Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 19
19. Elektrostatyka I
19.1 Wstęp
Większość ciał stałych można podzielić na
przewodniki
i
izolatory
. W izolatorze
nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewod-
nikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wy-
tworzy się pole równoważące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż
poniżej powierzchni przewodnika.
S
Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
0
.
d
ε
wewn
Q
=
∫
S
E
Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru,
bo inaczej elektrony poruszałyby się czyli
0
d =
∫
S
E
Zatem
0 = Q
wewn.
/
ε
0
Stąd
Q
wewn.
= 0
Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być
równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.
19-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
19.2 Kuliste rozkłady ładunków
19.2.1 Jednorodnie naładowana sfera
Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą.
r
R
+Q
W dowolnym punkcie sfery E
S (prostopadłe do powierzchni) więc
∫
=
)
4
(
d
2
r
E
π
S
E
Zgodnie z prawem Gaussa:
E(4
πr
2
) = Q/
ε
0
czyli
2
2
0
4
1
r
Q
k
r
Q
E
=
=
πε
(19.1)
dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery).
Dla r < R, E = 0.
19.2.2 Jednorodnie naładowana kula
Przewodniki - równoważne sferze bo ładunek na powierzchni.
Izolator - równoważny szeregowi współśrodkowych sfer.
2
.
r
Q
k
E
wewn
=
gdzie Q
wewn.
= Q(r
3
/R
3
) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o pro-
mieniu R, rysunek).
R
r
Q
Q
wewn
19-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
=
3
3
2
4
)
4
(
R
r
Q
k
r
E
π
π
Czyli
r
R
Q
k
E
3
=
(19.2)
Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany
poniżej.
kQ
2
/R
2
R
E
r
Przykład 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywną jednorodnie naładowaną kulę o promieniu
R = 10
-10
m, całkowitym ładunku Q = e = -1.6·10
-19
C i masie m
e
= 9.1·10
-31
kg. Proton
znajdujący się w środku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemiesz-
czony o małą odległość x
0
i puszczony swobodnie. Jaka będzie częstotliwość drgań ja-
kie elektron i proton będą wykonywały wokół ich położeń równowagi?
R
x
0
chmura
elektronowa
proton
Siła przywracająca proton do położenia równowagi F = eE czyli
x
R
e
k
F
3
2
−
=
lub
x
R
e
k
t
x
m
e
3
2
2
2
d
d
−
=
19-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Powinniśmy się posługiwać raczej masą zredukowaną
µ =M
p
m
e
/(M
P
+ m
e
) ale m
e
<< M
p
więc
µ ≈ m
e
.
Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego
3
2
R
m
ke
e
=
ω
π
ω
2
=
f
= 2.5·10
15
Hz
Ta częstotliwość jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierw-
szym stanie wzbudzonym czyli, że taki model jest uzasadniony.
19.2.3 Liniowe rozkłady ładunków
Liczymy pole E w odległości r od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długo-
ści l >> r.
L
r
+ +
+
Wprowadzamy liniową gęstość ładunku
λ (ładunek na jednostkę długości).
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy wybierać dowolnie).
Z prawa Gaussa
∫
=
=
)
(
4
d
0
L
k
L
λ
π
ε
λ
S
E
E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni
więc
2
πrLE = 4πkLλ
r
r
k
E
0
2
2
πε
λ
λ
=
=
(19.3)
Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R.
Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Q
wewn.
=
ρπr
2
L, gdzie
ρ - gęstość objętościowa
ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E(2
πrL) = 4πk(ρπr
2
L)
19-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
E = 2k
ρπr
ponieważ
λ = ρπR
2
więc
r
R
r
R
k
E
2
0
2
2
2
πε
λ
λ
=
=
(19.4)
19.2.4 Płaskie rozkłady ładunków
Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.
E
E
Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy Q
wewn.
=
σS, gdzie σ jest gę-
stością powierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z prawa Gaussa
2ES =
σS/ε
0
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.
Ostatecznie otrzymujemy
E =
σ/2ε
0
(19.5)
Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich równoległych płyt (kondensator pła-
ski).
Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniżej) jest równe
E
minus
=
σ/2ε
0
i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej
E
plus
=
σ/ε
0
i skierowane jest od płyty.
19-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
I II III
Zatem w obszarze I
E
I
=
σ/2ε
0
+ (–
σ/2ε
0
) = 0
w obszarze II
E
II
= –
σ/2ε
0
+ (–
σ/2ε
0
) = –
σ/ε
0
w obszarze III
E
III
= (–
σ/2ε
0
) +
σ/2ε
0
= 0
19.2.5 Powierzchnia przewodnika
Jeżeli przedstawiona na rysunku naładowana powierzchnia stanowi część po-
wierzchni przewodnika to ponieważ cały ładunek gromadzi się na zewnętrznej po-
wierzchni to wewnątrz E = 0. Co więcej E musi być prostopadłe do powierzchni (rów-
noległe do S) bo gdyby istniała składowa styczna to elektrony poruszałyby się.
Z prawa Gaussa wynika, że
ES = (
σS)/ε
0
więc
E =
σ/ε
0
(19.6)
na powierzchni przewodnika.
19.3 Potencjał elektryczny
Zgodnie z naszymi rozważaniami różnica energii potencjalnych jest dana przez
∫
−
=
−
B
A
pA
pB
E
E
r
F d
co dla pola elektrycznego daje
∫
∫
−
=
−
=
−
B
A
B
A
pA
pB
q
E
E
r
E
r
F
d
d
(19.7)
Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej możemy zdefiniować punkt zerowej
energii potencjalnej dla ciała znajdującego się w nieskończoności. Wtedy
19-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
∫
∞
−
=
r
p
q
r
E
r
E d
)
(
Jeżeli przenosimy ładunek q z nieskończoności do punktu odległego o r od innego ła-
dunku punktowego Q, to
energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile
elektrycznej
, czyli
∫
∞
∞
∞
−
−
=
−
=
=
r
r
r
p
r
qQk
r
r
Q
k
q
W
r
E
1
d
)
(
2
r
qQ
k
r
E
p
=
)
(
(19.8)
jest
energią potencjalną
ładunków q i Q.
Potencjał elektryczny
jest definiowany jako
energia potencjalna na jednostkowy ładu-
nek
q
W
q
r
E
r
V
r
p
∞
=
=
)
(
)
(
(19.9)
Dla ładunku punktowego
r
Q
k
V
=
(19.10)
Potencjał
= praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności
do r od ładunku punktowego Q.
Różnica potencjałów
czyli
napięcie U
pomiędzy dwoma punktami = praca na przenie-
sienie ładunku jednostkowego między tymi punktami
∫
−
=
=
=
−
B
A
AB
A
B
W
U
V
V
r
E d (19.11)
19-7