Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Krzysztof Marzjan
Podstawowe problemy automatyki
Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Krzysztof Marzjan
Podstawowe problemy automatyki
2
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Realizacja bezpośrednia:
Dana jest transmitancja operatorowa
6
11
6
1
5
)
(
2
3
s
s
s
s
s
G
. Znajdź realizację bezpośrednią.
Wariant I:
Z definicji tran
smitancji operatorowej można zapisać:
)
(
)
(
6
11
6
1
5
)
(
2
3
s
u
s
y
s
s
s
s
s
G
wprowadza się transformatę
)
(s
e
dodatkowego sygnału, jednocześnie mnoży się licznik i mianownik
przez
n
s
(n
– stopień mianownika):
)
(
)
(
)
(
)
(
6
11
6
1
5
3
2
1
3
2
s
e
s
e
s
u
s
y
s
s
s
s
s
Tak zapisaną zależność przedstawia się następująco:
3
2
3
2
1
5
)
(
)
(
6
11
6
1
1
)
(
)
(
s
s
s
e
s
y
s
s
s
s
u
s
e
Po przekształceniach:
)
(
)
5
(
)
(
)
(
)
(
)
6
11
6
1
(
3
2
3
2
1
s
e
s
s
s
y
s
u
s
e
s
s
s
3
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Zależności te, po dalszych przekształceniach dają równania dwóch sumatorów:
)
(
)
(
5
)
(
)
(
)
(
6
)
(
11
)
(
6
)
(
3
2
3
2
1
s
e
s
s
e
s
s
y
s
u
s
e
s
s
e
s
s
e
s
s
e
Pozwala to narysować schemat blokowy:
Przyjmuje się następujące oznaczenia:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
3
2
2
3
1
s
e
s
s
x
s
e
s
s
x
s
e
s
s
x
)
(
)
(
6
)
(
11
)
(
6
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
3
3
1
2
2
2
1
s
u
s
x
s
x
s
x
s
e
s
sx
s
x
s
e
s
s
sx
s
x
s
e
s
s
sx
-11
-6
1
s
5
-6
1
s
1
s
1
)
(
3
s
e
s
)
(
1
s
e
s
)
(s
e
)
(
2
s
e
s
u(s)
y(s)
+
+
4
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Stąd transformata równań stanu:
)
(
)
(
6
)
(
11
)
(
6
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
3
3
2
2
1
s
u
s
x
s
x
s
x
s
sx
s
x
s
sx
s
x
s
sx
I równanie wyjścia:
)
(
5
)
(
)
(
2
1
s
x
s
x
s
y
W dziedzinie czasu:
)
(
)
(
6
)
(
11
)
(
6
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
3
3
2
2
1
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
5
)
(
)
(
2
1
t
x
t
x
t
y
5
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Opisowi temu odpowiada schemat blokowy:
P
oszukiwane macierze są postaci:
0
5
1
1
0
0
6
11
6
1
0
0
0
1
0
I
I
I
C
B
A
-11
-6
5
-6
1
)
(
)
(
1
2
t
x
t
x
)
(
3
t
x
)
(
)
(
2
3
t
x
t
x
)
(
1
t
x
)
(
3
t
x
)
0
(
2
x
)
0
(
3
x
)
0
(
1
x
u(t)
y(t)
6
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Ogólnie:
Jeśli
0
1
2
2
1
1
0
1
2
2
1
1
)
(
)
(
)
(
a
s
a
s
a
s
a
s
b
s
b
s
b
s
b
s
b
s
M
s
L
s
G
n
n
n
m
m
m
m
oraz
m
n
to
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
2
1
0
m
I
I
n
I
b
b
C
B
a
a
a
a
A
n-m-1
zer
7
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Wariant II:
)
(
)
(
6
11
6
1
5
)
(
2
3
s
u
s
y
s
s
s
s
s
G
Transformatę sygnału wyjściowego można zapisać w postaci:
)
(
)
(
6
11
6
1
5
3
2
1
3
2
s
u
s
y
s
s
s
s
s
)
(
)
5
(
)
(
)
6
11
6
1
(
3
2
3
2
1
s
u
s
s
s
y
s
s
s
)
(
)
(
6
)
(
5
)
(
11
)
(
6
)
(
3
2
1
s
u
s
y
s
s
u
s
y
s
s
y
s
s
y
)
(
)
(
6
)
(
5
)
(
11
)
(
6
)
(
1
1
1
s
u
s
y
s
s
u
s
y
s
s
y
s
s
y
Przyjmuje się oznaczenia:
)
(
)
(
)
(
6
)
(
)
(
)
(
5
)
(
11
)
(
)
(
)
(
6
)
(
2
1
3
1
1
2
1
1
s
y
s
x
s
y
s
s
x
s
x
s
u
s
y
s
s
x
s
u
s
y
s
s
x
Stąd:
)
(
)
(
)
(
6
)
(
)
(
)
(
5
)
(
11
)
(
)
(
)
(
)
(
6
)
(
3
3
2
3
3
1
2
3
1
s
x
s
y
s
x
s
x
s
sx
s
u
s
x
s
x
s
sx
s
u
s
x
s
sx
8
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Opisowi temu odpowiada schemat blokowy:
W dziedzinie czasu:
)
0
(
2
x
)
0
(
3
x
)
0
(
1
x
-11
-6
-6
1
5
)
(
1
t
x
)
(
1
t
x
)
(
2
t
x
)
(
3
t
x
y(t)
u(t)
)
(
2
t
x
)
(
3
t
x
u(s)
-11
-6
1
s
1
s
1
s
)
(
2
s
sx
-6
1
5
)
(
1
s
sx
)
(
1
s
x
)
(
2
s
x
)
(
3
s
sx
)
(
3
s
x
y(s)
)
(
6
)
(
)
(
)
(
5
)
(
11
)
(
)
(
)
(
)
(
6
)
(
3
2
3
3
1
2
3
1
t
x
t
x
t
x
t
u
t
x
t
x
t
x
t
u
t
x
t
x
)
(
)
(
3
t
x
t
y
9
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Poszukiwane macierze są postaci:
1
0
0
0
5
1
6
1
0
11
0
1
6
0
0
II
II
II
C
B
A
Należy zwrócić uwagę, że obowiązują zależności:
T
I
II
T
I
II
T
I
II
B
C
C
B
A
A
Ogólnie:
Jeśli
0
1
2
2
1
1
0
1
2
2
1
1
)
(
)
(
)
(
a
s
a
s
a
s
a
s
b
s
b
s
b
s
b
s
b
s
M
s
L
s
G
n
n
n
m
m
m
m
oraz
m
n
to
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2
1
0
II
m
II
n
n
II
C
b
b
B
a
a
a
a
A
n-m-1
zer
10
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Realizacja równoległa:
Dana jest transmitancja operatorowa
6
11
6
1
5
)
(
2
3
s
s
s
s
s
G
. Znajdź realizację równoległą.
Transmitancję operatorową można rozłożyć na ułamki proste:
3
2
1
6
11
6
1
5
)
(
3
2
1
2
3
s
A
s
A
s
A
s
s
s
s
s
G
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
3
(
)
1
(
)
3
(
)
2
(
3
2
1
3
2
1
2
2
1
s
s
s
s
s
A
s
s
A
s
s
A
s
A
s
A
s
A
;
2
2
4
1
1
1
A
A
s
;
9
9
2
2
2
A
A
s
7
2
14
3
3
3
A
A
s
Stąd:
)
(
3
7
)
(
2
9
)
(
1
2
)
(
3
7
2
9
1
2
)
(
)
(
s
u
s
s
u
s
s
u
s
s
y
s
s
s
s
u
s
y
11
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Wariant I:
Przyjmuje się następujące oznaczenia:
)
(
7
)
(
9
)
(
2
)
(
)
(
3
1
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
1
1
)
(
3
2
1
3
2
1
s
x
s
x
s
x
s
y
s
u
s
s
x
s
u
s
s
x
s
u
s
s
x
Stąd transformata równań stanu:
)
(
)
(
3
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
3
3
2
2
1
1
s
u
s
x
s
sx
s
u
s
x
s
sx
s
u
s
x
s
sx
I równanie wyjścia:
)
(
7
)
(
9
)
(
2
)
(
3
2
1
s
x
s
x
s
x
s
y
12
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
W dziedzinie czasu:
)
(
)
(
3
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
3
3
2
2
1
1
t
u
t
x
t
x
t
u
t
x
t
x
t
u
t
x
t
x
)
(
7
)
(
9
)
(
2
)
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
Opisowi temu odpowiada schemat blokowy:
Poszukiwane macierze są postaci:
7
9
2
1
1
1
3
0
0
0
2
0
0
0
1
I
I
I
C
B
A
)
(t
u
)
(t
y
-2
-1
1
x
2
x
1
x
2
x
-3
3
x
3
x
-2
9
-7
)
0
(
1
x
)
0
(
2
x
)
0
(
3
x
13
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Wariant II:
Przyjmuje się następujące oznaczenia:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
7
)
(
)
(
2
9
)
(
)
(
1
2
)
(
3
2
1
3
2
1
s
x
s
x
s
x
s
y
s
u
s
s
x
s
u
s
s
x
s
u
s
s
x
Stąd transformata równań stanu:
)
(
7
)
(
3
)
(
)
(
9
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
3
3
2
2
1
1
s
u
s
x
s
sx
s
u
s
x
s
sx
s
u
s
x
s
sx
I równanie wyjścia:
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
s
x
s
x
s
x
s
y
14
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
W dziedzinie czasu:
)
(
7
)
(
4
)
(
)
(
9
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
3
3
2
2
1
1
t
u
t
x
t
x
t
u
t
x
t
x
t
u
t
x
t
x
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
Opisowi temu odpowiada schemat blokowy:
Poszukiwane macierze są postaci:
1
1
1
7
9
2
3
0
0
0
2
0
0
0
1
II
II
II
C
B
A
Należy zwrócić uwagę, że obowiązują zależności:
T
I
II
T
I
II
I
II
B
C
C
B
A
A
-2
-1
1
x
2
x
1
x
2
x
-3
3
x
3
x
-2
9
-7
)
0
(
1
x
)
0
(
2
x
)
0
(
3
x
)
(t
y
)
(t
u
15
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Obie metody można połączyć.
Znajdź realizację układu o transmitancji operatorowej
)
3
2
(
)
2
(
13
9
2
)
(
2
2
s
s
s
s
s
s
G
.
Transmitancję operatorową można rozłożyć na dwa ułamki:
3
2
2
)
3
2
(
)
2
(
13
3
)
(
2
3
2
1
2
2
s
s
A
s
A
s
A
s
s
s
s
s
s
G
13
2
3
9
2
2
2
13
9
2
2
3
)
2
2
(
)
(
13
9
2
)
(
)
2
(
)
3
2
(
3
1
3
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
2
1
2
3
2
2
1
A
A
A
A
A
A
A
s
s
A
A
s
A
A
A
s
A
A
s
s
A
s
A
s
s
s
A
Stąd:
)
(
3
2
5
)
(
2
1
)
(
3
2
5
2
1
)
(
)
(
2
2
s
u
s
s
s
s
u
s
s
y
s
s
s
s
s
u
s
y
metoda
równoległa
metoda
bezpośrednia
16
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Oznaczając:
)
(
)
5
(
)
(
)
(
3
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
5
)
(
3
2
5
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
s
e
s
s
s
y
s
u
s
s
s
e
s
u
s
e
s
e
s
s
s
s
s
u
s
s
s
s
y
s
u
s
s
y
Otrzymuje się:
)
(
5
)
(
)
(
)
(
)
(
3
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
2
3
2
2
3
3
2
1
3
2
2
2
1
1
1
1
s
x
s
x
s
y
s
u
s
x
s
x
s
sx
s
sx
s
e
s
s
x
s
e
s
s
x
s
u
s
e
s
s
e
s
s
e
s
x
s
y
s
u
s
s
x
17
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Po uporządkowaniu:
)
(
)
(
5
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
3
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
3
2
1
3
2
3
3
2
1
1
s
x
s
x
s
x
s
y
s
u
s
x
s
x
s
sx
s
x
s
sx
s
u
s
x
s
sx
W dziedzinie czasu:
)
(
)
(
2
)
(
3
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
3
2
3
3
2
1
1
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
u
t
x
t
x
)
(
)
(
5
)
(
)
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
Opisowi temu odpowiada schemat blokowy:
-2
-2
1
x
2
3
x
x
1
x
2
x
)
(t
u
)
(t
y
-3
3
x
5
1
)
0
(
1
x
)
0
(
2
x
)
0
(
3
x
18
Podstawowe problemy automatyki
– realizacja transmitancji operatorowej
Poszukiwane macierze są postaci:
1
5
1
1
0
1
2
3
0
1
0
0
0
0
2
C
B
A
Macierze mają strukturę blokową:
2
1
2
1
2
1
0
0
C
C
C
B
B
B
A
A
A
Możliwe jest także i takie rozwiązanie:
1
2
*
1
2
*
1
2
*
0
0
C
C
C
B
B
B
A
A
A
czyli:
1
1
5
1
1
0
2
0
0
0
2
3
0
1
0
*
*
*
C
B
A