Pole elektryczne
2
Pole elektryczne
Prawo Coulomba (XVII wiek)
•
Mo
Ŝ
na sprawdzi
ć
do
ś
wiadczalnie,
Ŝ
e ciała naelektryzowane
jednoimiennie odpychaj
ą
si
ę
, a ciała naelektryzowane ró
Ŝ
noimiennie
przyci
ą
gaj
ą
.
•
Prawo to zostało sformułowane ilo
ś
ciowo przez Coulomba w 1785 r.
•
Siła oddziaływania jest proporcjonalna do iloczynu ładunków
Q
1
,
Q
2
i
odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległo
ś
ci pomi
ę
dzy nimi
r
, czyli
gdzie
ε
jest przenikalno
ś
ci
ą
elektryczn
ą
bezwzgl
ę
dn
ą ś
rodowiska.
2
2
1
4
r
Q
Q
F
πε
=
+
F
F
F
1
Q
2
Q
r
+
3
Pole elektryczne
Prawo Coulomba
•
Przenikalno
ść
elektryczna bezwzgl
ę
dna charakteryzuje własno
ś
ci
dielektryczne. Przyjmuje si
ę
•
Wzór na sił
ę
przyci
ą
gania w zapisie wektorowym ma posta
ć
r
wektor ł
ą
cz
ą
cy oba ładunki
r
ε
ε
=
ε
0
F/m
10
9
4
1
9
0
⋅
⋅
π
=
ε
przenikalno
ść
elektryczna pró
Ŝ
ni
przenikalno
ść
elektryczna wzgl
ę
dna
(dla gazów bliska jedno
ś
ci)
r
ε
3
2
1
4
r
Q
Q
πε
=
r
F
4
Pole elektryczne
Pole elektryczne
•
Stosunek siły działaj
ą
cej na ładunek próbny do
warto
ś
ci tego ładunku jest warto
ś
ci
ą
stała i jest
nazywane nat
ęŜ
eniem pola elektrycznego
•
Nat
ęŜ
enie pola elektrycznego wywołanego
ładunkiem punktowym o warto
ś
ci
Q
• Dodawanie pola elektrycznego
• Pole elektryczne zależy od własności środowiska
F
Q
q
1
E
2
E
3
E
E
0
→
=
q
q
F
E
3
4
r
Q
r
o
ε
πε
=
r
E
...
3
2
1
+
+
+
=
E
E
E
E
m
V
C
N
]
[
=
=
E
5
Pole elektryczne
Indukcja elektryczna
Rozwa
Ŝ
my płytk
ę
metalow
ą
umieszczon
ą
w
polu elektrycznym.
Płytka jest prostopadła do kierunku pola
elektrycznego
Indukcja elektryczna
=
D
g
ę
sto
ść
powierzchniowa ładunku
indukowanego na płytce
E
D
kierunek
kierunek
=
6
Pole elektryczne
Indukcja elektryczna
Indukcja elektryczna nie zale
Ŝ
y od własno
ś
ci
ś
rodowiska
Całkowity ładunek zaindukowany na
wewn
ę
trznej powierzchni ma
warto
ść
Q
3
2
2
4
m
C
]
[
4
r
Q
D
r
Q
D
π
=
=
π
=
r
D
E
D
ε
=
7
Pole elektryczne
Strumień indukcji elektrycznej
Całka powierzchniowa wektora opisuj
ą
cego pole
wektorowe nazywana jest strumieniem wektora
przenikaj
ą
c
ą
dan
ą
powierzchni
ę
[kulomb]
C
]
[
cos
=
Ψ
α
=
⋅
=
Ψ
∫
∫
A
A
dA
D
dA
D
A
D
⋅
=
Ψ
Pole jednorodne o kierunku prostopadłym do A
8
Pole elektryczne
Strumień indukcji elektrycznej
Q
r
r
Q
A
D
=
π
⋅
π
=
⋅
=
Ψ
2
2
4
4
Pole elektryczne indukowane przez ładunek punktowy
Twierdzenie Gaussa: Strumie
ń
indukcji
elektrycznej przenikaj
ą
cy powierzchni
ę
zamkni
ę
t
ą
jest równy sumie ładunków obj
ę
tych
t
ą
powierzchni
ą
∑
=
Ψ
i
i
Q
9
Pole elektryczne
Zastosowanie twierdzenia Gaussa
σ
⋅
=
S
Q
- g
ę
sto
ść
powierzchniowa ładunku
σ
ES
S
D
Q
ε
=
⋅
=
=
Ψ
2
2
ε
σ
=
2
E
Pole elektryczne indukowane przez naładowan
ą
niesko
ń
czon
ą
płytk
ę
metalow
ą
10
Pole elektryczne
Zastosowanie twierdzenia Gaussa
Pole elektryczne indukowane przez dwie naładowane
ró
Ŝ
noimiennie niesko
ń
czone płytki metalowe
Z zasady superpozycji
0
=
ε
σ
=
E
E
pomi
ę
dzy płytkami
na zewn
ą
trz płytek
11
Pole elektryczne
Zastosowanie twierdzenia Gaussa
Pole elektryczne indukowane przez naładowany niesko
ń
czony
przewód prostoliniowy
l
τ
g
ę
sto
ść
liniowa ładunku
τ
l
r
S
l
Q
⋅
π
=
τ
⋅
=
2
rl
E
S
D
l
Q
π
⋅
ε
=
⋅
=
⋅
τ
=
=
Ψ
2
r
E
πε
τ
=
2
12
Pole elektryczne
Pole elektryczne w przewodnikach
E
E
J
ρ
=
γ
=
1
E
S
I
J
ES
l
S
E
l
I
S
l
R
R
U
I
l
E
U
ρ
=
=
ρ
=
ρ
=
ρ
=
=
⋅
=
1
13
Pole elektryczne
Przewodnik w polu elektrycznym - stan ustalony
•
Linie pola elektrycznego
prostopadłe do powierzchni
przewodnika
•
Potencjał na powierzchni
przewodnika jest jednakowy
•
Wewn
ą
trz przewodnika pole
elektryczne jest zerowe
14
Pole elektryczne
Pole elektryczne w dielektrykach
•
Pod wpływem zewn
ę
trznego pola elektrycznego nast
ę
puje niewielkie
przemieszczenie ładunków w obr
ę
bie pojedynczego atomu
•
Przemieszczenie jest elastyczne i ust
ę
puje po ust
ą
pieniu pola
elektrycznego
•
Cz
ą
steczka dielektryka w polu elektryczny zachowuje si
ę
jak dipol - układ
zło
Ŝ
ony z dwóch ładunków ró
Ŝ
noimiennych, mi
ę
dzy którymi jest niewielka
odległo
ść
15
Pole elektryczne
Pole elektryczne w dielektrykach
•
W wyniku działania wielu dipoli nast
ę
puj
ą
zjawisko zwane polaryzacj
ą
elektryczn
ą
•
Na płytce dielektryka umieszczonego w polu elektrycznym na powierzchni
pojawiaj
ą
si
ę
ładunki elektryczne
Wewn
ą
trz dielektryka
nat
ęŜ
enie pola
elektrycznego jest
mniejsze o
r
ε
16
Pole elektryczne
Pole elektryczne w dielektrykach
E
D
l
U
E
o
ε
=
=
E
D
l
U
E
r
o
ε
ε
=
=
Na płytkach, wewn
ą
trz których znajduje si
ę
dielektryk zgromadzi si
ę
razy wi
ę
cej
ładunku ni
Ŝ
na płytkach, pomi
ę
dzy którymi znajduje si
ę
pró
Ŝ
nia
r
ε
17
Pole elektryczne
Kondensator
•
Kondensator tworz
ą
dwa przewodniki zwane okładzinami lub elektrodami
rozdzielone dielektrykiem lub powietrzem
•
Je
ś
li do okładzin doprowadzone zostanie doprowadzone napi
ę
cie, to na
okładzinach zgromadz
ą
si
ę
ładunki, na jednej dodatni a na drugiej ujemny
•
Stwierdzono do
ś
wiadczalnie,
Ŝ
e zgromadzony ładunek jest wprost
proporcjonalny do przyło
Ŝ
onego napi
ę
cia
•
Współczynnik proporcjonalno
ś
ci
C
nazywamy pojemno
ś
ci
ą
kondensatora
U
C
Q
⋅
=
[farad]
F
V
C
]
[
=
=
C
18
Pole elektryczne
Pojemność kondensatora płaskiego
Je
Ŝ
eli odległo
ść
pomi
ę
dzy okładzinami
jest mała, to mo
Ŝ
na przyj
ąć
,
Ŝ
e pole
elektryczne jest stałe
d
U
E
=
S
Q
E
S
Q
E
⋅
ε
=
⇒
=
σ
ε
σ
=
,
d
S
U
Q
C
⋅
ε
=
=
19
Pole elektryczne
Pojemność kondensatora cylindrycznego
Przekrój poprzeczny kondensatora
Nat
ęŜ
enie pola elektrycznego w
odległo
ś
ci r od osi kondensatora
rl
Q
E
πε
=
2
1
r
2
r
l
promie
ń
okładziny zewn
ę
trznej
promie
ń
okładziny wewn
ę
trznej
wysoko
ść
kondensatora
Strumie
ń
przenikaj
ą
cy powierzchni
ę
walcow
ą
o promieniu r
Q
rl
E
S
D
=
π
⋅
ε
=
⋅
=
Ψ
2
Napi
ę
cie mi
ę
dzy okładzinami
1
2
1
2
ln
2
)
ln
(ln
2
2
1
r
r
l
Q
r
r
l
Q
Edr
U
r
r
πε
=
−
πε
=
=
∫
Pojemno
ść
kondensatora
1
2
ln
2
r
r
l
U
Q
C
πε
=
=
1
r
2
r
r
+Q
-Q
E
l
20
Pole elektryczne
Równoległe połączenie kondensatorów
U
C
Q
i
i
=
Całkowity ładunek
∑
∑
=
=
i
i
i
i
C
U
Q
Q
∑
=
i
i
C
C
Ładunek na kondensatorze
21
Pole elektryczne
Szeregowe połączenie kondensatorów
i
i
C
Q
U
=
C
Q
C
Q
U
U
i
i
i
i
=
=
=
∑
∑
1
∑
=
i
i
C
C
1
1
22
Pole elektryczne
Energia pola elektrycznego w kondensatorze
•
Proces ładowania kondensatora zwi
ą
zany jest z wydatkowaniem energii
•
Energia ta gromadzona jest w polu elektrycznym kondensatora
Energia zgromadzona w kondensatorze
C
t
q
t
u
C
)
(
)
(
=
C
U
C
Q
dq
C
q
dq
dt
t
i
C
q
t
u
W
Q
T
C
2
2
0
0
2
1
2
1
)
(
)
(
=
=
=
=
∫
∫
)
0
)
0
(
(
=
C
u
)
(T
q
Q
=
23
Pole elektryczne
Energia pola elektrycznego w kondensatorze
Ładunek zgromadzony w kondensatorze
t
I
t
q
⋅
=
)
(
C
t
I
C
q
t
u
⋅
=
=
)
(
Energia zgromadzona w kondensatorze po
upływie czasu T
2
)
(
2
2
0
2
0
T
C
I
tdt
C
I
Idt
t
u
W
T
T
=
=
=
∫
∫
C
T
I
T
u
⋅
=
)
(
C
U
C
Q
W
2
2
2
1
2
1
=
=
24
Pole elektryczne
Przykład
1
ε
2
ε
1
d
2
d
U
S
d
S
d
C
C
C
2
2
1
1
2
1
1
1
1
ε
+
ε
=
+
=
2
1
1
2
2
1
d
d
S
C
ε
+
ε
ε
ε
=
1
C
2
C
25
Pole elektryczne
Przykład - pojemność metalowej kuli
R
r
2
2 r
E
S
D
Q
π
⋅
ε
=
⋅
=
=
Ψ
Strumie
ń
przenikaj
ą
cy powierzchni
ę
sferyczn
ą
o promieniu r
Potencjał kuli wzgl
ę
dem punktu w
niesko
ń
czono
ś
ci
R
Q
r
Q
dr
r
Q
Edr
V
R
R
R
πε
=
πε
−
=
πε
=
=
∞
∞
∞
∫
∫
2
2
2
2
2
2
r
Q
E
πε
=
Pojemno
ść
kuli
R
U
Q
C
πε
=
=
2
Q
26
Pole elektryczne
Gęstość energii pola elektrycznego
d
S
W
V
W
w
⋅
=
=
V
- obj
ę
to
ść
dielektryka
d
E
U
d
S
C
C
U
W
⋅
=
⋅
ε
=
=
,
,
2
1
2
D
E
E
d
S
d
S
d
E
w
⋅
=
ε
=
⋅
⋅
⋅
ε
⋅
=
2
1
2
1
1
)
(
2
1
2
2
27
Pole elektryczne
Ładowanie kondensatora
dt
du
C
dt
dq
i
C
q
u
u
iR
E
=
=
=
+
=
,
,
u
dt
du
RC
E
+
=
0
)
0
(
,
,
=
u
i
u
Zmienne w czasie napi
ę
cie i nat
ęŜ
enie pr
ą
du
Oznaczaj
ą
c dostajemy
E
u
x
−
=
RC
t
e
k
x
x
dt
dx
RC
−
⋅
=
⇒
=
+
0
Chwila zerowa
E
k
E
E
u
x
−
=
⇒
−
=
−
=
)
0
(
)
0
(
28
Pole elektryczne
Ładowanie kondensatora
−
=
−
RC
t
e
E
u
1
29
Pole elektryczne
Rozładowanie kondensatora
u
dt
du
C
i
R
i
u
−
=
⋅
=
,
0
=
+
u
dt
du
RC
RC
t
e
U
u
−
=
0
30
Pole elektryczne
Rodzaje kondensatorów
ceramiczne
tantalowe - anoda ze spiekanego tantalu
pokrytego warstw
ą
tlenku tantalu
elektrolityczne - elektroda to aluminiowa folia
pokryta tlenkiem glinu, druga elektroda to
elektrolot
powietrzne
papierowe
foliowe
31
Pole elektryczne
Zastosowanie kondensatorów
•
rozruch silników jednofazowych
•
kompensacja mocy biernej
•
układy elektroniczne: filtry, generatory, układy impulsowe
•
wygładzanie napi
ęć
w zasilaczach
•
redukcja zakłóce
ń
32
Pole elektryczne
NajwaŜniejsze jednostki
Wielkość fizyczna
Typowe
oznaczenie
Wzór
Jednostka
Oznaczenie
jednostki
NatęŜenie pola
elektrycznego
E , E
q
F
E
=
volt na metr
m
V
Ładunek elektryczny
Q
t
I
Q
⋅
=
kulomb
C
Indukcja elektryczna
D
D,
E
D
ε
=
kulomb na
metr kwadrat
2
m
C
Strumień indukcji
elektrycznej
Ψ
∫
⋅
A
dA
D
kulomb
C
Pojemność elektryczna
C
U
Q
C
=
farad
F