Iloraz ró˙znicowy

Niech x

∈

oraz niech funkcja f b˛edzie okre´slona przynajmniej

na przedziale (x

− r, x

+ r)

, gdzie r > 0.

Ilorazem ró˙znicowym funkcji f w punkcie x

odpowiadaj ˛acym

przyrostowi h = ∆x, gdzie 0 < |h| < r, nazywamy liczb˛e

+ h)

− f(x

)

+ ∆x)

− f(x

)

∆x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 2/60

Interpretacja geometryczna ilorazu ró˙znicowego

Iloraz ró˙znicowy jest równy tangensowi k ˛ata nachylenia siecznej

przechodz ˛acej przez punkty (x

, f

))

oraz (x

+ h, f (x

+ h))

do dodatniej półosi Ox.

∆f = f (x

+ h) − f (x

)

∆x = h

)

+ h

+ h)

tg α =

∆f

∆x

= f (x)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 3/60

Pochodna funkcji w punkcie

Niech x

∈

oraz niech funkcja f b˛edzie okre´slona przynajmniej

na przedziale (x

− r, x

+ r)

, gdzie r > 0.

Je˙zeli istnieje sko´nczona granica

lim

h→0

+ h)

− f(x

)

to nazywamy j ˛a

pochodn ˛a funkcji f w punkcie x

i oznaczamy

)

Mówimy wtedy, ˙ze funkcja f jest

ró˙zniczkowalna w punkcie x

Je˙zeli granica ilorazu ró˙znicowego w punkcie x

nie istnieje lub jest

niesko´nczona, to mówimy, ˙ze funkcja f nie jest ró˙zniczkowalna w
punkcie x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 4/60

Pochodna funkcji w punkcie

)

def

= lim

h→0

+ h)

− f(x

)

def

= lim

x→x

(x)

− f(x

)

− x

Przykład:

Niech f(x) = x

. Wtedy

)

def

= lim

h→0

+h)

−x

2
0

= lim

h→0

= 2x

lub

)

def

= lim

x→x

−x

2
0

x−x

= lim

x→x

(x−x

)·(x+x

)

x−x

= 2x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 5/60

Pochodne wa˙zniejszych funkcji elementarnych

(c)

= 0

, gdzie c ∈

)

= px

p−1

, dla p ∈

, zakres zmienno´sci x zale˙zy od p.

−

, x ∈

\ {0}.

√

, x ∈

(sin x)

= cos x

, x ∈

(cos x)

− sin x , x ∈

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 6/60

Pochodne wa˙zniejszych funkcji elementarnych

(tg x)

cos

, x 6=

+ kπ, k

∈

(ctg x)

−

sin

, x 6= kπ, k ∈

)

= a

ln a

, a > 0, x ∈

)

= e

, x ∈

(log

)

ln a

, x > 0 i 0 < a 6= 1.

(ln x)

, x > 0.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 7/60

Prosta styczna do wykresu funkcji

Niech x

∈

oraz niech funkcja ci ˛agła f b˛edzie okre´slona

przynajmniej na przedziale (x

− r, x

+ r)

, gdzie r > 0.

Prosta jest

styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x

, f

))

je˙zeli jest granicznym poło˙zeniem siecznych wykresu funkcji

przechodz ˛acych przez punkty (x

, f

))

i (x, f(x)), gdy x → x

)

(x)

←−

= f (x)

sieczne

styczna

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 8/60

Interpretacja geometryczna pochodnej

Pochodna funkcji w punkcie x

jest równa tangensowi k ˛ata

nachylenia stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

, f

))

do dodatniej półosi Ox.

)

= f (x)

tg α = f

)

styczna

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

, f

))

= f

)(x

− x

) + f (x

) .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 9/60

Przykład

Niech f(x) = e

. Wówczas równanie stycznej do wykresu funkcji

w x

= 0

ma posta´c: y = x + 1 .

(0, 1)

= e

= x + 1

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 10/60

Przykład

Niech f(x) = sin x. Wówczas równanie stycznej do wykresu
funkcji f w x

= π

ma posta´c: y = π − x .

-1

2π

3π

4π

−π

= sin x

= π

− x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 11/60

K ˛at przeci˛ecia wykresów funkcji

Niech wykresy funkcji f i g maj ˛a punkt wspólny (x

, y

)

, przy

czym obie funkcje s ˛a ró˙zniczkowalne w punkcie x

K ˛atem przeci˛ecia wykresów funkcji f i g nazywamy k ˛at ostry ϕ

miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich

przeci˛ecia

)

= f (x)

= g(x)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 12/60

K ˛at przeci˛ecia wykresów funkcji

Niech wykresy funkcji f i g maj ˛a punkt wspólny (x

, y

)

, przy

czym obie funkcje s ˛a ró˙zniczkowalne w punkcie x

Miara

k ˛ata przeci˛ecia wykresów funkcji f i g wyra˙za si˛e

wzorem

= arc tg

)

− g

)

1 + f

)

· g

)

Je˙zeli f

)

· g

) =

−1, to przyjmujemy ϕ =

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 13/60

Zwi ˛azek ró˙zniczkowalno´sci z ci ˛agło´sci ˛a funkcji

Twierdzenie:

Je˙zeli funkcja f jest ró˙zniczkowalna w punkcie x

to jest w tym punkcie ci ˛agła.

Uwaga:

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Na przykład funkcja f(x) = |x| jest ci ˛agła w punkcie x

= 0

, ale

(0)

nie istnieje.

-2

-4

|x|

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 14/60

Pochodna funkcji na przedziale

Funkcja ma pochodn ˛a na przedziale I otwartym wtedy i tylko
wtedy, gdy ma pochodn ˛a w ka˙zdym punkcie tego przedziału.

Funkcj˛e okre´slon ˛a na przedziale I, której warto´sci w punktach x
tego przedziału sa równe f

(x)

nazywamy

pochodn ˛a funkcji f na przedziale I i oznaczamy symbolem f

: x

7→ f

(x) ,

∈ I.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 15/60

Działania arytmetyczne na pochodnych funkcji

Je˙zeli funkcje f i g sa ró˙zniczkowalne w punkcie x

, to:

(f + g)

) = f

) + g

)

− g)

) = f

)

− g

)

· g)

) = f

)

· g(x

) + f (x

)

· g

)

) =

)

· g(x

)

− f(x

)

· g

)

o ile g(x

)

6= 0.

Je˙zeli funkcja f jest ró˙zniczkowalna w punkcie x

, za´s c ∈

, to

(cf )

) = cf

)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 16/60

Przykład

(x) = x

+ 3x

−

√

⇒ f

(x) = 4x

+ 6x +

√

(x) = sin x

· ctg x , x 6= kπ, k ∈ Z, ⇒

(x) = cos x ctg x + sin x

−

sin

= cos x ctg x

−

sin x

(x) =

− 1

+ 1

, x

∈ R, ⇒

(x) =

· (x

+ 1)

− (x

− 1) · 2x

+ 1)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 17/60

Twierdzenie o pochodnej funkcji zło˙zonej

Je˙zeli funkcja f jest ró˙zniczkowalna w punkcie x

oraz funkcja g

jest ró˙zniczkowalna w punkcie f(x

)

, to funkcja g ◦ f jest

ró˙zniczkowalna w punkcie x

oraz

◦ f)

) = g

(f (x

))

· f

) .

Przykład:

(x) = sin

⇒ f

(x) = 3 sin

· cos x

(x) = (3x

+ x + 2)

, ⇒ g

(x) = 5(3x

+ x + 2)

· (6x + 1)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 18/60

Posta´c logarytmiczno–wykładnicza funkcji

Ka˙zd ˛a funkcj˛e zło˙zon ˛a postaci [f(x)]

(x)

mo˙zna przedstawi´c w

postaci logarytmiczno–wykładniczej:

[f (x)]

(x)

= e

(x)·ln f(x)

Posta´c logarytmiczno–wykładnicz ˛a stosujemy do obliczania
pochodnych funkcji danych w postaci [f(x)]

(x)

Przykład:

(x) = x

= e

ln x

⇒

(x) = e

ln x

· (ln x + x ·

) = x

· (ln x + 1)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 19/60

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Niech x

∈ D

. Niech f b˛edzie funkcj ˛a ci ˛agł ˛a i ró˙znowarto´sciow ˛a

w otoczeniu punktu x

oraz tak ˛a, ˙ze f

)

6= 0. Wówczas

−1

) =

)

gdzie y

= f (x

)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 20/60

Pochodne funkcji cyklometrycznych

(arc sin x)

√

− x

, x ∈ (−1, 1).

(arc cos x)

−

√

− x

, x ∈ (−1, 1).

(arc tg x)

1 + x

, x ∈

(arc ctg x)

−

1 + x

, x ∈

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 21/60

Ró˙zniczka funkcji

Niech funkcja f b˛edzie okre´slona na otoczeniu punktu x

Ponadto niech funkcja f ma pochodn ˛a wła´sciw ˛a (jest
ró˙zniczkowalna) w punkcie x

Ró˙zniczk ˛a funkcji f w punkcie x

nazywamy funkcj˛e zmiennych

∆x

okre´slon ˛a wzorem:

df (x

)(∆x)

def

= f

)

· ∆x .

Ró˙zniczk˛e funkcji f oznacza si˛e tak˙ze przez df(x

)

lub krótko df.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 22/60

Ró˙zniczka i obliczenia przybli˙zone

Niech funkcja f b˛edzie ró˙zniczkowalna w punkcie x

. Wtedy

+ ∆x)

≈ f(x

) + f

)

· ∆x ,

przy czym bł ˛ad jaki popełniamy zast˛epuj ˛ac przyrost funkcji ∆f

jej ró˙zniczk ˛a df = f

(x)∆x

d ˛a˙zy szybciej do zera ni˙z ∆x, tzn.

lim

∆x→0

∆f

− df

∆x

= 0 .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 23/60

Ró˙zniczka i obliczenia przybli˙zone

)

= f (x)

∆f

∆x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 24/60

Przykład

Wykorzystuj ˛ac ró˙zniczk˛e obliczymy warto´s´c przybli˙zon ˛a

wyra˙zenia

√

15,96

Definiujemy funkcj˛e f(x) = √x .

Przyjmujemy x

= 16

⇒ ∆x=−0,04.

Poniewa˙z

= f

(x) =

√

,wi˛ec

√

15,96

≈

√

16 +

√

· (−0,04) = 3,995 .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 25/60

Zastosowanie ró˙zniczki funkcji do szacowania bł˛edów pomiarów

Niech wielko´sci fizyczne x i y b˛ed ˛a zwi ˛azane zale˙zno´sci ˛a

= f (x)

. Ponadto niech ∆

oznacza bł ˛ad bezwzgl˛edny pomiaru

wielko´sci x. Wtedy bł ˛ad bezwzgl˛edny ∆

oblicze´n wielko´sci y

wyra˙za si˛e wzorem przybli˙zonym

∆

≈ |f

)

| ∆

gdzie x

jest wynikiem pomiaru wielko´sci x, przy czym f

)

jest wła´sciwa.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 26/60

Przykład

Czas w biegu na 100 m mierzy si˛e z dokładno´sci ˛a ∆

= 0,01

Zawodnik uzyskał 10 s. Z jak ˛a w przybli˙zeniu dokładno´sci ˛a
mo˙zna obliczy´c pr˛edko´s´c V tego zawodnika?

Poniewa˙z V =

100

, wi˛ec V

(t) =

−

100

, wi˛ec

∆

≈ |V

(10)

| · ∆

−

100

· 0,01 = 0,01

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 27/60

Twierdzenia o warto´sci ´sredniej

Twierdzenie Rolle’a:

Je˙zeli funkcja f spełnia warunki:

jest ci ˛agła na ha, bi,
ma pochodn ˛a na (a, b),

(a) = f (b)

to istnieje punkt c ∈ (a, b), taki ˙ze f

Twierdzenie Lagrange’a:

Je˙zeli funkcja f spełnia warunki:

jest ci ˛agła na ha, bi,
ma pochodn ˛a na (a, b),

to istnieje punkt c ∈ (a, b), taki ˙ze f

(b)

− f(a)

− a

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 28/60

Zwi ˛azek ró˙zniczkowalno´sci z monotoniczno´sci ˛a funkcji

Twierdzenie:

Niech I oznacza dowolny przedział. Je˙zeli dla

ka˙zdego x ∈ I funkcja f spełnia warunek:

(x) = 0

, to funkcja f jest stała na I;

(x) > 0

, to funkcja f jest rosn ˛aca na I;

(x)

, to funkcja f jest niemalej ˛aca na I;

(x) < 0

, to funkcja f jest malej ˛aca na I;

(x)

, to funkcja f jest nierosn ˛aca na I.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 29/60

Pochodne wy˙zszych rz˛edów

Pochodne n-tego rz˛edu funkcji f w punkcie x

definiujemy

indukcyjnie

(n)

) =

(n−1)

) ,

dla n

Przyjmujemy, ˙ze f

(0)

) = f (x

)

i f

(1)

) = f

)

Piszemy:
f

(2)

= f

, f

(3)

= f

000

, f

(4)

= f

lub
f

(1)

= ˙

, f

(2)

= ¨

lub
f

(n)

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 30/60

Definicja minimum funkcji

Funkcja f ma w punkcie x

∈ D

minimum lokalne, je˙zeli

∃

δ>

∀

x∈S(x

,δ

)

(x)

) .

Funkcja f ma w punkcie x

∈ D

minimum lokalne wła´sciwe,

je˙zeli

∃

δ>

∀

x∈S(x

,δ

)

(x) > f (x

) .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 31/60

Definicja maksimum funkcji

Funkcja f ma w punkcie x

∈ D

maksimum lokalne, je˙zeli

∃

δ>

∀

x∈S(x

,δ

)

(x)

) .

Funkcja f ma w punkcie x

∈ D

maksimum lokalne wła´sciwe,

je˙zeli

∃

δ>

∀

x∈S(x

,δ

)

(x) < f (x

) .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 32/60

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji ró˙zniczkowalnej

Twierdzenie (Fermata):

Je˙zeli funkcja f jest ró˙zniczkowalna w

punkcie x

oraz posiada ekstremum lokalne w tym punkcie, to

) = 0 .

Uwaga:

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Na przykład dla funkcji f(x) = x

mamy f

(0) = 0

, a f nie ma

ekstremum w punkcie x

= 0

= x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 34/60

Warunek dostateczny istnienia maksimum funkcji ró˙zniczkowalnej

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a

przynajmniej w otoczeniu punktu x

, ci ˛agła w punkcie x

ró˙zniczkowalna przynajmniej w s ˛asiedztwie punktu x

. Je˙zeli

istnieje δ > 0 takie, ˙ze

∀

x∈(x

−δ,x

)

(x) > 0

oraz ∀

x∈(x

+δ)

(x) < 0

to w punkcie x

funkcja f ma maksimum lokalne wła´sciwe.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 35/60

Warunek dostateczny istnienia minimum funkcji ró˙zniczkowalnej

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a

przynajmniej w otoczeniu punktu x

, ci ˛agł ˛a w punkcie x

ró˙zniczkowaln ˛a przynajmniej w s ˛asiedztwie punktu x

. Je˙zeli

istnieje δ > 0 takie, ˙ze

∀

x∈(x

−δ,x

)

(x) < 0

oraz ∀

x∈(x

+δ)

(x) > 0

to w punkcie x

funkcja f ma minimum lokalne wła´sciwe.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 36/60

II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji ró˙zniczkowalnej

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a

przynajmniej w otoczeniu punktu x

. Je˙zeli

① f

) = f

) = . . . = f

(n−1)

) = 0

② f

(n)

)

6= 0 ,

to, gdy n > 2 jest parzyste , funkcja f osi ˛aga w punkcie x

ekstremum lokalne wła´sciwe, przy czym jest to minimum, gdy
f

(n)

) > 0

, za´s maksimum gdy f

(n)

) < 0

. Gdy n jest

nieparzyste, ekstremum nie wyst˛epuje.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 37/60

Minimum globalne

Liczba m jest

najmniejsz ˛a warto´sci ˛a funkcji f

na zbiorze A ⊆ D

, je˙zeli istnieje punkt x

∈ A, taki ˙ze

) = m

i dla ka˙zdego x ∈ A

(x)

) = m .

Liczb˛e m nazywamy

minimum globalnym funkcji f na zbiorze A.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 38/60

Maksimum globalne

Liczba M jest

najwi˛eksz ˛a warto´sci ˛a funkcji f

na zbiorze A ⊆ D

, je˙zeli istnieje punkt x

∈ A, taki ˙ze

) = M

i dla ka˙zdego x ∈ A

(x)

) = M .

Liczb˛e M nazywamy

maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 39/60

Ekstrema globalne

Niech A = ha, bi ⊆

i f : A →

. Niech f ma pochodn ˛a

wła´sciw ˛a lub niewła´sciw ˛a poza sko´nczon ˛a liczb ˛a punktów

przedziału A. Ponadto niech f ma sko´nczon ˛a liczb˛e punktów
krytycznych, tzn. punktów x

, w których f

) = 0

lub f

)

nie istnieje.

Je˙zeli f jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na domkni˛etym i ograniczonym
zbiorze A, to funkcja f osi ˛aga na A warto´s´c najmniejsz ˛a i
najwi˛eksz ˛a.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 41/60

Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji

Niech A = ha, bi ⊆

i f : A →

. Niech f ma pochodn ˛a

wła´sciw ˛a lub niewła´sciw ˛a poza sko´nczon ˛a liczb ˛a punktów

przedziału A. Ponadto niech f ma sko´nczon ˛a liczb˛e punktów

krytycznych, tzn. punktów x

, w których f

) = 0

lub f

)

nie istnieje.

Ekstremów globalnych funkcji f na przedziale A szukamy

post˛epuj ˛ac według algorytmu:

Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewn ˛atrz przedziału
A i obliczmy warto´sci funkcji w tych punktach.
Obliczmy f(a) i f(b).
Porównujemy otrzymane warto´sci funkcji znajduj ˛ac warto´s´c

najmniejsz ˛a i najwi˛eksz ˛a.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 42/60

Przykład

Niech f : A ⊂

→

(x, y) =

|x − 1|,

gdzie A = h0, 3i.

= 1

jest punktem krytycznym funkcji f, gdy˙z f

(1)

nie

istnieje. Wtedy f(1) = 0

(1) = 0

(0) = 1

i f(3) = 2

(3) = 2

Wówczas m = f

najmniejsze

= 0

i M = f

największe

= 2

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 43/60

Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji

Twierdzenie (Reguła de l’Hospitala):

Niech funkcje f i g spełniaj ˛a warunki:
¬

funkcje f,g i f

, g

b˛ed ˛a okre´slone w s ˛asiedztwie punktu x

¬ lim

x→x

(x) = lim

x→x

(x) = 0

albo lim

x→x

(x) = lim

x→x

(x) =

∞

istnieje granica lim

x→x

(x)

= a

Wówczas istnieje granica lim

x→x

(x)

oraz

lim

x→x

(x)

= a .

Powy˙zsze twierdzenie jest prawdziwe równie˙z dla granic jednostronnych, niewła´sciwych oraz dla granic w

+∞

lub w −∞.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 44/60

Funkcja wypukła

Funkcje f nazywamy

wypukł ˛a na przedziale (a, b) ⊆

wtedy i

tylko wtedy, gdy

∀

a<x

∀

0<t<1

(tx

+ (1

− t)x

) < tf (x

) + (1

− t)f(x

) .

Uwaga:

Geometrycznie funkcja jest wypukła, je˙zeli ka˙zdy

odcinek siecznej wykresu le˙zy powy˙zej fragmentu wykresu
poło˙zonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 45/60

Funkcja wkl˛esła

Funkcje f nazywamy

wkl˛esł ˛a na przedziale (a, b) ⊆

wtedy i

tylko wtedy, gdy

∀

a<x

∀

0<t<1

(tx

+ (1

− t)x

) > tf (x

) + (1

− t)f(x

) .

Uwaga:

Geometrycznie funkcja jest wkl˛esła, je˙zeli ka˙zdy

odcinek siecznej wykresu le˙zy poni˙zej fragmentu wykresu
poło˙zonego miedzy punktami, przez które przechodzi sieczna.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 46/60

Warunki wystarczaj ˛ace wypukło´sci i wkl˛esło´sci

Twierdzenie:

Je˙zeli f

(x) > 0

dla ka˙zdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest

wypukła na (a, b).

Twierdzenie:

Je˙zeli f

(x) < 0

dla ka˙zdego x ∈ (a, b), to funkcja f jest wkl˛esła

na (a, b).

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 47/60

Punkt przegi˛ecia wykresu funkcji

Niech funkcja f b˛edzie okre´slona i ró˙zniczkowalna przynajmniej
w otoczeniu punktu x

. Punkt (x

, f

))

nazywamy

punktem przegi˛ecia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje liczba δ > 0, taka ˙ze funkcja f jest wypukła na
(x

− δ, x

)

oraz wkl˛esła na (x

, x

+ δ)

lub odwrotnie.

Warunek konieczny istnienia punktu przegi˛ecia:

Twierdzenie:

Je˙zeli funkcja f posiada pochodn ˛a drugiego rz˛edu

w punkcie x

oraz posiada w punkcie (x

, f

))

punkt

przegi˛ecia, to f

) = 0

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 48/60

Warunek dostateczny istnienia punktu przegi˛ecia

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a przynajmniej w

otoczeniu punktu x

, ci ˛agł ˛a i ró˙zniczkowaln ˛a w punkcie x

. Je˙zeli

istnieje δ > 0 takie, ˙ze

∀

x∈(x

−δ,x

)

(x) < 0

oraz ∀

x∈(x

+δ)

(x) > 0

lub

∀

x∈(x

−δ,x

)

(x) > 0

oraz ∀

x∈(x

+δ)

(x) < 0

to w punkcie (x

, f

))

funkcja f ma punkt przegi˛ecia.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 49/60

II warunek dostateczny istnienia punktu przegi˛ecia

Twierdzenie:

Niech x

∈

i f b˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a przynajmniej w

otoczeniu punktu x

Je˙zeli

① f

) = f

) = . . . = f

(n−1)

) = 0

② f

(n)

)

6= 0 ,

to, gdy n > 3 jest nieparzyste , funkcja f ma w punkcie

, f

))

punkt przegi˛ecia..

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 50/60

Pochodne a wykres funkcji

–

min. lok

max. lok

Uwaga:

Je˙zeli f

) = 0

i f

000

)

6= 0, to x

jest punktem

przegi˛ecia wykresu funkcji f.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 51/60

Badanie funkcji

Przez badanie przebiegu zmienno´sci funkcji i sporz ˛adzanie jej wykresu rozumiemy wykonanie
nast˛epuj ˛acych czynno´sci:

1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wskazanie podstawowych własno´sci:

(a) parzysto´s´c lub nieparzysto´s´c

(b) okresowo´s´c

wykresu funkcji z osi ˛a OY

(d) ci ˛agło´s´c

3. Zbadanie zachowania si˛e funkcji na "ko´ncach" dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu funkcji.
4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczno´s´c i ekstrema funkcji.
5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wkl˛esło´sci i wypukło´sci oraz punkty przegi˛ecia wykresu

funkcji.

6. Sporz ˛adzenie wykresu funkcji.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 52/60

Przykład

Zbada´c przebieg zmienno´sci i naszkicowa´c wykres funkcji f danej

wzorem:

(x) =

+ 4

1. D

\ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

2. Podstawowe własno´sci funkcji f:

(a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

(b) f nie jest funkcj ˛a okresow ˛a.

+ 4 = 0

⇔ x = −

√

, zatem

(

−

√

4, 0)

jest punktem przeci˛ecia wykresu funkcji z osi ˛a

; brak punktów przeci˛ecia wykresu funkcji z osi ˛a OY .

(d) f jest ci ˛agła w swojej dziedzinie.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 53/60

Przykład c.d.

(x) =

3. Poniewa˙z

lim

x→0

+ 4

= +

∞,

wi˛ec prosta x = 0 jest asymptot ˛a pionow ˛a obustronn ˛a

wykresu funkcji f.

Poniewa˙z

lim

x→±∞

+ 4

±∞,

wi˛ec wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 54/60

Przykład c.d.

(x) =

Zbadajmy istnienie asymptot uko´snych y = ax + b:

= lim

x→±∞

(x)

= lim

x→±∞

+ 4

= lim

x→±∞

1 +

= 1,

= lim

x→±∞

[f (x)

− ax] = lim

x→±∞

+ 4

− x

= lim

x→±∞

+ 4

− x

= lim

x→±∞

∞

= 0.

Istnieje wi˛ec jedna asymptota uko´sna o równaniu

= x .

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 55/60

Przykład c.d.

(x) =

4. Monotoniczno´s´c i ekstrema:

(x) = 1

−

− 8

6= 0.

(x) = 0

⇔ x = 2.

−

min. lok

Ponadto f

min

(2) = 3

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 56/60

Przykład c.d.

(x) =

5. Wkl˛esło´s´c i wypukło´s´c:

(x) =

6= 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze dla ka˙zdego x 6= 0 mamy f

(x) > 0.

Zatem wykres nie posiada punktów przegi˛ecia – jest to wykres

wypukły.

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 57/60

Przykład c.d.

(x) =

−∞, −

√

−

√

−

√

4, 0

(0, 2)

(2, +

∞)

–

= x

+∞

= x

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 58/60

Przykład c.d.

(x) =

-3

-2

-4

−

√

+ 4

UTOMATYKA I

OBOTYKA

SEM

. I,

rok. akad. 2009/2010

Pochodne funkcji – str. 59/60

Document Outline