Computational Methods
1D Examples
Małgorzata Stojek
Cracow University of Technology
March 2012
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
1 / 44
Beam Example
M = qL
2
2L
L
P = qL
q
e1
e2
θ
1
w
1
θ
θ
w
w
2
2
3
3
d
1
d
2
d
3
d
4
d
5
d
6
=
w
1
θ
1
w
2
θ
2
w
3
θ
3
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
2 / 44
Beam Element Library
Prismatic Beam
Stiffness Matrix
:
K
e
=
EI
h
3
12
6h
−
12
6h
4h
2
−
6h
2h
2
12
−
6h
symm
4h
2
Consistent Nodal Forces:
constant
distributed load
concentrated
force
q
(
x
) =
q
q
(
x
) =
P
δ
x
(
x
−
h
2
)
F
e
q
=
q
h
1
2
1
12
h
1
2
−
1
12
h
F
e
q
=
P
1
2
1
8
h
1
2
−
1
8
h
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
3 / 44
First Element
Stiffness Matrix
DOFs: 1, 2, 3, 4; h
=
2L
K
e
1
4
×
4
=
EI
(
2L
)
3
12
6
(
2L
)
−
12
6
(
2L
)
6
(
2L
)
4
(
2L
)
2
−
6
(
2L
)
2
(
2L
)
2
−
12
−
6
(
2L
)
12
−
6
(
2L
)
6
(
2L
)
2
(
2L
)
2
−
6
(
2L
)
4
(
2L
)
2
=
EI
2L
3
3
3L
−
3
3L
3L
4L
2
−
3L
2L
2
−
3
−
3L
3
−
3L
3L
2L
2
−
3L
4L
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
4 / 44
First Element
Consistent Nodal Forces
F
e
1
q
=
q
(
2L
)
1
2
1
12
(
2L
)
1
2
−
1
12
(
2L
)
=
qL
1
1
3
L
1
−
1
3
L
y
1
3
qL
2
x
1
3
qL
2
[
element 1
]
↓
qL
↓
qL
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
5 / 44
Second Element
DOFs: 3, 4, 5, 6; h
=
L
Stiffness Matrix
K
e
2
4
×
4
=
EI
(
L
)
3
12
6
(
L
)
−
12
6L
6
(
L
)
4
(
L
)
2
−
6
(
L
)
2
(
L
)
2
−
12
−
6
(
L
)
12
−
6
(
L
)
6
(
L
)
2
(
L
)
2
−
6
(
L
)
4
(
L
)
2
Consistent Nodal Forces
P
=
qL
F
e
2
q
=
P
1
2
1
8
L
1
2
−
1
8
L
y
1
8
qL
2
x
1
8
qL
2
[
element 2
]
↓
1
2
qL
↓
1
2
qL
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
6 / 44
Assembly
Global Stiffness Matrix
K
=
0
6
×
6
(+)
K
e
1
4
×
4
(+)
K
e
2
4
×
4
K
=
EI
(
L
)
3
3
2
3
2
L
−
3
2
3
2
L
0
0
3
2
L
2L
2
−
3
2
L
L
2
0
0
−
3
2
−
3
2
L
3
2
+
12
−
3
2
L
+
6L
−
12
6L
3
2
L
L
2
−
3
2
L
+
6L
2L
2
+
4L
2
−
6L
2L
2
0
0
−
12
−
6L
12
−
6L
0
0
6L
2L
2
−
6L
4L
2
K
=
EI
(
L
)
3
3
2
3
2
L
−
3
2
3
2
L
0
0
3
2
L
2L
2
−
3
2
L
L
2
0
0
−
3
2
−
3
2
L
27
2
9
2
L
−
12
6L
3
2
L
L
2
9
2
L
6L
2
−
6L
2L
2
0
0
−
12
−
6L
12
−
6L
0
0
6L
2L
2
−
6L
4L
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
7 / 44
Assembly
Global Load Vector
F
q
=
0
6
×
1
(+)
F
e
1
q
4
×
1
(+)
F
e
2
P
4
×
1
0
0
0
0
0
0
→
qL
1
3
qL
2
qL
−
1
3
qL
2
0
0
→
qL
1
3
qL
2
qL
+
1
2
qL
−
1
3
qL
2
+
1
8
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
=
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
8 / 44
Assembly
Generic System of Linear Equations
Kd
=
F
q
EI
(
L
)
3
3
2
3
2
L
−
3
2
3
2
L
0
0
3
2
L
2L
2
−
3
2
L
L
2
0
0
−
3
2
−
3
2
L
27
2
9
2
L
−
12
6L
3
2
L
L
2
9
2
L
6L
2
−
6L
2L
2
0
0
−
12
−
6L
12
−
6L
0
0
6L
2L
2
−
6L
4L
2
w
1
θ
1
w
2
θ
2
w
3
θ
3
=
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
NOTE:
det K
=
0,
rank
(
K
) =
4
.
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
9 / 44
Boundary Conditions
kinematic constraints
natural
BCs
(essential "BCs")
(nonhomogeneous)
w
1
=
0,
θ
1
=
0,
w
2
=
0
at x
=
3L,
M
=
qL
2
w
1
θ
1
w
2
θ
2
w
3
θ
3
→
0
0
0
θ
2
w
3
θ
3
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
→
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
+
qL
2
NOTE:
rank
(
K
) =
4
&
3
support constraints
←→
beam is
statically indeterminate
.
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
10 / 44
Solution I
EI
(
L
)
3
3
2
3
2
L
−
3
2
3
2
L
0
0
3
2
L
2L
2
−
3
2
L
L
2
0
0
−
3
2
−
3
2
L
27
2
9
2
L
−
12
6L
3
2
L
L
2
9
2
L
6L
2
−
6L
2L
2
0
0
−
12
−
6L
12
−
6L
0
0
6L
2L
2
−
6L
4L
2
0
0
0
θ
2
w
3
θ
3
=
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
7
8
qL
2
EI
(
L
)
3
6L
2
−
6L
2L
2
−
6L
12
−
6L
2L
2
−
6L
4L
2
θ
2
w
3
θ
3
=
−
5
24
qL
2
1
2
qL
7
8
qL
2
+
−
EI
(
L
)
3
3
2
L L
2
9
2
L
0
0
−
12
0
0
6L
0
0
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
11 / 44
Solution II
RECALL:
EI
(
L
)
3
6L
2
−
6L
2L
2
−
6L
12
−
6L
2L
2
−
6L
4L
2
θ
2
w
3
θ
3
=
−
5
24
qL
2
1
2
qL
7
8
qL
2
Solution is:
θ
2
w
3
θ
3
=
7
12
qL
3
EI
19
16
qL
4
EI
41
24
qL
3
EI
→
d
=
0
0
0
θ
2
w
3
θ
3
=
0
0
0
7
12
qL
3
EI
19
16
qL
4
EI
41
24
qL
3
EI
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
12 / 44
Postprocessing
Siły Przyw ˛ezłowe
RECALL:
K
e
d
e
=
F
e
=
F
e
q
+
W
e
W
e
=
Q
1
M
1
Q
2
M
2
=
K
e
d
e
−
F
e
q
y
M
1
↓
Q
1
[
beam element
]
↓
Q
2
y
M
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
13 / 44
Siły Przyw ˛ezłowe
Element 1
y
M
1
↓
Q
1
[
beam element
]
↓
Q
2
y
M
2
W
e
1
=
K
e
1
d
e
1
−
F
e
1
q
W
e
1
=
EI
2L
3
3
3L
−
3
3L
3L
4L
2
−
3L
2L
2
−
3
−
3L
3
−
3L
3L
2L
2
−
3L
4L
2
0
0
0
7
12
qL
3
EI
−
qL
1
1
3
L
1
−
1
3
L
Q
e
1
1
M
e
1
1
Q
e
1
2
M
e
1
2
=
−
1
8
qL
1
4
qL
2
−
15
8
qL
3
2
qL
2
→
y
1
4
qL
2
y
3
2
qL
2
[
element 1
]
↑
1
8
qL
↑
15
8
qL
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
14 / 44
Siły Przyw ˛ezłowe
Element 2
y
M
1
↓
Q
1
[
beam element
]
↓
Q
2
y
M
2
W
e
2
=
K
e
2
d
e
2
−
F
e
2
q
W
e
2
=
EI
L
3
12
6L
−
12
6L
6L
4L
2
−
6L
2L
2
−
12
−
6L
12
−
6L
6L
2L
2
−
6L
4L
2
0
7
24
qL
3
EI
43
48
qL
4
EI
17
12
qL
3
EI
−
qL
1
2
1
8
L
1
2
−
1
8
L
Q
e
2
1
M
e
2
1
Q
e
2
2
M
e
2
2
=
−
qL
−
3
2
qL
2
0
qL
2
→
x
3
2
qL
2
y
qL
2
[
element 2
]
↑
qL
↓
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
15 / 44
Reactions at Supports I
1
4
qL
2
y
y
3
2
qL
2
[
element 1
]
1
8
qL
↑
↑
15
8
qL
3
2
qL
2
x
y
qL
2
[
element 2
]
qL
↑
↓
0
−
15
8
qL
+
R
2
=
ql
R
2
=
ql
+
15
8
qL
=
23
8
qL
8
1
1
4
2
qL
23
8
P = qL
q
2L
L
qL
qL
M = qL
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
16 / 44
Reactions at Supports II
8
1
1
4
2
qL
23
8
P = qL
q
2L
L
qL
qL
M = qL
2
W
=
Kd
−
F
q
=
K
0
0
0
7
12
qL
3
EI
19
16
qL
4
EI
41
24
qL
3
EI
−
qL
1
3
qL
2
3
2
qL
−
5
24
qL
2
1
2
qL
−
1
8
qL
2
=
−
1
8
qL
1
4
qL
2
−
23
8
qL
0
0
qL
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
17 / 44
Equations of Equilibrium
8
1
1
4
2
qL
23
8
P = qL
q
2L
L
qL
qL
M = qL
2
∑
i
P
i
y
?
=
0
1
8
qL
−
q
·
2L
+
23
8
qL
−
qL
=
0
∑
i
M
i
x
=
0
?
=
0
1
4
qL
2
+
q
·
2L
·
L
−
23
8
qL
·
2L
+
qL
·
2L
+
L
2
+
qL
2
=
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
18 / 44
Wykresy Sił Przekrojowych
8
1
1
4
2
qL
23
8
8
1
8
15
qL
2
qL
1
4
2
3
qL
2
P = qL
q
2L
L
qL
qL
M = qL
2
Q(x)
qL
qL
M(x)
2
qL
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
19 / 44
Truss Example
3
2
5
1
4
EA
EA
y
x
1
1
1
2EA
2EA
EA
1
2
3
4
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
20 / 44
Truss Discretization
3
2
5
1
4
EA
EA
1
1
1
2 EA
2 EA
EA
x
y
1
2
4
3
u
u
u
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
6
7
8
no elem.
nodes
global DOFs
length
α
c
=
cos α
s
=
sin α
1
1, 3
1, 2, 5, 6
√
2
π
/
4
√
2/2
√
2/2
2
1, 2
1, 2, 3, 4
1
0
1
0
3
3, 2
5, 6, 3, 4
1
−
π
2
0
−
1
4
2, 4
3, 4, 7, 8
√
2
π
/
4
√
2/2
√
2/2
5
3, 4
5, 6, 7, 8
1
0
1
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
21 / 44
Truss Element Library
Prismatic Bar
Stiffness Matrix
:
K
e
=
EA
L
c
2
cs
−
c
2
−
cs
cs
s
2
−
cs
−
s
2
−
c
2
−
cs
c
2
cs
−
cs
−
s
2
cs
s
2
=
EA
L
c
2
cs
−
c
2
−
cs
s
2
−
cs
−
s
2
c
2
cs
symm
s
2
Consistent Nodal Forces:
constant
distributed load
q
(
x
) =
q
F
e
q
=
qL
2
c
s
c
s
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
22 / 44
Element Stiffness Matrix
K
e
1
4
×
4
=
K
e
4
4
×
4
=
EA
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
K
e
2
4
×
4
=
K
e
5
4
×
4
=
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
K
e
3
4
×
4
=
EA
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
0
0
0
0
−
1 0
1
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
23 / 44
Assembly
Global Stiffness Matrix
K
=
0
8
×
8
(+)
K
e
1
4
×
4
(+)
K
e
2
4
×
4
(+)
K
e
3
4
×
4
(+)
K
e
4
4
×
4
(+)
K
e
5
4
×
4
F
q
=
0
8
×
1
(no distributed loads)
Before assembly
K
=
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
24 / 44
no elem.
global DOFs
1
1, 2, 5, 6
K
e
1
4
×
4
=
EA
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
K
=
EA
√
2
2
√
2
2
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
25 / 44
no elem.
global DOFs
2
1, 2, 3, 4
K
e
2
4
×
4
=
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
+
0
−
1 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
+
0
√
2
2
+
0
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
−
1
0
1 0
0
0 0 0
0
0
0 0
0
0 0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0 0
0
0
0 0
0
0 0 0
0
0
0 0
0
0 0 0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
26 / 44
no elem.
global DOFs
3
5, 6, 3, 4
K
e
3
4
×
4
=
EA
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
0
0
0
0
−
1 0
1
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0 0
−
1
0 1
+
0
0
0
0
0 0
0
0
0
1
0
−
1
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
0
√
2
2
+
0
0 0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
+
0
√
2
2
+
1
0 0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
27 / 44
no elem.
global DOFs
4
3, 4, 7, 8
K
e
4
4
×
4
=
EA
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
−
1
0 1
+
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
1
+
√
2
2
0
−
1
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
√
2
2
+
1
0
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
28 / 44
no elem.
global DOFs
5
5, 6, 7, 8
K
e
5
4
×
4
=
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
−
1
0 1
+
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
1
+
√
2
2
0
−
1
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
1
√
2
2
+
0
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
+
0
√
2
2
+
1
+
0
0
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
−
1
0
√
2
2
+
1
√
2
2
+
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
0
√
2
2
+
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
29 / 44
Assembly
Generic System of Linear Equations
Kd
=
F
q
=
0
K
=
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
−
1
0 1
+
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
1
+
√
2
2
0
−
1
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
√
2
2
+
1
0
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
−
1
0
√
2
2
+
1
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
det K
=
0,
rank
(
K
) =
5
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
30 / 44
Boundary Conditions
kinematic constraints
external nodal forces
(essential "BCs")
(natural "BCs")
u
1
=
0,
u
2
=
0,
u
4
=
0
at node no 4,
P
=
10
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
→
0
0
u
3
0
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
0
0
0
0
0
0
→
0
0
0
0
0
0
0
−
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
31 / 44
Solution I
EA
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
−
1
0
1
+
√
2
2
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
1
+
√
2
2
0
−
1
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
1
√
2
2
√
2
2
+
1
0
0
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
−
1
0
√
2
2
+
1
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
0
0
u
3
0
u
5
u
6
u
7
u
8
=
0
0
0
0
0
0
0
−
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
32 / 44
Solution II
EA
1
+
√
2
2
0
0
−
√
2
2
−
√
2
2
0
√
2
2
+
1
√
2
2
−
1
0
0
√
2
2
√
2
2
+
1
0
0
−
√
2
2
−
1
0
√
2
2
+
1
√
2
2
−
√
2
2
0
0
√
2
2
√
2
2
u
3
u
5
u
6
u
7
u
8
=
0
0
0
0
−
P
+
−
EA
−
1
0
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
0
−
√
2
2
−
√
2
2
−
1
0
0
−
√
2
2
0
0
−
√
2
2
0
0
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
33 / 44
Solution III
Solution is:
u
3
u
5
u
6
u
7
u
8
=
1
EA
−
P
P
√
2
+
1
−
P
P
√
2
+
2
−
P
2
√
2
+
3
→
d
=
0
0
u
3
0
u
5
u
6
u
7
u
8
=
1
EA
0
0
−
P
0
P
√
2
+
1
−
P
P
√
2
+
2
−
P
2
√
2
+
3
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
34 / 44
Reactions at Supports
W
=
Kd
−
F
q
=
K
1
EA
0
0
−
P
0
P
√
2
+
1
−
P
P
√
2
+
2
−
P
2
√
2
+
3
−
0
=
0
−
P
0
2P
0
0
0
−
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
35 / 44
Equations of Equilibrium
2
3
4
P
1
1
1
x
y
1
0
P
2P
∑
i
P
i
y
?
=
0
−
P
+
2P
−
P
=
0
∑
i
M
i
1
?
=
0
2P
·
1
−
P
·
2
=
0
∑
i
M
i
4
?
=
0
P
·
2
−
2P
·
1
=
0
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
36 / 44
Postprocessing in Global Coordinate System
Siły przyw ˛ezłowe W
−→
W
e
x
1
,
↑
W
e
y
1
α
−→
W
e
x
2
,
↑
W
e
y
2
W
e
=
W
e
x
1
W
e
y
1
W
e
x
2
W
e
y
2
=
K
e
d
e
−
F
e
q
=
K
e
d
e
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
37 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
1
1
,
3
1, 2
,
5, 6
EA
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
0
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
=
−
P
−
P
P
P
x
y
1
3
1
P
P
P
P
pr ˛et rozci ˛agany
P
√
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
38 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
2
1
,
2
1, 2
,
3, 4
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
0
0
−
P
EA
0
=
P
0
−
P
0
2
2
1
P
P
x
y
pr ˛et ´sciskany
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
39 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
3
3
,
2
5, 6
,
3, 4
EA
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
0
0
0
0
−
1 0
1
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
−
P
EA
0
=
0
−
P
0
P
3
3
2
P
P
x
y
pr ˛et ´sciskany
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
40 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
4
2
,
4
3, 4
,
7, 8
EA
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
1
2
√
2
−
1
2
√
2
1
2
√
2
1
2
√
2
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
=
P
P
−
P
−
P
x
y
4
4
2
P
P
P
P
pr ˛et ´sciskany
P
√
2
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
41 / 44
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
0
0
−
P
EA
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
no elem.
nodes
global DOFs
5
3
,
4
5, 6
,
7, 8
EA
1
0
−
1 0
0
0
0
0
−
1 0
1
0
0
0
0
0
P
(
√
2
+
1
)
EA
−
P
EA
P
(
√
2
+
2
)
EA
−
P
(
2
√
2
+
3
)
EA
=
−
P
0
P
0
5
3
4
P
P
x
y
pr ˛et rozci ˛agany
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
42 / 44
Sprawdzenie
Siły przyw ˛ezłowe w pr ˛etach.
Reakcje wi ˛ezów, obci ˛a˙zenia w ˛ezłów.
3
3
2
P
P
2
2
1
P
P
4
4
2
P
P
P
P
5
3
4
P
P
1
3
1
P
P
P
P
x
y
x
y
2
3
4
P
1
0
P
2P
Równowaga w ˛ezłów:
P
1
P
1
P
2
1
P
1
P
2
P
3
4
P
2
2P
4
P
P
1
P
1
P
3
P
5
3
P
4
P
4
P
5
4
P
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
43 / 44
Axial Forces
G l o ba l i z a ti o n : Fo rce Tra n s fo rm a ti o n
x
y
i
j
f
xi
f
yi
f
xj
f
yj
f
yi
f
xi
f
xj
f
yj
α
_
_
_
_
T
=
c
s
0
0
−
s
c
0
0
0
0
c
s
0
0
−
s
c
f
x
i
f
y
i
f
x
j
f
y
j
=
c
s
0
0
−
s
c
0
0
0
0
c
s
0
0
−
s
c
f
x
i
f
y
i
f
x
j
f
y
j
W
e
=
T
W
e
MS
(L-53 CUT)
FEM
03/2012
44 / 44