Lista
1.
Dzia ania w zbiorze liczb rzeczywistych. Pojcie wartoci bezwzgldnej i jej inter-
pretacja geometryczna. Dwumian Newtona.
Zadanie 1.1
Zapisa bez uycia symbolu wartoci bezwzgldnej:
a)
j
1
;
2
x
j
b)
j
x
2
+4
x
+3
j
c)
j
x
2
;
2
j
+
j
x
2
+2
j
d)
j
x
2
;
x
+2
j
;
2
x:
Zadanie 1.2
Korzystaj c z geometrycznej interpretacji wartoci bezwzgldnej, rozwi za na-
stpuj ce nierwnoci i zaznaczy zbir rozwi za na osi liczbowej:
a)
j
4
;
2
x
j
6 b)
j
5
;
x
j
j
x
+ 2
j
c)
j
x
;
1
j
j
x
+2
j
d) log
j
x
+ 2
j
;
1
:
Zadanie 1.3
Rozwi za rwnania i nierwnoci:
a)
j
x
;
2
j
+
j
x
j
=
j
2
x
;
7
j
b) 3
j
x
;
1
j
;
j
2
x
;
1
j
= 1 c) 1
j
x
j
<
2 d)
x
+2
j
x
j
1.
Zadanie 1.4
Narysowa wykresy funkcji:
a)
f
(
x
) =
j
x
;
2
j
+
j
x
+2
j
b)
f
(
x
) =
jj
2
x
+1
j
;
2
j
c)
f
(
x
) = 2
x
;
p
x
2
;
6
x
+9.
Zadanie 1.5
Znale wszystkie wyrazy rozwinicia dwumianu
5
p
3+
7
p
2
24
, ktre s liczbami
naturalnymi.
Zadanie 1.6
Znale ten wyraz rozwinicia dwumianu
3
p
x
+ 1
p
x
20
, w ktrym nie ma
x
.
Zadanie 1.7
Wykorzystuj c wzr Newtona obliczy :
a)
n
0
+
n
1
+
n
2
+
:::
+
n
n
;
1
+
n
n
b)
n
0
2
n
+
n
1
2
n
;
1
+
n
2
2
n
;
2
+
:::
+
n
n
;
1
2 +
n
n
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Sprowadzi nastpuj ce wyraenia do prostszej postaci, zakadaj c, e
xy
przyjmuj wartoci,
dla ktrych dane wyraenie jest okrelone:
a)
x
;
y
3
p
x
;
3
p
y
b) 1
;
x
1
;
p
x
c)
x
+2
p
xy
+
y
p
x
+
p
y
d)
x
2
+
1
x
x
+
1
x
;
1 e)
1
q
1
;
x
2
y
2
;
x
y
2
.
2.
Wykona dziaania i uproci wyraenia:
a) 8
x
x
;
9
x
3
+ 3
x
x
+3
x
2
;
2
;
6
x
(1
;
3
x
)
2
b) 1
(
x
+
y
)
2
1
x
2
+ 1
y
2
+ 2
(
x
+
y
)
3
1
x
+ 1
y
c)
3
p
1+
x
+
p
1
;
x
:
3
p
1
;
x
2
+1
d)
x
2
;
p
x
x
+
p
x
+ 1
;
x
2
+
p
x
x
;
p
x
+ 1 +
x
+ 1
:
3.
Podzieli licznik i mianownik poniszych uamkw przez kady z jednomianw:
n
2
p
n
3
p
n
.
a) 8
n
3
;
p
n
2
+ 1
p
n
3
;
9
n
2
+ 3 b)
3
p
n
4
;
2
n
2
+
p
n
3
;
n
p
n
+1
c) 3
n
2
+ 4
p
n
2
+
n
n
+
3
p
n
3
+ 3
n
.
4.
Napisa wzr funkcji liniowej, ktrej wykres:
(a) przechodzi przez punkty
A
(2
1)
B
(1
;
1),
(b) przechodzi przez punkt
A
(1
0) i tworzy z osi
Ox
k t 30
,
(c) przechodzi przez punkt
A
(1
0) i tworzy z osi
Oy
k t 30
.
5.
Poda interpretacj geometryczn ukadu rwna z parametrem
p
2
I
R
8
>
>
<
>
>
:
x
2
+
y
2
= 9
(
x
;
p
)
2
+ (
y
;
2
p
)
2
= 1
:
6.
Znale trjmian kwadratowy
y
=
ax
2
+
bx
+
c
wiedz c, e do jego wykresu naley punkt
A
(3
0) i e dla
x
=1 przyjmuje on warto maksymaln rwn 12.
7.
Dla jakiej wartoci parametru
m
kade z rwna:
(i)
mx
2
;
3
x
+
m
= 0 ,
(ii) (4
m
+1)
x
2
;
(4
m
;
1)
x
+
m
;
1 = 0 ,
(iii)
x
2
+
mx
;
m
2
;
m
;
2 = 0
ma:
a) tylko jedno rozwi zanie
b) dwa rozwi zania rnych znakw
c) dwa rne rozwi zania dodatnie
d) dwa rozwi zania, ktre s sinusem i cosinusem tego samego k ta?
8.
Wykorzystuj c de nicj wartoci bezwzgldnej zaznaczy na osi liczbowej zbiory tych punktw
x
, ktre speniaj ponisze warunki:
a)
j
x
+ 3
j
= 2 b)
j
1
;
2
x
j
<
5 c)
j
3
x
;
6
j
3
j
2
;
x
j
:
9.
Zapisa bez uycia symbolu wartoci bezwzgldnej:
a)
j
x
2
;
2
j
b)
j
4
;
x
2
j
c)
j
x
2
;
x
+2
j
d)
j
x
2
;
2
j
;
x
2
.
10.
Rozwi za rwnania i nierwnoci:
b)
j
x
;
1
j
;
2
j
x
j
+
x
+7=0 c)
j
x
j
j
x
;
2
j
>
1 d)
j
x
+1
j
+
j
x
j
1
:
c)
j
sin
x
+ 12
j
<
1.
11.
Narysowa wykresy funkcji:
a)
f
(
x
) = 3
;
2
x
b)
f
(
x
) =
j
3
;
2
x
j
c)
f
(
x
) = 3
;
2
j
x
j
d)
f
(
x
) =
p
x
2
+6
x
+9.
12.
Niech
g
(
m
) okrela liczb rozwi za rwnania w zalenoci od parametru
m
. Wyznaczy i
narysowa funkcj
g
(
m
) dla nastpuj cych rwna:
a)
j
x
2
;
x
;
6
j
=
m
b)
j
3
x
2
;
1
j
+2
x
;
m
= 0 c)
j
x
2
+2
x
;
3
j
=
m
+1
:
13.
Wyznaczy wspczynniki przy:
x
0
x
2
x
5
x
6
w rozwiniciu dwumianu
3
p
x
+ 2
x
12
.
14.
Wykorzystuj c wzr Newtona obliczy :
a)
n
0
;
n
1
+
n
2
;
+
n
n
;
1
+(
;
1)
n
n
n
b)
n
0
2
n
;
n
1
2
n
;
1
+
n
2
2
n
;
2
;
+(
;
1)
n
;
1
n
n
;
1
2+(
;
1)
n
n
n
:
Lista
2.
Pojcie funkcji. Dziedzina, zbir wartoci i miejsca zerowe. Niektre w asnoci funk-
cji. Wielomiany, funkcje wymierne i niewymierne.
Zadanie 2.1
Funkcja
f
(
x
) jest okrelona na przedziale
;
1
1]. Jaka jest dziedzina funkcji
a)
g
(
x
) =
f
(2
x
+ 3) b)
g
(
x
) =
f
(
x
2
) c)
g
(
x
) =
f
(
p
x
2
;
x
) d)
g
(
x
) =
f
(
x
2
+ 1)?
Zadanie 2.2
Wyznaczy dziedzin oraz miejsca zerowe funkcji
a)
f
(
x
) =
p
2
3x
7
x
;
2
;
4
x
+
1
b)
f
(
x
) =
2
x
+
p
x
2
;
x
;
1
x
c)
f
(
x
) =
1
log
2
(log
4
(
x
;
1))
:
Zadanie 2.3
Wykaza z de nicji, e funkcja
f
(
x
) =
x
1 +
x
2
jest malej ca na zbiorze (1
1
)
:
Czy
f
jest malej ca na caej swojej dziedzinie?
Zadanie 2.4
Niech
a
bdzie dowoln liczb dodatni rn od 1. Zbada parzysto i monoto-
niczno nastpuj cych funkcji. Wyznaczy funkcje odwrotne.
a)
f
(
x
) =
a
x
;
a
;x
2 b)
f
(
x
) =
a
x
+
a
;x
2 c)
f
(
x
) =
a
x
;
a
;x
a
x
+
a
;x
.
Zadanie 2.5
Narysowa wykres funkcji
f
(
x
) =
x
;
2
x
+ 1
:
Wyznaczy funkcj odwrotn i naryso-
wa jej wykres.
Zadanie 2.6
Wyznaczy wspczynniki
a
i
b
wielomianu
W
(
x
) =
x
4
;
3
x
3
+
x
2
+
ax
+
b
tak, aby
przy dzieleniu go przez wielomian
Q
(
x
) =
x
2
;
2
x
+2 reszta bya rwna: a) 0 b) 1 c)
x
.
Zadanie 2.7
Nie wykonuj c dzielenia, wyznaczy reszt z dzielenia wielomianu
W
(
x
) = 2
x
2001
;
3
x
117
+5
x
+2
przez wielomian
Q
(
x
) =
x
2
;
1
:
Zadanie 2.8
Wyznaczy wymierne pierwiastki wielomianw:
a) 5
x
3
;
x
2
+600
x
;
120 b) 4
x
4
;
7
x
2
;
5
x
;
1 c) 6
x
3
+
x
2
;
6
x
+2.
Zadanie 2.9
Rozoy na czynniki nierozkadalne nastpuj ce wielomiany:
a)
x
3
;
6
x
2
+11
x
;
6 b)
x
4
+
x
3
;
3
x
2
;
4
x
;
4 c)
x
4
;
4.
Zadanie 2.10
Rozoy na uamki proste nastpuj ce funkcje wymierne:
a)
f
(
x
) =
1
x
3
;
6
x
2
+11
x
;
6 b)
f
(
x
) =
2
x
;
1
x
4
+
x
3
;
3
x
2
;
4
x
;
4 c)
f
(
x
) =
x
x
4
;
4
:
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Dana jest funkcja
f
(
x
) =
x
+ 1
x
;
1
:
Wyznaczy :
f
(2
x
)
f
(
x
2
)
2
f
(
x
)
f
(
1
x
)
f
(
x
2
)
(
f
(
x
))
2
(
f
f
)(
x
)
:
2.
Funkcja
f
(
x
) jest okrelona na przedziale 0
1]. Jaka jest dziedzina funkcji
a)
g
(
x
) =
f
(2
x
+ 3) b)
g
(
x
) =
f
(
x
2
;
1) c)
g
(
x
) =
f
(
p
x
2
+
x
) d)
g
(
x
) =
f
(
p
x
2
;
1)?
3.
Zbada rnowartociowo i parzysto funkcji
f
(
x
) =
x
1 +
j
x
j
sporz dzi jej wykres.
Wyznaczy i narysowa funkcj odwrotn .
4.
Zbada parzysto funkcji
a)
f
(
x
) =
s
1
;
x
1 +
x
b)
f
(
x
) =
x
x
+
p
1 +
x
2
c)
f
(
x
) =
p
1 +
x
+
x
2
;
p
1
;
x
+
x
2
.
5.
Nie wykonuj c dzielenia, wyznaczy reszt z dzielenia wielomianu
W
(
x
) = 3
x
5
;
81
x
2
;
8
x
+20
przez wielomian
Q
(
x
) =
x
2
;
x
;
2
:
6.
Wyznaczy wymierne pierwiastki wielomianw:
a) 2
x
3
;
5
x
2
;
2
x
;
3 b)
x
5
+5
x
3
+3
x
2
;
x
+15 c)
x
3
+3
x
2
;
2
x
;
6.
7.
Rozoy na czynniki nierozkadalne nastpuj ce wielomiany:
a)
x
4
+
x
3
;
x
2
+
x
;
2 b)
x
6
;
36 c)
x
4
+ 4
x
3
;
25
x
2
;
16
x
;
84
:
8.
Rozwi za nierwnoci:
a)
x
3
;
3
x
2
+
x
;
3
<
0 b)
x
4
;
12
x
2
+ 32
<
0 c)
x
6
;
36
0.
9.
Rozoy na uamki proste nastpuj ce funkcje wymierne:
a)
f
(
x
) =
x
x
4
+
x
3
;
x
2
+
x
;
2 b)
f
(
x
) =
x
;
1
x
6
;
36 c)
f
(
x
) =
x
2
x
4
+ 4
x
3
;
25
x
2
;
16
x
;
84
:
10.
Narysowa wykres funkcji
f
(
x
) = 2
x
;
1
x
+ 3
:
Wyznaczy funkcj odwrotn i narysowa jej
wykres.
11.
Rozwi za rwnania i nierwnoci:
a)
p
6
;
4
x
;
x
2
=
x
+4 b)
x <
p
x
2
+
x
;
2 c)
x <
1
x
d)
p
x
;
6
;
p
10
;
x
1.
12.
Rozwi za rwnania i nierwnoci:
a)
x
;
3
4
= 18 b)
x
;
3
2
p
2
4 c) (
x
;
1)
;
3
4
= 18 d) (
x
+2)
;
3
2
=
p
2
4 e)
x
2
x
;2
.
Lista
3.
Funkcja wyk adnicza i logarytmiczna. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne.
Przekszta cenia wykresw funkcji.
Zadanie 3.1
Wykorzystuj c wykres funkcji
f
(
x
) = 3
x
sporz dzi wykresy funkcji:
a)
f
(
x
)=2
;
3
x
b)
f
(
x
)=2
;
3
jxj
c)
f
(
x
)=
j
2
;
3
x
j
d)
f
(
x
)=2
;
3
x
;
1
.
Zadanie 3.2
Wykorzystuj c wykres funkcji
f
(
x
) = log
1
2
x
sporz dzi wykresy funkcji:
a)
f
(
x
) = log
1
2
(
x
;
3) b)
f
(
x
) = 2
;
log
1
2
(
x
;
3) c)
f
(
x
) =
j
log
1
2
(
x
;
3)
;
2
j
d)
f
(
x
) = log
1
2
(3
;
x
) e)
f
(
x
) = log
1
2
j
x
;
3
j
f)
f
(
x
) = 1
;
log
1
2
j
x
;
3
j
.
Zadanie 3.3
Wykaza , e jeeli funkcja
f
(
x
) jest okresowa o okresie T, to funkcja
g
(
x
) =
f
(
ax
+
b
), gdzie
a >
0 jest funkcj okresow o okresie
T
a
.
Zadanie 3.4
Dla funkcji okresowej
f
(
x
) =
A
sin(
!x
+
)
sta
A
nazywamy amplitud ,
!
- czstotliwoci a
- faz pocz tkow . Wyznaczy te trzy stae dla funkcji
a)
f
(
x
) = 4sin(3
x
+
3) b)
f
(
x
) =
p
3sin2
x
;
cos2
x
c)
f
(
x
) = 2sin
x
2 +2cos
x
2.
Zadanie 3.5
Narysowa wykresy i okreli zbir wartoci funkcji:
a)
f
(
x
) = cos(
x
+
3
) b)
f
(
x
) = sin2
x
c)
f
(
x
) = 2sin
x
2
;
1
d)
f
(
x
)=sin
j
x
j
e)
f
(
x
)=
j
sin
x
+cos
x
j
f)
f
(
x
)=
j
sin
x
j
+
j
cos
x
j
.
Zadanie 3.6
Wyznaczy dziedzin i miejsca zerowe nastpuj cych funkcji:
a)
f
(
x
) = log (sin
x
+
p
3cos
x
) b)
f
(
x
) =
q
sin
x
;
p
3cos
x
;
1.
Zadanie 3.7
Obliczy :
a) arctg
;
1
p
3
b) arctg(
;
p
3)
c) sin(arcsin1)
d) sin(arccos1)
e) sin(arccos0)
f) arcsin
sin
3
g) arccos
sin 17
3
h) arctg
ctg
3
.
Zadanie 3.8
Wyznaczy dziedzin i miejsca zerowe nastpuj cych funkcji:
a)
f
(
x
) = arcsin(
x
2
+
x
+ 1) b)
f
(
x
) = arccos
2
x
;
1
:
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Wyznaczy dziedzin i miejsca zerowe funkcji:
a)
f
(
x
) =
p
2
3x
;
3
2
2x
;
6
2
x
+ 8 b)
f
(
x
) =
p
log (
x
2
;
1)
;
1
:
2.
Obliczy :
a) log
2
p
2
1
8
b) log
9
tg
3
c) log
2
3
log
3
4
log
127
128 d) 2
2
log
1
2
3
e) 2
2
log
p
2
3
.
3.
Nie korzystaj c z tablic logarytmw, uporz dkowa rosn co podane liczby:
log
3
6
log
4
8
log
3
5.
4.
Wyznaczy
x
, wiedz c, e:
a) log
x
3 =
;
1 b) log
p
2
x
=
;
2 c) log
p
x
8 = 2 d) log
1
3
p
x
= 3.
5.
Rozwi za rwnania i nierwnoci:
a) log
p
x
;
5+log
p
2
x
+3+1 = log30 b) log
4
(log
2
x
)+log
2
(log
4
x
)
>
2.
6.
Sporz dzi wykres natenia pr du zmiennego
i
(
t
) =
p
3cos3
t
+ sin3
t:
Okreli amplitud,
czstotliwo i faz pocz tkow .
7.
Okreli dziedziny naturalne i zbiory wartoci podanych funkcji:
a)
f
(
x
) =
p
2cos
2
x
;
3cos
x
+ 2 b)
g
(
x
) =
1
1 + cos
x
c)
h
(
x
) =
p
1 + cos
x
d)
f
(
x
) = log(
j
cos
x
;
3
2
j
)
e)
q
(
x
) = log
1
3
(1 +
j
x
j
) f)
q
(
x
) = (log
3
(1
;
x
))
;1
.
8.
Naszkicowa wykresy funkcji:
a)
f
(
x
) =
;
1
;
1
2
x
b)
f
(
x
) =
;
1
;
1
2
jxj
c)
f
(
x
) =
;
1
;
1
2
x
:
9.
Wykorzystuj c wykres funkcji
f
(
x
) = log
2
x
sporz dzi wykresy funkcji:
a)
f
(
x
) = log
2
(
x
;
3) b)
f
(
x
) = 2
;
log
2
(
x
;
3)
c)
f
(
x
) =
j
log
2
(
x
;
3)
;
2
j
.
d)
f
(
x
) = log
2
j
x
;
3
j
e)
f
(
x
) =
j
log
2
j
x
;
3
j
;
2
j
f)
f
(
x
) = 1
;
log
2
j
x
;
3
j
.
10.
Rozwi za nastpuj ce rwnania i nierwnoci trygonometryczne:
a) sin 2
x <
cos
x
b) sin
x
+ cos
x
0 c) sin
x
;
cos
x
1
:
11.
Obliczy :
a) arcsin
;
1
2
b) arcsin
p
3
2 c) arccos
;
p
3
2
!
d) arccossin 5
3
e) arctg(
;
1)
f) arcctg 1
p
3 g) arcctg
;
1
p
3
h) arcctgsin 5
2 .
12.
Wyznaczy dziedzin i miejsca zerowe nastpuj cych funkcji:
a)
f
(
x
) = arcsin(
x
2
;
1) b)
f
(
x
) = arccos
p
x
2
;
2
:
Lista
4.
Cig liczbowy i jego w asnoci. Granica cigu.
Zadanie 4.1
Zbada monotonoczno i ograniczono ci gw:
a)
f
n
=
3
p
n
3
+ 2
;
n
b*)
b
n
=
n
n
n
! c)
d
n
= 1
4
1
+ 1 +
1
4
2
+ 2 +
1
4
3
+ 3 +
:::
+ 1
4
n
+
n
.
Zadanie 4.2
Wykaza , e ci g
a
n
= 5+(
n
;
1)(
k
;
k
2
)
gdzie
k
jest parametrem, jest ci giem
arytmetycznym. Dla jakich wartoci parametru
k
jest on malej cy?
Zadanie 4.3
Korzystaj c z de nicji granicy ci gu uzasadni podane rwnoci:
a) lim
n!1
3
;
n
n
+ 4 =
;
1
b) lim
n!1
1
2
n
+ 5 = 0
c) lim
n!1
log
2
(
n
+3) =
1
.
W pierwszych dwu przykadach okreli , dla jakich
n
wyrazy ci gu s odlege od granicy:
a) mniej ni
1
10
b) wicej ni
1
5
?
Zadanie 4.4
Obliczy nastpuj ce granice ci gw:
a) lim
n!1
2
n
+ (
;
1)
n
3
n
+ 2 b) lim
n!1
2
n
+ sin
n
p
3
n
3
+ 2
n
2
c) lim
n!1
n
p
4
n
+ (
;
2)
n
.
Zadanie 4.5
Korzystaj c z tabelki dziaa z symbolem
1
obliczy podane granice:
a)
a
n
=
n
2
+ 1
n
b)
b
n
=
n
+ 1
2
n
n
c)
c
n
= 1+
1
2
+
:::
+
1
2
n
1+3+
:::
+(2
n
;
1).
Zadanie 4.6
Pamitaj c o de nicji liczby
e
obliczy podane granice:
a) lim
n!1
2
n
+ 1
2
n
;
3
3n;1
b) lim
n!1
1 + 12
n
3
n
;2
c) lim
n!1
1 + (
;
1)
n
n
(;1)
n
n
.
Zadanie 4.7
Korzystaj c z twierdzenia o ci gu monotonicznym i ograniczonym uzasadni zbie-
no podanych ci gw:
a)
a
n
= (
n
!)
2
(2
n
)!
b)
b
n
= 1
n
+ 1 +
1
n
+ 2 +
:::
+ 12
n
.
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Suma wszystkich wyrazw nieskoczonego ci gu geometrycznego rwna jest 24, a suma trzech
pocz tkowych wyrazw wynosi 21. Zbada monotoniczno tego ci gu geometrycznego.
2.
W nieskoczonym ci gu geometrycznym:
a
1
= log
x
3
q
= log
3
x:
Znale wszystkie liczby
x
,
dla ktrych suma wszystkich wyrazw tego ci gu bdzie mniejsza od 4.
3.
W nieskoczonym ci gu geometrycznym suma trzech pierwszych wyrazw ci gu rwna jest
kwadratowi pierwszego wyrazu ci gu. Dla jakiej wartoci ilorazu tego ci gu suma jego wszystkich
wyrazw osi ga najmniejsz warto ? Obliczy t warto .
4.
Dla jakich wartoci
x
speniona jest nierwno
x
+
x
(3
;
x
2
) +
x
(3
;
x
2
)
2
+
::: <
1
x
;
1?
5.
Dla jakich wartoci
2
2
liczba 32 jest pierwiastkiem rwnania
x
+
x
(3
;
x
2
) +
x
(3
;
x
2
)
2
+
:::
= 6sin
2
+ 4cos
2
+ 3sin
?
6.
Rozwi za nierwno
(1
;
log
x
) + (1
;
log
x
)
2
+ (1
;
log
x
)
3
+
:::
2log
x:
7.
Znale ci g geometryczny, ktrego wyrazy speniaj warunki:
a
1
=
a
2
= 1
a
n
+
1
=
a
n
;
1
+
a
n
.
8.
Zbada monotonoczno i ograniczono ci gw:
a)
a
n
=
p
n
+ 8
;
p
n
+ 3 b)
c
n
= 2
n
;
3
n
c)
a
n
=
n
2
;
49
n
;
50
d)
b
n
= 3
n
+ (
;
2)
n
e)
c
n
=
n
2
2
n
f)
e
n
= 2
n
sin
n
2
.
9.
Korzystaj c z twierdzenia o arytmetyce granic oraz z twierdzenia o trzech ci gach znale
podane granice:
a) lim
n!1
p
4
n
2
+ 3
n
;
5
n
3
n
+ 2
b) lim
n!1
n
p
3 + sin
n
c) lim
n!1
n
p
3
n
+
n
3
d) lim
n!1
n
r
1
n
+ 2
n
2
+ 3
n
3
+ 4
n
4
e) lim
n!1
1
p
n
4
+ 1 +
2
p
n
4
+ 2 +
:::
+
n
p
n
4
+
n
10.
Pamitaj c o de nicji liczby
e
obliczy podane granice::
a) lim
n!1
n
n
+ 1
p
n
b) lim
n!1
n
+ 4
n
+ 3
5;2n
d) lim
n!1
n
;
p
n
n
+
p
n
!
;2n
:
11.
Korzystaj c z tabelki dziaa z symbolem
1
obliczy podane granice:
a)
d
n
=
n
2
+ 1
n
!
n
1;n
b)
e
n
=1+2
n
;
3
n
c)
h
n
=
2
n
+ 1
n
n
+
1
d)
h
n
=
n
+ 1
2
n
+ 3
p
n
.
12.
Korzystaj c z twierdzenia o ci gu monotonicznym i ograniczonym uzasadni zbieno po-
danych ci gw:
a)
c
n
=
n
3
10
n
b)
e
n
=
1
;
1
2
1
;
1
2
2
:::
1
;
1
2
n
.
Lista
5.
Granica funkcji w punkcie. Asymptoty wykresu funkcji.
Zadanie 5.1
Wykorzystuj c de nicj granicy funkcji w punkcie uzasadni , e:
a) lim
x!1
2
;
x
2
1 +
x
= 12 b) lim
x!2
x
;
2
x
2
;
4 =
1
4 c) lim
x!1
2
1
jx;1j
=
1
:
Zadanie 5.2
Zbada istnienie nastpuj cych granic:
a) lim
x!2
x
4
;
x
2
b) lim
x!1
2
E
(x)
2
x
c) lim
x!1
j
x
;
1
j
3
x
3
;
x
2
d) lim
x!
2
cos
2
x
;
sin
2
x
j
2
x
;
j
.
Zadanie 5.3
Korzystaj c z twierdze o arytmetyce granic obliczy podane granice:
a) lim
x!0
p
1 +
x
;
p
1
;
x
2
x
b) lim
x!1
x
6
;
1
1
;
x
2
c) lim
x!
2
tg
x
;
1
cos
x
Zadanie 5.4
Korzystaj c z twierdzenia o dwu lub trzech funkcjach uzasadni , e:
a) lim
x!1
sin
x
x
= 0
b) lim
x!0
x
sin 1
x
= 0
c) lim
x!1
2+sin
x
x
2
= 0
d) lim
x!1
E
(3
e
x
)+2
E
(2
e
x
)+1 =
3
2 e) lim
x!1
x
5
;
sin
x
=
1
f) lim
x!0
+
1
2
x
;
sin
x
=
1
.
Zadanie 5.5
Korzystaj c z granic podstawowych wyrae nieoznaczonych obliczy granice:
a) lim
x!
2
cos5
x
cos3
x
b) lim
x!0
e
3x
;
1
sin2
x
c) lim
x!1
+
x
1
p
x;1
d) lim
x!0
cos3
x
;
cos7
x
x
2
.
Zadanie 5.6
Znale asymptoty pionowe i ukone podanych funkcji:
a) 2
x
+
p
x
2
;
1
x
b)
g
(
x
) =
x
;
arccos 1
x
c)
h
(
x
) = 2
x
+ arctg 1
x
.
Zadanie 5.7
Narysowa wykresy funkcji speniaj cych wszystkie podane warunki:
a) lim
x!;1
f
(
x
) = 0
lim
x!1
;
f
(
x
) =
1
lim
x!1
+
f
(
x
) = 3
lim
x!1
f
(
x
)
x
= 2
b) lim
x!1
f
(
x
) =
1
lim
x!2
f
(
x
) = 0
f
(2) = 3
funkcja
f
jest okresowa i ma okres
T
= 3
c) lim
x!;1
f
(
x
) = 4
lim
x!1
;
f
(
x
) =
;1
lim
x!1
f
(
x
) =
1
funkcja
f
jest nieparzysta
d) lim
x!;1
(
f
(
x
)
;
2
x
) = 1
lim
x!0
;
f
(
x
) =
;1
lim
x!0
+
f
(
x
) =
1
lim
x!1
= 0
:
Na rysunkach wskaza fragmenty wykresw speniaj ce poszczeglne warunki.
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Uzasadni , e podane granice funkcji nie istniej :
a) lim
x!0
;
cos 1
x
2
b) lim
x!
2
1
cos
x
c) lim
x!1
x
sin
x
d) lim
x!1
e
x
(1 + sin
x
).
2.
Zbada , obliczaj c granice jednostronne, czy istniej podane granice:
a) lim
x!2
x
;
1
x
2
;
4 b) lim
x!0
E
(
x
)
x
c) lim
x!0
sin
x
j
x
j
d) lim
x!0
x
arctg 1
x:
3.
Korzystaj c z twierdze o arytmetyce granic obliczy podane granice:
a) lim
x!6
p
x
;
2
;
2
x
;
6
b) lim
x!1
x
2
;
5
x
+ 4
x
(
x
;
5)
c) lim
x!0
sin
2
x
1
;
cos
x
d) lim
x!1
p
1 +
x
2
;
p
x
2
;
1
e) lim
x!1
2
x
+ 3
x
3
x
+ 1
f) lim
x!1
p
1 +
x
2
3
p
1
;
x
3
g) lim
x!;1
p
x
2
+ 1 +
x
h) lim
x!;1
p
1
;
x
3
;
p
1
;
x
.
4.
Korzystaj c z twierdzenia o dwu lub trzech funkcjach uzasadni podane rwnoci:
a) lim
x!;1
e
x+sin
2
x
= 0 b) lim
x!0
+
1
2
x
;
sin
x
=
1
c) lim
x!1
2
x
(2 + cos
x
) =
1
.
5.
Korzystaj c z granic podstawowych wyrae nieoznaczonych obliczy podane granice:
a) lim
x!0
sin
x
2
sin
x
3
b) lim
x!1
tg
1
x
tg
2
x
c) lim
x!0
sin
x
3
sin
x
7
sin
x
4
sin
x
6
d) lim
x!
2
;
tg
x
tg5
x
e) lim
x!1
1 + 1
x
+ 2
2x;1
f) lim
x!0
ln(1 +
3
p
x
)
x
.
6.
Znale asymptoty pionowe i ukone podanych funkcji:
a)
f
(
x
) = 1
x
;
2
x
x
+ 1
b)
f
(
x
) = 1
e
x
;
1
c)
f
(
x
) =
j
x
j
+
e
1
x
d)
f
(
x
) = 2
x
+ sin
2
x
x
e)
f
(
x
) =
p
x
2
;
1
x
f)
f
(
x
) =
p
1
;
x
2
x
;
1
:
7.
Narysowa wykresy funkcji speniaj cych wszystkie podane warunki:
a) lim
x!;1
f
(
x
) = 0
lim
x!1
;
f
(
x
) =
;1
lim
x!1
+
f
(
x
) = 3
lim
x!1
f
(
x
) =
;1
b) lim
x!;1
f
(
x
) =
1
lim
x!0
;
f
(
x
) =
;1
lim
x!0
+
f
(
x
) = 1
lim
x!1
f
(
x
) = 5
c) lim
x!;1
f
(
x
) =
;
4
lim
x!;1
f
(
x
) =
1
lim
x!1
f
(
x
) = 4
d) lim
x!0
;
f
(
x
) =
1
lim
x!1
(
f
(
x
)
;
x
) =
;
1
funkcja
r
jest parzysta.
Na rysunkach wskaza fragmenty wykresw speniaj ce poszczeglne warunki.
Lista
6.
Cig o funkcji. Podstawowe w asnoci funkcji cig ych.
Zadanie 6.1
Okreli zbiory punktw ci goci podanych funkcji:
a)
f
(
x
) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
1
dla
x
= 1
x
3
;
1
x
;
1 dla
x
6
= 1
b)
h
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
0
dla
x
0
p
x
cos 1
x
2
dla
x >
0
c)
g
(
x
) =
E
(
x
)(
x
;
1)
d)
p
(
x
) = sgn
x
2
cos
2
x:
Zadanie 6.2
Okreli rodzaje nieci goci podanych funkcji we wskazanych punktach:
a)
f
(
x
)=sgn
h
x
(
x
;
1)
i
x
1
=0
x
2
=1 b)
g
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x
arctg
1
x
dla
x
6
= 0
2
dla
x
= 0
x
0
= 0
:
Zadanie 6.3
Wyznaczy parametr
a
, tak, by funkcja
f
(
x
) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
x
2
+ 2
x
;
a
dla
x <
0
p
x
2
;
6
x
+ 9 + 2
a
dla
x
0
bya ci ga w kadym punkcie
x
2
I
R
. Narysowa wykres otrzymanej funkcji.
Zadanie 6.4
Czy mona dobra parametry
ab
2
I
R
tak, aby podane funkcje byy ci ge we
wskazanych punktach:
a)
f
(
x
) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
bx
dla
x <
sin
x
ax
dla
x
x
0
=
b)
h
(
x
) =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
(
x
;
1)
3
dla
x
0
ax
+
b
dla 0
< x <
1
p
x
dla
x
1
x
1
= 0
x
2
= 1
:
Zadanie 6.5
Uzasadni , e kade z nastpuj cych rwna ma tylko jedno rozwi zanie we wska-
zanych przedziaach:
a) 1 = sin
x
2 +
x
0
2
b)
x
3
+ 2
x
= 2
(0
1)
c) ln
x
+ 2
x
= 1
1
2
1
.
Wyznaczy rozwi zanie rwnania b) z dokadnoci 0
:
125
:
Zadanie 6.7
Korzystaj c z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartoci porednich przez
funkcj ci g uzasadni nastpuj ce stwierdzenie.
"Jeeli samochd wyruszy z Wrocawia o godz. 8:00 i jad c ze zmienn szybkoci dotar do
Warszawy o godz. 12:00, a nastpnego dnia o godzinie 8:00 wyruszy z powrotem i jad c po tej
samej drodze wrci do Wrocawia o godz. 12:00, to jest takie miejsce na tej drodze, w ktrym
by o tej samej godzinie zarwno jad c do Warszawy jak i wracaj c z powrotem."
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Okreli zbiory punktw ci goci podanych funkcji:
a)
f
(
x
) =
x
;
E
(
x
)
b)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x
+ 1 dla
x
0
1
x
dla
x
0
.
Narysowa wykresy tych funkcji.
2.
Czy mona dobra parametry
ab
2
I
R
tak, aby podane funkcje byy ci ge we wskazanych
punktach:
a)
g
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
bx
+ 3
dla
x <
1
2
x
2
+
x
+
a
dla
x
1
x
0
= 1
b)
p
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x
dla
j
x
j
1
x
2
+
ax
+
b
dla
j
x
j
>
1
x
1
=
;
1
x
2
= 1
:
Narysowa wykresy otrzymanych funkcji.
3.
Okreli rodzaje nieci goci podanych funkcji we wskazanych punktach:
a)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
sin
1
x
dla
x
6
= 0
1
dla
x
= 0
b)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
2
1
x;2
dla
x
6
= 2
0
dla
x
= 2
4.
Uzasadni , e kade z nastpuj cych rwna ma tylko jedno rozwi zanie we wskazanych
przedziaach:
a) 3
x
+
x
= 3
(0
1)
b)
x
100
+
x
;
1 = 0
1
2
1
c)
x
16
x
= 1
(0
1
)
:
Wyznaczy rozwi zanie rwnania c) z dokadnoci 0
:
125
:
Lista
7.
Pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna.
Zadanie 7.1
Korzystaj c z de nicji sprawdzi , czy istniej pochodne podanych funkcji we
wskazanych punktach:
a)
f
(
x
) =
3
p
x x
= 0
x
= 1
b)
f
(
x
) =
j
x
5
j
x
0
= 0
x
= 1
c)
h
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x
2
dla
x
1
p
x
dla
x >
1
x
0
= 1 d)
f
(
x
) =
p
e
x
;
1
x
0
= 0
x
= 1
:
Zadanie 7.2
Korzystaj c z regu obliczania pochodnych obliczy pochodne podanych funkcji:
a)
y
= arcsin 1
p
x
b)
y
=
;
1 +
4
p
x
arcsin
;p
x
c)
y
=
x
p
x
d)
y
= 2
x;cos
x
:
Zadanie 7.3
Czy mona znale parametry
abc
2
I
R
, dla ktrych podane funkcje maj po-
chodne na
I
R
:
a)
f
(
x
) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
ae
x
+
b
dla
x
0
2
;
x
dla
x >
0
b)
g
(
x
) =
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
;
1
dla
x <
0
a
sin
x
+
b
cos
x
+
c
dla 0
x
1
dla
x > :
Narysowa wykresy otrzymanych funkcji.
Zadanie 7.4
Zakadaj c, e funkcje
f
i
g
maj pochodne waciwe, obliczy pochodne funkcji:
a)
y
= sin(
f
(
x
)
g
(
x
)) b)
y
= (
f
(
x
))
g (x)
c)
y
= tg
f
(
x
)
g
(
x
) d)
y
=
f
(
x
)arctg
g
(
x
)
:
Zadanie 7.5
Napisa rwnania stycznych do wykresw podanych funkcji we wskazanych punk-
tach:
a)
f
(
x
) = 2
x
1 +
x
2
p
2
f
p
2
b)
f
(
x
) = arctg(
x
2
)
(0
f
(0)) c)
f
(
x
) =
x
sin
x
2
f
(
2)
.
Zadanie 7.6
Dla jakich wartoci parametru
a
2
I
R
wykresy funkcji
y
=
ax
2
;
1
y
= 1
;
ax
2
przecinaj si:
a) pod k tem prostym?
b) pod k tem
4
?
Zadanie 7.7
Punkt materialny porusza si po prostej
y
= 32 w kierunku osi
Oy:
Wyznaczy tor
tego punktu po odbiciu sprystym (k t padania rwna si k towi odbicia) od uku paraboli o
rwnaniu
y
= 2
;
x
2
2 , gdzie
x
0
:
Zadanie 7.8
Tory kolejowe biegn ce rwnolegle trzeba po czy rozjazdem skadaj cym si z
dwch ukw parabol (rysunek). Odlego midzy osiami torw wynosi
d
= 8 m, a rozjazd ma
mie dugo
l
= 40 m. Naley go zaprojektowa w ten sposb, aby ruch poci gw przebiega w
sposb gadki, tzn. aby w punktach
A
,
B
,
C
istniay styczne do osi rozjazdu. Poda rwnania
ukw parabol w ukadzie wsprzdnych z rysunku.
6
-
r
r
r
-
6
?
y
A
l
B
C
d
x
o"s
toru
2
o"s
toru
1
A
A
A
U
"luki
parab ol
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Korzystaj c z de nicji sprawdzi , czy istniej pochodne podanych funkcji we wskazanych
punktach:
a)
f
(
x
) =
j
x
2
;
1
j
x
0
= 0
x
0
= 1
b)
p
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
p
x
;
1 dla
x
1
1
2
x
2
;
1
2
x
dla
x <
1
x
0
= 1
Narysowa wykresy otrzymanych funkcji.
Narysowa wykresy tych funkcji.
2.
Korzystaj c z regu obliczania pochodnych obliczy pochodne podanych funkcji:
a)
y
= arccos
p
x
p
x
b)
y
= 1 +
p
x
2
+ 1
tg
x
c)
y
=
q
(
x
2
+ 1)sin
x
.
3.
Zakadaj c, e funkcje
f
i
g
maj pochodne waciwe, obliczy pochodne funkcji:
a)
y
=
f
(
x
)sin(
g
(
x
)) b)
y
=
f
(
x
)]
sin
x
c)
y
= arctg
f
(
x
)
g
(
x
)
d)
y
=
f
(
x
)ln
g
(
x
)
:
4.
Napisa rwnania stycznych do wykresw podanych funkcji we wskazanych punktach:
a)
f
(
x
) =
e
x
x
+ 1
(1
f
(1)) b)
f
(
x
) = ln
p
x
x
(
ef
(
e
)) c)
f
(
x
) = arctg 1
;
x
1 +
x
(1
f
(1))
:
5.
W jakich punktach i pod jakimi k tami przecinaj si wykresy parabol:
y
= 2
x
2
;
1
y
=
x
2
;
x
+ 1?
6.
Dla jakich wartoci parametru
a
2
I
R
wykresy funkcji
y
=
e
ax
y
=
e
;x
przetn si pod k tem
prostym?
Lista
8.
Zastosowania rniczki. Pochodne wyszych rzdw. Podstawowe twierdzenia o
funkcjach rniczkowalnych.
Zadanie 8.1
Korzystaj c z rniczki funkcji obliczy przyblione wartoci podanych wyrae:
a) 1
3
p
7
:
98 b) tg45
05
0
c) arcsin0
:
99.
Zadanie 8.2
#rednica kuli zmierzona z dokadnoci 0.1 mm wynosi 21,7 mm. Z jak w przy-
blieniu dokadnoci mona obliczy objto tej kuli?
Zadanie 8.3
W biegu na 100 m czas mierzy si z dokadnoci 0.01 sek. Z jak w przyblieniu
dokadnoci mona obliczy redni szybko zawodniczki, jeli uzyskaa ona czas 12.50 sek.?
Zadanie 8.4
Obliczy (o ile istniej ) pochodne
f
0
,
f
00
,
f
00
0
dla podanych funkcji:
a)
f
(
x
) = sin
3
x
+ cos
3
x
b)
f
(
x
) =
x
3
ln
x
c)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
;
x
2
dla
x <
0
x
3
dla
x
0
Zadanie 8.5
Funkcja
f
ma pochodne do drugiego rzdu w cznie. Obliczy
y
0
y
0
0
dla podanych
funkcji:
a)
y
=
f
;p
x
b)
y
=
f
(3
x
) c)
y
=
f
(sin
x
) d)
y
=
f
(arctg
x
)
:
Zadanie 8.6
Znale wzory oglne na pochodn
n
;
tego rzdu podanych funkcji:
a)
f
(
x
) = cos
x
3 b)
g
(
x
) = 2
;x
c)
h
(
x
) =
x
e
x
d)
p
(
x
) = sin
2
x:
Zadanie 8.7
Zastosowa twierdzenie Lagrange'a do funkcji
f
(
x
) = arctg
x
na przedziale
;
1
p
3]
:
Wyznaczy odpowiednie punkty.
Zadanie 8.8
Korzystaj c z twierdzenia Lagrange'a uzasadni podane nierwnoci:
a)
n
(
b
;
a
)
a
n;1
< b
n
;
a
n
< n
(
b
;
a
)
b
n;1
dla 0
< a < b
oraz
n
2
I
N
n
f
1
g
b)
e
x
> ex
dla
x >
1 c)
x
arcsin
x
x
p
1
;
x
2
dla 0
x <
1
:
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Korzystaj c z rniczki funkcji obliczy przyblione wartoci podanych wyrae:
a) 1
7
p
127 b) tg44
55
0
c) arcsin0
:
51 d)
e
;0:07
e) ln 0
:
9993
:
2.
#rednica kuli zmierzona z dokadnoci 0.1 mm wynosi 21,7 mm. Z jak w przyblieniu
dokadnoci mona obliczy pole powierzchni tej kuli?
3.
Przek tna szecianu zmierzona z dokadnoci 1 mm wynosi 14.3 cm. Z jak w przyblieniu
dokadnoci mona obliczy pole powierzchni cakowitej tego szecianu?
4.
Obliczy pochodne
f
0
,
f
00
,
f
000
dla podanych funkcji:
a)
f
(
x
) = 4
x
7
;
5
x
3
+ 2
x
b)
f
(
x
) = sin3
x
+ cos
2
x
c)
f
(
x
) =
xe
;x
2
:
5.
Funkcja
f
ma pochodne do drugiego rzdu w cznie. Obliczy
y
0
y
0
0
dla podanych funkcji:
a)
y
=
f
1
p
x
b)
y
=
f
(log
2
x
)
c)
y
=
f
(sin
x
)
d)
y
=
f
(arcsin
x
)
:
6.
Znale wzory oglne na pochodn
n
;
tego rzdu podanych funkcji:
a)
f
(
x
) = sin 2
x
b)
g
(
x
) =
e
;2x
c)
p
(
x
) = cos
2
x:
7.
Punkt materialny porusza si ze zmienn szybkoci wzdu osi
Ox:
Pooenie tego punktu
w chwili
t
jest opisane wzorem
x
(
t
) = 3
2
t
+ 2
;3t
:
Obliczy przypieszenie punktu w chwili, w ktrej jego szybko jest rwna 0
:
8.
Zastosowa twierdzenie Lagrange'a do funkcji
f
(
x
) =
x
4
;
2
x
3
;
x
2
na przedziale
;
1
2]
:
Wyznaczy odpowiednie punkty.
9.
Korzystaj c z twierdzenia Lagrange'a uzasadni podane nierwnoci:
a) 2ln
x < x
;
1
x
dla
x >
1 b)
x
1 +
x
ln (1 +
x
)
x
dla
x >
;
1.
Lista
9.
Zastosowania rachunku rniczkowego.
Zadanie 9.1
Znale przedziay monotonicznoci podanych funkcji:
a)
f
(
x
) =
x
ln
x
b)
f
(
x
) = 4
x
+ 1
x
b)
f
(
x
) =
e
sin
x;cos
x
c)
f
(
x
) = 1
x
ln
x:
Zadanie 9.2
Czy mona dobra parametr
a
2
I
R
tak, by nastpuj ce funkcje byy rosn ce na
caej dziedzinie?
a)
f
(
x
) =
x
3
+
ax
2
+ 4
x
+ 1
b)
f
(
x
) =
x
2
;
ax
x
+ 1
Zadanie 9.3
Narysowa wykresy funkcji
f
:
I
R
;
!
I
R
ktre speniaj wszystkie podane warunki:
a)
f
0
(
x
)
<
0 dla kadego
x <
0
f
0
(0) =
;
1
lim
x!1
f
0
(
x
) = 0
b)
f
0
(
x
)
<
0 dla kadego
x <
1 ,
f
0
(
x
)
>
0 dla kadego
x >
1 ,
f
0
(1) nie istnieje
c)
f
0
;
(0) =
;
1,
f
0
+
(0) =
1
lim
x!1
f
0
(
x
) =
1
d)
f
0
(
x
)
<
0 dla kadego
x
2
I
R
n
f;
2
g
,
f
0
(
;
2) = 0
:
Na rysunkach zaznaczy fragmenty wykresw, ktre speniaj poszczeglne warunki.
Zadanie 9.4
Uzasadni , e dla kadego
x
2
(
;
1
1
) prawdziwa jest tosamo
arctg
x
=
4
;
arctg 1
;
x
1 +
x:
Zadanie 9.5
Korzystaj c z reguy de L'Hospitala obliczy podane granice:
a) lim
x!0
x
;
arctg
x
x
2
b) lim
x!0
+
p
x
ln
x
c) lim
x!0
;
1
x
;
ctg
x
d) lim
x!1
2
arctg
x
x
e) lim
x!0
+
(1 +
x
)
ln
x
f) lim
x!0
+
1
x
sin
x
.
Zadanie 9.6
Obliczy podane granice. Czy mona tu zastosowa regu de L'Hospitala?
a) lim
x!0
x
3
sin
1
x
sin
2
x
b) lim
x!;1
x
+ cos3
x
x
;
cos2
x:
Zadanie 9.7
Napisa wzr Taylora dla funkcji
f
(
x
) = 1
p
x
, w punkcie
x
0
= 2 z reszt Lagrange'a
R
3
.
Zadanie 9.8
Napisa wzr Maclaurina dla podanej funkcji ze wskazan reszt :
a)
f
(
x
) = sin
x R
n
b)
f
(
x
) =
x
2
e
x
R
n
c)
f
(
x
) =
e
tg
x
R
2
:
Zadanie 9.9
Oszacowa dokadno podanych wzorw przyblionych na wskazanych przedzia-
ach:
a) sin
x
x
;
x
3
6 +
x
5
120,
j
x
j
1 b)
3
p
1 +
x
1 +
x
3, 0
< x <
1
10.
Zadanie 9.10
Stosuj c wzr Maclaurina obliczy :
a) ln 1
1 z dokadnoci 10
;4
b) sin1 z dokadnoci 10
;6
c) 1
3
p
e
z dokadnoci 10
;3
.
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Znale przedziay monotonicznoci podanych funkcji:
a)
f
(
x
) =
x
3
;
30
x
2
+ 225
x
+ 1 b)
g
(
x
) =
xe
;3x
c)
h
(
x
) =
x
3
3
;
x
2
.
2.
Dla jakiego parametru
a
2
I
R
nastpuj ce funkcje s rosn ce na caej dziedzinie?
a)
f
(
x
) =
ax
3
;
ax
2
+ 2
x
;
1
b)
f
(
x
) =
ax
2
;
1
x
+ 1
3.
Narysowa wykresy funkcji
f
:
I
R
;
!
I
R
ktre speniaj wszystkie podane warunki:
a)
f
0
(
x
)
>
0 dla kadego
x
2
I
R
,
f
0
(1) = 1
lim
x!1
f
0
(
x
) = 0
b)
f
0
(
x
)
>
0 dla kadego
x <
0,
f
0
(
x
)
<
0 dla kadego
x >
0,
f
0
(1) nie istnieje
Na rysunkach zaznaczy fragmenty wykresw, ktre speniaj poszczeglne warunki.
4.
Uzasadni , e dla kadego
x
2
(
;
1
1) prawdziwa jest tosamo
arcsin
x
= arctg
x
p
1
;
x
2
:
5.
Korzystaj c z reguy de L'Hospitala obliczy podane granice:
a) lim
x!1
x
10
;
10
x
+ 9
x
5
;
5
x
+ 4 b) lim
x!0
+
x
ln
x
c) lim
x!0
lncos
x
lncos3
x
d) lim
x!0
+
(1 +
x
)
ln
x
:
6.
Napisa wzory Taylora z reszt Lagrange'a dla podanych funkcji
f
, punktw
x
0
oraz
n
:
a)
f
(
x
) = 1
x
,
x
0
= 2,
n
= 3
b)
f
(
x
) = ln
x
,
x
0
=
e
,
n
= 4
c)
f
(
x
) =
e
cos
x
,
x
0
=
2 ,
n
= 2
d)
f
(
x
) = ch
x
,
x
0
= ln 2,
n
= 3
e)
f
(
x
) =
5
p
1 +
x
,
x
0
=
;
2,
n
= 3 f)
f
(
x
) =
x
3
,
x
0
= 1,
n
= 5
:
7.
Napisa wzr Maclaurina dla podanej funkcji ze wskazan reszt :
a)
f
(
x
) = cos
x
,
R
n
b)
f
(
x
) =
x
e
x
,
R
n
c)
f
(
x
) =
e
tg
x
,
R
2
:
8.
Oszacowa dokadnoci podanych wzorw przyblionych na wskazanych przedziaach:
a) cos
2
x
1
;
x
2
,
j
x
j
1
10
b)
p
1 +
x
1 +
x
2
;
x
2
8 ,
j
x
j
1
4.
9.
Stosuj c wzr Maclaurina obliczy :
a)
3
p
0
:
997 z dokadnoci 10
;3
b) cos
32 z dokadnoci 10
;4
:
Lista
10.
Zastosowania rachunku rniczkowego.
Zadanie 10.1
Wyznaczy ekstrema lokalne podanych funkcji. Poda stosowne uzasadnienie,
wykorzystuj c jedynie de nicj ekstremum i wasnoci tych funkcji. Sporz dzi wykresy tych
funkcji.
a)
f
(
x
) =
j
x
2
;
1
j
b)
f
(
x
) =
x
12
;
3
c)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
2
x
+ 1 dla
x
6
= 1
4
dla
x
= 1
.
Zadanie 10.2
Znale wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
a)
f
(
x
) = 1
x
2
;
x
b)
f
(
x
) = 2sin
x
+ cos2
x
c)
f
(
x
) =
x
2
e
1
x
.
Zadanie 10.3
Znale wartoci najmniejsze i najwiksze podanych funkcji na wskazanych prze-
dziaach:
a)
f
(
x
) = 2sin
x
+ sin 2
x
0
3
2
b)
f
(
x
) = (
x
;
3)
2
e
jxj
;
1
4]
:
Zadanie 10.4
Dane jest ogniwo elektryczne o sile elektromotorycznej
E
i oporze wewntrznym
r
. % cz c bieguny ogniwa oporem zewntrznym
x
otrzymano pr d o nateniu
I
(
x
) =
E
(x+r )
.
Wydziela si przy tym ciepo
Q
(
x
) =
I
2
(
x
)
x
. Dla jakiego oporu
x
w przewodzie zewntrznym
wydziela si najwicej ciepa?
Zadanie 10.5
Jaki wycinek koa o promieniu
r
naley wyci , by stoek, ktrego powierzchni
boczn otrzymamy przez sklejenie brzegw pozostaej czci, mia najwiksz objto ?
Zadanie 10.6
Okreli przedziay wypukoci oraz punkty przegicia podanych funkcji:
a)
f
(
x
) =
1
1 + 2
x
;
3
x
2
b)
f
(
x
) = cos
2
x
c)
f
(
x
) = 1
tgx
d)
f
(
x
) =
e
arctg
x
.
Zadanie 10.7
Dla jakich parametrw
ab
2
I
R
funkcja
f
(
x
) =
x
4
+
ax
3
+
x
2
+ 3
x
+
b
jest
wypuka na
I
R
?
Zadanie 10.8
Zbada przebieg zmiennoci podanych funkcji i nastpnie sporz dzi ich wykresy:
a)
f
(
x
) = (
x
;
1)
2
(
x
+ 2)
b)
f
(
x
) =
x
3
x
;
1
c)
f
(
x
) =
x
ln
x
d)
f
(
x
) =
x
p
1
;
x
2
e)
f
(
x
) =
x
2
e
;x
f)
f
(
x
) = sin
x
;
sin
2
x
.
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Wyznaczy ekstrema lokalne podanych funkcji. Poda stosowne uzasadnienie, wykorzystuj c
jedynie de nicj ekstremum i wasnoci tych funkcji. Sporz dzi wykresy tych funkcji.
a)
f
(
x
) = 2
;
j
x
+ 5
j
x
0
=
;
5
b)
f
(
x
) =
x
20
;
3
x
0
= 0
c)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x
+ 2 dla
x
6
= 1
2
dla
x
= 1
x
0
= 1 d)
p
(
x
) =
5
p
x
2
x
0
= 0
:
2.
Znale wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
a)
f
(
x
) =
x
3
;
4
x
2
b)
f
(
x
) = (
x
;
5)
e
x
c)
f
(
x
) = (
x
+ 3)
3
(
x
+ 1)
2
d)
f
(
x
) =
e
x
sin
x
e)
f
(
x
) =
x
+ 1
x
f)
f
(
x
) = 2arctg
x
;
ln 1 +
x
2
:
3.
Znale wartoci najmniejsze i najwiksze podanych funkcji na wskazanych przedziaach:
a)
f
(
x
) = 2
x
3
;
3
x
2
;
36
x
;
8
;
3
6] b)
f
(
x
) =
x
;
2
p
x
0
5].
4.
Okreli przedziay wypukoci oraz punkty przegicia podanych funkcji:
a)
f
(
x
) = 1
1
;
x
2
b)
f
(
x
) = cos
x
c)
f
(
x
) = tg
x
d)
f
(
x
) =
e
arcsin
x
.
5.
Dla jakich parametrw
ab
2
I
R
funkcja
f
(
x
) =
x
4
+
ax
3
+
bx
2
+
x
+
a
jest wypuka na
I
R
?
6.
Pewn substancj przechowuje si w kopcach w ksztacie stoka. Jaki powinien by k t nachy-
lenia tworz cej stoka do podstawy, aby powierzchnia parowania tej substancji (tj. powierzchnia
boczna stoka) bya najmniejsza?
7.
Z prostok tnego kawaka blachy o szerokoci
a
naley wygi rynn o przekroju prostok tnym
w ten sposb, aby mogo ni spywa moliwie najwicej wody (rysunek). Znale wymiary
przekroju takiej rynny.
6
?
x
?
y
y
6
6
?
a
Lista
11.
Obliczanie ca ek nieoznaczonych { ca kowanie przez czci i przez podstawienie.
Zadanie 11.1
Wyznaczy funkcje pierwotne
F
1
(
x
)
F
2
(
x
)
F
3
(
x
) podanych funkcji
f
(
x
) spe-
niaj ce zadane warunki:
a)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
;
1 dla
x <
0
2
dla
x
0
b)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
sin
x
dla
x <
0
cos
x
dla
x
0
F
1
(0) = 0
F
2
(
;
2) = 0
F
3
(1) = 3
F
1
(0) = 0
F
2
(
;
) = 1
F
3
(
2
) =
;
1
c)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
;
1
dla
x <
1
1
x
2
+ 1 dla
x
1
d)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x
dla
x <
0
e
x
dla
x
0
F
1
(0) = 0
F
2
(
;
1) = 1
F
3
(1) =
2
)
F
1
(0) = 0
F
2
(
;
1) = 1
F
3
(1) = 2
Sporz dzi rysunki.
Zadanie 11.2
Obliczy podane caki nieoznaczone:
a)
Z
x
3
+
3
p
x
2
;
1
p
x
dx
b)
Z
e
x
;
e
;x
e
2x
dx
c)
Z
tg
2
x dx
d)
Z
e
3x
;
8
e
x
;
2
dx:
Zadanie 11.3
Korzystaj c z twierdzenia o cakowaniu przez czci obliczy caki nieoznaczone:
a)
Z
x
2
sin2
xdx
b)
Z
e
2x
sin
xdx
c)
Z
x
ln
2
xdx
d)
Z
xdx
cos
2
x
e)
Z
arccos
xdx
f)
Z
x
2
e
;3x
dx
g)
Z
log
3
xdx
h*)
Z
arccos
2
xdx
.
Zadanie 11.4
Stosuj c odpowiednie podstawienia obliczy podane caki nieoznaczone:
a)
Z
dx
p
9
;
4
x
2
b)
Z
x
3
5
p
x
2
+1
dx
c)
Z
dx
2 +
p
x
+ 1
d)
Z
sin 2
x
ln(sin
x
)
dx
e)
Z
x
3
dx
x
8
+ 1
f)
Z
5sin2
xdx
3
;
2cos
x
g)
Z
dx
p
4
x
;
x
2
h)
Z
sin
5
xdx
.
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Wyznaczy funkcje pierwotne
F
1
(
x
)
F
2
(
x
)
F
3
(
x
) podanych funkcji
f
(
x
) speniaj ce zadane
warunki:
a)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
;
1 dla
x <
0
1
dla
x
0
b)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x
dla
x <
0
sin
x
dla
x
0
F
1
(0) = 0
F
2
(
;
2) = 0
F
3
(1) = 3
F
1
(0) = 0
F
2
(
;
) = 1
F
3
(
2
) =
;
1
c)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
;
1 dla
x <
1
1
x
dla
x
1
d)
f
(
x
) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
1 dla
x <
0
e
x
dla
x
0
F
1
(0) = 0
F
2
(
;
1) = 1
F
3
(1) = 2)
F
1
(0) = 0
F
2
(
;
1) = 1
F
3
(1) = 2
Sporz dzi rysunki.
2.
Obliczy podane caki nieoznaczone:
a)
Z
x
2
+
3
p
x
;
1
p
x
dx
b)
Z
2
x
;
3
;x
4
x
dx
c)
Z
ctg
2
x dx
d)
Z
e
;2x
;
4
e
;x
+ 2
dx:
3.
Korzystaj c z twierdzenia o cakowaniu przez czci obliczy caki nieoznaczone:
a)
Z
x
2
sin
xdx
b)
Z
e
x
cos2
xdx
c)
Z
x
ln
xdx
d)
Z
xdx
sin
2
x
e)
Z
arctg
xdx
f)
Z
x
2
e
;x
dx
g)
Z
log
xdx
h*)
Z
arcsin
2
xdx
.
4.
Stosuj c odpowiednie podstawienia obliczy podane caki nieoznaczone:
a)
Z
(5
;
3
x
)
10
dx
b)
Z
dx
p
1
;
4
x
2
c)
Z
x
2
5
p
5
x
3
+1
dx
d)
Z
dx
2 +
p
x
e)
Z
ln
x
x dx
f)
Z
x
3
dx
x
+ 1
g)
Z
e
x
dx
e
2x
+ 1
h)
Z
5sin
xdx
3
;
2cos
x
.
Lista
12.
Obliczanie ca ek nieoznaczonych { ca kowanie funkcji wymiernych, trygonometrycz-
nych i niewymiernych. Denicja ca ki oznaczonej.
Zadanie 12.1
Obliczy podane caki nieoznaczone:
a)
Z
j
1
;
x
3
j
dx
b)
Z
e
jxj
dx
c)
Z
j
cos
x
j
dx x
2
0
]
:
Zadanie 12.2
Obliczy podane caki z funkcji wymiernych:
a)
Z
dx
x
2
+ 2
x
+ 8
b)
Z
(5
;
4
x
)
dx
x
2
;
4
x
+ 3
c)
Z
x
2
dx
x
2
+ 2
x
+ 5 d)
Z
dx
x
(
x
2
+ 4).
Zadanie 12.3
Obliczy podane caki z funkcji trygonometrycznych:
a)
Z
dx
sin
x
b)
Z
dx
sin
2
x
+ 2sin
x
+ 1
c)
Z
cos
4
xdx
d)
Z
sin2
xdx
sin
x
+ cos
2
x dx:
Zadanie 12.4
Obliczy podane caki z funkcji niewymiernych:
a)
Z
(1 +
p
x
+ 1)
dx
x
;
1
b)
Z
(
x
+
p
x
;
2)
dx
x
p
x
;
2 c)
Z
x
3
dx
p
16 +
x
2
d)
Z
p
1 +
x
2
dx
.
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Obliczy podane caki nieoznaczone:
a)
Z
1
;
x
2
dx
b)
Z
e
jx;1j
dx
c)
Z
j
sin
x
j
dx x
2
0
]
:
2.
Obliczy podane caki z funkcji wymiernych:
a)
Z
x dx
(
x
;
1)(
x
+ 2)(
x
+ 3)
b)
Z
2
x
4
+ 5
x
2
;
2
2
x
3
;
x
;
1
dx
c)
Z
dx
x
3
;
4
x
2
d)
Z
x dx
1
;
x
4
.
3.
Obliczy podane caki z funkcji trygonometrycznych:
a)
Z
dx
sin
x
+ cos
x
b)
Z
dx
3sin
x
+ 4cos
x
+ 5 c)
Z
dx
sin
x
cos
2
x
d)
Z
sin
x
sin3
xdx:
4.
Obliczy podane caki z funkcji niewymiernych:
a)
Z
(1
;
p
x
;
1)
dx
x
+ 1
b)
Z
(
x
+
p
x
+ 2)
dx
x
p
x
+ 2 c)
Z
x
2
dx
p
4
;
x
2
d)
Z
x
3
dx
p
25 +
x
2
e)
Z
p
x
2
;
36
dx
f)
Z
p
3 +
x
2
dx
.
Lista
13.
Denicja ca ki oznaczonej. Wzr Leibniza-Newtona i obliczanie ca ek oznaczonych.
Zadanie 13.1
Korzystaj c z de nicji caki oznaczonej oraz z faktu, e funkcje ci ge s cako-
walne obliczy podane caki oznaczone:
a)
4
Z
2
x
3
dx
b)
2
Z
;1
e
x
dx
c)
2
Z
0
sin
xdx
d)
1
Z
0
dx
3
x
:
e)
9
Z
1
dx
p
x:
Wskaz wka. Ad a). Zastosowa wzory
1 + 2 +
:
:
:
+
n
=
n
(
n
+ 1)
2 ,
1
3
+ 2
3
+
:
:
:
+
n
3
= (1 + 2 +
:
:
:
+
n
)
2
Ad b), d), e*). Zastosowa wz r na sum ci
gu geometrycznego
a
+
aq
+
:
:
:
+
aq
n;1
=
a
1
;
q
n
1
;
q
oraz wykorzysta r wno lim
h!0
e
h
;
1
h
= 1
Ad c). Zastosowa wz r sin
+ sin 2
+
:
:
:
+ sin
n
= sin
(n+1)
2
sin
n
2
sin
2
:
Zadanie 13.2
Korzystaj c z de nicji caki oznaczonej uzasadni podane rwnoci:
a) lim
n! 1
1
3
n
+ 1 +
1
3
n
+ 2 +
:::
+ 1
3
n
+
n
= ln 43
b) lim
n! 1
1
p
4
n
2
;
1
2
+
1
p
4
n
2
;
2
2
+
:::
+
1
p
4
n
2
;
n
2
=
6
c) lim
n! 1
n
1
(
n
+ 1)
2
+
1
(
n
+ 2)
2
+
:::
+
1
(
n
+
n
)
2
= 12
:
Zadanie 13.3
Korzystaj c z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczy podane caki oznaczone:
a)
e
Z
1
x
ln
2
xdx
b)
2
Z
(sin
x
+ cos
2
x
)
dx
c)
1
Z
0
x
3
dx
x
8
+ 1
:
Zadanie 13.4
Obliczy podane caki oznaczone:
a)
2
Z
;2
sgn
x
;
x
2
dx
b)
3
Z
1
xE
(
x
)
dx
c)
e
Z
1
e
E
(ln
x
)
dx
d)
2
Z
0
p
x
4
;
4
x
2
+ 4
dx
.
Zadanie 13.5
Oszacowa podane caki:
a)
1
Z
0
e
x
6
p
1 +
x
3
dx
b)
Z
0
dx
100
;
2sin
2
x
c)
1
Z
;1
cos
x
2 +
x
2
dx
d*)
1
2
Z
0
dx
p
1
;
x
4
:
Zadanie 13.6
Obliczy wartoci rednie podanych funkcji na wskazanych przedziaach:
a)
f
(
x
) =
x
1 +
x
2
0
2]
b)
g
(
x
) = cos
x
;
2
2
Zadanie 13.7
Kamie rzucono z wysokoci
h
= 2 m pionowo do gry z szybkoci pocz tkow
v
0
= 5 m/s. Obliczy redni szybko kamienia w czasie ruchu (od momentu wyrzucenia do
momentu upadku na ziemi). Nie uwzgldnia oporu powietrza, przyj
g
= 10m
=
s
2
.
Zadanie 13.8
Wykorzystuj c wasnoci caek z funkcji parzystych lub nieparzystych uzasadni
podane rwnoci:
a)
Z
;
e
x
2
sin
xdx
= 0 b)
1
Z
;1
x
5
dx
p
3
;
x
2
= 0 c)
4
Z
;4
p
x
2
+ 1cos
xdx
= 2
4
Z
0
p
x
2
+ 1cos
xdx:
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Korzystaj c z de nicji caki oznaczonej oraz z faktu, e funkcje ci ge s cakowalne obliczy
podane caki oznaczone:
a)
1
Z
;1
xdx
b)
3
Z
2
x
2
dx
c)
2
Z
0
cos
xdx
Wskaz wka. Ad a). Zastosowa wzory
1 + 2 +
:
:
:
+
n
=
n
(
n
+ 1)
2 ,
1
2
+ 2
2
+
:
:
:
+
n
2
=
n
(
n
+ 1)(2
n
+ 1)
6
Ad c). Zastosowa wz r cos
+ cos2
+
:
:
:
+ cos
n
= cos
(n+1)
2
sin
n
2
sin
2
:
2.
Korzystaj c z de nicji caki oznaczonej uzasadni podane rwnoci:
a) lim
n! 1
1
3
+ 2
3
+
:::
+
n
3
n
4
= 14 b) lim
n!1
1
n
cos
2
n
+ cos 2
2
n
+
:::
+ cos
n
2
n
= 2
.
3.
Korzystaj c z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczy podane caki oznaczone:
a)
e
Z
1
x
ln
xdx
b)
Z
0
e
x
cos
2
xdx
c)
1
Z
0
x
p
1 +
xdx
d)
3
Z
0
p
9
;
x
2
dx
.
4.
Obliczy podane caki oznaczone:
a)
2
Z
;2
sgn
x
+
x
2
dx
b)
3
Z
1
(
x
;
E
(
x
))
dx
d)
2
Z
0
p
x
2
;
2
x
+ 1
dx
.
5.
Oszacowa podane caki:
a)
1
Z
0
e
x
6
p
1 +
x
3
dx
b)
Z
0
dx
100
;
2sin
2
x
c)
2
Z
;
2
cos
x
2 +
x
2
dx
.
6.
Obliczy wartoci rednie podanych funkcji na wskazanych przedziaach:
a)
h
(
x
) =
E
(
p
x
)
0
4] b)
h
(
x
) =
x
sin
x
0
] c)
p
(
x
) =
x
p
1
;
x
2
0
1
2
:
Lista
14.
Zastosowania ca ki oznaczonej.
Zadanie 14.1
Obliczy pola obszarw ograniczonych podanymi krzywymi:
a)
yx
4
= 1
y
= 1
y
= 16 b)
y
= 2
x
x
+
y
= 1
y
= log
2
x y
= 2
c)
x
=
y
3
;
y x
= 0
d)
y
= 1
x
2
y
=
x y
= 4
:
Sporz dzi rysunki wszystkich obszarw.
Zadanie 14.2
Obliczy dugoci podanych krzywych:
a)
y
=
x
5
10 +
1
6
x
3
gdzie 1
x
2 b)
y
= 1
;
lncos
x
gdzie 0
x
4
:
Zadanie 14.4
Obliczy objtoci bry powstaych z obrotu podanych gur
T
wok wskazanych
osi: a)
T
: 0
x
1
0
y
x
3
Oy
b)
T
: 1
x
4
4
x
y
5
;
x Ox
Zadanie 14.5
Obliczy objto stoka citego o wysokoci
H
i promieniach podstaw
rR
,
gdzie
r < R:
Zadanie 14.6
Obliczy pola powierzchni, ktre powstay przez obrt wykresw podanych funk-
cji wok wskazanych osi:
a)
f
(
x
) =
p
4
;
x
2
;
1
x
1
Ox
b)
f
(
x
) =
x
;
1
9
1
x
10
Oy
.
Zadanie 14.7
Przy rozci ganiu spryny sia rozci gania jest proporcjonalna do wyduenia
spryny (wspczynnik proporcjonalnoci wynosi
k
). Obliczy prac jak naley wykona , aby
spryn o dugoci
l
rozci gn do dugoci
L
(
l < L
)
Zadanie 14.8
Punkt materialny zacz porusza si prostoliniowo z szybkoci pocz tkow
v
0
= 10 m/s i przyspieszeniem
a
0
= 2 m
=
s
2
:
Po czasie
t
1
= 10 s punkt ten zacz porusza si z
opnieniem
a
1
=
;
1 m
=
s
2
:
Znale pooenie punktu po czasie
t
2
= 20 s od chwili rozpoczcia
ruchu.
Zadania do samodzielnego rozwi zania
(czyli, co kady student umie powinien!)
1.
Obliczy pola obszarw ograniczonych podanymi krzywymi:
a)
y
= 2
x
;
x
2
x
+
y
= 0
b)
y
= 2
x
y
= 2
x
= 0
c)
y
2
=
;
x y
=
x
;
6
y
=
;
1
y
= 4 d)
x
+
y
= 1
y
= ln
x y
= 1
:
Sporz dzi rysunki wszystkich obszarw.
2.
Obliczy dugoci podanych krzywych:
a)
y
= 2
p
x
3
gdzie 0
x
11
b)
y
= ch
x
gdzie 0
x
1
c)
y
=
e
x
gdzie 12 ln2
x
1
2 ln 3 d) 24
xy
=
y
4
+ 48
gdzie 2
y
4
3.
Wyprowadzi wzr na objto stoka o wysokoci
H
i promieniu podstawy
r
.
4.
Obliczy objtoci bry powstaych z obrotu podanych gur
T
wok wskazanych osi:
b)
T
: 1
x
3
0
y
1
x Oy
d)
T
: 0
x
2
0
y
sin
x
+cos
x Ox
14.5
Obliczy pola powierzchni, ktre powstay przez obrt wykresw podanych funkcji wok
wskazanych osi: a)
f
(
x
) =
p
x
1
;
1
3
x
1
x
3
Ox
b)
f
(
x
) =
x
2
2
0
x
p
3
Oy
.