Matematyka II
( Zarządzanie i Inżynieria Produkcji)
Macierze, wyznaczniki,
układy równań liniowych
dr inż. Anna Szadkowska
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2012
Matematyka II
( Zarządzanie i Inżynieria Produkcji)
Macierze, wyznaczniki,
układy równań liniowych
dr inż. Anna Szadkowska
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2012
Macierze, wyznaczniki, układy równań
Definicja (macierzy).
Niech Każdą funkcję
odwzorowującą zbiór w zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych)
nazywamy macierzą prostokątną o wymiarach przy czym liczby
gdzie nazywamy elementami
tej macierzy.
Macierze będziemy oznaczać pojedynczymi , dużymi literami
i zapisywać
,
)
,
(
ik
a
k
i
f
].
[
lub
]
[
lub
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
ik
n
m
ik
mn
mk
m
m
in
ik
i
i
n
k
n
k
a
A
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
}.
,...,
2
,
1
,...,
2
,
1
:
)
,
{(
n
k
m
i
k
i
D
f
,
,...,
3
,
2
,
1
,
,...
2
,
1
n
k
m
i
,...
,
,
C
B
A
,
n
m
D
ty wiersz macierzy
ta kolumna macierzy
Szczególne przypadki macierzy:
1) Jeżeli to macierz nazywamy macierzą kwadratową,
przy czym liczbę nazywamy stopniem macierzy, a o elementach
mówimy, że tworzą główną przekątną macierzy.
2) Macierz kwadratową w której poniżej głównej przekątnej są
same zera nazywamy macierzą trójkątną górną. Definicja macierzy
trójkątnej dolnej jest analogiczna.
3) Macierz, która jest jednocześnie trójkątna górna i trójkątna dolna
nazywamy macierzą diagonalną.
mk
ik
k
k
a
a
a
a
2
1
]
...
...
[
2
1
i
a
a
a
a
in
ik
i
i
k
,
...
,
,
,
33
22
11
nn
a
a
a
a
A
A
,
n
m
n
A
,
A
4) Macierz kwadratową stopnia , której wszystkie elementy stojące
na głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są zerami
nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy zazwyczaj literą
Przykłady macierzy jednostkowych:
5) Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywamy
macierzą zerową i oznaczamy literą
6) Macierz, która powstaje z macierzy poprzez zamianę jej
wierszy na kolumny z zachowaniem ich kolejności nazywamy
macierzą transponowaną do macierzy i oznaczamy
7) Macierz nazywamy macierzą symetryczną, jeżeli spełnia
warunek
,...
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,
1
0
0
1
],
1
[
4
3
2
1
I
I
I
I
.
n
I
A
.
T
A
.
O
A.
A
T
A
A
A
n
Przykład. Jeżeli to
Działania na macierzach:
1) Równość macierzy:
2) Suma i różnica macierzy:
3) Mnożenie macierzy przez liczbę
Przykład.
,
4
3
2
12
5
1
A
.
4
2
5
3
12
1
T
A
.)
,...,
3
,
2
,
1
;
,...,
3
,
2
,
1
,
(
]
[
]
[
n
k
m
i
b
a
b
a
ik
ik
def
n
m
ik
n
m
ik
n
m
ik
ik
def
n
m
ik
n
m
ik
b
a
b
a
]
[
]
[
]
[
n
m
ik
def
n
m
ik
a
t
a
t
]
[
]
[
:
R
t
19
2
5
1
6
1
7
4
5
3
2
1
12
6
10
4
8
2
7
4
5
3
2
1
6
3
5
2
4
1
2
4) Mnożenie macierzy przez macierz:
Iloczynem macierzy nazywamy macierz
której elementy są określone wzorami
gdzie
Warunek wykonalności mnożenia
Liczba kolumn macierzy musi być równa liczbie wierszy
macierzy
Przykład.
Uwaga.
Jeżeli działanie jest wykonalne, to działanie nie musi być
wykonalne, a nawet wtedy, gdy można wykonać mnożenie oraz
wynikiem tego mnożenia nie musi być ta sama macierz.
Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
s
j
jk
ij
sk
is
k
i
k
i
ik
b
a
b
a
b
a
b
a
c
1
2
2
1
1
...
1
2
11
2
3
6
1
1
0
)
2
(
0
1
1
)
2
(
)
3
(
1
4
)
2
(
1
2
0
3
0
2
1
3
)
3
(
2
4
3
1
0
3
0
1
4
1
2
2
3
n
s
jk
s
m
ij
b
B
a
A
]
[
i
]
[
,
]
[
n
m
ik
c
C
.
,...,
2
,
1
,
,...,
2
,
1
n
k
m
i
.
B
A
.
B
A
B
A
A
B
B
A
A
B
Własności działań na macierzach:
Uwaga.
Niech natomiast niech będą macierzami
jednostkowymi wymiarów odpowiednio
Wtedy
.
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
,
,
),
(
)
(
),
(
)
(
,
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
A
B
B
A
A
A
B
A
B
A
A
A
C
B
C
A
C
B
A
C
A
B
A
C
B
A
O
O
A
O
A
O
A
O
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
A
B
B
A
R
n
m
ik
a
A
]
[
n
m
I
I
,
.
i
n
m
.
A
I
A
A
I
n
m
Definicja (wyznacznika macierzy).
Wyznacznikiem (inne oznaczenie ) macierzy kwadratowej
stopnia nazywamy liczbę przyporządkowaną macierzy
w następujący sposób:
1) Jeżeli to
2) Jeżeli to
gdzie oznacza wyznacznik macierzy
powstały z macierzy przez pominięcie pierwszego wiersza
i tej kolumny.
n
k
k
k
k
n
n
n
nn
nk
n
n
k n
k k
k
k
n
k
n
k
W
a
W
a
W
a
W
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
1
1
1
1
1
1
1
12
12
2
1
11
11
1
1
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
,
)
1
(
)
1
(
...
)
1
(
)
1
(
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
det
,
,...,
3
,
2
,
1
dla
,
1
n
k
W
k
A
k
,
1
n
.
det
11
11
a
a
A
,
1
n
A
n
A
det
A
A
Metody obliczania wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego
a) Z definicji mamy
b) Z definicji mamy
Metoda Sarussa (tylko do liczenia wyznaczników stopnia trzeciego):
10
4
)
1
(
3
2
3
4
1
2
)
1
(
)
1
(
21
12
22
11
21
12
2
1
22
11
1
1
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
32
31
22
21
13
3
1
33
31
23
21
12
2
1
33
32
23
22
11
1
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
)
1
(
)
1
(
)
1
(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
23
22
21
13
12
11
21
12
33
11
32
23
31
22
13
23
12
31
13
32
21
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Definicja.
Podwyznacznikiem czyli minorem wyznacznika
odpowiadającym elementowi nazywamy wyznacznik stopnia
który powstaje z danego wyznacznika przez pominięcie tego
wiersza oraz tej kolumny. Oznaczać go będziemy symbolem
Definicja.
Iloczyn nazywamy dopełnieniem algebraicznym
elementu
Uwaga. Stopień macierzy nazywamy także stopniem wyznacznika
tej macierzy.
nn
nk
n
n
in
ik
i
i
n
k
n
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
W
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
ik
ozn
ik
k
i
W
W
)
1
(
.
ik
W
.
ik
a
ik
a
,
1
n
i
k
Własności wyznaczników:
Własność 1.
Dla dowolnego wyznacznika
zachodzą równości:
Równość (*) nosi nazwę rozwinięcia Laplace’a względem tego
wiersza, natomiast równość (**) nosi nazwę rozwinięcia
Laplace’a względem tej kolumny.
Przykład.
nn
nk
n
n
in
ik
i
i
n
k
n
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
W
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
n
l
lk
lk
nk
nk
k
k
k
k
n
l
il
il
in
in
i
i
i
i
W
a
W
a
W
a
W
a
W
W
a
W
a
W
a
W
a
W
1
*
*
*
2
2
*
1
1
1
*
*
*
2
2
*
1
1
...
(**)
...
(*)
54
9
)
1
(
3
2
3
0
3
1
0
4
0
3
5
)
1
(
2
0
0
2
0
3
0
0
3
1
0
0
4
0
7
2
0
0
3
0
5
3
2
2
*
42
*
32
*
22
*
12
W
W
W
W
W
i
k
Własność 2.
Własność 3. Jeżeli w wyznaczniku przestawimy dwa dowolne wiersze
(kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną.
Własność 4. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny)
wyznacznika są zerami, to wyznacznik ten jest równy zero.
Własność 5. Jeżeli elementy pewnego wiersza (kolumny) są
proporcjonalne (w szczególności równe) do elementów innego
wiersza (kolumny) wyznacznika, to wyznacznik ten jest równy zero.
Własność 6. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny)
pomnożymy przez liczbę to wartość wyznacznika też zostanie
pomnożona przez
Własność 7. Jeżeli do elementów pewnego wiersza (kolumny)
dodamy elementy innego wiersza (kolumny) tego wyznacznika
pomnożone przez tę samą liczbę, to wartość wyznacznika się nie
zmieni.
T
A
A det
det
,t
.t
Przykład.
Własność 8.
Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy leżące nad główną
przekątną lub pod główną przekątną są zerami, to wyznacznik
jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej.
Przykład.
1
4
3
1
1
4
3
0
1
1
0
2
3
1
0
3
2
1
1
0
2
3
1
1
3
2 w
w
24
1
6
7
5
0
4
1
3
0
0
3
0
0
0
0
2
Definicja (macierzy odwrotnej).
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej nazywamy taką
macierz ( o ile istnieje), dla której zachodzą równości:
gdzie oznacza macierz jednostkową.
Definicja (macierzy osobliwej).
Macierz, której wyznacznik jest równy zero nazywamy macierzą
osobliwą , a każdą inną macierz kwadratową nazywamy macierzą
nieosobliwą.
Twierdzenie. Jeżeli jest macierzą nieosobliwą, to istnieje dokładnie
jedna macierz odwrotna do macierzy i jest ona określona wzorem
Własności macierzy odwrotnych. Jeżeli macierze tego samego
stopnia są odwracalne oraz to
W
W
A
T
ik
]
[
*
1
A
,
1
1
I
A
A
A
A
1
A
A
I
A
.
1
)
(
,
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
,
)
(det
)
det(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A
A
α
A
B
B
A
A
A
A
A
A
A
-
T
T
B
A,
,
0
Przykład.
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
więc jest macierzą nieosobliwą.
4
1
1
0
3
2
2
0
3
A
,
0
34
1
5
3
2
2
)
1
(
0
1
5
0
3
2
2
0
3
4
1
1
0
3
2
2
0
3
det
3
1
2
1
3
w
w
A
W
9
4
6
3
10
2
1
8
12
3
2
0
3
)
1
(
0
2
2
3
)
1
(
0
3
2
0
)
1
(
1
1
0
3
)
1
(
4
1
2
3
)
1
(
4
1
2
0
)
1
(
1
1
3
2
)
1
(
4
1
0
2
)
1
(
4
1
0
3
)
1
(
]
[
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
*
ik
W
A
Zatem
Sprawdzimy, że
D] Sprawdzić, że
9
3
1
4
10
8
6
2
12
]
[
* T
ik
W
34
9
34
3
34
1
17
2
17
5
17
4
17
3
17
1
17
6
9
3
1
4
10
8
6
2
12
34
1
1
A
1
0
0
0
1
0
0
0
1
34
0
0
0
34
0
0
0
34
34
1
9
3
1
4
10
8
6
2
12
4
1
1
0
3
2
2
0
3
34
1
1
A
A
.
1
I
A
A
.
1
I
A
A
Układy n równań liniowych o n niewiadomych
Rozważmy układ równań liniowych o niewiadomych postaci
Przyjmijmy oznaczenia:
Macierz nazywamy macierzą główną układu, macierz
macierzą (kolumnową) niewiadomych, a macierz macierzą
(kolumnową) wyrazów wolnych. Wyznacznik nazywamy
wyznacznikiem głównym lub charakterystycznym układu (1).
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
)
1
(
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
n
n
nn
n
n
n
n
b
b
b
B
x
x
x
X
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
,
...
,
...
...
...
...
...
...
...
)
'
1
(
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
A
n
X
B
A
W
det
n
Definicja.
Układ (1) nazywamy układem Cramera, jeżeli
Twierdzenie Cramera.
Układ Cramera (1) posiada dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono
określone wzorami
gdzie oznacza wyznacznik otrzymany
z wyznacznika przez zastąpienie tej kolumny kolumną
wyrazów wolnych.
Wzory (2) noszą nazwę wzorów Cramera.
,
,...,
,
)
2
(
2
2
1
1
W
W
x
W
W
x
W
W
x
n
n
.
0
det A
,
,...,
3
,
2
,
1
dla
,
n
k
W
k
A
W
det
k
Przykład. Rozwiązać układ równań
Zatem rozważany układ równań liniowych posiada dokładnie jedno
rozwiązanie :
3
2
4
2
3
3
2
3
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
8
3
1
0
2
0
1
4
2
3
,
4
1
3
0
1
2
1
1
4
3
,
0
1
1
3
1
0
2
1
2
4
4
1
1
2
2
)
1
(
1
1
0
0
0
1
2
2
3
1
1
0
1
0
1
1
2
3
3
2
1
1
2
1
3
W
W
W
W
k
k
2
4
8
,
1
4
4
,
0
4
0
3
3
2
2
1
1
W
W
x
W
W
x
W
W
x
.
2
i
1
i
0
3
2
1
x
x
x
Macierzowa metoda rozwiązywania układów Cramera
Załóżmy, że układ równań liniowych (1) jest układem Cramera.
Przy przyjętych oznaczeniach (1’) układ (1) można zapisać w postaci
(3)
Rozwiązanie układu (1) jest zatem równoważne rozwiązaniu
równania (3).
W celu rozwiązania równania (3) pomóżmy obie jego strony
lewostronnie przez czyli przez macierz odwrotną do macierzy
Przykład.
Rozwiązać metodą macierzową układ równań:
1
0
2
3
2
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
.
B
X
A
I.
A
A
B
A
X
B
A
X
A
A
1
1
1
1
gdyż
,
,
1
A
.
A
Jest to więc układ Cramera.
Możemy go zapisać w postaci:
Zatem gdzie
, a stąd
Otrzymujemy więc
Zatem
0
1
0
0
1
1
0
1
3
1
1
0
1
1
1
1
1
3
2
1
det
1
2
k
k
W
A
1
0
2
0
1
1
1
1
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
W
W
A
T
ik
]
[
*
1
1
2
1
1
3
3
0
1
1
]
[
*
ik
W
1
1
0
2
3
1
1
3
1
1
A
1
0
1
1
0
2
1
1
0
2
3
1
1
3
1
X
,
1
B
A
X
.
1
i
0
i
1
3
2
1
x
x
x
Rząd macierzy
Rozważmy macierz
Definicja (minora macierzy).
Wyznaczniki, jakie można utworzyć z macierzy nazywamy
minorami tej macierzy.
Przykład. Niech
Jeden z minorów stopnia trzeciego macierzy
Jeden z minorów stopnia drugiego:
Jeden z minorów stopnia pierwszego: 7
Definicja (rzędu macierzy).
Rzędem macierzy nazywamy najwyższy ze stopni tych minorów
macierzy które są różne od zera. Dodatkowo przyjmujemy, że
rząd macierzy zerowej jest równy zeru.
Rząd macierzy będziemy oznaczać
3
8
5
6
1
4
3
9
0
7
1
2
A
3
8
5
1
4
3
0
7
1
5
6
3
9
.
]
[
n
m
ij
a
A
A
:
A
A
,
A
A
).
(A
R
Przykład.
Wyznaczyć rząd macierzy:
1)
Zauważmy, że i jest to różny od zera
wyznacznik macierzy stopnia trzeciego, więc
2)
Wszystkie minory stopnia trzeciego są równe zeru, gdyż
zawierają dwa jednakowe wiersze, ale istnieje minor stopnia
drugiego różny od zera np. więc
0
6
0
3
4
0
7
3
2
A
0
36
0
6
3
4
)
1
(
2
2
A
5
4
3
4
2
0
3
4
2
0
3
4
B
,
0
8
5
4
2
0
A
.
3
)
(A
R
.
2
)
(B
R
Twierdzenie (własności rzędów).
Jeżeli w macierzy:
1) zamienimy wiersze na kolumny,
2) przestawimy dwa wiersze ( kolumny),
3) pomnożymy elementy pewnego wiersza (kolumny) przez tę
samą i różną od zera liczbę,
4) do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy
innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę,
5) pominiemy wiersz (kolumnę) składający się z samych zer,
6) pominiemy jeden z dwóch wierszy (kolumn) o elementach
proporcjonalnych,
to rząd macierzy się nie zmieni.
Przykład.
2
7
1
5
4
3
4
0
2
3
1
8
0
4
6
2
7
1
5
4
3
4
0
2
3
1
8
0
4
6
2
0
0
0
0
0
7
1
5
4
3
4
0
2
3
1
1
3
2
R
R
R
w
w
Układ m równań liniowych o n niewiadomych
Rozważmy układ równań liniowych o niewiadomych postaci:
przy czym liczba równań może być mniejsza, równa albo
większa niż liczba niewiadomych
Przyjmijmy oznaczenia:
Macierz nazywamy macierzą główną układu (4), natomiast
macierz macierzą rozszerzoną albo uzupełnioną tego układu.
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
)
4
(
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
m
mn
m
m
n
n
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
C
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
...
,
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
2
1
2
22
21
1
12
11
A
C
.
n
m
m
n
Twierdzenie Kroneckera – Capelliego.
Układ równań liniowych (4) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy,
gdy i przy tym:
1) jeżeli to układ (4) ma jedno rozwiązanie,
2) jeżeli to układ (4) ma nieskończenie wiele rozwiązań, które
zależą od parametrów.
Przykład. Rozwiązać układ równań
3
2
2
3
2
7
3
2
1
5
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
3
5
1
3
2
2
2
1
3
2
2
1
3
5
1
3
2
2
2
1
3
7
3
2
1
5
1
3
2
)
(
3
2
1
2
R
R
R
A
R
w
w
w
w
2
3
2
2
1
3
1
5
1
3
2
3
2
2
1
3
3
2
2
1
3
1
5
1
3
2
3
2
2
1
3
2
7
3
2
1
1
5
1
3
2
)
(
3
2
1
2
R
R
R
C
R
w
w
w
w
r
C
R
A
R
)
(
)
(
,
n
r
,
n
r
r
n
więc układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań
zależnych od parametrów.
Przyjmijmy gdzie są dowolnymi, chwilowo
ustalonymi liczbami.
Zatem układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań określonych
wzorami:
gdzie są dowolnymi, chwilowo ustalonymi liczbami.
v
u
x
x
v
u
x
x
7
3
2
2
5
1
3
2
2
1
2
1
0
7
2
1
3
2
W
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
W
11
7
8
21
9
6
10
2
2
2
7
3
2
3
5
1
1
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
W
19
7
3
5
1
14
6
4
7
3
2
1
5
1
2
2
,
,
),
19
7
3
(
7
1
),
11
7
8
(
7
1
4
3
2
2
1
1
v
x
u
x
v
u
W
W
x
v
u
W
W
x
2
2
4
r
n
,
,
4
3
v
x
u
x
v
u
oraz
,
2
)
(
)
(
B
R
A
R
v
u
oraz
Literatura podstawowa:
1. Dobrowolska K., Dyczka W., Jakuszenkow H.: Matematyka dla
studentów studiów technicznych, część 1, 2, HELPMATH,
Łódź, 2002.
2. Gurgul H., Suder M.: Matematyka dla kierunków
ekonomicznych, Oficyna a Wolters Kluwer business, Kraków,
2010.
3. Banaś J.: Podstawy matematyki dla ekonomistów, WNT,
Warszawa, 2007.
Literatura uzupełniająca:
1. Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach,
część II, PWN, Warszawa, 2003.
2. Ostoja - Ostaszewski A.: Matematyka w ekonomii, tom 1, 2,
PWN, Warszawa, 1996.
3. Chiang A.: Podstawy ekonomii matematycznej, PWE,
Warszawa, 1994.