ISSN 0209-2069 

 
 

ZESZYTY NAUKOWE NR 2 (74) 

AKADEMII MORSKIEJ 

W SZCZECINIE 

 

EXPLO-SHIP 2004 

Tadeusz Szelangiewicz 

Propozycja obliczania minimalnej początkowej  

wysokości metacentrycznej dla statku na fali  

Słowa kluczowe: stateczność, okręt na fali, modyfikacja kryterium stateczności 

Analizowano problem stateczności statku na fali. Omówiono główne czynniki 

wywołane falowaniem a powodujące zmniejszenie momentu prostującego. Podano 
propozycję modyfikacji kryterium stateczności, jakim jest początkowa wysokość 
metacentryczna. Następnie zaprezentowano metodę obliczania początkowej wysokości 
metacentrycznej dla statku pływającego na zadanej linii żeglugowej, na której występuje 
falowanie losowe o określonych parametrach. 

A Proposal for Calculation of Minimal Initial Metacentric 

Height for a Ship in Waves 

Key words: stability, ship in waves, modification of stability criterion 

The article presents the problem of a ship maneuvering in waves. Crucial wave 

effects are discussed resulting in reducing the righting moment.  A proposal is presented 
for the modification of the stability criterion, which is the initial metacentric height. 
Furthermore, the paper introduces a method for the initial metacentric height 
calculation for a ship sailing along her assumed service route in a sea area with given 
parameters of random waves.   

 

337

Tadeusz Szelangiewicz 

Wstęp 

Stateczność jest jedną z podstawowych właściwości okrętu, mającą duży 

wpływ na jego bezpieczeństwo. Podczas projektowania statku, jak i w trakcie 
jego eksploatacji muszą być spełnione określone kryteria dotyczące stateczności, 
które są definiowane przez instytucje klasyfikacyjne lub organizacje zajmujące 
się bezpieczeństwem pracy na morzu (np. IMO). Kryteria te dotyczą minimalnej 
początkowej wysokości metacentrycznej oraz krzywej ramion prostujących. 
Wprawdzie wśród tych kryteriów jest też kryterium pogodowe, dotyczące 
dynamicznego przechyłu statku pod wpływem wiatru, to jednak brak jest 
związku pomiędzy tymi kryteriami a falowaniem działającym na płynący statek. 
Biorąc pod uwagę, że: 

• 

np. na Północnym Atlantyku tylko przez ok. 20 dni w ciągu roku panuje 
bezwietrzna pogoda, 

• 

statek, który spełnia wszystkie obecnie wymagane kryteria, podczas 
pływania po sfalowanej wodzie może utracić stateczność i zatonąć,  

to istotne  jest opracowanie takich kryteriów lub modyfikacja istniejących tak, 
aby były uwzględnione parametry fali, na której płynie statek, lub też by te 
kryteria zależały od warunków pogodowych, w jakich jest eksploatowany statek. 

1. Wpływ fali regularnej na moment prostujący 

Istotą stateczności jest zdolność do przeciwstawiania się okrętu 

zewnętrznym momentom przechylającym, poprzez powstający podczas 
przechylania moment prostujący. Na wodzie spokojnej moment prostujący 
wynika z ciśnień hydrostatycznych działających na zwilżoną powierzchnię 
kadłuba przechylonego okrętu (dla danego kąta przechyłu moment prostujący na 
wodzie spokojnej jest niezależny od czasu). Natomiast na sfalowanej wodzie 
dodatkowo pojawiają się ciśnienia hydrodynamiczne od fali niezakłóconej i od 
zaburzeń, jakie wprowadza statek do fali. Podczas pływania po sfalowanej 
wodzie powstają od kołysań także ruchy względne statku a tym samym 
chwilowe zmiany objętości i kształtu zwilżonej części kadłuba statku oraz 
zmiany charakterystyk geometrycznych, od których zależy moment prostujący. 
Czynniki te powodują,  że podczas pływania statku na fali moment prostujący 
zależy dodatkowo od czasu. W przybliżeniu można przedstawić go jako sumę 
momentu prostującego na wodzie spokojnej i poprawek wynikających 
z oddziaływania fali: 

 

( )

( )

( )

( )

( )

t

M

t

M

t

M

M

t

M

R

R

R

R

R

,

,

,

,

3

2

1

0

Φ

+

Φ

+

Φ

+

Φ

=

Φ

δ

δ

δ

 (1) 

 

338

Propozycja obliczania minimalnej początkowej wysokości metacentrycznej dla statku na  fali 

gdzie: 

( )

Φ

0

R

M

 

−   moment prostujący na wodzie spokojnej; 

(

t

M

R

,

1

Φ

)

δ

 

− poprawka wynikająca z uwzględnienia sił odśrodkowych, 

które występują na skutek udziału okrętu w ruchu 
orbitalnym cząstek wody w fali; 

(

t

M

R

,

2

Φ

)

δ

 

−   poprawka  uwzględniająca wpływ zmian objętości 

podwodzia wywołanych względnymi kołysaniami (w 
szczególności nurzaniami);  

(

t

M

R

,

3

Φ

)

δ

 

−   poprawka  wynikająca ze zmian kształtu podwodzia 

wywołanego falowaniem (zmiana kształtu podwodzia 
powoduje zmianę bezwzględnej wartości ramion 
prostujących);  

Φ

 

−  kąt przechyłu okrętu, (na fali jest to kąt wynikający z 

kołysań bocznych); 

t 

− czas. 

 

Siła odśrodkowa powoduje zmianę zanurzenia statku (zanurzanie statku 

w dolinie fali, rys. 1 i wynurzanie na grzbiecie). Na regularnej fali bocznej 
poprawka 

 może być aproksymowana wyrażeniem:  

1

R

M

δ

 

( )

0

0

1

1

h

h

l

W

M

R

δ

δ

⋅

Φ

⋅

≈

 (2) 

gdzie:  

 

( )

t

h

h

E

A

ω

α

δ

cos

0

0

1

=

, (3) 

W 

−   wypór statku, 

)

(

Φ

l

 

−   ramię prostujące na wodzie spokojnej, przy kącie przechyłu Φ, 

h

0

 

−   początkowa, poprzeczna wysokość metacentryczna na wodzie 

spokojnej, 

α

A

 

−  amplituda kąta skłonu fali regularnej, 

ω

E

 

−  częstość spotkaniowa na  fali regularnej. 

 

Zmiany objętości podwodzia, wywołane względnymi kołysaniami statku 

można aproksymować wyrażeniem: 

 

(

) ( )

( )

Φ

+

=

Φ

⋅

≈

l

h

W

h

h

W

l

h

h

W

M

R

0

0

0

2

0

0

2

δ

δ

δ

δ

   

(4) 

 339

Tadeusz Szelangiewicz 

gdzie: 

 

0

2

h

δ

 

−   zmiany  początkowej wysokości metacentrycznej wywołane 

zmianami małego promienia metacentrycznego i zmianami 
rzędnej środka wyporu, 

W

δ

   

−  zmiany wyporu wywołane względnymi kołysaniami. 

 

Zmiana momentu prostującego, wywołana  zmianami kształtu podwodzia 

statku, na fali wzdłużnej może być aproksymowana wyrażeniem: 

 

(

)

h

E

A

R

t

Wh

M

ε

ω

δ

+

Φ

−

≈

cos

0

3

 (5) 

gdzie: 

h

A0

 

−  amplituda zmian początkowej wysokości metacentrycznej, 

ε

h

 

− przesunięcie fazowe pomiędzy falą a zmianami wysokości 

metacentrycznej. 

Wymienione poprawki δM

R1

, δM

R2

, δM

R3

 momentu prostującego, dla statku 

o określonym stanie załadowania i płynącego z prędkością  V pod kątem  β

W

 

w stosunku do kierunku fali, można uzależnić od parametrów fali regularnej, tj. 
od amplitudy ς

A

 i częstości ω lub długości λ. Wartość tych poprawek będzie się 

zmieniać oscylacyjnie w czasie tak jak zmienia się wartość rzędnej fali 
regularnej, która wywołuje te poprawki. 

 

ς

A 

 poziom wody 

spokojnej  

 profil fali 

G

F

d 

P

F 

P

 

ω·t

 

 

Rys. 1. Zmiana zanurzenia statku wywołana siłą odśrodkową F

d

 w dolinie bocznej fali regularnej 

(kołysania podrezonansowe – „sztywny okręt”):  

P – ciężar okrętu, P

F 

 – wypadkowa siła działająca na środek masy okrętu, ς

A

 – amplituda  fali  

Fig. 1.  The change of the ship’s draught due to the centrifugal force  in wave trough having beam  

direction (sub-resonant motions – “a stiff ship”) 

 

340

Propozycja obliczania minimalnej początkowej wysokości metacentrycznej dla statku na  fali 

 

x 

nurzania statku

profil fali 

poziom wody spokojnej 

)

(

)

(

t

t

T

∇

→

 

Z 

T 

G

∇

 

Rys. 2. Zmiana objętości i kształtu podwodzia statku wynikająca z ruchów względnych (głównie 

nurzań) i profilu fali (regularna fala wzdłużna): 

T, 

∇ − zanurzenie i objętość podwodzia statku na wodzie spokojnej, 

)

(t

T

− średnie chwilowe 

zanurzenie statku na fali,              

− chwilowy kształt i objętość 

)

(t

∇

 podwodzia statku na fali 

Fig. 2. Changes of ship’s volume and hull shape due to relative motions (mainly heaving) and the 

profile of the wave  (longitudinal regular wave) 

 

Przykład zmian krzywej ramion prostujących na fali regularnej przeciwnej 

(β

W

 = 180°)

 

o określonej amplitudzie ς

A

 i długości λ przedstawiono na rysunku 3. 

3. Zmiany wysokości metacentrycznej na fali nieregularnej 

Zmiany momentu prostującego, dane równaniem (1), statku na fali 

regularnej sprowadzają się  głównie  do zmian objętości i kształtu podwodzia. 
Konsekwencją tych zmian są oczywiście zmiany charakterystyk geometrycz-
nych i stąd krzywa ramion prostujących zmienia swoje wartości w funkcji czasu 
t dla danego kąta przechyłu  Φ w przedziale od wartości maksymalnej (kiedy 
statek jest w dolinie fali) do wartości minimalnej (statek na grzbiecie fali), tak 
jak to zostało pokazane na rysunku 3.  

Ponieważ pomiędzy krzywą ramion prostujących a wysokością metacen-

tryczną istnieje określony związek, to zmiany krzywej ramion można w 
przybliżeniu zastąpić pewną  „wirtualną” wysokością metacentryczną, której 
wartości maksymalne i minimalne będą oscylować wokół wartości  h

0

, jak dla 

wody spokojnej. Chwilowa wartość „wirtualnej” wysokości metacentrycznej 
będzie więc równa: 

 

)

(

)

(

0

0

t

h

h

t

h

w

w

∆

+

=

 (6) 

gdzie  ∆h

w

(t) są zmianami w czasie wysokości metacentrycznej statku na fali. 

Amplituda oscylacji wysokości metacentrycznej ∆h

AW

  będzie także zależała od 

parametrów statku (stan załadowania, prędkość  V i kierunek ruchu względem 
fali β

W

) i od fali regularnej wywołującej kołysania statku: amplitudy ς

A

 i długości 

λ (lub częstości ω). 

 341

Tadeusz Szelangiewicz 

 

 

 

 
 
 
 

 

 

Rys. 3. Zmiany krzywej ramion prostujących na wzdłużnej fali regularnej (β

W

 = 180°) o stałej 

amplitudzie ς

A

 i długości λ 

Fig. 3. Changes of the righting arm curve in longitudinal regular wave (β

W

 = 180°) having the 

constant amplitude ς

A

 and length λ  

 

  

Stosując liniową teorię kołysań statku na fali, można określić 

charakterystykę częstotliwościową zmian wartości wysokości metacentrycznej, 
podczas pływania na fali regularnej: 

 

 ,

,

,

/

(

Φ

W

h

V

i

Y

β

ω

ς

stan załadowania statku) 

(7) 

a następnie, znając funkcję gęstości widmowej energii falowania nieregularnego 

),

(

ω

ςς

S

 wariancję zmian wysokości metacentrycznej na fali nieregularnej: 

 

( )

( )

ω

ω

ω

ςς

ς

d

S

i

Y

D

h

h

⋅

=

∫

∞

2

0

 (8) 

Mając wariancję 

D

h

, z rozkładu Rayleigh’a można określić wartość średnich 

zmian wysokości metacentrycznej z założonym prawdopodobieństwem przekro-

dolina fali 

woda spokojna

grzbiet fali

Φ

[

o

] 

V

G

y

h

0w

57,3

h

0

x

fala 

regularna

o

180

=

w

A

β

λ

ς

l(

Φ

) 

 

342

Propozycja obliczania minimalnej początkowej wysokości metacentrycznej dla statku na  fali 

czenia podczas pływania statku na określonej (danej widmem 

S

ςς

(

ω)) fali 

nieregularnej: 

 

h

w

D

p

h

⋅

=

∆

1

ln

8

 (9) 

gdzie 

p jest prawdopodobieństwem przekroczenia wartości 

w

h

∆ . 

4. Zmiany wysokości metacentrycznej na danej linii żeglugowej  

w długim okresie  

Podczas pływania na określonej linii żeglugowej, na statek w długim 

okresie, np. 1 rok, będą oddziaływać fale nieregularne o różnych parametrach 
statystycznych: wysokość fali 

H

W

, okres 

T i kierunek geograficzny µ

0

. 

Prawdopodobieństwo wystąpienia fal o określonych parametrach jest różne dla 
poszczególnych pór roku i akwenów, przez które przebiega dana linia 
żeglugowa. Także statek będzie pływał w różnych stanach załadowania, z 
różnymi prędkościami 

V  i kursami geograficznymi ψ

0

. Oznacza to, że 

statystyczne wartości zmian wysokości metacentrycznej zależne od tych 
parametrów, będą też zmienne w długim okresie pływania statku. 
Prawdopodobieństwo przebywania statku w danej sytuacji, w której może 
wystąpić zmniejszenie wartości wysokości metacentrycznej a tym samym i 
ramion prostujących, podczas pływania po sfalowanej wodzie na zadanej trasie 
żeglugi jest następujące: 

 

G

V

HT

S

A

h

f

f

f

f

f

f

f

p

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

ψ

µ

 (10) 

gdzie: 

f

A

 

−   prawdopodobieństwo przebywania statku na akwenie A, przez 

który przebiega linia żeglugowa, 

f

S

 

−   prawdopodobieństwo przebywania statku w porze roku 

S

 na 

akwenie 

A,  

f

µ

 

−   prawdopodobieństwo wystąpienia kierunku fali µ w porze roku 

S na akwenie A, 

f

HT

 

−   prawdopodobieństwo wystąpienia fali o parametrach H

W

 i 

T 

z kierunku 

µ, 

f

V

, 

f

ψ

, 

f

G 

−   prawdopodobieństwo, że statek będzie płynął z prędkością  V, 

kursem 

ψ i w stanie załadowania G. 

 

 343

Tadeusz Szelangiewicz 

Dla każdego przypadku, przedstawionego równaniem (10), należy obliczyć  

minimalną wartość krzywej ramion prostujących z założonym prawdo-
podobieństwem przekroczenia (prawdopodobieństwo wystąpienia takiej 
minimalnej krzywej ramion prostujących w długim okresie podczas pływania na 
zadanej linii żeglugowej określa równanie (10)) i odpowiadającą tej krzywej 
wysokości metacentrycznej 

h

0

w

. Minimalna wartość wysokości 

h

0

w

  będzie 

mniejsza od wysokości 

h

0

 określonej przepisami dla wody spokojnej.  Ustalając 

minimalną wartość 

h

0

w

 jako kryterium stateczności na fali, będzie można 

określić minimalną wartość 

h

0

 dla statku na wodzie spokojnej na takim 

poziomie, aby na fali statek miał też dobrą stateczność  (∆

h

0

w

  będzie tutaj 

poprawką uzależnioną od parametrów statku pływającego z określonym stanem 
załadowania na zadanej linii żeglugowej, na której wystąpią fale o parametrach 
H

W

, 

T, µ). 

Przyjmując za kryterium stateczności wysokość metacentryczną na fali 

h

0

w

 

można określić, jakie jest prawdopodobieństwo w długim okresie, że 
rzeczywista w danej sytuacji wysokość metacentryczna 

h  będzie mniejsza od 

h

0

w

. Całkowite prawdopodobieństwo,  że 

h < h

0

w

 w długim okresie (np. 1 roku 

eksploatacji statku na danej linii żeglugowej) jest równe: 

 

∑∑∑ ∑ ∑∑∑

=

=

=

=

=

=

=

=

1

1

1

1

,

1

1

1

A

S

T

H

V

G

h

h

p

P

µ

ψ

    

[

]

w

h

h

0

<

 (11) 

Prawdopodobieństwo 

P

h

 może być też inną formą kryterium stateczności 

statku na fali w długim okresie. 

Wnioski 

1. W artykule przedstawiono ogólną propozycję opracowania kryterium 

stateczności statku na fali, za pomocą początkowej wysokości 
metacentrycznej, której wartość zostaje tak ustalona, aby podczas pływania 
na fali nieregularnej, minimalne wartości krzywej ramion prostujących 
gwarantowały, z określonym prawdopodobieństwem, zachowanie 
stateczności.  

2. Obliczenie wartości liczbowej początkowej wysokości metacentrycznej dla 

statku pływającego na fali jest trudne i wymaga skomplikowanych obliczeń 
numerycznych charakterystyk geometrycznych zmiennego w czasie kształtu 
i objętości podwodzia, wynikającego z kołysań na fali. 

3. Po rozwiązaniu tego zagadnienia będzie można ustalać wartość początkowej 

wysokości metacentrycznej w zależności od wymiarów statku i linii 
żeglugowej, na jakiej będzie on pływał. Dla statku zbudowanego będzie 

 

344

Propozycja obliczania minimalnej początkowej wysokości metacentrycznej dla statku na  fali 

można  określić poziom zagrożenia utraty stateczności podczas pływania na 
konkretnej fali lub na danej linii żeglugowej. 

Literatura 

1. Dudziak J., 

Teoria okrętu, Wydawnictwo Morskie, Gdańsk 1988. 

2.  Dunne J.F., Wright J.H., 

Predicting the Frequency of Occurrence of Large 

Roll Angles in Irregular Seas, TRINA, vol. 127, 1985, pp. 233 – 245. 

3.  Faizarano J., Mulk M.T., 

Large Amplitude Rolling Motion of an Ocean Sur-

vey Vessel, Marine Technology, vol. 31, No. 4, October 1994, pp. 278-285. 

4. Liaw C.Y., 

Dynamic Instability of a Parametrically Excited Ship Rolling 

Model, Proceedings of the Third (1993) International Offshore and Polar En-
gineering Conference, Singapore, 6 – 11 June 1993, pp. 640 – 647. 

5. 

Przepisy klasyfikacji i budowy statków morskich, część IV. Stateczność 
i niezatapialność, PRS, Gdańsk 2002. 

6. Szozda Z.,

 Stability Control of a Ship in Service, Zeszyty Naukowe nr 53 

Wyższej Szkoły Morskiej, Szczecin 1997,

 str. 169 – 176. 

 
 
 

Wpłynęło do redakcji w lutym 2004 r. 

 
 

Recenzenci 

prof. dr hab. inż.  Lech Kobyliński 
prof. dr hab. inż.  Bernard Wiśniewski 
 
Adres Autora 

dr hab. inż. Tadeusz Szelangiewicz, prof. PS 
Politechnika Szczecińska  
Wydział Techniki Morskiej 
al. Piastów 41, 71-065 Szczecin 
tel. 449 41 26, e-mail: 

Tadeusz.Szelangiewicz@ps.pl

  

 

 

 345