moŜna  rozpatrywać jako  sumę bardzo  duŜej  liczby 
małych,  jednakowych  błędów  elementarnych  - końcowe  przemieszczenie  kulki  jest 
sumą duŜej liczby ma

ł

ych, jednakowych  przemieszczeń.

3. B

ł

ę

dy  elementarne  występują z  jednakowym  prawdopodobieństwem  ze  znakiem 

plus i minus - prawdopodobieństwa odchyleń w prawo i w lewo są takie same.

Rozkład normalny

2

2

2

)

(

2

1

)

(

σ

µ

π

σ

ϕ

−

−

=

x

e

x

µ

- wartość oczekiwana

σ

2

- wariancja zmiennej 

losowej

π

σ

2

1

max

=

y

Estymacja punktowa

Estymator – parametr obliczony z próby celem uzyskania 

informacji o parametrach populacji generalnej.

Estymacja punktowa - wyznaczamy z próby tylko niektóre 

parametry (punkty) rozkładu, a nie cały rozkład, np. 
dystrybuantę lub gęstość rozkładu. Nie potrafimy podać
dokładności uzyskanej oceny.  

4

Estymacja punktowa

Estymatory wartości centralnej:

•średnia arytmetyczna
•mediana 
•moda
•średnia waŜona

Estymatory rozrzutu wyników:

•odchylenie standardowe
•wariancja
•względne odchylenie standardowe
•współczynnik zmienności

Estymacja punktowa

Medianą dla n wyników y

1

, y

2

,...,y

n

uporządkowanych według 

wielkości jest wartość leŜąca w środku. 

n

y

y

n

i

i

∑

=

=

1

Niech n oznacza liczebność próby czyli liczbę pomiarów.

Średnia arytmetyczna w próbie n wyników y

1

, y

2

,...,y

n

:

Estymacja punktowa

Wariancja zmiennej losowej

Odchylenie standardowe

Względne odchylenie standardowe

Współczynnik zmienności

1

)

(

1

2

2

−

−

=

∑

=

n

y

y

S

n

i

i

2

S

S

=

y

S

RSD

=

%

100

∗

=

RSD

CV

Estymacja przedziałowa

Estymacja  przedziałowa pozwala na  oszacowanie  wartości  parametru 
jakiegoś rozkładu oraz podanie  dokładności, z  jaką to  oszacowanie 
wykonano.

Przedziałem ufności (ang. confidence interval) dla parametru y na poziomie 

ufności (1-

α

αα

α

) nazywamy przedział (y

1

, y

2

) spełniający następujące warunki:

• jego końce y

1

i y

2

są funkcjami próby i nie zaleŜą od szacowanego parametru 

• prawdopodobieństwo  pokrycia  przez  ten  przedział nieznanego  parametru y

jest równe (1-

α

αα

α

), co zapisujemy w postaci:

P(y

1

< y < y

2

)=1-

α

αα

α

gdzie 

α

αα

α

jest ustalonym z góry prawdopodobieństwem.

Stosuje się następującą terminologię: 

α

αα

α

poziom istotności

1-

α

αα

α

poziom ufności (ang. confidence level)

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności  dla  średniej  rozkładu  normalnego  o  nieznanej 
wariancji:

CI

y

y

CI

y

+

<

<

−

gdzie

n

S

t

CI

α

=

t

α

- α-procentowa wartość t, którą odczytuje się z tablic t - Studenta 

przy poziomie ufności 1-α oraz n-1 stopniach swobody. 

Poziom istotności

α

wynosi najczęściej 0.05 lub 0.01.

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności  z  zadanym  z  góry  prawdopodobieństwem  (1  - α)  pokrywa 
prawdziwą wartość parametru 

y

.

Wartości funkcji t - Studenta w zaleŜności od poziomu istotności i liczby stopni swobody 

 

Poziom ufności 1-

αααα

 

Liczba stopni 

swobody n-1 

0.90 

0.95 

0.99 

0.999 

1 

6.314 

12.706 

63.657 

636,619 

2 

2.920 

4.303 

9.925 

31.598 

3 

2.353 

3.182 

5.841 

12.941 

4 

2.132 

2.776 

4.604 

8.610 

5 

2.015 

2.571 

4.032 

6.859 

6 

1.943 

2.447 

3.707 

5.959 

7 

1.895 

2.365 

3.499 

5.405 

8 

1.860 

2.306 

3.355 

5.041 

9 

1.833 

2.262 

3.250 

4.781 

10 

1.812 

2.228 

3.169 

4.587 

15 

1.753 

2.131 

2.947 

4.073 

20 

1.725 

2.086 

2.845 

3.850 

 

5

Testowanie hipotez

Badacz  precyzuje  swój  problem  i  wyraŜa  go  w  formie  pewnej 
hipotezy. 

Dzieje się to przed zaplanowaniem i wykonaniem doświadczenia.

Samo  doświadczenie  ma  słuŜyć

do  sprawdzenia  słuszności 

postawionej hipotezy. 

Metody weryfikowania hipotez nazywamy testami istotności.

Test istotności F w przypadku 

róŜnicy dwóch wariancji

Zmienna  losowa  y

1

ma  rozkład  normalny  z  nieznaną średnią

µ

1

i 

odchyleniem  standardowym 

σ

1

, zmienna  y

2

ma rozkład  normalny  z 

parametrami  

µ

2

i 

σ

2

. 

Test  istotności  F sprawdza  czy  wariancja  pierwszej  populacji  jest 
równa wariancji drugiej populacji. Dla zweryfikowania hipotezy o 
równości wariancji korzystamy z funkcji testowej postaci:

oraz

n

1

i n

2

oznaczają liczebność pierwszej i drugiej próby

S

1

2

i S

2

2

oznaczają wariancje pierwszej i drugiej próby

2

2

2

1

0

S

S

F

=

2

2

2

1

S

S

>

Test istotności F w przypadku 

róŜnicy dwóch wariancji

Odpowiednią wartość graniczną F odczytuje się z tablic F przy n

1

-1 i  

n

2

-1 stopniach swobody. 

JeŜeli  F

0

jest  większe  od  wartości  krytycznej  to  hipotezę

odrzucamy.

Test  istotności  oparty  na  funkcji  F moŜe  słuŜyć do  porównywania 
precyzji  dwóch  metod  lub  do  porównania  precyzji  dwóch  zbiorów 
liczbowych,  będących  wynikiem  stosowania  tej  samej  metody  w 
odmiennych warunkach lub przez róŜnych pracowników. 

Test istotności t w przypadku 

róŜnicy dwóch średnich

Zmienna  losowa  y

1

ma  rozkład  normalny  z  nieznaną średnią

µ

1

i 

odchyleniem  standardowym 

σ

, zmienna  y

2

ma rozkład  normalny  ze

ś

rednią

µ

2

i tym samym odchyleniem standardowym

σ

. 

Dla  zweryfikowania  hipotezy  o  równości  średnich korzystamy  z 
funkcji testowej postaci:

n

1

, n

2

oznaczają liczebność pierwszej i drugiej próby

oznaczają średnie arytmetyczne pierwszej i drugiej próby

S oznacza wariancję

)

1

1

(

2

)

1

(

)

1

(

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

0

n

n

n

n

S

n

S

n

y

y

t

+

−

+

−

+

−

−

=

2

1

, y

y

Test istotności t w przypadku 

róŜnicy dwóch średnich

Ilość stopni  swobody  n

1

+n

2

-2 wskazuje  ten  wiersz  w  tablicy  t

Studenta, z którego przy obranym ryzyku błędu 

α

=0.05 lub 

α

=0.01 

odczytuje się wartość krytyczną t

0.05 

lub t

0.01

. 

JeŜeli 

α

=0.05 oraz okaŜe się, Ŝe t

0

jest większe od t

0.05

, to hipotezę

odrzucamy  z  5-procentowym  ryzykiem  błędu  i  wnioskujemy  o 
istotnej róŜnicy między średnimi prób.

Regresja liniowa

Regresja liniowa 
metodą
najmniejszych 
kwadratów

6

Regresja liniowa

0

10

20

30

40

50

60

70

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

y = 0.00998x + 0.033
r = 0.9987

W

y

so

k

o

ś

ć 

p

ik

u

 [

µ

A

]

StęŜenie [

µ

M]

Metoda najmniejszych 

kwadratów

Minimalizacja wyraŜenia:

∑

=

+

−

=

∆

n

i

i

i

bx

a

y

1

2

))

(

(

Przyrównujemy do zera 
pochodne cząstkowe:

a

∂

∆

∂

b

∂

∆

∂

oraz

Regresja liniowa

x

xy

Q

Q

b

=

x

b

y

a

−

=

n

x

x

x

x

Q

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

2

1

1

2

1

2

)

(

)

(

∑

∑

∑

=

=

=

−

=

−

=

y

x

n

y

x

n

y

x

y

x

y

y

x

x

Q

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

xy

−

=

−

=

−

−

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

1

1

1

1

1

)

)(

(

x

y

,

- średnie arytmetyczna wartości x

i

oraz y

i

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych 

i zaokr

ą

glanie wyników

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych 

i zaokr

ą

glanie wyników

W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy w postaci:

X

R

=  X

M

±

∆

X

gdzie:  

X

R

- warto

ść

rzeczywista wielko

ś

ci mierzonej, 

X

M 

- warto

ść

uzyskana w wyniku pomiaru, 

∆

X

- niepewno

ść

lub bł

ą

d pomiaru.

Powy

Ŝ

szy zapis oznacza, 

Ŝ

e:

najlepszym przybli

Ŝ

eniem warto

ś

ci  mierzonej jest według 

eksperymentatora liczba X

M

z rozs

ą

dnym prawdopodobie

ń

stwem szukana warto

ść

znajduje 

si

ę

gdzie

ś

pomi

ę

dzy X

M

-

∆

X i    X

M

+ 

∆

X.

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych 

i zaokr

ą

glanie wyników II

wynik X

M

oraz bł

ą

d pomiaru

∆

X s

ą

wielko

ś

ciami szacowanymi

nie ma wi

ę

c sensu podawa

ć

wszystkich cyfr, które otrzymujemy 

z oblicze

ń

obliczone warto

ś

ci  X

M

i   

∆

X podajemy zaokr

ą

glone

oznacza to, 

Ŝ

e przybli

Ŝ

amy warto

ś

ci otrzymane z oblicze

ń

.

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych 

i zaokr

ą

glanie wyników II

cyframi znacz

ą

cymi danej liczby ró

Ŝ

nej od zera nazywamy 

wszystkie jej cyfry z  wyj

ą

tkiem wyst

ę

puj

ą

cych na pocz

ą

tku zer

do cyfr znacz

ą

cych zalicza si

ę

równie

Ŝ

zera ko

ń

cowe, je

ś

li s

ą

one wynikiem oblicze

ń

, a nie zaokr

ą

gle

ń

oznacza to, 

Ŝ

e pierwsza cyfra znacz

ą

ca musi by

ć

ró

Ŝ

na od zera, 

natomiast druga, trzecia i dalsze mog

ą

by

ć

zerami.

7

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych 

i zaokr

ą

glanie wyników III

obliczenia  wykonujemy  zawsze  z  wi

ę

ksz

ą

liczb

ą

cyfr,  ni

Ŝ

chcemy poda

ć

wynik

zaokr

ą

gle

ń

dokonujemy dopiero po zako

ń

czeniu oblicze

ń

oszacowane bł

ę

dy zaokr

ą

glamy  zawsze  w  gór

ę

,  poniewa

Ŝ

w 

Ŝ

adnym  przypadku  nie wolno  pomniejsza

ć

bł

ę

dów.  Zawsze 

lepiej  poda

ć

zawy

Ŝ

on

ą

warto

ść

bł

ę

du  ni

Ŝ

go  niedoszacowa

ć

; 

bł

ę

dy    pomiarów  zaokr

ą

glane  s

ą

do  pierwszej  cyfry  znacz

ą

cej 

(wyj

ą

tek: 1, 2) 

przy zaokr

ą

glaniu wyniku pomiaru stosowane s

ą

powszechnie przyj

ę

te zasady zaokr

ą

gle

ń

: liczb

ę

ko

ń

cz

ą

c

ą

si

ę

cyframi   0-4  zaokr

ą

glamy w dół, a 5 - 9  w gór

ę

ostatnia cyfra znacz

ą

ca w ka

Ŝ

dym wyniku pomiaru powinna 

sta

ć

na tym samym miejscu dziesi

ę

tnym, co bł

ą

d pomiaru.

Dziękuję za uwagę!