ruch względny, nazywamy parą kinematyczną. Para może byd pojedyncza (2 człony), bądź
wielokrotna (gdy połączonych jest więcej członów w węźle). Zespół członów połączonych w pary
kinematyczne, to łaocuch kinematyczny.

Mechanizmem nazywamy łaocuch kinematyczny wykonujący określony ruch.

Maszyna to zespół mechanizmów wykonujący żądaną pracę, związaną z procesem

technologicznym, bądź przemianą energii.

W teorii mechanizmów pary kinematyczne dzielimy na klasy, a klasy na postaci. Podstawą

podziału na klasy jest ilośd stopni swobody, które odjęto każdemu członowi pary (np. para klasy I –
jeśli każdemu członowi w parze odjęto 1 stopieo swobody – zostało 5 stopni swobody). Pary dzielimy
na postaci według ilości odjętych przesunięd. 1. postad ma odjętą największą możliwą ilośd możliwych
przesunięd.

Połączenie członów w pary kinematyczne może byd siłowe, bądź kinematyczne. Połączenie

siłowe oznacza, że do realizacji połączenia członów koniecznie jest dociskanie siłą członów do siebie
(oddziaływanie siłowe).

ział:

kł

. –

Wpr

wadz

eni

rii

asz

Pary kinematyczne mogą byd wyższe, lub niższe. Pary niższe – gdy występuje styk

powierzchniowy. W przypadku par wyższych występuje styk liniowy lub punktowy.

Rys. 1.1 – a – para kinematyczna, b – para wielokrotna, c – łaocuch kinematyczny otwarty, d –

łaocuch kinematyczny zamknięty

Klasyfikacja par kinematycznych

Para I klasy – para należy do I klasy jeśli każdy człon w parze posiada 5 stopni swobody

(odjęto po 1 stopniu). Utworzenie pary I klasy jest możliwe jedynie przez uniemożliwienie jednego
przesunięcia członu.

Rys. 1.2 – Przykład pary I klasy – przesunięcie w osi Z jest niemożliwe, ponieważ ruch w dół jest

blokowany przez płaszczyznę, natomiast po wykonaniu ruchu w górę, kula oderwałaby się od

powierzchni, przez co przestałyby one tworzyd parę kinematyczną.

Para II klasy – para należy do II klasy, jeśli człony tworzące parę mają 4 stopnie swobody.

Możliwe są dwie pary. Można zlikwidowad 2 przesunięcia lub odebrad 1 obrót i 1 przesunięcie.

ział:

kł

. –

Wpr

wadz

eni

rii

asz

Rys. 1.3 – a – para II klasy z odjętymi dwoma przesunięciami, b – para II klasy z odebranym jednym

obrotem i jednym przesunięciem.

Para III klasy – para należy do III klasy, jeśli każdy człon posiada 3 stopnie swobody. Możliwe

są 3 pary, które uzyskuje się przez narzucenie więzów na 3 przesunięcia lub 2 przesunięcia i jeden
obrót, bądź na jedno przesunięcie i dwa obroty.

Rys. 1.4 – a – kulka w panewce ma odjęte 3 przesunięcia, b – kulka z bolcem w prowadzeniu ma

odjęte 2 przesunięcia i 1 obrót, c – płytka na powierzchni ma odjęte jedno przesunięcie i dwa obroty.

Para IV klasy – para należy do IV klasy, jeśli człony posiadają 2 stopnie swobody: 2 obroty,

bądź jeden obrót i 1 przesunięcie.

Rys. 1.5 – a – dwa pierścienie mające możliwośd się obracad i przesuwad, b – pręt w tulejce mający

możliwośd obrotu i przesunięcia.

ział:

kł

. –

Wpr

wadz

eni

rii

asz

Para należy do V klasy, jeśli każdy z członów posiada 1 stopieo swobody. Możliwe są pary, w

których występuje możliwośd obrotu wokół jednej osi, przesunięcia wzdłuż jednej osi, bądź para
śrubowa.

Rys. 1.6 – a – element mający jedynie możliwośd obrotu w tulei, b – para postępowa, c – para

śrubowa (ruch wzdłużny jest związany z obrotowym, więc nie zalicza się jako dodatkowo odjęte

ograniczenie).

Pary w mechanizmach płaskich

Jeśli wszystkie punkty mechanizmu poruszają się w płaszczyznach równoległych do jednej

płaszczyzny, to mechanizm ten jest mechanizmem płaskim.

Pary w mechanizmach płaskich mogą byd jedynie IV lub V klasy. Para IV klasy ma tylko jedną

postad ruchu – obrót i przesunięcie (koło toczące się po szynie, ruch pary kół zębatych). Para V klasy
ma 2 postaci ruchu: obrót lub przesunięcie.

ział:

kł

. –

Wzo

ktura

kin

aty

echan

i m

asz

Wykład 2. – Wzory strukturalne,
kinematyka mechanizmów i maszyn

Wzory strukturalne

Ruchliwością mechanizmu nazywamy liczbę więzów, które należałoby nałożyd na człony

ruchome mechanizmu, aby je unieruchomid względem podstawy. Inaczej mówiąc jest to liczba stopni
swobody mechanizmu względem podstawy.

Gdzie:

s – liczba stopni swobody,

k – liczba członów,

… p

– liczba par od I do V klasy.

w – ruchliwośd mechanizmu

n – ilośd członów ruchomych (n = k – 1)

Dla mechanizmów płaskich:

Przykład

Rys. 2.1 – Mechanizm korbowo-wodzikowy

n = 5
p

= 0

: (0,1), (1,2), (2,3), (3,0)

= 4

w = 3 · 3 – 0 – 2 · 4 = 1

ział:

kł

. –

ktura

kin

aty

echan

i m

asz

Więzy bierne

Więzy lub stopnie swobody nazywamy biernymi, jeśli usunięcie członów wprowadzających je

nie wpływa na ruch pozostałych członów.

Przykład

Rys. 2.2 – Mechanizm z więzami biernymi

n = 4
p

= 0

: (1,0), (1,2), (2,3), (3,0), (2,4), (4,0)

= 6

w = 3n – p

– 2p

= 3 · 4 – 0 – 2 · 6 = 0

Usunięcie członu nr 4 nie wpływa na ruch mechanizmu. Usuwając go uzyskujemy ruchliwośd
obliczeniową wynoszącą w = 1 (ruchliwośd praktyczna zarówno przed, jak i po usunięciu członu 4 cały
czas wynosi w = 1).

W praktyce konstrukcyjnej więzy bierne stosuje się ze względów wytrzymałościowych,

sztywności,  korzystniejszego  rozkładu  sił  itp.  Więzy  bierne  zawsze  komplikują  układ,  wprowadzając
statyczną  niewyznaczalnośd  i  są  niekorzystne  ze  względów  wykonawczych.  Dlatego  zawsze  gdy
możliwe  jest  równoważne  rozwiązanie  konstrukcyjne,  bez  więzów  biernych  należy  bezwzględnie
unikad ich wprowadzania.

Zbędne stopnie swobody

Zbędne stopnie swobody nie mają wpływu na ruch mechanizmu jako całości. Dają one

pewne lokalne możliwości ruchu (np. jednego członu). Stosowanie zbędnych stopni swobody jest na
ogół pożądane, gdyż często służą zmniejszeniu oporów ruchu. Mimo to z rozważao kinematycznych
musza byd usunięte.

Przykład

Rys. 2.3 – Mechanizm krzywkowy z rolką

: (1,3)

ział:

kł

. –

Wzo

ktura

kin

aty

echan

i m

asz

= 1

: (1,0), (2,0), (2,3)

= 3

w = 3n – p

– 2p

= 3 · 3 – 1 – 2 · 3 = 2

Usuwając rolkę (3) zmniejszymy ruchliwośd mechanizmu do wartości w = 1 i zwiększymy opory ruchu.

Mechanizmy postępowe

Mechanizmy postępowe składają się jedynie z par postępowych (nie występuje w nich obrót).

Przykład

Rys. 2.4 – Mechanizm postępowy

n = 2
p

: (1,0), (1,2), (2,0)

= 3

w = 2n – p

= 2 · 2 – 3 = 1

Klasyfikacja funkcjonalna mechanizmów

Klasyfikacja funkcjonalna mechanizmów dzieli je w zależności od wypełnianej funkcji. Uwzględnia

ona podstawowe cechy funkcjonalne i konstrukcyjne. Tak więc wyróżniamy następujące
mechanizmy:



cierne,



zębate,



pasowe/linowe/cięgnowe,



dźwigniowe,



krzywkowe,



przystankowe,



mechanizmy z elementami sprężystymi,



hydrauliczne/pneumatyczne

Kinematyka mechanizmów i maszyn

Cel i przegląd kinematyki

Kinematyka obejmuje zagadnienia związane z opisem ruchu bez uwzględnienia sił

działających (???). Badanie ruchu w tym przypadku polega na określeniu prędkości i przyspieszeo. Do
tego  celu  stosuje  się  metody  analityczne,  wykreślne,  numeryczne  lub  kombinowane.  Metody
wykreślne pozwalają szybko wyznaczyd położenie,  prędkośd i przyspieszenie  punktów  mechanizmu.
Są  jednak  mniej  dokładne  niż  pozostałe.  W  niektórych  przypadkach  celowe  jest  stosowanie  metod
analitycznych,  cyfrowych,  bądź  kombinowanych,  zwłaszcza  przy  analizie  mechanizmów,  gdy  zależy
nam na większej dokładności wyników.

ział:

kł

. –

Wzo

ktura

kin

aty

echan

i m

asz

Metody wykreślne kinematyki

Podstawowym zagadnieniem przy stosowaniu metod wykreślnych jest stosowanie

odpowiedniej podziałki. Podziałka to skalar określający stosunek wielkości rzeczywistej do
rysunkowej i posiadającej taki wymiar, aby na rysunku otrzymad wymiar w *cm+ bądź *mm+.

– podziałka długości (bezwymiarowa)

– podziałka prędkości

– podziałka przyspieszeo

Wyznaczanie toru punktu

Tor punktu członu to miejsce geometryczne położeo, przez które przechodzi dany punkt w

czasie ruchu członów. Podczas wykreślania toru punktu mechanizmów zwykle oznaczamy na nich
odcinki odpowiadający określonym przedziałom czasu lub położeo pewnych członów mechanizmu
(na ogół członu napędzającego).

W teorii mechanizmów wyznaczamy tor punktu, który nazywamy torem ocechowanym.

Rys. 2.5 – Wyznaczanie wektora prędkości punktu B na podstawie znajomości wektora prędkości

punktu A, oraz kierunku ruchu punktu B.

Rys. 2.6 – Wyznaczanie wektorów prędkości punktu B, oraz wektora prędkości punktu B względem A.

ział:

kł

. –

lan

y pręd

ści i prz

yspi

eszeo

Wykład 3. – Plany prędkości i
przyspieszeń

Metoda planu wyznaczania prędkości punktu

Planem prędkości nazywamy figurę geometryczną będącą miejscem geometrycznym kooców

wektorów prędkości figury płaskiej, poruszającej się ruchem płaskim wykreślonym z jednego punktu.

Plan prędkości jest figurą podobną do badanej i obróconą w stosunku do niej o kąt prosty w

kierunku obrotu chwilowego. Zwykle punktem, z którego rysujemy równanie wektorowe nie jest
związany z figurą. Nazywamy go biegunem prędkości.

Przykład

Rys. 3.1 – Mechanizm korbowo-wodzikowy z rozbudowanym członem 2.

Wyznaczanie przyspieszeń

(w ruchu złożonym)

(w ruchu płaskim)

ział:

kł

. –

lan

y pręd

ści i prz

yspi

eszeo

Przykład

Rys. 3.3 – Wyznaczanie przyspieszeo w obracającym się pręcie

Metoda planu przyspieszeń

Planem przyspieszeo figury płaskiej poruszającej się ruchem płaskim nazywamy miejsce

geometryczne kooców wektorów przyspieszeo tej figury, wykreślonych z jednego punktu.

Plan przyspieszeo jest figurą podobną do figury badanej i obróconą o kąt θ = 180° - ψ w

stronę zgodną ze zwrotem przyspieszenia kątowego ε.

Przykład

Rys. 3.4 – Metoda planu przyspieszeo

ział:

kł

. –

lan

y pręd

ści i prz

yspi

eszeo

Plan przyspieszeń w przypadku występowania przyspieszenia Coriolisa

Gdy sąsiadujące człony wchodzą w skład pary postępowej, a ruch unoszenia jest obrotowy

występuje przyspieszenie Coriolisa.

Przykład

Rys. 3.5 – Układ z przyspieszeniem Coriolisa

Przykład

Rys. 3.6 – Mechanizm z przyspieszeniem Coriolisa

ział:

kł

. –

lan

y pręd

ści i prz

yspi

eszeo

Rys. 3.7 – Plan prędkości

Rys. 3.8 – Plan przyspieszeo

ział:

kł

. –

eto

y anal

ity

czn

rędk

ści

i p

yspi

eszeo

Wykład 4. – Metody analityczne
prędkości i przyspieszeń

Zasadnicza cechą metod analitycznych jest uzyskanie ogólnego wpływu parametrów (jak

wymiary członów, prędkośd, przyspieszenie członu napędowego itp.), bez potrzeby powtarzania
operacji. Czyni je to szczególnie przydatnymi w zagadnieniach syntezy mechanizmów mających
spełniad z góry określone warunki kinetyczne.

Dokładnośd metod wykreślnych jest ograniczone błędami rysunkowymi. Metody analityczne

pozwalają na uzyskanie dowolnie wysokiej dokładności.

Zasada metod analitycznych polega na uzyskaniu algebraicznych związków określających

położenie członów, tory punktów, ich prędkości i przyspieszenia w czasie ruchu mechanizmu.

Każdy mechanizm jako zamknięty łaocuch kinematyczny, może byd przedstawiony w postaci

zamkniętego wieloboku wektorów określających chwilowe położenie jego członów.

Położenie członów określamy za pomocą tak zwanych kątów skierowanych, określających

położenie wektorów względem przyjętego układu współrzędnych. W trakcie analizy nie wolno
zmieniad zwrotu kątów skierowanych. Kąty skierowany odmierzane są w jednym kierunku – obrotu
osi OX, do pokrycia się z kierunkiem i zwrotem danego wektora.

Równania toru:

Równania prędkości:

Równania przyspieszeo:

ział:

kł

. –

eto

y anal

ity

czn

rędk

ści

i p

yspi

eszeo

Przykład

Rys. 4.1 – Oznaczenia kątów skierowanych w mechanizmie, dla którego wyznaczymy w dalszej części

metodą analityczną prędkości i przyspieszenia.

Obracamy układ współrzędnych o kąt +ϕ

i otrzymujemy:

Obracając układ współrzędnych o kąt +ϕ

otrzymujemy:

ział:

kł

. –

eto

y anal

ity

czn

rędk

ści

i p

yspi

eszeo

Różniczkujemy jeszcze raz by uzyskad przyspieszenie:

Obracając układ współrzędnych o kąt +ϕ

otrzymamy:

Obracając układ o +ϕ

otrzymamy:

Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń mechanizmu jarzmowego

Przykład

Rys. 4.2 – Mechanizm jarzmowy

ział:

kł

. –

eto

y anal

ity

czn

rędk

ści

i p

yspi

eszeo

Obracając układ współrzędnych o kąt +ψ otrzymamy:

ział:

kł

. –

eto

y anal

ity

czn

rędk

ści

i p

yspi

eszeo

Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń mechanizmu korbowo-wodzikowego

Przykład

Rys. 4.3 – Mechanizm korbowo-wodzikowy

ział:

kł

. –

eto

y anal

ity

czn

rędk

ści

i p

yspi

eszeo

ział:

kł

. –

ech

krz

Wykład 5. – Mechanizmy krzywkowe

Mechanizmem krzywkowym nazywamy mechanizm złożony z krzywki i popychacza. Zwykle

członem napędzającym jest krzywka. Popychacz może byd krążkiem lub ostrzem. Główną wadą
mechanizmów krzywkowych jest mała wytrzymałośd, szybkie zużywanie się, wrażliwośd na
uderzenia.

Analizę kinematyczną mechanizmów krzywkowych prowadzimy w celu wyznaczenia

przemieszczeo,  prędkości  i  przyspieszeo  popychacza  w  funkcji  kąta  obrotu  krzywki.  Analizę  można
przeprowadzid  metodą  zastępowania  pary  IV  klasy  parą  V  klasy  za  pomocą  planu  prędkości  i
przyspieszeo  lub  metodą  analityczną.  Można  również  przemieszczenia  popychacza  wyznaczyd
graficznie  jako  funkcję  czasu  lub  kąta  i  przez  różniczkowanie  graficzne  znaleźd  prędkośd  i
przyspieszenie.

Rys. 5.1 – Krzywka o ruchu postępowym

Rys. 5.2 – Mechanizm z krzywką obrotową z popychaczem centralnym, ostrzowym

Rys. 5.3 – Mechanizm krzywkowy z popychaczem mimośrodowym krążkowym

ział:

kł

. –

ech

krz

Rys. 5.4 – Mechanizm krzywkowy z popychaczem wahadłowym krążkowym

Rys. 5.5 – Mechanizm krzywkowy przestrzenny z krzywką walcową

ział:

kł

. –

ali

za i sy

teza m

echan

krz

ywk

Wykład 6. – Analiza i synteza
mechanizmów krzywkowych

Metoda wykresów czasowych

Wykres przemieszczenia popychacza rysujemy przyjmując odpowiednią podziałkę czasu i

długości (k

, k

Przyjmując chwilę początkową t = 0 rozpatrywany punkt znajduje się w początku przyjętego

układu współrzędnych.

Rys. 6.1 – Różniczkowanie graficzne przemieszczenia popychacza

ział:

kł

. –

ali

za i sy

teza m

echan

krz

ywk

Analiza mechanizmów krzywkowych metodą zastępowania par klasy 4
parami klasy 5

Rys. 6.2 – Mechanizm krzywkowy i jego mechanizm równoważny

Rys. 6.3 – Mechanizm krzywkowy i jego mechanizm równoważny

ział:

kł

. –

ali

za i sy

teza m

krz

ywk

Rys. 6.4 – Mechanizm krzywkowy i jego mechanizm równoważny

Metody analityczne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
krzywkowych

Przykład

Rys. 6.5 – Mechanizm krzywkowy

Z 1. równania:

ział:

kł

. –

ali

za i sy

teza m

echan

krz

ywk

Z 2. równania:

Razem uzyskujemy:

Synteza mechanizmów krzywkowych

W syntezie zajmiemy się projektowaniem mechanizmu krzywkowego, który spełnia z góry

zadane założenia (np. prędkości, przyspieszenia, położenia). Syntezę można przeprowadzid zarówno
na drodze analitycznej jak i wykreślnej.

Przykład

Zaprojektowad krzywkę harmoniczną, która będzie spełniania założony przebieg

przyspieszeo:

dla

ział:

kł

. –

ali

za i sy

teza m

echan

krz

ywk

dla

dla t = 0

ział:

kł

. –

ika

echan

i m

asz

Wykład 7. – Dynamika mechanizmów
i maszyn

W kinematyce mechanizmów analizuje się ich ruch (skutek) bez zajmowania się przyczyną,

która ten ruch powoduje. W tym celu zakłada się ruch członów napędzających i wyznacza ruch
członów napędzanych wynikający z ruchu członów napędzających. Nazywa się to analizą
kinematyczną mechanizmu lub maszyny.

Przyczyną powodującą ruch mechanizmu lub maszyny jest układ sił działających na

mechanizm lub maszynę. Dla realizacji założonego prawa ruchu mechanizmu lub maszyny niezbędne
jest przyłożenie odpowiedniego układu sił napędzających, równoważącego działania układu sił
obciążających mechanizm.

Siły napędzające (czynne) pochodzą od różnego rodzaju silników (ruch obrotowy) czy

siłowników (postępowy). Na obciążenie mechanizmu lub maszyny składają się siły oporu użytecznego
(siły bierne) np. siła skrawania w obrabiarce do metalu, siły oporu szkodliwego (siły tarcia w parach
kinematycznych, siły oporu aerodynamicznego) oraz siły ciężkości i bezwładności wynikające z ruchu
poszczególnych członów. Analiza przyczyn powodujących ruch mechanizmu lub maszyny nazywa się
analizą dynamiczną.

Wyznaczanie sił w mechanizmach z pominięciem sił bezwładności nosi nazwę analizy

statycznej. Jest ona szczególnym przypadkiem analizy dynamicznej. Zasada d’Alamberta
wprowadzająca siły bezwładności do podstawowych równao statyki pozwala rozwiązywad
zagadnienia dynamiki przy użyciu metod statyki. Analizę taką nazywa się kinetostatyczną.

Siły bezwładności

Układ sił bezwładności działających na dowolny człon sztywny można sprowadzid do siły

bezwładności:

oraz do momentu pary sił:

gdzie m – masa członu,

– przyspieszenie środka masy członu,

– moment bezwładności członu

względem osi prostopadłej do płaszczyzny ruchu i przechodzącej przez środek masy członu, –
przyspieszenie kątowe członu.

ział:

kł

. –

ika

echan

i m

asz

Rys. 7.1 Przyspieszenia i prędkości w pojedynczym członie

Metoda mas zastępczych (punktów zastępczych)

W wielu przypadkach gdy znamy przyspieszenia pewnych punktów członów, korzystniejszy

jest inny sposób sił bezwładności, polegający na zastąpieniu masy członu, kilkoma masami
skupionymi w punktach, których przyspieszenia znamy. Taką metodę nazywamy metodą skupionych
mas zastępczych. Warunki, które powinny spełniad skupione masy zastępcze, aby otrzymany dla nich
układ sił bezwładności był równoważny z rzeczywistym są następujące:



środek masy układu mas skupionych powinien pokrywad się ze środkiem masy członu
mechanizmu. Warunek ten dla układu płaskiego wyrażad się będzie wzorami:

gdzie

– współczynnik punktów, w których skupiono masy zastępcze.

Gdy początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem masy członu, sumy wynoszą 0.



moment bezwładności układu mas zastępczych względem osi przechodzącej przez środek
mas, powinien byd równy momentowi bezwładności członu względem tej samej osi. W
przypadku układu płaskiego wyraża się to równaniem:

Pierwsze dwa warunki dają układ mas statycznie równoważny masie członów (bez

uwzględnienia bezwładności). Wraz z trzecim warunkiem dają układ mas dynamicznie równoważny.
Jeśli chcemy masę członu płaskiego zastąpid n masami skupionymi, musimy określid 3n parametrów
(każda masa określona jest 3 parametrami w postaci jej wielkości i 2 współrzędnych). Ilośd
parametrów, które możemy założyd dowolnie wyznaczamy z równania:

ział:

kł

. –

ika

echan

i m

asz

Najczęściej obieramy masy zastępcze w środkach przegubów i w środkach masy członów.

Masy zastępcze łatwo wyznacza się gdy są one rozmieszczone na jednej prostej, przechodzącej przez
środek masy członu.

Przykład

Rys. 7.2 – punkty obrane na osi x (wzdłuż korby)

dla tego układu:


Ponieważ przyjęliśmy dowolne współrzędne musimy wyznaczyd masę punktu A, B oraz S.

Warunek wyznaczalności płaskiego łańcucha kinematycznego

Rozpatrzmy warunki jakie powinna spełnid liczba członów i liczba więzów kinematycznych

płaskiego łaocucha kinematycznego, by było możliwe wyznaczenie reakcji występujących w więzach
kinematycznych na podstawie statycznego warunku równowagi.

Reakcjami więzów w parach kinematycznych nazywamy siły oddziaływania jednego członu na

drugi. Warunkiem statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego jest spełnienie równao
równowagi (rzutów sił i momentów sił) znanych z mechaniki:

Liczba równao które możemy ułożyd dla łaocucha kinematycznego mechanizmu o n członach

wynosi 3n. Tyle niewiadomych reakcji możemy wyznaczyd z równad mechaniki. Rozpatrzmy ile reakcji
występuje w łaocuchach kinematycznych mechanizmu płaskiego zawierającego pary kinematyczne V
i IV klasy.

ział:

kł

. –

ika

echan

i m

asz

Rys. 7.3 – Para obrotowa (V klasa): wiadome: punkt przyłożenia; niewiadome: kierunek, wartośd.

Rys. 7.4 – Para postępowa (V klasa): wiadome: kierunek; niewiadome: punkt przyłożenia, wartośd.

Rys. 7.5 – Para V klasy – znane: punkt przyłożenia, kierunek; nieznane: wartośd.

W parze obrotowej V klasy mamy 1 niewiadomą (punk przyłożenia reakcji), bo musi

przechodzid  przez oś przegubu. Wiadoma jest wartośd  reakcji i jej kierunek. W parze  postępowej V
klasy  mamy  także  1  wiadomą  –  kierunek  reakcji,  ponieważ  musi  on  byd  prostopadły  do  kierunku
ruchu.  Nieznana  jest  wartośd  i  punkt  przyłożenia  reakcji.  W  parze  IV  klasy  mamy  2  wiadome  –
kierunek  reakcji  (prostopadły  do  krzywizn  w  punkcie  styku)  i  punkt  przyłożenia  (punkt  styku).  Z
rozważao tych wynika, że w każdej parze V klasy mamy dwie niewiadome, a w parze IV klasy jedną.
Jeśli łaocuch kinematyczny składa się z par IV i V  klasy, to ilośd niewiadomych wynosi 2p

+ p

. Aby

łaocuch kinematyczny płaski był statycznie wyznaczalny, to ilośd niewiadomych musi byd równa ilości
równao statyki. Otrzymamy więc warunek

. Warunek statycznej wyznaczalności

ział:

kł

. –

ika

echan

i m

asz

łaocucha kinematycznego mechanizmu jest identyczny z warunkiem istnienia grupy. Z równania tego
wynika, że grupa jest łaocuchem kinetostatycznie wyznaczalnym. Analiza kineto statyczna
mechanizmu sprowadza się do analizy grup strukturalnych na jakie może byd rozdzielony mechanizm.
Analiza musi byd rozpoczęta od grupy ostatniej w stosunku do członu napędowego.

ział:

kł

. –

Gru

Wykład 8. – Grupy

Każdy człon posiada trzy równania równowagi:

Klasyfikacja strukturalna mechanizmów płaskich

Klasę mechanizmu określa najwyższa klasa grupy wchodzącej w skład mechanizmu. Grupa

jest to łaocuch kinematyczny spełniający następujące warunki:



połączenie ruchome z podstawą wszystkich członów zewnętrznych łaocucha zamienia go w
układ sztywny, tzn. ruchliwośd jest równa 0, w = 0;



łaocucha spełniającego warunek pierwszy nie można podzielid przez rozłączenie członów na
łaocuchy spełniające ten warunek.

Człon napędowy nie należy do żadnej grupy i można go połączyd ruchowo z podstawą oraz z

grupą.

gdzie n to liczba członów w grupie, natomiast p

to liczba członów kinematycznych powstałych z

przyłączenia grupy do podstawy.

Pary IV klasy zamieniamy na pary V klasy.

Grupy dla n > 4 i p

> 6 występują bardzo rzadko.

Wyznaczanie reakcji w grupach klasy II

Dla grupy klasy II n = 2, p

= 3, zatem warunek grupy jest spełniony:

ział:

kł

. –

Gru

Wyznaczanie reakcji w mechanizmach można przeprowadzid metodą wykreślno-analityczną.

Metoda ta  jest  najprostsza  i  polega  na wykreśleniu  planu  sił  i  analitycznym  obliczeniu  niezbędnych
wielkości.  W  obu  przypadkach  korzystamy  z  warunków  równowagi  sił  i  momentów.  W  metodzie
wykreślno-analitycznej  posługujemy  się  wektorowymi  równaniami  sił  oraz  równaniami  równowagi
momentów sił działających na człony grupy.

Rys. 8.1 – Przykładowa grupa

Rys. 8.2 – Reakcje wyznaczamy na kierunek równoległy i prostopadły do członu.

W punktach A i C zastępujemy więzy reakcjami R

i R

, które rozkładamy na kierynki

normalne (równoległe) oraz styczne (prostopadłe) do członów k i l. Układamy równania równowagi
momentów wszystkich sił względem punktu B. Ponieważ zwroty reakcji nie są nam znane, więc
przyjmujemy je dowolnie. Jeżeli po wyznaczeniu wartości reakcji z równania momentów, okaże się
ona ujemna, to jej zwrot należy przyjąd jako przeciwny.

Wyznaczanie momentów dla członu k:

Wyznaczanie momentów dla członu l:

ział:

ykł

. –

Gru

Piszemy równanie wektorowe dla całej grupy k-l:

Wykreślamy siły:

Rys. 8.3 – Rozrysowanie wektorów sił

Dla członu k:

Przykład

Rys. 8.4 – Grupa klasy II (postad 2)

ział:

kł

. –

Gru

Postępowanie:
1. punkt 2 z poprzedniego przykładu

2. punkt 3 z poprzedniego przykładu

3. punkt 1 z poprzedniego przykładu

Plan sił członu napędzającego

Człon napędzający tworzy z podstawą najczęściej parę obrotową lub postępową. Posiada on

jeden  stopieo  swobody  względem  podstawy.  Rozpatrując  człon  napędzany  łącznie  z  podstawą,
stwierdzamy,  że  warunek  statycznej  wyznaczalności  nie  jest  spełniony.  Liczba  równao  równowagi,
które  możemy  ułożyd  dla  członu  napędzanego  jest  o  1  większa  od  liczby  niewiadomych.  Aby
zachodziła  statyczna  wyznaczalnośd,  trzeba  wprowadzid  dodatkowe  siły  lub  parę  sił  równoważącą
wszystkie siły przyłożone do członu napędzającego. Oznaczamy siłę równoważącą parę P

, a moment

równoważący M

Dla członu napędzającego wykorzystującego ruch obrotowy:

Rys. 8.5 – Człon napędzany, wykonujący ruch obrotowy

ział:

kł

. –

Gru

Dla członu napędzającego, wykonującego ruch postępowy:

Rys. 8.6 – Człon napędzający wykonujący ruch postępowy oraz suma wektorów sił w układzie.

ział:

kł

. –

ika

asz

Wykład 9. – Dynamika maszyn

Ruch maszyny pod działaniem sił

Rys. 9.1 – Maszyna robocza napędzana przez silnik. Przeniesienie napędu przez dwa sprzęgła oraz

przekładnie.

Dokładne określenie rzeczywistych przemieszczeo, prędkości, przyspieszeo i czasu ruchu

maszyny wymaga wyznaczenia przebiegu ruchu pod działaniem zadanych sił.

Wyznaczanie przebiegu ruchu maszyny można znacznie ułatwid jeśli masy wszystkich członów

ruchomych zastąpimy masą zredukowaną, umieszczoną na członie redukcji i zredukujemy do niego
wszystkie siły zewnętrzne działające na człony mechanizmu lub maszyny bez uwzględnienia sił
bezwładności.

Rys. 9.2 – Przebieg ruchu maszyny w czasie

W badaniach ruchu maszyny związanych w szczególności z projektowaniem maszyny,

rozdzielamy zagadnienie badania ruchu postępowania i ruchów dodatkowych – pasożytniczych.
Stosując znane z mechaniki metody można ułożyd równanie ruchu podstawowego maszyny.

ział:

kł

. –

ika

asz

Redukcja mas

Zastępowanie układu mas członów ruchomych mechanizmu lub maszyny masą zredukowaną

skupioną w dowolnym punkcie lub zredukowanym momentem bezwładności członu redukcji
przeprowadza się korzystając z równości chwilowych wartości energii kinetycznych wszystkich
członów mechanizmów i członu redukcji:

Energia kinetyczna mechanizmu w dowolnej chwili równa jest sumie energii kinetycznych

poszczególnych jego członów. W przypadku ruchu płaskiego:

Energia kinetyczna członu redukcji wynosi w przypadku jego ruchu postępowego:

Energia kinetyczna członu redukcji w przypadku jego ruchu obrotowego:

Masa zredukowana:

Zredukowany moment bezwładności:

Redukcja sił

Zastępowanie układu sił zewnętrznych i momentów sił działających na ruchome człony

mechanizmu  lub  maszyny  siłą  zredukowaną,  przyłożoną  w  dowolnie  wybranym  punkcie  członu
redukcji  lub  momentem  zredukowanym  przyłożonym  do  członu  redukcji,  przeprowadza  się
korzystając  z  równości  chwilowych  wartości mocy  N

wszystkich członów mechanizmu i N

członów

redukcji. Zakładając kierunek siły zredukowanej zgodny z kierunkiem prędkości V

punktu redukcji,

moc członu wyniesie:

Moc chwilowa wszystkich członów mechanizmu lub maszyny wynosi:

ział:

kł

. –

ika

asz

Jako człon redukcji wybiera się najczęściej człon napędowy mechanizmu lub maszyny.

Przykład
Przeprowadzid redukcję układu pokazanego na rysunku na wał silnika.

Rys. 9.3 – Silnik działa momentem napędowym M

na wale 1. Poprzez przekładnię i bęben wciąga

przedmiot o ciężarze G. I

– moment bezwładności wału 1 łącznie z kołem zębatym i częściami

wirującymi silnika; I

– moment bezwładności wału 2 łącznie z kołem zębatym i bębnem.

Równanie ruchu maszyny

Ponieważ człon redukcji otrzymuje się w wyniku redukcji sił wyniku redukcji sił wychodząc z

warunków równości elementarnych praw, a redukcji mas wychodząc w warunku równowagi energii
kinetycznych, zatem przy badaniu ruchu członu redukcji, celowe jest wyjśd z zasady równowartości
energii kinetycznej i pracy:

Dla ruchu postępowego celowe jest wyrazid dE za pomocą masy zredukowanej m

. Różniczkę

pracy zaś za pomocą siły resztkowej P

, która stanowi różnicę siły czynnej P

i P

ział:

kł

. –

ika

asz

Dla ruchu obrotowego członu redukcji wygodnie jest wyrazid dE za pomocą zredukowanego

momentu bezwładności I

, a dl za pomocą zredukowanego momentu resztkowego M

, który stanowi

różnicę zredukowanego momentu czynnego i biernego.

Podstawiając do równania równości, otrzymamy:

Otrzymane równanie ruchu redukcji jest równaniem modelu dynamicznego mechanizmu lub

maszyny.

Dla ruchu postępowego członu redukcji:

Zaznaczone równania, to dynamiczne równania ruchu maszyny. Są to równania ogólne,

ważne zarówno dla maszyn, w których istnieje zmienne przełożenie, jak i dla maszyn o stałych
przełożeniach między członami.

Jeśli istnieje zmienne przełożenie w maszynie to zredukowany moment bezwładności jest

funkcją obrotu:

ział:

kł

. –

ika

asz

a moment zredukowany funkcją przemieszczenia:

Jeśli przełożenie nie zmienia się w trakcie ruchu, to:

i dynamiczne równania ruchu maszyny przyjmują wartośd:

Analizując ogólne równania różniczkowe maszyny, należy pamiętad, że:

Dynamiczne równania ruchu maszyny w postaci wygodnej w posługiwaniu się w przypadkach

gdy M

lub P

zależą od , a Iż czy M

zależą od lub s. W przypadkach gdy zredukowany

moment lub siła oraz moment bezwładności lub masa zredukowana są funkcjami położenia członu
maszyny, celowo jest ułożyd równanie ruchu maszyny w postaci energetycznej, korzystając w Prost z
równania równości energii kinetycznej i pracy.

ział:

kł

. –

ier

ierno

śd

ieg

asz

wpro

wadz

ie d

aut

aty

Wykład 10. – Nierównomierność
biegu maszyny, wprowadzenie do
automatyki

gdzie:

– moment bezwładności członu redukcji w dowolnym położeniu,

– prędkość kątowa członu redukcji w dowolnym położeniu,

– moment bezwładności członu redukcji w położeniu początkowym,

– prędkość kątowa członu redukcji w dowolnym położeniu.

Rys. 10.1 – Minimalne i maksymalne wartości prędkości kątowej przy nierównomiernym biegu

maszyny w okresie ruchu ustalonego.

Nierównomierność biegu maszyny

Zmiana prędkości członu napędzającego maszyny w okresowym ruchu ustalonym nazywa się

okresową nierównomiernością biegu maszyny, w okresie jednego cyklu ruchu ustalonego lub
częściej stopniem nierównomierności biegu maszyny. Dla ruchu obrotowego nierównomiernośd
biegu maszyny wynosi:

ział:

kł

. –

ier

ierno

śd

ieg

asz

wpro

wadz

eni

aut

aty

dla ruchu postępowego:

Prędkośd kątowa średnia:

gdzie T

to okres cyklu ruchu ustalonego.

Rys. 10.2 – Przebiegi momentu czynnego i biernego.

ział:

kł

. –

ier

ierno

śd

ieg

asz

wpro

wadz

eni

aut

aty

Z równania tego wynika, że stopieo nierównomierności biegu maszyny jest tym większy im

większe  jest  nadwyżka  pracy  ΔL  i  tym  mniejszy  im  większa  jest  prędkośd  kątowa  średnia  i
zredukowany  moment  bezwładności.  Najłatwiej  jest  zmniejszyd  stopieo  nierównomierności  biegu
maszyny  przez  zwiększenie  zredukowanego  momentu  bezwładności.  Możemy  to  osiągnąd  przez
odpowiedni dobór koła zamachowego.

gdzie:

– zredukowany moment bezwładności maszyny,

– moment bezwładności koła.

Graniczne wartości stopnia nierównomierności biegu maszyny niektórych typów maszyn:



obrabiarki do metali – 1/5 do 1/50;



silniki spalinowe – 1/50 do 1/150;



generatory prądu zmiennego – 1/200 – 1/300.

Praktyczne zagadnienie regulacji okresowej nierównomierności biegu maszyny rozwiązuje się

za  pomocą  dodatkowej  masy  zamachowej,  którą  zawiera  koło  zamachowe.  Zadaniem  koła
zamachowego  jest  akumulowanie  energii  kinetycznej  podczas  przewagi  sił  napędzających  nad
momentem  sił  oporu  i  oddawania  tej  energii  maszynie  podczas  przewagi  momentu  biernego  nad
czynnym.

ział:

kł

. –

ier

ierno

śd

ieg

asz

wpro

wadz

eni

aut

aty

Wyznaczanie momentu bezwładności koła zamachowego

Rys. 10.3 – Koło zamachowe z masą rozłożoną na wieocu.

Dla koła zamachowego z rysunku 10.3 moment bezwładności wynosi:

Koło zamachowe konstruuje się skupiając jego masę głównie na wieocu o znanej średnicy D,

oznaczając średni promieo wieoca koła zamachowego przez r = D/2, a jego ciężar przez G. Zatem
moment bezwładności takiego koła będzie wynosił:

– moment zamachowy

Moment bezwładności koła zamachowego wykonanego w formie tarczy o średnicy zewnętrznej D:

Koło zamachowe umieszcza się w różnych miejscach maszyny, na jednym z wałów

napędowych, na wale maszyny roboczej.

ział:

kł

. –

ier

ierno

śd

ieg

asz

wpro

wadz

eni

aut

aty

Automatyka

ział:

kł

. –

ier

ierno

śd

ieg

asz

wpro

wadz

eni

aut

aty

Wprowadzenie do automatyki

Automatyka jest dyscypliną naukową zajmującą się zagadnieniami automatycznego

sterowania procesu.

Sterowanie automatyczne polega na wywieraniu wpływu na przebieg procesu tak, by był on

zgodny  z  zamierzeniami.  Istotą  sterowania  jest  kontrola  czynna  polegająca  na    oddziaływaniu  na
proces  na  podstawie  pomiarów  dokonywanych  w  czasie  trwania  procesu.  Bardzo  często  spotykaną
formą  sterowania  automatycznego  jest  regulacja  automatyczna  polegająca  na  utrzymywaniu
wybranych  wielkości  procesu  na  żądanym  poziomie  lub  zmienianiu  ich  na  według  określonego
programu.

Pojęcia podstawowe

Obiektem regulacji nazywamy układ fizyczny, w którym odbywa się aktualnie interesujący

nas  proces  sterowania.  Obiekt  regulacji  jako  układ  fizyczny  można  opisad  za  pomocą  jego
współrzędnych,  to  jest  takich  wielkości  jak  np.  ciśnienie,  temperatura,  poziom  cieczy,  napięcie  itp.
charakteryzujących  zachowanie  się  układu  oraz  parametrów  czyli  np.  mas  układu,  oporności,
przewodności cieplnych itp.

Sygnałem nazywamy dowolną wielkośd fizyczną występującą w procesie sterowania, będą cą

funkcją czasu wykorzystywaną do przekazywania informacji.

Informacją jest wartośd lub kształt przebiegu sygnału. Sygnałem może byd więc napięcie,

prąd lub częstotliwośd w układzie elektrycznym, ciśnienie w układzie pneumatycznym i
hydraulicznym, przesunięcie kątowe lub liniowe w układzie mechanicznym.

Wielkości fizyczne oddziałujące na obiekt z zewnątrz (przyczyna), nazywamy sygnałem

wejściowym.  Ogólnie  oznaczamy  je  symbolem  x,  a  w  przypadku  gdy  mamy  do  czynienia  z  tymi
samymi  wielkościami  fizycznymi  nadajemy  indeks  „1”  przy  symbolu  oznaczającym  daną  wielkośd
fizyczną.  Wielkości  wyjściowe  z  obiektu  (skutki),  nazywamy  sygnałami  wyjściowymi.  Ogólnie
oznaczamy  je  symbolem  y,  bądź  indeksem  „2”,  gdy  sygnał  wejścia  i  wyjścia  przedstawiają  te  same
wielkości  fizyczne.  Jeżeli  dwie  wielkości  fizyczne  związane  są  ze  sobą  znaną  zależnością
matematyczną, wówczas na podstawie przebiegu jednej z nich możemy określid zmiany drugiej, czyli
jeden  z  sygnałów  zawiera  informacje  o  drugim.  Te  zależności  matematyczne  zwykle  daje  się
przedstawid w postaci równania różniczkowego, a niekiedy równania algebraicznego. W przypadku,
gdy równanie algebraiczne jest liniowe, mamy do czynienia z zależnością proporcjonalną. Równanie
algebraiczne opisuje stan ustalony układu i nazywamy je równaniem statyki.

Charakterystyką statyczną układu nazywamy graficzne przedstawienie zależności wynikające

z równao statyki. W stanach nieustalonych, gdy sygnał wejściowy jest zależny od czasu, bądź też
układ po zmianie sygnału wejściowego nie osiągnął jeszcze nowego poziomu równowagi, związki
pomiędzy sygnałem wejściowym, a wyjściowym wyrażają się równaniami różniczkowymi. Równania
takie nazywamy równaniami dynamiki, gdyż opisują one właściwości dynamiczne układu.

Charakterystyką dynamiczną układu nazywamy graficzne przedstawienie rozwiązania

równania różniczkowego opisującego dany układ. Aby rozwiązad równanie różniczkowe, należy nie
tylko znad parametry układu, ale także wartości początkowe współrzędnych opisujących stan układu.

ział:

kł

. –

ier

ierno

śd

ieg

asz

wpro

wadz

eni

aut

aty

Elementem automatyki nazywamy układ fizyczny, w którym możemy wyróżnid sygnał

wejściowy i wyjściowy i oznaczamy go w sposób ukazany jak na rysunku:

Rys. 10.4 – Element automatyki

Strzałki na rysunku przedstawiają kierunki przechodzenia sygnału i oznaczają, iż nie

występuje oddziaływanie wsteczne. Oznacza to, że sygnał x nie jest zależny od y.

Układem automatyki nazywamy zespół elementów, biorących bezpośredni udział w

sterowaniu automatycznym danego procesu oraz elementów pomocniczych uporządkowany na
zasadzie ich wzajemnej współpracy, tzn. zgodnie z kierunkiem przekazywania sygnału. Możemy
wyróżnid dwa podstawowe rodzaje sterowania automatycznego:



sterowanie w układzie otwartym



sterowanie w układzie zamkniętym.

Rys. 10.5 – Otwarty układ sterowania; w – wymuszenie, y – wielkośd sterowana, z – sygnały

zakłócające, x – sygnał nastawiający.

Rys. 10.6 – Zamknięty układ sterowania; y – wielkośd regulowana, y

– wielkośd zadana, e – uchyb

regulacji (inaczej: ε – sygnał błędu),x

– sygnał zakłócający, u – sygnał nastawiający, x – wielkośd

wejściowa obiektu.

ział:

kł

. –

ła

ściwo

ści e

ent

auto

aty

Wykład 11. – Właściwości elementów
automatyki

W praktyce układy regulacji automatycznej zawierają większą liczbę elementów od

przedstawionych na rysunku z wykładu 10.

Rys. 11.1 – Układ automatyki z nastawnikiem i przetwornikiem pomiarowym

Rys. 11.2 – Węzeł sumacyjny

Rys. 11.3 – Węzeł informacyjny (zaczepowy)

ział:

kł

. –

ła

ściwo

ści e

ent

auto

aty

Układy regulacji automatycznej mogą służyd do regulacji napięcia generatorów, natężenia

przepływu substancji, ciśnienia gazu w zbiornikach, prędkości obrotowych, temperatury w piecach,
położenia narzędzia w obrabiarce kopiujące, stężenia substancji itp.

Aparatura regulacyjna (regulatory, przetworniki pomiarowe, nastawniki), może byd

mechaniczna, hydrauliczna, pneumatyczna, elektryczna lub mieszana, np. elektropneumatyczna.

Obiekt sterowania jest to proces technologiczny zachodzący w danym urządzeniu, przy czym

pożądany przebieg procesu wymaga odpowiedniego oddziaływania z zewnątrz.

Regulator to urządzenie, w którym określenie sygnału wykonawczego odbywa się przez

porównanie wartości sygnału zadającego i wartości sygnału pomiarowego odpowiadającego
wielkości regulowanej oraz przez dynamiczne uformowanie ich różnicy (wytworzenie sygnału
regulującego).

Uchyb regulacji (e), to różnica wielkości zadanej i regulowanej w układzie regulacji.

Przetwornik pomiarowy to element funkcjonalny, którego zadaniem jest zmiana postaci

wielkości regulowanej y lub zakresu wartości na wielkośd pomiarową y

o zakresie i postaci dogodnej

do porównania z wartością znaną y

Nastawnik jest elementem funkcjonalnym, którego zadaniem jest zmiana postaci lub zakresu

wielkości wyjściowej u z regulatora, na wielkośd o postaci i zakresie dogodnym do oddziaływania na
wejście obiektu.

Układ regulacji automatycznej, to układ zamknięty, w którym na urządzenie sterujące

oddziałuje wielkośd regulowana w obiekcie, a układ jest znamienny posiadaniem tzw. sprzężenia
zwrotnego.

Sprzężenie zwrotne to określony sposób oddziaływania wielkości wyjściowej (regulowanej)

układu na wielkości wyjściowe obiektu regulacji. Rozróżnia się sprzężenie zwrotne dodatnie i ujemne.

Zasady rachunku operatorowego

Zasady ogólne

Opis matematyczny danego elementu lub układu automatyki składa się w ogólnym

przypadku z dwóch części:



równania lub wykresu charakterystyki statycznej



równania różniczkowego lub operatorowego opisującego własności statyczne i dynamiczne w
otoczeniu wybranego na charakterystyce statycznej punktu pracy.

Jeżeli  charakterystyka  statyczna  jest  prostoliniowa,  jako  kompletny  opis  właściwości  elementu  lub
układu  wystarczy  podad  równanie  różniczkowe  lub  operatorowe,  które  opisuje  wówczas  własności
statyczne  i  dynamiczne  w  całym  zakresie  pracy,  a  nie  tylko  w  otoczeniu  wybranego  punktu.  Jeśli
charakterystyka  statyczna  jest  krzywoliniowa,  niezbędna  jest  znajomośd  obu  części  opisu,  gdyż
współczynniki  równania  różniczkowego  są  wówczas  zmienne  wzdłuż  charakterystyki  statycznej.
Linearyzacja polega na zastąpieniu krzywoliniowego odcinka charakterystyki statycznej w wybranym
punkcie.  W  przybliżeniu  można  wtedy  traktowad  charakterystykę  statyczną  jako  prostoliniową,  a
współczynniki równao różniczkowych jako stałe, ale tylko w otoczeniu danego punktu.

ział:

kł

. –

ła

ściwo

ści e

ent

auto

aty

Rys. 11.4 – Linearyzacja charakterystyki; (x

, y

) – punkt pracy.

Własności dowolnego elementu lub układu liniowego (zlinearyzowanego) można opisad za

pomocą równania różniczkowego posiadającego stałe współczynniki, którego postad ogólna jest
następująca:

y – wielkośd wyjściowa

x – wielkośd wejściowa

Własności dynamiczne ocenia się zwykle na podstawie przebiegów przejściowych

(nieustalonych) następujących po wprowadzeniu określonego sygnału wejściowego x(t).
Wyznaczanie tych przebiegów wymaga rozwiązania równania różniczkowego.

Przekształcenia Laplace’a

Przekształcenie Laplace’a umożliwia wprowadzenie równao różniczkowych do algebraicznych

i przez to znacznie ułatwia wykonanie potrzebnych działao algebraicznych. Przekształcenie Laplace’a
polega na tym, że daną funkcję czasu f(t) zwaną oryginałem, przekształcamy za pomocą ściśle
określonych działao matematycznych na inną funkcję F(s) zmiennej niezależnej s, zwanej

ział:

kł

. –

ła

ściwo

ści e

ent

auto

aty

transformatą. Przekształcenie funkcji f(t) na F(s) przeprowadza się w automatyce za pomocą
wyrażenia:

Stosując jednostronne przekształcenie Laplace’a używane w automatyce, zakłada się, że dla t < 0:

Nie wszystkie funkcje zmiennej rzeczywistej mają swoje transformaty. Aby można było

wyznaczyd transformaty funkcji f(t), muszą byd spełnione następujące warunki:



f(t) ma w każdym skooczonym przedziale wartośd skooczoną;



f(t) ma pochodną f’(t) w każdym przedziale skooczonym;



istnieje zbiór liczb rzeczywistych C, dla których

jest absolutnie zbierzna.

Właściwości i twierdzenia przekształcenia Laplace’a

Transformata iloczynu stałej przez funkcję:

Transformata sumy funkcji:

Transformata pochodnych funkcji:

gdzie

to wartośd początkowa funkcji f(t) (granica prawostronna).

Transformata 2 i n pochodnej:

Zajmowad się będziemy funkcjami f(t) dla których zwykle praktycznie stosowad będziemy

wzór w postaci uproszczonej.

Transformata całki funkcji:

ział:

kł

. –

ła

ściwo

ści e

ent

auto

aty

Twierdzenie o przemieszczeniu rzeczywistym:

Twierdzenie o przesunięciu zespolonym:

Twierdzenie o wartościach koocowych:

Twierdzenie o wartościach początkowych:

Najczęściej spotykana funkcja f(t) i odpowiadające im transformaty F(s) zostały zestawione w

tablicach. Jeśli mamy wyrażenie dane w postaci transformaty F(s), to możemy znaleźd odpowiadający
tej transformacie oryginał f(t) za pomocą przekształcenia odwrotnego zgodnie z podaną poniżej
zależnością:

gdzie ω to częstośd kołowa.

Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia)

Transmitancją operatorową G(s) elementu lub układu nazywamy stosunek transformaty

wielkości wyjściowej y(s) do transformaty wielkości wyjściowej x(s) przy zerowych warunkach
początkowych.

Rodzaje wymuszeń

Przebiegiem przejściowym y(t) nazywamy przebieg w czasie wielkości wyjściowej y, po

wprowadzeniu sygnału wejściowego x(t) lub krócej: odpowiedź y(t) na wymuszenie x(t). Najczęściej
określa się odpowiedź y(t) na jedno z typowych wymuszeo.

Wymuszenie jednostkowe – 1(t) (skok jednostkowy lub funkcja Heaviside’a):

ział:

kł

. –

ła

ściwo

ści e

ent

auto

aty

Rys. 11.5 – Wymuszenie jednostkowe

Wymuszenie skokowe:

Rys. 11.6 – Wymuszenie skokowe

Wymuszenie impulsowe (funkcja Diraca):

Rys. 11.7 – Wymuszenie impulsowe

Wymuszenie liniowo narastające (skok prędkości):

Rys. 11.8 – Wymuszenie liniowo narastające

ział:

kł

. –

ła

ściwo

ści e

tó

auto

aty

Wymuszenie paraboliczne (skok przyspieszenia):

Rys. 11.9 – Wymuszenie paraboliczne

Wymuszenie harmoniczne:

Rys. 11.10 – Wymuszenie harmoniczne

ział:

kł

. –

Bad

ie zach

wani

a układ

aty

Wykład 12. – Badanie zachowania
układów automatyki

Charakterystyki czasowe

Charakterystyką czasową nazywamy przebieg przejściowy y(t) przy ściśle określonym sygnale

wymuszającym x(t). Z omówionych rodzajów wymuszeo do wyznaczania charakterystyki czasowej
stosujemy zwykle wymuszenie jednostkowe przy zerowych warunkach początkowych.

Charakterystyka czasowa daje nam informację o tym, jak będzie zachowywał się układ

przechodząc z zerowego stanu ustalonego (y = 0) do nowego położenia równowagi

zadziałaniu na układ wymuszenia skokowego. Charakterystyka czasowa opisuje stan przejściowy
układu.

Charakterystyki częstotliwościowe

Oprócz stanów przejściowych ważne są także stany ustalone. Stan ustalony układu (tzw. stan

wymuszony)  otrzymamy  z  rozwiązania  szczególnego  równania  niejednorodnego  (dla  prawej  strony
równej  zero).  Procesy  ustalone  badamy  podając  na  wejście  układy  wymuszenie  harmoniczne

. Na wyjściu otrzymujemy także funkcję sinusoidalną, ale o innej amplitudzie i

przesunięciu w fazie.

Rys. 12.1 – Przedstawienie wymuszenia i odpowiedzi w postaci wirujących wektorów

Jeżeli badamy układ przy częstotliwości wynoszącej ω

, to dla wymuszenia sinusoidalnego x(t)

otrzymamy następującą odpowiedź y(t) na wyjściu:

ział:

kł

. –

Bad

ie zach

wani

a układ

aty

Oraz dla innego ω = ω

Rys. 12.2 – Wymuszenia i odpowiedzi 1 i 2 w postaci wektorów wirujących

Wyznaczamy amplitudę i przesunięcie fazowe odpowiedzi od do . Jeśli drgania

y(t) porównujemy z x(t), możemy wektor x

umieścid na osi odciętych. Amplituda x

jest stała. Kąty

przesunięcia fazowego odmierzane są względem x

, a amplitudy odpowiedzi obrazują kooce

wektorów y.

Rys. 12.3 – Obraz wektorów odpowiedzi dla trzech różnych częstotliwości.

Harmoniczną funkcję możemy przedstawid w postaci liczb zespolonych:

ział:

kł

. –

Bad

ie zach

wani

a układ

aty

Podstawiając zależności na x(t) i y(t) w postaci zespolonej do równania opisującego

właściwości dowolnego układu liniowego otrzymamy taką zależnośd:

Z równania tego możemy obliczyd stosunek odpowiedzi układu do wymuszenia:

Wyrażenie nazywamy transmitancją częstotliwościową bądź widmową. Z otrzymanego

wzoru wynika, że jest funkcją zespoloną, zależną od ω. Moduł liczby zespolonej

przedstawia stosunek amplitudy odpowiedzi do wymuszenia, natomiast

               przedstawia  przesunięcie  fazowe  pomiędzy  wymuszeniem,  a  odpowiedzią.
Porównujący  wyrażenie  na  transmitancję  operatorową  z  transmitancją  widmową  można  zauważyd,
że  transmitancję  widmową  możemy  otrzymad  z  transmitancji  operatorowej,  podstawiając  s  =  jω.
Ponieważ  transmitancja  widmowa  jest  funkcją  zespoloną,  można  ją  rozłożyd  na  częśd  rzeczywistą  i
urojoną:

Transmitancję widmową możemy przedstawid w prostokątnym układzie współrzędnych

zmieniając ω w zakresie od zera do nieskooczoności, w postaci wykresu:

Rys. 12.4 – Transmitancja widmowa

Częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to miejsce geometryczne

kooców wektorów, których długośd przedstawia stosunek sygnału wejściowego do amplitudy sygnału

ział:

kł

. –

Bad

ie zach

wani

a układ

aty

wyjściowego, a kąt mierzony od osi rzeczywistej przedstawia przesunięcie fazowe między
odpowiedzią, a wymuszeniem. Z przedstawionego rysunku wynikają związki:

Rezonans będzie występował na charakterystyce w postaci punktu o maksymalnej odległości

od początku układu współrzędnych. Częstotliwością odpowiadającą temu punktowi jest częstotliwośd
rezonansowa ω

. Często ze względów praktycznych osobno badamy stosunki amplitud sygnałów oraz

ich wzajemne przesunięcie fazowe. Stosunek amplitud sygnałów nazywamy amplitudową
charakterystyką częstotliwościową.

Rys. 12.5 – Częstotliwośd rezonansowa na amplitudowej charakterystyce częstotliwościowej.

Wykres przesunięcia fazowego w funkcji częstotliwości nazywamy fazową charakterystyką

częstotliwościową.

Rys. 12.6 – Przykładowa fazowa charakterystyka częstotliwościowa

Charakterystyka logarytmiczna

Charakterystyka amplitudowa i fazowa są zazwyczaj przedstawione we współrzędnych

logarytmicznych. Logarytmiczną charakterystyką amplitudową nazywamy charakterystykę
amplitudową wykreśloną w skali logarytmicznej. Na osi odciętych odkładamy częstośd w skali
logarytmicznej, a na osi rzędnych amplitudę w skali logarytmicznej (często w dB).

ział:

kł

. –

Bad

ie zach

ia u

kł

aty

Rys. 12.7 – Przykładowy układ współrzędnych dla logarytmicznej charakterystyki amplitudowej

Logarytmiczną charakterystyka fazową nazywamy charakterystykę wykreśloną tak, że na osi

odciętych odkładamy częstotliwośd ω w skali logarytmicznej, a na osi rzędnych przesunięcie fazowe
ϕ(ω) w podziałce liniowej w stopniach lub radianach.

Rys. 12.8 – Przykład układu współrzędnych dla logarytmicznej charakterystyki fazowej

Właściwości statyczne i dynamiczne podstawowych elementów liniowych

Elementy liniowe klasyfikuje się najczęściej ze względu na ich właściwości dynamiczne.

Wyróżniamy 6 grup elementów podstawowych:



bezinercyjne (proporcjonalne)



inercyjne



całkujące



różniczkujące



oscylacyjne



opóźniające

Elementy bezinercyjne

Ogólna postad równania elementu bezinercyjnego jest następująca:

ział:

kł

. –

Bad

ie zach

wani

a układ

aty

Równanie charakterystyki statycznej:

Rys. 12.9 – Charakterystyka statyczna elementu bezinercyjnego

Odpowiedź na wymuszenie skokowe elementu bezinercyjnego:

Rys. 12.10 – Wymuszenie skokowe i odpowiedź elementu bezinercyjnego

Charakterystyka częstotliwościowa, transmitancja widmowa:

ział:

kł

. –

Bad

ie zach

wani

a układ

aty

Rys. 12.11 – Transmitancja widmowa elementu bezinercyjnego

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa elementu bezinercyjnego:

Rys. 12.12 – Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa elementu bezinercyjnego

Charakterystyka fazowa:

Rys. 12.13 – Charakterystyka fazowa elementu bezinercyjnego

ział:

kł

. –

Bad

ie zach

wani

a układ

aty

Przykład

Rys. 12.14 – Przykład elementu bezinercyjnego

x – przesunięcie zadane na wejściu
y – przemieszczenie uzyskane na wyjściu

Przykład

Rys. 12.15 – Przykład elementu bezinercyjnego

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Wykład 13. – Zachowanie elementów
automatyki

Elementy inercyjne I-rzędu

Równanie elementu

gdzie: T – stała czasowa

Transmitancja operatorowa

Charakterystyka statyczna

Rys. 13.1 - Charakterystyka statyczna y = kx

Odpowiedź na wymuszenie skokowe

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Rys. 13.2 – Odpowiedź na wymuszenie skokowe

Stałą czasową T można określid wystawiając styczną w dowolnym punkcie krzywej

wykładniczej y(t) i wyznaczając odcinek podstycznej na asymptocie.

Stałą czasową T można również określid jako czas od chwili T = 0 do chwili, kiedy y(T) osiągnie

wartośd 0.632 swojej wartości koocowej

Transmitancja widmowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Rys. 13.3 – Transmitancja widmowa

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

Rys. 13.4 – Charakterystyka amplitudowa dla k = 10

Logarytmiczna charakterystyka fazowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Rys. 13.5 – Charakterystyka fazowa

Przykład

Rys. 13.6 – Masa o momencie bezwładności I, na obracającym się wale

wielkośd wej. – M – moment sił
wielkośd wy. – ω – prędkośd kątowa wału

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Elementy całkujące

Równanie elementu

Transmitancja operatorowa

dla k = 1/T:

Charakterystyka statyczna

Rys. 13.7 – Charakterystyka statyczna

Odpowiedź na wymuszenie skokowe

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Rys. 13.8 – Odpowiedź na wymuszenie skokowe

W przypadku szczególnym gdy wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi współczynnik k

ma wymiar odwrotności czasu.

Transmitancja widmowa

Rys. 13.9 – Transmitancja widmowa

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Rys. 13.10 – Charakterystyka amplitudowa

Logarytmiczna charakterystyka fazowa

Rys. 13.11 – Charakterystyka fazowa

Przykład

Rys. 13.12 – Wirująca tarcza przesuwająca się po promieniu drugiej tarczy

x – w. wej. – przemieszczenie
ϕ – w. wyj. – kąt obrotu

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Elementy różniczkujące

Równanie elementu

Transmitancja operatorowa

Charakterystyka statyczna

Rys.13.12 – Charakterystyki statyczne

Odpowiedź na wymuszenie skokowe

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Rys. 13.13 – Odpowiedź na wymuszenie skokowe

Jeśli sygnały wejściowe i wyjściowe są sygnałami jednoimiennymi to równanie elementu ma

postad:

Transmitancja widmowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Rys. 13.14 – Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki

Rys. 13.15 – Charakterystyka amplitudowa

Logarytmiczna charakterystyka fazowa

Rys. 13.16 – Charakterystyka fazowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Wykład 14. – Zachowanie elementów
automatyki c.d.

Rzeczywiste elementy różniczkujące

Równanie elementu

Transmitancja operatorowa

Jeśli sygnały wejściowy i wyjściowy są sygnałami jednoimiennymi, to równanie elementu

zapisuje się w postaci (dla k = T):

Odpowiedź na wymuszenie skokowe

Rys. 14.1 – Odpowiedź na wymuszenie skokowe

Transmitancja widmowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Rys. 14.2 – Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

Rys. 14.3 – Charakterystyka amplitudowa

Logarytmiczna charakterystyka fazowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Rys. 14.4 – Charakterystyka fazowa

Przykład

Wyznaczyd transmitancję dla sprężyny o sztywności c

, przyjmując jako wielkośd wejściową

siłę F działającą na sprężynę, a jako wielkośd wyjściową prędkośd jej kooca.

Rys. 14.5 – Sprężyna poddana działaniu siły F

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Przykład

Dla tłumika hydraulicznego pokazanego na rysunku wyznaczyd równanie różniczkowe i

transmitancję operatorową.

Rys. 14.6 – Model tłumika hydraulicznego

– sztywnośd sprężyny

h – współczynnik tłumienia

Elementy oscylacyjne

Równanie elementu

Transmitancja elementu

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Charakterystyka statyczna

Rys. 14.7 – Charakterystyka statyczna

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź na wymuszenie skokowe

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Rys. 14.8 – Odpowiedź na wymuszenie skokowe

Transmitancja widmowa

Rys. 14.9 – Transmitancja widmowa

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

Rys. 14.10 – Charakterystyka amplitudowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Logarytmiczna charakterystyka fazowa

Rys. 14.11 – Charakterystyka fazowa

Przykład
Dla układu jak na rysunku wyznaczyd równanie i transmitancję operatorową

Rys. 14.12 – Układ tłumieniem

F – siła nacisku – wielkośd wejściowa
y – przemieszczenie – wielkośd wyjściowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Elementy opóźniające

Równanie elementu

Transmitancja

Transmitancja operatorowa

Charakterystyka statyczna

Odpowiedź na wymuszenie skokowe

Rys. 14.13 – Odpowiedź na wymuszenie skokowe

Transmitancja widmowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

Rys. 14.14 – Transmitancja widmowa

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

Rys. 14.15 – Charakterystyka amplitudowa

Logarytmiczna charakterystyka fazowa

Rys. 14.16 – Charakterystyka fazowa

ział:

kł

. –

Zac

wani

e e

tó

yki c.d.

ział:

kł

. –

Sch

aty

regu

lat

, st

iln

śd

Wykład 15. – Schematy blokowe,
regulatory, stabilność

Schematy blokowe zwane też strukturalnymi przedstawiają ogólną budowę (strukturę)

dowolnego elementu lub układu oraz podają kierunek przepływu sygnałów i związki (najczęściej
transmitancje) między sygnałami wejściowymi i wyjściowymi poszczególnych części tego elementu
lub układu.

Węzły informacyjne i sumacyjne

Węzły informacyjne (zaczepowe) – reprezentują na schematach blokowych urządzenia, które

pozwalają pobierad tę samą informację do kilku gałęzi układu.

Rys. 15.1 – Symbol graficzny węzła informacyjnego

Węzeł sumacyjny – reprezentuje na schematach blokowych urządzenia, w których zachodzi

algebraiczne (z uwzględnieniem znaków) sumowanie sygnałów.

Rys. 15.2 – Symbol graficzny węzła sumacyjnego.

z = x - y

Przekształcenia schematów blokowych

Przekształcenia schematów blokowych pozwalają na wyznaczenie wypadkowej transmitancji

układu, którego struktura i transmitancje elementów składowych są znane.

ział:

kł

. –

Sch

aty

regu

lat

, st

iln

śd

Połączenie szeregowe

Rys. 15.3 – Połączenie szeregowe

Ogólnie transmitancja szeregowego połączenia elementów jest równa iloczynowi

transmitancji tych elementów

Połączenie równoległe

Rys. 15.4 – Połączenie równoległe

Ogólnie transmitancja równoległego połączenia elementów jest równa algebraicznej sumie

(wraz z uwzględnieniem znaków) transmitancji tych elementów.

Jeżeli w dowolnej gałęzi schematu blokowego nie występuje żaden blok o określonej

transmitancji, to transmitancja takiej gałęzi jest równa jedności (wejście-są identyczne).

ział:

kł

. –

Sch

aty

regu

lat

, st

iln

śd

Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym

Rys. 15.5 – Układ ze sprzężeniem zwrotnym

Ogólnie:

ział:

kł

. –

Sch

aty

regu

lat

, st

iln

śd

Przesunięcia węzłów informacyjnych i węzłów informacyjnych

Schemat pierwotny

Schemat równoważny

ział:

kł

. –

Sch

aty

regu

lat

, st

iln

śd

Regulatory

Zadaniem regulatora jest wytworzenie sygnału sterującego obiektem regulacji w sposób

zapewniający jego pożądane zachowanie się.

Rys. 15.6 – Układ automatyki z regulatorem (w ramce)

Pracę regulatora charakteryzuje równanie różniczkowe według którego dla obiektu regulacji

zostaje wprowadzone działanie regulujące

Prawem regulacji nazywamy związek funkcjonalny jaki zachodzi między przyrostem sygnału

sterującego u, a przyrostem uchybu regulacji e.

Ze względu na własności dynamiczne, rozróżniamy następujące rodzaje regulatorów:



regulatory proporcjonalne (P)



regulatory całkujące (I)

gdzie T

– czas zdwojenia



regulatory proporcjonalno-całkujące (PI)



regulatory proporcjonalno-różniczkujące (PD)

gdzie T

– stała czasowa określająca działanie różniczkujące regulatora (czas wyprzedzenia)



regulatory proporcjonalno-całkująco-różniczkujące (PID)

ział:

kł

. –

Sch

aty

regu

lat

, st

iln

śd

Stabilność liniowych układów automatyki

Stabilnośd jest cechą układu polegającą na powracaniu do stanu równowagi stałej, po ustaniu

działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu.

Rys. 15.7 – Zamknięty układ liniowy

Zamknięty układ liniowy będziemy uważad za stabilny jeśli przy każdej skooczonej wartości

x(t) i dla dowolnych warunków początkowych sygnał wejściowy y(t) będzie dążył do skooczonej
wartości ustalonej, do czasu t dążącego do nieskooczoności.

Rys. 15.8 – Układ stabilny (po lewej stronie); układ niestabilny (po prawej)

Ogólny warunek stabilności

ział:

kł

. –

Sch

aty

regu

lat

, st

iln

śd

Kryterium Hurwitza

Warunki:

Gdzie jest wyznacznikiem macierzy powstałej wg powyższego wzoru (i = n -2).

Kryterium Nyquista

Rys.15.9 – Układ ze sprzężeniem zwrotnym

Rys.15.10 – Odwzorowanie płaszczyzny Ims

(Res

)

ział:

kł

. –

Sch

aty

regu

lat

, st

iln

śd

Jeżeli w obszarze ograniczonym krzywą

nie znajduje się punkt –j oznacza to, że

równanie nie ma pierwiastków o częściach rzeczywistych dodatnich. Jeśli układ otwarty jest stabilny i
punkt krytyczny (-1, j

) znajduje się na zewnątrz charakterystyki częstotliwościowej układu

otwartego, to układ ten będzie stabilny również po zamknięciu.

Document Outline