Analiza  2

Z

10

1.  Wyprowadzić wzory

a)

Z(e

n

α

) = 

α

−

e

z

z

, 

α ∈

C,

b) Z(sin

ω

n) =

1

cos

2

sin

2

+

ω

−

ω

z

z

z

 , 

ω ∈

C,  

c)

Z(cos

ω

n) = 

1

cos

2

)

cos

(

2

+

ω

−

ω

−

z

z

z

z

, 

C

∈

ω

,

d) Z( )

!

1

n

= e

1/z

.

2.   Wykazać, że jeżeli Z(x

n

) = X(z)  i   k

N

∈

, to 

       a) Z(x

n-k

) = z

-k 

X(z),

b) Z(x

n+k

) = z

k

 [X(z) –

∑

−

=

−

1

0

k

j

j

j

z

x

],

c) Z(nx

n

) = – z X'(z).  

3.

Obliczyć Z-transformatę ciągu (x

n

) , jeżeli 

a) x

n

 =

3

n

,

b) x

n

 = 3n + 2,

c) x

n

 = n

3

,

d) x

n

 = n

4

,

e) x

n

 = n

2

3

n

.

4.

Obliczyć splot (u

n

) = (n

2

)

∗

(3n)  oraz jego Z – transformatę.

5.

Obliczyć splot (u

n

) = (1)

)

1

(

)

(

+

∗

∗

n

n

 oraz jego Z – transformatę.

6. Rozwiązać równanie różnicowe z warunkami początkowymi 

a)

x

n+2

 – x

n+1

 – x

n

 = 0,  x

0

 = 0  i  x

1

 = 1.

b)

x

n+2

 – x

n+1

 – 2x

n

 = n,  x

0

 = 1  i  x

1

 = 2.

c)   

,

2

n

x

n

=

∆

 x

0

 = x

1

 = 1.

Odp. 

3. a) 

2

)

1

(

3

−

z

z

,

b) 

2

)

1

(

)

1

2

(

−

+

z

z

z

,

c) 

4

2

)

1

(

)

1

4

(

−

+

+

z

z

z

z

,

d) 

5

2

3

)

1

(

)

1

11

11

(

−

+

+

+

z

z

z

z

z

,

e) 

3

)

3

(

)

3

(

3

−

+

z

z

z

 . 4. u

n

 =

4

1

n

2

(n

2

-1),

Z(u

n

) =

5

2

)

1

(

)

1

(

3

−

+

z

z

z

. 

5. u

n

 = 

24

)

3

)(

2

)(

1

(

+

+

+

n

n

n

n

 , Z(u

n

) =

.

)

1

(

5

4

−

z

z

   6. a) x

n

 =

−

+

n

)

2

5

1

[(

5

1

]

)

2

5

1

(

n

−

,

b) x

n

 = –

.

4

1

2

2

3

4

)

1

(

12

1

−

−

⋅

+

−

n

n

n

c) x

n

 = 

1

6

)

2

)(

1

(

+

−

−

n

n

n

.

 

Uwaga:

∑

n

j

1

2

 = 

)

1

2

)(

1

(

6

+

+

n

n

n

,

∑

n

j

1

3

 = 

4

)

1

(

2

2

+

n

n

.