Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
1
Imię i Nazwisko:
.
Grupa:
Zad. 1. Jaką kwotę otrzyma posiadacz 6 miesięcznego weksla o sumie wekslowej w wysokości 10 000 zł, jeżeli
przedstawi go do dyskonta na 2 miesiące przed terminem wykupu, a stopa dyskontowa wynosi 10%?
a) 9 833,33
b) 9 856,49
c) 9 899,99
d) żadna z powyższych
Zad. 2. Wskaż prawidłową odpowiedź, jeżeli i = 5%.
Rok
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Projekt
A
-
9 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3
Projekt
B
-
10 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2
a) NPV
A
< NPV
B
b) NPV
A
< 1,50
c) NPV
B
> - 2,00
d) żadna z powyższych
Zad. 3. Dla jakiej nominalnej stopy dyskontowej kapitalizowanej w okresie trzyletnim wartość kapitału
wzrośnie czterokrotnie w okresie jedenastu lat.
a) 10,06 %
b) 10,49 %
c) 10,84 %
d) żadna z powyższych
Zad. 4. Bank nabył na przetargu 28-dniowy bon pieniężny płacąc za niego 9 950 zł, Jaką stopę zwrotu osiągnął
bank, jeżeli sprzedał ten bon po 27 dniach przy rentowności na poziomie 5%? Rok ma 360 dni.
a) 6,00 %
b) 6,29 %
c) 6,51 %
d) żadna z powyższych
Zad. 5. Dla wskazanego projektu oszacuj IRR:
Rok
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Projekt
A
- 9
- 2
- 2
- 2
- 2
5
5
5
5
5
5
a) IRR < 5 %
b) IRR
∈ (7 %; 9 %)
c) IRR
∈ (9 %; 11 %)
d) IRR > 11 %
Zad. 6. Dany jest portfel składający się w 130% z akcji spółki A i w -30% z akcji spółki B. Jeżeli E(R
A
) = 8%,
σ
A
= 11%, E(R
B
) = 15%, σ
B
= 23%, a ρ
AB
= 0,70, to E(R
P
) i σ
P
wynoszą:
a)
E(R
P
) = 5% σ
P
= 11%
b)
E(R
P
) = 5% σ
P
= 12%
c)
E(R
P
) = 6% σ
P
= 12%
d)
E(R
P
) = 6% σ
P
= 11%
Zad. 7. Wyznacz nominalną stopę procentową kapitalizowaną w okresie półrocza, dla której realna stopa
procentowa wynosi 7%, przy inflacji równej 5%.
a) 11,75 %
b) 11,99 %
c) 12,16 %
d) żadna z powyższych
Zad. 8. Dana jest 5-letnia obligacja o nominale 1 000 zł, kuponie płatnym rocznie w wysokości 6%. Jeżeli
rentowność jest na poziomie 4%, a do wykupu pozostały 3 lata, to ryzyko mierzone czasem trwania D
(Duration) wynosi:
a) 2,79
b) 2,84
c) 2,88
d) żadna z powyższych
Zad. 9. Jakie jest maksymalne oprocentowanie kredytów, przy którym kupiec zapłaci za towar gotówką, jeżeli
termin płatności przypada za 60 dni, a oferowane przez hurtownika skonto (rabat) w przypadku
natychmiastowego uregulowania należności wynosi 2,5%. Rok ma 365 dni.
a) 8 %
b) 10 %
c) 14 %
d) 18 %
Zad. 10. Obowiązuje zasada oprocentowania prostego. Wyznacz wartość procentu należnego od kwoty 10 000
zł za okres od 15 stycznia do 6 marca, jeżeli stopa procentowa wynosi 10%, a czas liczony jest zgodnie z regułą
zwykłą. (luty ma 28 dni).
a) 136,99
b) 138,89
c) 139,73
d) 141,67
Zad. 11. Dane są: akcje spółki A o E(R
A
) = 12% i σ
A
= 17% oraz akcje spółki B o E(R
B
) = 8% i σ
B
= 10%.
Wyznacz strukturę portfela składającego się z akcji spółek A i B, który charakteryzuje się zerowym ryzykiem
mierzonym odchyleniem standardowym, jeżeli ρ
AB
= 1.
a) w
B
< -1
b) w
B
= 1
c) w
B
> 2
d) żadna z powyższych
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
2
Zad. 12. Kredyt w wysokości 25 000 zł ma zostać spłacony w 35 półrocznych stałych ratach kapitałowych.
Wyznacz wysokość odsetek płaconych w 33 racie, jeżeli i
(2)
= 12 %.
a) 127,34
b) 128,57
c) 129,69
d) żadna z powyższych
Zad. 13. Wyznacz wartość akcji spółki Beta, jeżeli w poprzednim roku wypłaciła 2 zł dywidendy na akcję,
a oczekiwana przez inwestora stopa zwrotu wynosi 9%. Tempo rozwoju spółki pozwala oczekiwać, że
dywidenda będzie rosła o 5% rocznie.
a) 51,50
b) 52,00
c) 52,50
d) żadna z powyższych
Zad. 14. Dla wskazanego projektu znajdź MIRR, jeżeli rynkowa stopa procentowa wynosi 5%
Rok
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Projekt
A
- 11 - 2
- 2
- 2
- 2
4
4
4
4
4
4
a) MIRR < 5 %
b) MIRR
∈ (5 %; 6 %)
c) MIRR
∈ (6 %; 7 %)
d) MIRR > 7 %
Zad. 15. Obowiązuje zasada oprocentowania prostego. Dane są trzy kapitały K
A
= 24 000 dany na 1-1-2006,
K
B
= 18 000 dany na 1-1-2002 oraz K
C
= 21 000 dany na 1-1-2004. Porównaj kapitały na dzień 1-1-2000 i
zaznacz prawidłową odpowiedź, jeżeli i = 10 %.
a) K
A
= K
B
= K
C
b) K
A
= K
B
> K
C
c) K
A
> K
B
= K
C
d) żadna z powyższych
Zad. 16. Wyznacz średnią roczną stopę procentową, jeżeli kapitał przez pierwsze 4 lata był oprocentowany
stopą kapitalizowaną kwartalnie w wysokości 13%, przez kolejne 4 lata stopą dyskontową kapitalizowaną w
okresie dwuletnim w wysokości 7%, a przez ostatnie 3 lata intensywnością oprocentowania w wysokości 9%.
a) 9,72%
b) 10,05%
c) 10,35%
d) żadna z powyższych
Zad. 17. Kredyt w wysokości 16 000 zł jest spłacany w miesięcznych stałych łącznych ratach. Jaka jest wartość
zadłużenia po spłacie 12 raty, jeżeli ustalono ją na wysokości 800 zł, a i
(12)
= 15%.
a) 8 283,78
b) 8 301,78
c) 8 333,78
d) żadna z powyższych
Zad. 18. Wyznacz efektywną 6 miesięczną stopę procentową, jeżeli 5 miesięczna bazowa stopa procentowa
kapitalizowana w okresie 4 miesięcznym wynosi 10%.
a) 11,81 %
b) 12,24 %
c) 12,67 %
d) żadna z powyższych
Zad. 19. Przez ile lat na początku każdego półrocza możesz pobierać z funduszu o wartości początkowej w
wysokości 130 000 zł kwotę 8 000 zł, jeżeli i
(12)
= 8%? Obliczenia przeprowadź dla modelu wykładniczego.
a) 12,11
b) 12,39
c) 12,64
d) żadna z powyższych
Zad. 20. Dane są: akcje spółki A o E(R
A
) = 14% i σ
A
= 20% oraz akcje spółki B o E(R
B
) = 10% i σ
B
= 12%.
Wyznacz strukturę portfela składającego się z akcji spółek A i B, który charakteryzuje się oczekiwaną stopą
zwrotu na poziomie 15%, jeżeli ρ
AB
= -1.
a) w
A
< 0,3
b) w
A
= 0,5
c) w
A
> 0,7
d) żadna z powyższych
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
Zad. 1.
Ponieważ do wykupu weksla pozostały 2 miesiące, stąd n=2/12:
33
833
9
12
2
10
0
1
000
10
L
0
,
.
,
.
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⋅
=
Prawidłowa odpowiedź to a) 9 833,33
Zad. 2.
n
2
n
i
1
CF
i
1
CF
i
1
CF
I
i
i
1
1
CF
I
NPV
)
(
)
(
)
(
)
(
+
+
+
+
+
+
+
=
+
−
⋅
+
=
−
L
Jeśli piersze k przepływów jest zerem, to wzór przybiera postać:
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
L
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
L
k
n
n
1
k
k
k
2
i
1
CF
i
1
CF
i
1
0
i
1
0
i
1
0
I
NPV
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
−
+
k
n
2
1
k
n
1
k
i
1
1
i
1
1
i
1
1
i
1
CF
I
i
1
CF
i
1
CF
I
NPV
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
L
L
Stąd:
i
i
1
1
i
1
CF
I
NPV
k
n
k
)
(
)
(
)
(
−
−
+
−
⋅
+
+
=
gdzie: I – wydatki inicjujące,
CF– przepływy generowane przez projekt w kolejnych latach,
k – liczba przepływów o zerowej wartości,
n – liczba lat przez które projekt jest realizowany.
Podstawiając do powyższego wzoru dane:
003
0
05
0
05
1
1
05
1
2
10
NPV
5274
3
05
0
05
1
1
05
1
3
9
NPV
7
3
B
6
4
A
,
,
)
,
(
)
,
(
,
,
)
,
(
)
,
(
−
=
−
⋅
+
−
=
=
−
⋅
+
−
=
−
−
Porównując uzyskane wartości NPV
A
> NPV
B
, przy czym NPV
B
> -2
Prawidłowa odpowiedź c) NPV
B
> -2,00
Zad. 3.
Szukamy stopy dyskontowej dla oprocentowania z góry, złożonego w nadokresach,
dla k-krotnego wzrostu kapitału. Po przekształceniach wzór ma postać:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
n
m
k
1
1
m
1
d
gdzie: m-liczba lat w ciągu jednej kapitalizacji
m=3
k
-krotność wzrostu kapitału końcowego k=4
n
–
liczba
lat
n=131
1049
0
4
1
1
3
1
d
11
3
,
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
Prawidłowa odpowiedź to b) 10,49%
3
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
Zad. 4.
wykup
000
10
X
zakupu
cena
dni
28
I
etap
5
i
1
t
II
etap
i
27
t
=
⎯
⎯
⎯
→
←
⎯
⎯
⎯
→
←
=
=
=
=
.
%
?
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
48
47
6
48
47
6
Zadanie rozwiązuje się w II etapach:
I – wyznaczenie ceny X, po której bank sprzedał bon na rynku wtórnym (sprzedaje bon 1-dniowy)
II – wyznaczenie stopy zysku z operacji kupna-sprzedaży (bank miał bon w portfelu przez 27 dni)
Etap I. Wyznaczenie ceny X z następującej zależności:
360
t
i
1
K
X
K
n
0
⋅
+
=
=
gdzie: i – stopa rentowności, po której bon jest sprzedawany,
i=0,05
t – liczba dni, która pozostała do wykupu bonu
t=1
K
n
– wartość końcowa, czyli nominał
K
n
=10.000
K
0
- wartość początkowa, czyli cena sprzedaży dla banku i jednocześnie cena zakupu dla nowego
właściciela
611
9998
360
1
05
0
1
000
10
X
K
0
,
,
.
=
⋅
+
=
=
Etap II. Wyznaczenie stopy zysku z operacji kupna-sprzedaży, przy czym ceną sprzedaży jest wyliczona
wartość X:
06514
0
27
360
9900
950
9
611
998
9
t
360
K
K
X
t
360
K
K
K
i
0
0
0
0
n
z
,
.
,
.
=
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
Prawidłowa odpowiedź c) 6,51%
Zad.5.
IRR to wewnętrzna stopa zwrotu taka, dla której NPV = 0.
Zapisujemy wzór na NPV wykorzystując dane o przepływach:
IRR
IRR
1
1
IRR
1
5
IRR
IRR
1
1
2
9
NPV
6
4
4
−
−
+
−
⋅
+
+
+
−
⋅
−
−
=
)
(
)
(
)
(
W celu rozwiązania zadania, należy w miejsce IRR podstawiać stopy podane w odpowiedziach, aż do
wyznaczenia takich dwóch stóp procentowych, dla których NPV badanego projektu przyjmuje odpowiednio
wartość dodatnią oraz ujemną (pomiędzy tymi stopami znajduje się ta, dla której NPV = 0).
Do powyższego równania podstawiamy za IRR stopę
¾ 11% i uzyskujemy NPV(11%) = -1,27. Wynik oznacza, że dla badanego projektu IRR ma wartość
niższą niż 11%
¾ 9% i uzyskujemy NPV(9%)=0,41 Wynik oznacza, że dla badanego projektu IRR ma wartość wyższą
niż 9% (stopa IRR leży pomiędzy 9% a 11%).
Prawidłowa odpowiedź to c) IRR
∈ (9 %; 11 %)
Zad. 6.
Korzystając ze wzoru:
( )
( )
( )
B
B
A
A
P
R
E
w
R
E
w
R
E
+
=
4
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
gdzie: E(R
P
) – oczekiwany zwrot z portfela
E(R
A
) – oczekiwany zwrot z akcji A
E(R
A
) = 8%
E(R
B
) – oczekiwany zwrot z akcji B
E(R
B
) = 15%
w
A
– waga spółki A w portfelu
w
A
= 1,3
w
B
– waga spółki B w portfelu
w
B
= -0,3
( )
%
,
,
,
,
,
6
059
0
15
0
3
0
08
0
3
1
R
E
P
=
=
⋅
−
⋅
=
Uzyskany wynik zaokrąglamy do dokładności odpowiedzi stąd E(R
P
) = 6%
Ze wzoru na ryzyko portfela:
(
) (
)
AB
B
A
B
A
2
B
B
2
A
A
P
w
w
2
w
w
ρ
σ
σ
σ
σ
σ
+
+
=
gdzie: σ
A
– ryzyko spółki
A
σ
A
= 11%
σ
B
– ryzyko spółki
B
σ
B
= 23%
ρ
AB
– korelacja między zwrotami spółek A i B
ρ
AB
= 0,70
w
A
– waga spółki A w portfelu
w
A
= 1,3
w
B
– waga spółki B w portfelu
w
B
= -0,3
(
) (
)
%
,
,
,
,
,
)
,
(
,
,
,
,
,
68
10
106753
0
7
0
23
0
11
0
3
0
3
1
2
23
0
3
0
11
0
3
1
2
2
P
=
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
−
+
⋅
=
σ
Po zapisaniu uzyskanych wyników z dokładnością, z jaką zapisane są odpowiedzi uzyskujemy, a σ
P
= 11%.
Prawidłowa odpowiedź d) E(R
P
) = 6% σ
P
= 11%
Zad. 7.
Ze wzoru:
inf
inf
i
1
i
i
i
ef
r
+
−
=
, stąd
inf
inf
)
(
i
i
i
1
i
r
ef
+
⋅
+
=
gdzie: i
inf
– stopa inflacji
i
inf
= 0,05
i
r
– stopa realna
i
r
= 0,07
i
ef
– stopa efektywna
1235
0
05
0
07
0
05
0
1
i
ef
,
,
,
)
,
(
=
+
⋅
+
=
Szukana nominalna stopa daje się zapisać wzorem:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
1
i
1
m
i
m
1
ef
m
)
(
)
(
1199
0
1
1235
0
1
2
i
2
1
2
,
)
,
(
)
(
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
Prawidłowa odpowiedź to b) 11,99 %
Zad. 8.
Wzór na duration:
(
)
P
i
1
N
n
i
1
t
C
D
n
n
1
t
t
+
⋅
+
+
⋅
=
∑
=
)
(
gdzie: N – nominał obligacji,
N=1000
C – kupon płatny co roku
C = stopa kuponu*N = 0,06*1.000=60
n – liczba lat do wykupu obligacji, n = 3
i – rynkowa stopa procentowa
i = 0,04
P– wartość obligacji (cena), dana wzorem:
i
i
1
1
i
i
N
N
P
n
KUPONU
−
+
−
⋅
−
⋅
+
=
)
(
)
(
502
055
1
04
0
04
0
1
1
04
0
06
0
000
1
000
1
P
3
,
.
,
)
,
(
)
,
,
(
.
.
=
+
−
⋅
−
⋅
+
=
−
5
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
Duration wynosi:
84
2
502
055
1
04
1
060
1
3
04
1
60
2
04
1
60
1
D
3
2
,
,
.
,
.
,
,
≈
⋅
+
⋅
+
⋅
=
Prawidłowa odpowiedź b) 2,84
Zad. 9.
Po t-dniach odroczenia płatności klient jest zobligowany zapłacić za towar cenę C.
Przy natychmiastowej zapłacie (finansowanej kredytem) cena będzie pomniejszona o skonto Cs: C-Cs=C(1-s)
Klient skorzysta z oferty skonta, jeśli odsetki z zaciągniętego na czas t, kredytu C(1-s), nie przekroczą kwoty
skonta Cs. Stąd zależność:
t
365
s
1
s
i
s
365
t
i
s
1
Cs
365
t
i
s
1
C
k
k
k
⋅
−
<
⇒
<
⋅
⋅
−
⇒
<
⋅
⋅
−
)
(
)
(
gdzie: s – wysokość oferowanego skonta w %,
i
k
– stopa oprocentowania kredytów,
t – okres kredytowania w dniach.
1559
0
60
365
025
0
1
025
0
i
k
,
,
,
=
⋅
−
<
Spośród odpowiedzi spełniających warunek i
k
<15,59%
maksymalną wartość (bo szukana jest wartość
maksymalna) ma oprocentowanie kredytów równe 14%.
Prawidłowa odpowiedź c) 14%
Zad. 10.
Zgodnie z regułą zwykłą miesiąc ma 30 dni, natomiast rok ma 360 dni.
Liczba dni pomiędzy 15 stycznia a 6 marca wynosi: 15(styczeń)+30(luty)+6(marzec)=51
Odsetki wynoszą:
6666
141
360
51
1
0
000
10
,
,
.
=
⋅
⋅
Prawidłowa odpowiedź to d) 141,67
Zad. 11.
Z zestawu II (zad. 2) wiadomo, że przy tych samych założeniach (o korelacji i ryzyku)
A
B
B
A
w
σ
σ
σ
−
=
(*)
gdzie: σ
A
– ryzyko spółki A
σ
A
= 17%
σ
B
– ryzyko spółki B
σ
B
= 10%
ρ
AB
– korelacja między zwrotami spółek A i B
ρ
AB
= 1
w
A
– waga spółki A w portfelu
Ponieważ
to
1
w
w
B
A
=
+
B
A
w
1
w
−
=
, a wzór (*)
B
A
A
B
A
B
B
B
w
w
1
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
=
⇒
−
=
−
42
2
07
0
17
0
1
0
17
0
17
0
w
B
,
,
,
,
,
,
=
=
−
=
Prawidłowa odpowiedź to c) w
B
>2
Zad. 12.
Wzór na odsetki:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
⋅
=
n
j
P
i
O
j
1
1
gdzie: Oj – wartość odsetek płatnych w j-tej racie
6
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
i – oprocentowanie kredytu, dostosowane do kapitalizacji
i=0,12/2=0,06
n – liczba wszystkich rat, w których kredyt ma zostać spłacony, n=35
P – wysokość zaciągniętego
kredytu
P=25.000
Podstawiając:
57
128
35
1
33
1
000
25
06
0
O
35
,
.
,
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
⋅
=
Prawidłowa odpowiedź b) 128,57
Zad. 13.
Korzystamy ze wzoru:
(
)
i
r
r
1
D
A
−
+
⋅
=
gdzie: A-wartość
akcji A=?
D-wartość dywidendy
D=2
r - stopa wzrostu dywidendy
r=0,05
i
–
stopa
rynkowa
i=0,09
Po podstawieniu:
5
52
05
0
09
0
05
0
1
2
A
,
,
,
)
,
(
=
−
+
⋅
=
Prawidłowa odpowiedź to c) 52,5
Zad. 14.
Ze wzoru na MIRR:
1
i
i
1
1
CF
I
i
1
i
1
CF
MIRR
n
m
k
−
+
−
+
−
+
⋅
=
−
−
+
)
(
)
(
gdzie: CF
+
- przepływy dodatnie
CF
+
= 4
k – ilość przepływów dodatnich
k = 6
CF
-
- przepływy ujemne
CF
-
= -2 we wzorze z modułem: | CF
-
|=2
m – ilość przepływów ujemnych
m = 4
I – nakłady
I = -11 we wzorze z modułem: | I |=11
n
–
łączna ilość przepływów
n=k+m=6+4=10
i – rynkowa stopa procentowa
i = 0,05
0416
0
1
05
0
05
1
1
11
05
0
1
05
1
4
MIRR
10
4
6
,
,
)
,
(
,
)
,
(
=
−
−
+
−
⋅
=
−
Prawidłowa odpowiedź to a) MIRR < 5%
Zad. 15.
Ponieważ obowiązuje zasada oprocentowania prostego, kapitały należy przeliczyć na dany dzień 1.01.2000:
(
)
(
)
(
)
000
15
10
0
2000
2004
1
000
21
K
000
15
10
0
2000
2002
1
000
18
K
000
15
10
0
2000
2006
1
000
24
K
1
C
2000
1
B
2000
1
A
2000
.
,
)
(
.
.
,
)
(
.
.
,
)
(
.
=
⋅
−
+
⋅
=
=
⋅
−
+
⋅
=
=
⋅
−
+
⋅
=
−
−
−
Prawidłową odpowiedź: a) K
A
= K
B
= K
C
Zad. 16.
Zadanie sprowadza się do rozwiązanie następującego równania:
(
)
11
śr
09
0
3
2
4
4
4
i
1
e
2
07
0
1
4
13
0
1
)
(
,
,
,
+
=
⋅
⋅
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⋅
−
⋅
skąd:
11
śr
i
1
229307
7
)
(
,
+
=
7
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
8
103502
0
1
229307
7
i
11
1
śr
,
)
,
(
=
−
=
Prawidłowa odpowiedź to c) 10,35%
Zad. 17.
Wartość zadłużenia po spłacie j-tej raty ma postać:
( )
i
i
R
i
P
P
j
j
j
1
)
1
(
1
−
+
⋅
−
+
⋅
=
gdzie: Pj – wartość zadłużenia po spłacie
j-tej
raty
P
j
=?
i – stopa kredytu, należy dostosować do kapitalizacji
i=0,15/12=0,0125
R – wartość stałej łącznej
raty, R=800
P – wysokość zaciągniętego
kredytu
P=16.000
(
)
783
283
8
29
288
10
07
572
18
0125
0
1
0125
1
800
0125
0
1
000
16
P
12
12
j
,
.
,
.
,
.
,
)
,
(
,
.
=
−
=
−
⋅
−
+
⋅
=
Prawidłowa odpowiedź a) 8.283,78
Zad. 18.
Korzystamy ze wzoru:
( )
1
i
1
i
k
ef
−
+
=
gdzie: i – stopa dostosowana do kapitalizacji
k-liczba kapitalizacji w czasie inwestycji
Daną bazową 5-miesięczną stopę procentową należy dostosować do kapitalizacji 4-miesięcznej, by uzyskać
stopę 4-miesięczną (zgodną z kapitalizacją):
08
0
4
5
1
0
i
,
,
=
⋅
=
Ponieważ kapitalizacja jest 4-miesięczna, a okres inwestycji wynosi 6-miesiące, w czasie inwestycji będzie 6/4
kapitalizacje stąd k=6/4=1,5
(
)
122369
0
1
08
0
1
miesieczna
6
i
5
1
ef
,
,
)
(
,
=
−
+
=
−
Prawidłowa odpowiedź to b) 12,24%
Zad. 19.
Wzór jest analogiczny jak dla rent zgodnych z góry, przy czym w miejsce zgodnej stopy i wstawiamy
wyliczoną stopę i
ef
:
)
(
)
(
ef
ef
n
ef
0
i
1
i
i
1
1
R
R
+
+
−
=
−
+
Przekształcając otrzymujemy:
)
ln(
)
(
)
(
ln
ef
ef
0
ef
ef
i
1
i
R
i
1
R
i
1
R
n
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
+
=
+
gdzie: R
0
+
– wartość początkowa renty z góry
R
0
+
=130 000
R – wysokość
renty
R=8
000
n – liczba wypłat
n-
liczba
półroczy
i
ef
– stopa efektywna dana wzorem:
( )
1
i
1
i
k
ef
−
+
=
gdzie:
i
–
stopa
dostosowana do kapitalizacji
i=0,08/12
k-liczba kapitalizacji pomiedzy wypłatami k=6
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zestaw III
1. Ponieważ kapitalizacja jest miesięczna, a wypłaty półroczne, będzie 6 kapitalizacje pomiędzy kolejnymi
wypłatami, stąd k=6, a
(
)
040673
0
1
1
pólroczna
i
6
12
08
0
ef
,
)
(
,
=
−
+
=
2. Podstawiamy dane do wzoru na n:
28715
25
040673
0
1
040673
0
000
130
040673
0
1
000
8
040673
0
1
000
8
n
,
)
,
ln(
,
.
)
,
(
.
)
,
(
.
ln
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−
+
+
⋅
=
Ponieważ n jest liczbą wypłat, w tym przypadku półrocznych, należy wynik zamienić na lata:
64357
12
2
28715
25
2
n
t
,
,
=
=
=
t – liczba lat dokonywania płatności.
Prawidłowa odpowiedź c) 12,64
Zad. 20.
Korzystając z zestawu II (zad. 14)
( ) ( )
( ) ( )
B
A
B
P
A
R
E
R
E
R
E
R
E
w
−
−
=
gdzie: E(R
P
) – oczekiwany zwrot z portfela
E(R
P
) = 10%
E(R
A
) – oczekiwany zwrot z akcji A
E(R
A
) = 12%
E(R
B
) – oczekiwany zwrot z akcji B
E(R
B
) = 8%
w
A
– waga spółki A w portfelu
1
w
w
B
A
=
+
w
B
– waga spółki B w portfelu
25
1
04
0
05
0
1
0
14
0
1
0
15
0
w
A
,
,
,
,
,
,
,
=
=
−
−
=
Prawidłowa odpowiedź to c) w
A
> 0,7
9