MATHCAD 2000
1. Wprowadzenie
Mathcad 2000 to profesjonalny program matematyczny służący do rozwiązywania różnego typu
zagadnień inżynierskich. Umożliwia prowadzenie zaawansowanych obliczeń numerycznych, jak
również przekształceń symbolicznych (m.in. symboliczne obliczenia pochodnych, całek i granic
funkcji), czyli operacji związanych z analizą matematyczną.
W porównaniu do konkurencyjnych produktów Mathcad zajmuje szczególną pozycję. Pomimo
faktu, że w obliczeniach numerycznych jest słabszy od Mathlaba a w obliczeniach symbolicznych
wyraźnie ustępuje Mathematice, to jednak wyróżnia się z pośród innych pakietów:
• łatwością obsługi,
• pracą zbliżoną do naturalnych rachunków prowadzonych na kartce papieru,
• symboliczną prezentacją tworzonych wzorów (zgodną z ogólnie panującymi zwyczajami),
• wygodnym tworzeniem wykresów,
• operowaniem i przeliczaniem jednostek miar,
• pełnym wykorzystaniem graficznego środowiska systemów Windows.
Obszar roboczy
Mathcad używa standardowego interfejsu Windows (zob. rysunek powyżej), dlatego w niniejszym
kursie pominiemy oczywiste elementy „klikologii i klawiszologii stosowanej”, a skupimy się na
charakterystycznych dla Mathcada operacjach edycyjnych. Naszym głównym celem jest zapoznanie
się z ogromnymi możliwościami pakietu i zrozumienie specyfiki obliczeń numerycznych (np.
źródeł powstawania błędów numerycznych).
MATHCAD 2000
1
MATHCAD 2000 2
Jak widać na przedstawionym rysunku, okno robocze Mathcada zawiera oprócz menu głównego
różne paski narzędzi, które podobnie jak w aplikacjach MS-Office można dowolnie rozmieszczać na
pulpicie. Korzystanie z tych narzędzi odbywa się w standardowy sposób, to jest poprzez kliknięcie
myszą lub zastosowanie odpowiedniego skrótu z klawiatury. Mathcad stosuje specyficzny sposób
edycji wyrażeń matematycznych, podobny do używanego w programie Word edytora równań – tu
również operujemy tzw. kursorem dwuwymiarowym, który oprócz punktu wstawiania pokazuje
zakres aktywnego argumentu (szczegóły podane zostaną w przykładach).
Regiony
Wszystkie dane (wzory, wyniki, wykresy) są przechowywane w prostokątnych polach zwanych
regionami. W odróżnieniu od komórek Excela mogą one zajmować dowolną pozycję na arkuszu
roboczym. Regiony przeznaczone są przede wszystkim do przechowywania wzorów matema-
tycznych ale mogą również zawierać zwykły tekst (komentarze itp.), grafikę (np. wykresy funkcji)
oraz obiekty osadzone – tworzone przez inne aplikacje Windows.
Należy wspomnieć, że sposób rozmieszczenia regionów ma wpływ na kolejność wykonywanych
operacji i widzialność definiowanych przez użytkownika zmiennych, powinien więc być
dopasowany do realizowanego algorytmu obliczeniowego. Mathcad przelicza kolejne regiony w
naturalny sposób, począwszy od lewego górnego rogu „idąc” w prawo i w dół. (Wyjątkiem od tej
zasady są tzw. zmienne globalne, o których dowiemy się z przykładów).
2. Informacje podstawowe – przegląd
Punkt niniejszy stanowi przegląd operatorów, klawiszy funkcyjnych i narzędzi stosowanych w
Mathcadzie. Pomyślany został jako mała ściąga pomocna przy realizacji przykładów prezento-
wanych na ćwiczeniach. Zanim zadasz pytanie prowadzącemu zajęcia zajrzyj tutaj i spróbuj
samodzielnie znaleźć odpowiedź. Pamiętaj, że podane tu informacje są wybiórcze, gdyż mają
jedynie ułatwić początki pracy z Mathcadem. Szczegółowe i pełniejsze informacje należy szukać w
systemie pomocy „Resource Center”. Zamiast żmudnego czytania tego punktu zacznij po prostu
pracę z Mathcadem i naucz się efektywnie posługiwać wbudowanym systemem pomocy.
Podstawowe operatory
Wykaz stosowanych w Mathcadzie operatorów i odpowiadających im klawiszy funkcyjnych
przedstawiono w załączniku 1. Większość podanych tam skrótów klawiaturowych nie trzeba
pamiętać gdyż można je zastąpić kliknięciem odpowiedniej ikonki z pasków narzędziowych lub z
menu głównego. Operowanie myszką jest jednak wolniejsze i często mniej wygodne, dlatego warto
chociaż pobieżnie zapoznać się z przedstawioną tabelą i zapamiętać kilka kluczowych skrótów
klawiaturowych. Przegląd pozostałych klawiszy funkcyjnych można znaleźć w systemie pomocy
„Resource Center” (hasło: keyboard help).
MATHCAD 2000 3
Wybrane funkcje wbudowane
System Mathcad dysponuje ogromną liczbą wbudowanych funkcji matematycznych, takich jak:
• funkcje trygonometryczne,
sin, cos, tan, cot
• wykładnicze
exp, log, ln
• wektorowe,
max, min, matrix, diag, rows, cols
• statystyczne,
normal, gamma.
Istnieją ponadto funkcje-procedury dedykowane do rozwiązywania konkretnych zagadnień. Ich
używanie jest już trudniejsze i wymaga pewnej wiedzy z metod numerycznych, jednak im właśnie
należy poświęcić więcej czasu aby móc w pełni korzystać z potencjału obliczeniowego Mathcada.
Na początek podajemy tylko dwa przykłady:
lsolve(A, v) – rozwiązywanie układu równań liniowych,
find(x1, x2, ...) – poszukiwanie rozwiązania równań nieliniowych.
Predefiniowane zmienne globalne
π = 3.14159...
e = 2.71828...
ORIGIN = 0 – definiuje początkowy indeks pierwszego elementu wektorów i macierzy
TOL = 10
-3
– dopuszczalny błąd względny przy obliczaniu całek, rozwiązywaniu równań, itp.
Definiowanie własnych zmiennych i funkcji
Kluczową rolę w obliczeniach prowadzonych w Mathcadzie odgrywa możliwość definiowania
własnych zmiennych i funkcji. Raz zdefiniowaną zmienną lub funkcję można używać wielokrotnie
upraszczając i zwiększając przejrzystość obliczeń. Zmienne (lub funkcje) mogą mieć zasięg lokalny
lub globalny. Zmienne lokalne widziane są na prawo i poniżej definicji, natomiast zmienne
globalne widziane są w całym arkuszu niezależnie od miejsca ich definicji. Definicja zmiennej
lokalnej ma postać:
nazwa_zmiennej_lokalnej
:= wartość (lub ogólniej - wyrażenie),
a zmiennej globalnej:
nazwa_zmiennej_globalnej
≡≡≡≡ wartość.
Operatory ”
:=” i ”≡” uzyskujemy poprzez wpisanie z klawiatury odpowiednio dwukropka ”:” lub
tyldy ”~” – Mathcad automatycznie przekształca wpisane znaki do postaci wyświetlanej powyżej.
Wartości zmiennych lokalnych można zmieniać w trakcie obliczeń – zmienna może przechowywać
różne wartości w kolejnych etapach obliczeń – nowa definicja niszczy starą.
Uwaga: Mathcad rozróżnia wielkie i małe litery a nawet rodzaj zastosowanej czcionki. Na przykład
zmienne: abc, ABC oraz abc oznaczają trzy różne wielkości.
Obliczenia symboliczne kontra numeryczne
Mathcad dysponuje dwoma niezależnymi mechanizmami przetwarzania danych:
• obliczenia numeryczne – stosowane w typowych zagadnieniach inżynierskich, gdzie
głównym celem jest znalezienie rozwiązania w postaci konkretnych wartości liczbowych,
wyrażenie = wynik w postaci liczby
(klaw. =)
• obliczenia symboliczne – stosowane przede wszystkim w analizie matematycznej, w której (o
ile to możliwe) staramy się uzyskać rozwiązanie w postaci zwięzłego wzoru matematycznego
wyrażenie
→ wynik w postaci wzoru
(klaw. Ctrl+. lub Shift+Ctrl+.)
MATHCAD 2000 4
W wielu przypadkach możemy stosować obydwie metody zamiennie lub równolegle, jednak
istnieją klasy zagadnień do rozwiązania których prowadzi tylko jedna z nich. Na przykład pochodne
lub całki nieoznaczone obliczamy w sposób symboliczny, podczas gdy rozwiązanie równania
przestępnego możemy (w ogólnym przypadku) przeprowadzić jedynie na drodze numerycznej.
Warto zauważyć, że obliczenia symboliczne pozwalają na lepszą ocenę jakościową wyników, ale są
kosztowne i nie zawsze możliwe do przeprowadzenia.
Jednostki miar
Jedną z wyróżniających cech Mathcada jest automatyczne przeliczanie różnych jednostek miar.
Mathcad rozpoznaje systemy miar m.in.: SI (m, s, kg,...), CGI (cm, sec, gm,...), US (ft, sec, lb,...).
Jednostkę miary dodajemy bezpośrednio po liczbie (lub wyrażeniu) z użyciem lub bez operatora
mnożenia (szczegóły podane będą w przykładach). Możemy definiować własne jednostki miar –
jako pochodne od miar pierwotnych. Wykaz predefiniowanych miar i odpowiadających im skrótów
znaleźć można w Resource Center (hasło: units and dimensions).
Liczby zespolone
Mathcad stosuje powszechną notację liczb zespolonych: a + b
⋅i, lub a + b⋅j. Literę „i” lub „j”
należy podać podobnie jak jednostkę miary zaraz po liczbie (lub wyrażeniu), jednak nie można ich
stosować oddzielnie, tzn. litera i (lub j) musi być poprzedzona wyrażeniem, w szczególnym
przypadku liczbę urojoną i zapisujemy jako 1i. Mathcad automatycznie rozpoznaje zespolone
argumenty w operatorach i funkcjach oraz stosuje zespolone odpowiedniki tych funkcji.
Zmienne zakresowe – obliczenia iteracyjne
Szczególnym typem zmiennych w Mathcadzie są zmienne zakresowe „od..do”, służące przede
wszystkim do obliczeń cyklicznych lub iteracyjnych. Typowym ich zastosowaniem jest tablico-
wanie wartości funkcji lub obliczanie sum szeregów. Mają również zastosowanie w różnego
rodzaju operacjach macierzowych. Zmienne zakresowe definiujemy w postaci:
x
:= x1, x2 .. x3
(zamiast dwóch kropek .. używamy średnika ;)
gdzie x jest nazwą definiowanej zmiennej, x1 i x3 oznaczają początek i koniec zakresu, a x2
(opcjonalne) określa w sposób pośredni przyrost kolejnych elementów ciągu. Na przykład do
stablicowania funkcji f(x) w przedziale od 1 do 5 co 0.2 wygodnie jest zdefiniować następującą
zmienną zakresową:
x
:= 1, 1.2 .. 5.
Po wpisaniu formuły „f(x) =” Mathcad poda wszystkie wyniki (dla kolejnych x) w postaci tablicy.
Wektory i macierze
Wiele zagadnień matematycznych zapisać można w zwartej notacji macierzowej. Mathcad
umożliwia definiowanie wektorów i macierzy na wiele różnych sposobów. Typowe operacje
algebraiczne jak dodawanie czy mnożenie macierzy zapisujemy w naturalny sposób, korzystając ze
standardowych operatorów +, -, *, itd. Jednak istnieje wiele specyficznych operatorów mających
zastosowanie jedynie dla zmiennych wektorowych lub macierzowych. Najważniejsze z nich zostały
przedstawione w załączniku 1, w sekcji operacje macierzowe. Szczegółowe informacje dotyczące
problematyki notacji macierzowej w Mathcadzie zostaną pokazane w przykładach.
Uwaga: Domyślnie, początkowy indeks wektorów i macierzy w Mathcadzie zaczyna się od 0 a nie
od 1, można go zmienić poprzez przedefiniowanie wbudowanej zmiennej globalnej ORIGIN. Aby
początkowe indeksy wektorów i macierzy zaczynały się od 1 należy na początku dokumentu wpisać
następującą definicję: ORIGIN := 1 lub zmienić wartość tej zmiennej w menu Math/Options.
MATHCAD 2000 5
Wykresy funkcji
Wykresy w Mathcadzie tworzymy z menu
Insert/Graph lub z paska narzędziowego Graph.
Na jednym wykresie można przedstawić kilka
funkcji oraz dodawać punkty kontrolne lub
asymptoty (rys. obok). Kolejne funkcje dodajemy
poprzez wpisanie przecinka w polu opisu funkcji,
mogą być one zależne od jednej wspólnej zmiennej
lub każda z funkcji może mieć swój niezależny
argument. Formatowanie wykresu odbywa się po
jego podwójnym kliknięciu i wybraniu odpo-
wiednich opcji z okienka dialogowego.
Pola tekstowe
Pola tekstowe służą do dokumentowania prowadzonych obliczeń (komentarze, objaśnienia, itp.).
Domyślnie każdy nowo tworzony region zawiera równanie, jednak po wpisaniu pierwszego wyrazu
i spacji automatycznie zmienia się w region tekstowy. Pewniejszym sposobem jest zastosowanie
cudzysłowu [”] na początku wpisywanego tekstu – jest to sygnał dla Mathcada, że chcemy
wpisywać tekst a nie wzór. Teksty możemy formatować jak w zwykłych edytorach tekstu lub
pośrednio poprzez zastosowanie styli (podobnie jak w Wordzie).
Formatowanie danych i wyników
Formatowanie równań i wyników uzyskujemy z menu Format/Equation i Format/Result. Za
pomocą tych funkcji możemy ustawić rodzaj i wielkość czcionki lub ilość cyfr wyświetlanych w
wynikach.
Pozycjonowanie regionów
Przejrzystość tworzonej w Mathcadzie dokumentacji uzyskamy poprzez właściwe rozmieszczenie
regionów, tak aby nie zachodziły na siebie i były odpowiednio wyrównane. Pomocne w tym celu są
funkcje z menu Format/Separate_Regions i Format/Align_Regions.
Tematy pominięte w niniejszym opracowaniu
W niniejszym przeglądzie nie ma miejsca na prezentację innych funkcji Mathcada. Pominięte
zostały takie tematy jak osadzanie obiektów i dynamiczna wymiana danych czy współpraca z
pakietami pomocniczymi AxumLE i SmartSketch. Zainteresowanych odsyłamy jak zwykle do
Resource Center.
2
0
2
4
2
2
4
4
4
−
tan x
( )
sin x
( )
cos x
( )
π
π
−
π
−
2
π
2
x
MATHCAD 2000
6
8
Załącznik 1:
Podstawowe operatory Mathcada
Klawisz
Operacja
:
dwukropek
:= definicja zmiennej lub funkcji lokalnej
~
tylda
definicja globalna
=
numeryczne obliczenie wyrażenia
Ctrl+.
kropka
symboliczne obliczenie wyrażenia
Defi
ni
cj
a i
oblicz
anie
Ctrl+Shift+.
symboliczne obliczanie z kluczem
+
dodawanie
-
odejmowanie lub negacja
*
mnożenie
/
dzielenie
Ctrl+/
dzielenie w wierszu
Ctrl+Enter
dodawanie z przeniesieniem do następnego wiersza
^
potęgowanie
(, ),
’apostrof
nawiasy: (lewy, )prawy, ‘dwustronny-automatyczny
\
pierwiastek kwadratowy
Ctrl+\
pierwiastek dowolnego stopnia
|
wartość bezwzględna lub wyznacznik macierzy
"
liczba sprzężona zespolona
Operat
ory
ary
tm
et
ycz
ne
!
silnia (n!)
<
mniejszy
>
większy
Ctrl+9
mniejszy lub równy
Ctrl+0
większy lub równy
Ctrl+=
równy
Operat
ory
log
icz
ne
Ctrl+3
nie równy
?
pochodna pierwszego rzędu
Ctrl+?
pochodna dowolnego rzędu
&
całka oznaczona
Ctrl+I
całka nieoznaczona
Ctrl+L
granica dwustronna
Ctrl+A
granica prawostronna
Ctrl+B
granica lewostronna
$
suma po zmiennej iteracyjnej
Ctrl+4
suma elementów wektora
Ctrl+Shift+4
suma od..do
#
iloczyn po zmiennej iteracyjnej
Pochodne, całki, g
ranice
Ctrl+Shift+3
iloczyn od..do
,
przecinek
oddzielanie argumentów funkcji lub elementów wektora
;
średnik
definicja zakresu (zmiennej iteracyjnej)
.
kropka
separator liczb dziesiętnych lub indeks dolny ozdobny (zwykły)
[
indeks elementu wektora
Ctrl+8
iloczyn wektorowy
Ctrl+1
transpozycja wektora lub macierzy
Ctrl+6
kolumna macierzy
^-1
macierz odwrotna
Operat
ory
m
aci
erz
owe
Ctrl+-
minus
operator wektoryzacji obliczeń
Znak + Ctrl+G
litery greckie (alfa, beta, ...)
Ctrl+Shift+P
liczba pi
Ctrl+Shift+Z
znak nieskończoności
Insert
przełączenie punktu wstawiania (początek-koniec)
Spacja
poszerzenie aktywnego wyrażenia
Tab, Shift+Tab
aktywacja kolejnego lub poprzedniego pola
L
ite
ry
g
re
ck
ie
,
klaw. edy
cy
jne
Ctrl+D
usunięcie aktywnego regionu
7
a, : dwukropek, 1 (itd))
a
b
+
4
−
=
a, +, b, =
a
b c
⋅
+
29
−
=
a, +, b, *, c, =
f x
( )
a x
2
⋅
b x
⋅
+
c
+
:=
f(x), : dwukropek, a, *, x, ^, 2, spacja, +, b, *, x, +, c
f 1
( )
2
=
f 0
( )
6
=
f(1)=
Rozwiązanie równania kwadratowego f(x) = 0
∆
b
2
4a c
⋅
−
:=
∆
1
=
D, Ctrl+G, :, b^2, spacja, -4a*c
x1
b
−
∆
−
2a
:=
x1
2
=
x1, :, -, b, -, \, D, Ctrl+G, spacja, spacja, /, 2a, x1, =
x2
b
−
∆
+
2a
:=
x2
3
=
jak wyżej
Bardziej zaawansowany sposób rozwiązania
MATHCAD 2000/2001 - Proste Obliczenia
Inteligentny kalkulator
(i trochę o edycji równań)
wzór
klawiatura
1
2 3
⋅
+
7
=
1, +, 2, *, 3, =
1
2
+
(
) 3
⋅
9
=
1, +, 2, spacja, *, 3, =
1
6
1
4
+
1
12
+
0.5
=
1, /, 6, spacja, +, 1, /, 4, spacja, +, 1, /, 12, =
1
6
1
4
+
1
12
+
1
2
→
1, /, 6, spacja, +, 1, /, 4, spacja, +, 1, /, 12, Ctrl+.
sin
π
6
1
2
→
sin(, Ctrl+Shift+P, /, 6, ),Ctrl+.
Definiownie zmiennych i funkcji
wzór
klawiatura
a
1
:=
b
5
−
:=
c
6
:=
8
Przykład: Na ciało o pewnej masie działa siła F = 20kN. Oblicz
1, ft, =, cm (w polu jednostki wyniku)
1ft
30.48 cm
=
1, km, +, 20, m, +, 34, cm, =
1km
20m
+
34cm
+
1020.34 m
=
klawiatura lub z menu Insert/Unit
stosowanie miar
Jednostki miar
3
2
1
0
1
2
3
2
2
tan x
( )
sin x
( )
cos x
( )
π
−
2
π
2
x
1. z klawiatury Shift+@ lub myszką menu
Insert/Graph/X-Y Plot
2. w pole opisu funkcji wpisać f(x)
3. w pole argumentu wpisać x
4. w polach zakresu argumentu podać 1 i 4
5. sformatować wykres przez podwójne kliknięcie
i wybranie odpowiednich opcji np.:
X-Y Axes / Axes Style / Crossed
1
2
3
4
1
1
2
f x
( )
x
opis czynności
wykres
Tworzenie wykresu funkcji
f(x), Ctrl+=, 0, Ctrl+Shift+., solve, przecinek, x, Enter
f x
( )
0
= solve x
,
2
3
→
9
teraz km już nie oznacza 1 kilometr a liczbę 123
x
246
=
x
2km
:=
definicja lokalnej zmiennej
km
123
:=
tu jest OK
x
2000 m
=
x
2km
:=
Uwaga: Definicja zmiennej o takiej samej nazwie jak jednostka miar zasłania jej znaczenie
wynik
m
2000 kg
=
m
F
a
:=
dane
a
10
m
s
2
:=
F
20kN
:=
definicja własnej jadnostki miar
kN
1000N
:=
jego masę jeżeli wiadomo, że przyspieszenie wynosi a = 10m/s
2
.
10
a
i
2
π
⋅
i
n
:=
definicja wektora poprzez zmienną iterowaną
a, [, i, :, 2, Ctrl+Shift+P, i, /, n
i
0 n
..
:=
Tu dla oszczędności miejsca rozrzedzono podział na n=10 odcinków.
n
10
:=
Inny sposób (wektorowy)
0
2
4
6
8
1
1
Wyniki prezentowane po lewej są tablicami, a nie - jak dotychczas -
skalarem. Aby wyświetlić kolejne elementy tablicy należy ją
uaktywnić (poprzez kliknięcie) i przewinąć do szukanego elementu.
Można również zwiększyć liczbę wyświetlanych elementów tablicy
rozciągając jej dolną krawędź!!!
Poniżej przedstawiamy wykres stablicowanej funkcji
a, =
sin, (, a, ), =
sin a
( )
0
0.309
0.588
0.809
0.951
1
0.951
0.809
0.588
0.309
0
-0.309
-0.588
-0.809
-0.951
-1
=
a
0
0.314
0.628
0.942
1.257
1.571
1.885
2.199
2.513
2.827
3.142
3.456
3.77
4.084
4.398
4.712
=
a, :, 0, przecinek, Ctrl+Shift+P, /, 10, ;średnik, Ctrl+Shift+P
a
0
π
10
,
2
π
⋅
..
:=
Opis
Wzór
Zmienne zakresowe 1. Tablicowanie funkcji
MATHCAD 2000/2001 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
11
Teraz wyniki są nie tablicami a wektorami!!!
I tak przy okazji doszliśmy do naturalnej definicji wektora
poprzez iterowaną definicje kolejnych jego elementów.
Dostęp do kolejnych elementów wektora uzyskujemy
stosując operator indeksu "[".
a
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.628
1.257
1.885
2.513
3.142
3.77
4.398
5.027
5.655
6.283
=
sin a
( )
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.588
0.951
0.951
0.588
0
-0.588
-0.951
-0.951
-0.588
0
=
Zmienne zakresowe 2. Sumowanie szeregów
n
10
:=
i
0 n
..
:=
Uwaga: do obliczenia powyższej sumy nie warto definiować wektora
a, tylko od razu wpisać wzór
0
n
i
1
2
i
∑
=
1.999023
=
co zaoszczędza zużycie pamięci i zwiększa szybkość
obliczeń. (przedstawiony po lewej sposób obliczeń jest
nieefektywny - pokazano go jedynie dla celów
dydaktycznych).
a
i
1
2
i
:=
s
i
a
i
∑
:=
a
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.01563
0.00781
0.00391
0.00195
0.00098
=
s
1.999023
=
Wektory i macierze
UWAGA: początkowy indeks wektorów i macierzy
to 0 a nie 1. To domyślne zachowanie Mathcada
możemy zmienić definiująć zmienną ORIGIN
ORIGIN
1
:=
Różne sposoby definiowania wektorów i macierzy
1
.
wystarczy określić kilka wyrazów wektora lub macierzy (pozostałe elementy przyjmą domyślne wartości zerowe).
Wymiary wektora-macierzy określają maksymalne indeksy użyte do tej pory:
12
4.
Poprzez generowanie
A, :, Ctrl+M, podać wymiary i wpisać kolejne elementy
A
1
0
2
3
0
4
:=
3.
Ctrl+M lub przycisk Insert Matrix na pasku narzędziowym Matrix.lub w menu Insert
dla macierzy dane czytane są wierszami!!!
B
1
3
5
2
4
6
=
B
i j
,
1
2
3
4
5
6
:=
j
1 2
..
:=
z
1
3
7
=
z
i
1
3
7
:=
lub
w
2
4
6
=
w
i
2 i
⋅
:=
i
1 3
..
:=
2.
można zastosować zmienne zakresowe i definicję wektora (macierzy) za pomocą wzoru iteracyjnego (jak
przedstawiono przy omawianiu zmiennych zakresowych) lub podając bezpośrednio kolejne elementy wektora
oddzielone przecinkami.
A
1
0
0
3
0
5
=
analogicznie
A
2 2
,
3
:=
A
2 3
,
5
:=
A, [, 0, przecinek, 0, :, 1
A
1 1
,
1
:=
Dla macierzy drugi indeks oddzielamy przecinkiem
V
1.23
0
3.5
=
V, [, :, 1.23
V
3
3.5
:=
V
1
1.23
:=
13
wyciągnięcie n-tej kolumny (Ctrl+6)
A
2
〈 〉
2
3
=
Ile kolumn i wierszy
rows A
( )
2
=
cols A
( )
3
=
Inne rzadziej używane funkcje
wartości własne macierzy
eigenvals D
( )
43.866
0.866
−
0
=
wyznacznik macierzy (tylko dla mac. kwadratowych)
D
0
=
D
1
3
5
8
18
28
8
16
24
=
D
B A
⋅
:=
iloczyn macierzowy
A B
⋅
7
29
10
36
=
suma i różnica macierzy
C
A
−
0
2
1
1
5
2
=
A
C
+
2
2
5
7
5
10
=
BŁĄD!
niezgodne wymiary macierzy
A
B
+
=
A
B
+
transpozycja macierzy (Ctrl+1)
C
1
2
3
4
5
6
=
C
B
T
:=
B
1
3
5
2
4
6
=
A
1
0
2
3
0
4
=
Operacje algebraiczne na wektorach i macierzach
H
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
H
identity 3
( )
:=
I
1
0
0
0
3
0
0
0
7
=
I
diag z
( )
:=
14
w
z
×
10
8
−
2
=
iloczyn wektorowy (Ctrl+8)
max B
( )
6
=
min B
( )
1
=
szukanie elementów o największej lub najmniejszej wartości
Operacje na blokach
Służą do tego specjalne funkcje blokowe:
submatrix() - wyciągnięcie bloku z macierzy
•
augment() - sklejenie dwóch macierzy w poziomie
•
stack() - sklejenie macierzy w pionie
•
Opis poszukaj samodzielnie w "Helpie" lub "Recource Center"
Wektory i macierze funkcyjne przykład
M x
( )
sin x
( )
cos x
( )
x
2
2
−
x
:=
M 1
( )
0.841
0.54
1
−
1
=
M
π
6
1
2
1
2
3
⋅
1
36
π
2
⋅
2
−
1
6
π
⋅
→
15
x
3
6 x
2
⋅
−
11 x
⋅
+
6
− factor
x
1
−
(
) x
2
−
(
)
⋅
x
3
−
(
)
⋅
→
factor - faktoryzacja - rozkład na czynniki
f x
( ) expand
x
3
6 x
2
⋅
−
11 x
⋅
6
−
+
→
expand - rozwinięcie na składniki
W wielu przypadkach standardowy operator obliczeń symbolicznych -> jest niewystarczający i musimy
"podpowiedzieć" Mathcadowi w jakiej postaci chcemy otrzymać wzór. Poniżej przedstawiamy listę najczęściej
stosowanych modyfikatorów (zob. pasek Symbolic)
Słowa kluczowe - modyfikatory obliczeń symbolicznych
teraz znów jest OK!!!!
f X
( )
X
1
−
(
) X
2
−
(
)
⋅
X
3
−
(
)
⋅
→
X
X
:=
Aby zapobiec takiej sytuacji należy zastosować
rekurencyjną definicję zmiennej
to w wyrażeniach symbolicznych będzie niestety używana jej
wartość a nie symbol X
f X
( )
6
→
jeżeli zmienna X została zdefiniowana (tak jak tutaj)
X
4
:=
UWAGA:
zwykłe obliczenie symboliczne (f(x), Ctrl+.)
f x
( )
x
1
−
(
) x
2
−
(
)
⋅
x
3
−
(
)
⋅
→
definicja funkcji
f x
( )
1
3
i
x
i
−
(
)
∏
=
:=
Opis
Wzór
UWAGA: Obliczenia symboliczne można wywoływać na dwa różne sposoby:
poprzez menu Symbolics
1.
poprzez przyciski paska narzędziowego Symbolic.
2.
Pierwszy sposób, choć może trochę łatwiejszy w użyciu, jest o wiele mniej elastyczny, dlatego w niniejszym
opracowaniu ograniczamy się do podania przykładów z zastosowaniem paska narzędziowego Symbolic (można też
korzystać z klawiatury ale wygodniejsze w tym przypadku jest używanie myszy).
Przekształcenia algebraiczne
MATHCAD 2000/2001 - Obliczenia symboliczne
przykład - wyznaczenie 50 cyfry po przecinku liczby
π
liczba m może być z zakresu 1
m
≤
250
≤
!!!
float,m - podaj wynik w postaci liczb rzeczywistych z m cyframi znaczącymi
sin x
( )
3
sin x
( ) cos x
( )
2
⋅
+
simplify trig
,
sin x
( )
→
simplify, trig - wykorzystaj ogolnie znane tożsamości trygonometryczne
Do przekształceń trygonometrycznych przydatny jest modyfikator
Podobnie, ale bardziej precyzyjnie działa klucz assume bo pozwala określać dziedzinę pojedynczej zmiennej. Przykład
podajemy na końcu tego punktu.
x
2
simplify assume
RealRange 0
∞
,
(
)
=
,
x
→
podpowiadamy, że x jest nieujemne co pozwala
jeszcze lepiej uprościć wyrażenie
dla liczb rzeczywistych - już bez kłopotów
x
2
simplify assume
real
=
,
signum x
( ) x
⋅
→
x
2
simplify
csgn x
( ) x
⋅
→
tu upraszczamy ale otrzymujemy rozwiązanie w
dziedzinie zespolonej
tu nie wie co z tym chcemy zrobić
x
2
x
2
( )
1
2
→
simplify, assume=real - mówi że zmienne są liczbami rzeczywistymi
simplify, assume=RealRange(a,b) - lub ograniczone w pewnym przedziale
Czasami należy pomóc jeszcze bardziej poprzez ograniczenie dziedziny
Materiał dodatkowy
x
2
1
−
x
1
−
simplify
x
1
+
→
Musimy mu podpowiedzieć żeby starał się możliwie najlepiej
uprościć wyrażenie
x
2
1
−
x
1
−
x
2
1
−
(
)
x
1
−
(
)
→
Jeżeli mogą wystąpić potencjalne osobliwości to Mathcad nie
upraszcza wyrażeń automatycznie
simplify - uprość wyrażenie
π float 51
,
3.1415926535897932385
→
π float 51
,
3.1415926535897932385
→
1
x
2
−
1
x
1
−
−
factor
1
x
2
−
(
) x
1
−
(
)
⋅
→
16
17
Shift+/, 'apostrof, x^3, spacja, +, sin(x), tab, x, Ctrl+.
x
x
3
sin x
( )
+
(
)
d
d
3 x
2
⋅
cos x
( )
+
→
Ctrl+L, sin(x)/x, tab, x, tab, 0, Ctrl+.
0
x
sin x
( )
x
lim
→
1
→
Opis
Wzór
Granice, pochodne i całki
uprość wyrażenie przy założeniu że x
0
≤
x
2
assume x
RealRange
∞
−
0
,
(
)
=
,
simplify
x
−
→
assume X=real - X jest liczbą rzeczywistą
assume X=RealRange(a,b) - X jest liczbą rzeczywistą z przedziału (a,b)
Materiał dodatkowy
x
2
π
2
−
factor
float 3
,
x
3.14
−
(
) x
3.14
+
(
)
⋅
→
grupowanie - klikaj kolejne modyfikatory i
dopiero potem je redaguj
x
2
π
2
−
factor
x
π
−
(
)
x
π
+
(
)
⋅
→
float 3
,
x
3.14
−
(
) x
3.14
+
(
)
⋅
→
Pozostałe modyfikatory stosowane są w bardziej zaawansowanych obliczeniach. Część z nich poznamy w dalszej
części materiału.
Przydatnym skrótem klawiaturowym jest Ctrl+Shift+. (drugi przycisk), który pozwala na wprowadzanie dowolnych
modyfikatorów z klawiatury - trzeba jednak wiedzeć co wpisać.
UWAGA: w jednym regionie można zrealizować serię obliczeń symbolicznych po kolei lub poprzez grupowanie
modyfikatorów
f x
( ) expand x
,
x
3
6 x
2
⋅
−
11 x
⋅
6
−
+
→
f x
( ) coeffs x
,
6
−
11
6
−
1
→
porównaj współczynniki poniżej
f x
( )
x
1
−
(
) x
2
−
(
)
⋅
x
3
−
(
)
⋅
→
coeffs - podaj współczynniki wielomianu
Materiał dodatkowy
18
teraz OK
C x
( ) simplify
1
→
tu też często trzeba dopomóc w upraszczaniu wyrażeń
C x
( )
cos x
( )
2
sin x
( )
2
+
→
macierz funkcyjna
C x
( )
cos x
( )
sin x
( )
sin x
( )
−
cos x
( )
:=
inny przykład
A
1
−
substitute a d
⋅
b c
⋅
−
DET
=
,
d
DET
c
−
DET
b
−
DET
a
DET
→
subtitute,wyr1=wyr2 - podstaw wyr2 zamiast wyr1
Przy okazji pokazujemy przykład zastosowania modyfikatora substitute
A
a d
⋅
b c
⋅
−
→
A
1
−
d
a d
⋅
b c
⋅
−
(
)
c
−
a d
⋅
b c
⋅
−
(
)
b
−
a d
⋅
b c
⋅
−
(
)
a
a d
⋅
b c
⋅
−
(
)
→
A
a
c
b
d
:=
d
ORIGIN
1
:=
Obliczenia symboliczne na macierzach
Ponieważ temat jest dobrze znany a cała zabawa polega na wywoływaniu odpowiednich symboli z paska
narzędziowego "Calculus" lub używaniu odpowiednich skrótów klawiaturowych przechodzimy do ćwiczeń.
sin x
( ) series x
, 10
,
x
1
6
x
3
⋅
−
1
120
x
5
⋅
1
5040
x
7
⋅
−
+
1
362880
x
9
⋅
+
→
rozwinięcie względem X w otoczeniu punktu x0 do rzędu X
N
series,X=x0,N - rozwiń funkcję w szereg Taylora
Shift+7, e^-x^2, tab, x, tab, 0, tab, Ctrl+Shift+Z, Ctrl+.
0
∞
x
e
x
2
−
⌠
⌡
d
1
2
π
1
2
⋅
→
19
C x
( )
1
−
simplify
cos x
( )
sin x
( )
−
sin x
( )
cos x
( )
→
C
α
( )
T
cos
α
( )
sin
α
( )
−
sin
α
( )
cos
α
( )
→
Jeżeli potrafimy obliczyć symbolicznie macierz odwrotną, to tym samym potrafimy symbolicznie rozwiązywać liniowe
układy równań.
Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą
solve, x - znajdź rozwiązanie równania względem zmiennej x
UWAGA: w równaniach nie używamy zwykłago znaku = tylko Ctrl+=. Można nie podawać prawej strony jeśli jest
=0 ale zmniejsza to czytelność zapisu, dlatego nie polecamy tego uproszczenia
a x
2
⋅
b x
⋅
+
c
+
0
=
solve x
,
1
2 a
⋅
b
−
b
2
4 a
⋅ c
⋅
−
(
)
1
2
+
⋅
1
2 a
⋅
b
−
b
2
4 a
⋅ c
⋅
−
(
)
1
2
−
⋅
→
Często wynik jest na tyle skomplikowany, że mathcad nie potrafi podać rozwiązania w zwięzłej postaci, jeśli wynik
zależy od kilku parametrów. Na przykład, jeżeli podobną do opisanej wyżej metody zastosujemy do ogólnego
równania 3-go stopnia to natrafimy na problem!!! Dużo łatwiej otrzymać rozwiązanie, gdy operujemy na konkretnych
liczbach, ale wynik też może być bardzo "rozlazły".
a x
3
⋅
b x
2
⋅
+
c x
⋅
+
d
+
0
= solve x
, →
a x
3
⋅
b x
2
⋅
+
c x
⋅
+
d
+
0
= solve x
, →
20
x
3
2x
2
+
3x
+
4
+
0
= solve x
,
1
−
3
35
15 6
⋅
+
(
)
1
3
⋅
5
3 35
15 6
⋅
+
(
)
1
3
⋅
2
3
−
+
1
6
35
15 6
⋅
+
(
)
1
3
⋅
5
6 35
15 6
⋅
+
(
)
1
3
⋅
−
2
3
−
1
2
i
⋅
3
⋅
1
−
3
35
15 6
⋅
+
(
)
1
3
⋅
3 35
+
(
⋅
−
⋅
+
1
6
35
15 6
⋅
+
(
)
1
3
⋅
5
6 35
15 6
⋅
+
(
)
1
3
⋅
−
2
3
−
1
2
i
⋅
3
⋅
1
−
3
35
15 6
⋅
+
(
)
1
3
⋅
3 35
+
(
⋅
−
⋅
−
→
Jeżeli wystarczają nam konkretne wartości liczbowe, to warto dodatkowo zastosować modyfikator float,N
x
3
2x
2
+
3x
+
4
+
0
=
solve x
,
float 6
,
1.65062
−
.174686
−
1.54687 i
⋅
−
.174686
−
1.54687 i
⋅
+
→
Gdy mamy równanie przestępne to nie jest mozliwe otrzymanie zwięzłego rozwiązania w postaci wzoru. W takich
sytuacjach Mathcad podaje rozwiązanie numeryczne z 20 cyframi znaczącymi. Jeżeli nie potrzebujemy aż takiej
dokładności to znów przydatny jest modyfikator float,N
Przykład: Znaleźć punkty przecięcia wykresów
y = cos(x) i y = x
5
0
5
5
5
cos x
( )
x
x
graficzna ilustracja do tego przykładu
cos x
( )
x
= solve x
,
.73908513321516064166
→
cos x
( )
x
=
solve x
,
float 6
,
.739085
→
Niestety dla równań przestępnych (nawet najprostszych) Mathcad podaje pierwsze znalezione rozwiązanie.
21
Nieco zmodyfikowane zadanie ma trzy
pierwiastki, ale Mathcad podaje tylko jedno
5
0
5
cos x
( )
0.3x
x
graficzna ilustracja do tego przykładu
cos x
( )
0.3x
=
solve x
,
1.2019131636661846248
→
podobnie nie ma co liczyć aby Mathcad podał
nam rodzinę rozwiązań np. dla funkcji okresowych
cos x
( )
0
=
solve x
,
1
2
π
⋅
→
a nie
π
2
k
π
⋅
+
WNIOSEK: Nie wszystko rozwiąże za nas Mathcad automatycznie. W wielu przypadkach musimy mu umiejętnie
pomagać, co wymaga od nas dostatecznego rozumienia zagadnienia i znajomości matematyki w tym zakresie. Musimy
też poznać nieco bardziej zaawansowane techniki w Mathcadzie. Do problemu wrócimy w kolejnych ćwiczeniach.
Aby liczyć na sukces to niestety trzeba matmę choć trochę znać.
Rozwiązywanie nierówności - przykład
To rozwiązanie czytamy następująco:
x
1
−
x
2
−
x
3
+
x
1
+
>
solve x
,
x
1
−
<
2
x
<
(
) x
5
<
(
)
⋅
→
)
5
,
2
(
)
1
,
(
∪
−
−∞
∈
x
4
2
0
2
4
6
2
2
4
x 1
−
x 2
−
x 3
+
x 1
+
1
−
2
x
Jak widać z przedstawionych wykresów
Mathcad dobrze wywiązał się z tego zadania.
Na piechotę mielibyśmy trochę liczenia: 3
różne równania kwadratowe (tu akurat dwa z
nich są tylko liniowe) dla różnych zakresów
zmiennej x, a po rozwiazaniu jeszcze
weryfikacja pierwiastków, czy zawierają się w
założonym przedziale - w sumie żmudne i
podatne na błedy rachunki, których można
uniknąć stosując Mathcada.
22
MATHCAD 2000/2001 - Rozwiązywanie równań,
optymalizacja, wykresy 3D
Wprowadzenie
Jak zauważyliśmy w poprzednich ćwiczeniach Mathcad dysponuje dość silnym "solverem" symbo- licznym. Tym
niemniej przy rozwiązywaniu złożonych problemów, szczególnie przy rozwiązywaniu równań przestępnych, musimy
zastosować bardziej zaawansowane techniki obliczeniowe i umiejętnie podpowiadać Mathcadowi poprzez wybranie
odpowiedniej do danej klasy zagadnień metody. Wymaga to oczywiście pewnego doświadczenia w posługiwaniu się
Mathcadem jak również elementarnej wiedzy z metod numerycznych. Rozwiązania równań (lub układów równań)
przestępnych w ogólnym przypadku nie da się przedstawić w postaci zwartego wzoru matematycznego i musimy
zadowolić się wynikiem numerycznym.
W zależności od klasy problemu stosujemy różne metody rozwiązywania równań. Często też stosujemy różne metody
zamiennie lub równolegle co pozwala na weryfikację uzyskanego rozwiązania. Poniżej przedstawiono możliwe
strategie obliczeń:
1. Realizacja własnego algorytmu - warto wspomnieć o tym, gdyż jeśli wiemy co i jak policzyć to nie musimy polegać
na zawiłych algorytmach wbudowanych w Mathcada, ponadto w wyjątkowych sytuacjach może to być jedyna
lub najskuteczniejsza metoda obliczeń.
2. Metoda graficzna - stosowana głównie jako weryfikator wyników i podpowiadacz tzw. punktów startowych w
metodach numerycznych. Stanowi ogromną pomoc i jest zawsze zalecana.
3. Solver symboliczny (solve, x ->) - bardzo wygodny i prosty w użyciu, pozwalający na uzyskanie rozwiązania w
postaci parametrycznej (wzór a nie liczba), jednak nie zawsze prowadzi do poszu- kiwanego rozwiązania. Tym
niemniej jest to podstawowe narzędzie, od którego zawsze możemy rozpocząć nasze poszukiwania i dopiero w
razie niepowodzeń zastosować inne metody.
4. Blok "Given" - to najbardziej wszechstronny sposób rozwiązywania równań, a przede wszystkim układów równań
nieliniowych z kilkoma niewiadomymi. Blok given stosuje się również w rozwią- zywaniu równań różniczkowych
(zwyczajnych lub cząstkowych) oraz zagadnień optymalizacji.
5. Zastosowanie specjalizowanych procedur numerycznych - najbardziej efektywny sposób rozwiązania, pod
warunkiem zastosowania właściwej procedury do danej klasy problemu.
Solver symboliczny (solve, x ->) z p.3 poznaliśmy już na poprzednich ćwiczeniach. Nadaje się przede wszystkim do
rozwiązywania równań z jedną niewiadomą, ale można go również wykorzystać w bardziej złożonych zagadnieniach i
przy pewnych "sztuczkach" usprawnić proces przetwarzania danych. Dzisiejsze zajęcia poświęcone jednak będą
przede wszystkim metodom z punktów 4 i 5.
Warto zauważyć, że z problematyką rozwiązywania równań zetknęliśmy się już w poprzednich ćwiczeniach a pewne
tematy zostaną tu powtórzone dla usystematyzowania wiedzy. Już od pierwszych zajęć zaczynaliśmy rozwiązywać
proste równania algebraiczne lub układy równań liniowych i stosowaliśmy a) własne algorytmy, b) solver
symboliczny lub c) specjalizowaną procedurę lsolve(A,B). Teraz nadszedł właściwy moment aby to wszystko
uporządkować. Podzielimy tematykę na kategorie w zależności od rodzaju zagadnienia.
23
Aby zastosować funkcję polyroots(v) musimy mieć wektor współczynników wielomianu - możemy go oczywiście
policzyć odpowiednim algorytmem, ale na razie aby nie zaciemniać istoty tematu wpiszemy go ręcznie.
tu ORIGIN=0 dlatego p
1
to drugi element wektora
W p
1
( )
0
=
p
1
2
=
p
1
2
3
4
5
=
p
W x
( )
0
=
(
) solve x
,
1
2
3
4
5
→
:=
Możemy zastosować następującą sztuczkę: przed wpisaniem równania definiujemy zmienną, w której przechowamy
rozwiązanie (tu będzie to wektor p). Potem już łatwo możemy wyciągać poszczególne pierwiastki do dalszych
obliczeń.
W x
( )
0
= solve x
,
1
2
3
4
5
→
Solver bez problemu znajduje rozwiązanie.
Ale jak przechować je do dalszych obliczeń?
(dla krótkich jednorazowych obliczeń możemy ratować się
skopiowaniem wyniku poprzez schowek Windows ale na dłuższą metę
jest to niewygodne, bo przy każdej zmianie wyniku musimy od nowa
kopiować!!!)
W x
( ) expand
x
5
15 x
4
⋅
−
85 x
3
⋅
225 x
2
⋅
−
+
274 x
⋅
120
−
+
→
W x
( )
x
1
−
(
) x
2
−
(
)
⋅
x
3
−
(
)
⋅
x
4
−
(
)
⋅
x
5
−
(
)
⋅
→
W x
( )
1
n
i
x
i
−
(
)
∏
=
:=
świadomie wybieramy prosty wielomian, dla którego znamy pierwiastki
aby łatwiej prześledzić dalsze obliczenia
n
5
:=
Tu wystarczająco skutecznym narzędziem jest solver symboliczny (solve, x->) ale dla wielomianów mamy alternatywę
w postaci specjalnej funkcji polyroots(v), szczególnie zalecana dla wielomianów wyższego stopnia. Ponadto łatwiej
przechować rozwiązanie do dalszych przeliczeń.
Równania algebraiczne, wielomiany
Równania z jedną niewiadomą
24
Drugi wykres - zawężony do przedziału (-4,2)
Pierwszy - zgrubny wykres
f x
( )
0
=
solve x
,
1.2019131636661846248
→
f x
( )
cos x
( )
a x
⋅
−
:=
a
0.3
:=
Wracamy do przykładu z poprzednich ćwiczeń: cos x
( )
0.3x
=
, Tu dla wygody przejdziemy do
standardowej postaci
f x
( )
0
=
gdzie:
f x
( )
cos x
( )
0.3x
−
:=
. Jak pamiętamy "solve, x" potrafił znaleźć
tylko jedno rozwiązanie. Poniżej pokażemy jak można znaleźć pozostałe pierwiastki. Jak
zwykle bardzo przydatny będzie wykres badanej funkcji i ewentualnie technika "zoomowania"
do precyzyjniejszej lokalizacji pierwiastków.
Równania przestępne
Powstaje naturalne pytanie - po co używać polyroots() jeśli (solve, x) robi to dokładniej? Owszem, ale dla
wielomianów stopnia > 10 rozwiązanie symboliczne może zająć od kilku sekund do nawet kilku minut na wolnym
komputerze, podczas gdy obliczenia numeryczne z użyciem polyroots trwają zaledwie ułamek sekundy. Oczywiście
fakt ten nabiera na znaczeniu dopiero w większych projektach, szczególnie jeżeli duże wielomiany musimy
wielokrotnie rozwiązywać.
Podobna uwaga dotyczy zresztą i pozostałych procedur numerycznych omawianych poniżej.
- w skrócie - zyskujemy ogromną szybkość obliczeń kosztem minimalnych błędów
(w typowych zastosowaniach inżynierskich pomijalnie małych)
p
1
2
3
4
5
=
UWAGA: wynik numeryczny szukamy zawsze z pewnym
dopuszczalnym (z góry ustalonym) błędem. Tu również wektor p
zawiera błędy, o czym przekonać się można po wyświetleniu
wyniku z 15 cyframi znaczącymi.
p
polyroots v
( )
:=
Y x
( )
x
5
15 x
4
⋅
−
85 x
3
⋅
225 x
2
⋅
−
+
274 x
⋅
120
−
+
→
Y x
( )
0
n
i
v
i
x
i
⋅
∑
=
:=
wielomianu nie trzeba nawet wcale definiować
tu robimy to tylko dla sprawdzenia
v
120
−
274
225
−
85
15
−
1
(
)
T
:=
wpisujemy dla wygody wektor wierszowy i
transponujemy go do kolumny
25
tu szczęśliwie udało się rozwiązać problem
Wywietlimy wyniki i sprawdzimy ewentualne błędy podstawiając do oryginalnego równania
p
i
root f x
( ) x
, a
i
,
b
i
,
(
)
:=
i
0 2
..
:=
b
3
−
2
−
2
:=
a
5
−
3
−
0
:=
definiujemy początki i końce przedziałów jako
wektory, a nastepnie poprzez zmienną zakresową
wykonamy kolejne obliczenia cyklicznie
niszczymy starą definicje wektora p - to zabieg typowo kosmetyczny
p
0
:=
Drugi sposób jest bezpieczniejszy gdyż zmniejsza ryzyko rozbieżności procesu iteracyjnego. Nie ma tu jednak
miejsca na dokładniejsze omówienie tego problemu bo nie jest to kurs matematyki czy metod numerycznych.
Naszym celem jest zapoznanie się z możliwościami jakie oferuje Mathcad. Pokażemy więc poniżej jak otrzymać
wszystkie trzy pierwiastki od razu oraz jak kontrolować dokładność.
root f x3
( ) x3
,
2.5
−
,
2
−
,
(
)
2.356
−
=
tu podajemy przedział (a,b) tak aby na jego
końcach funkcja miała różne znaki
i rozwiazujemy
root f x2
( ) x2
,
(
)
3.295
−
=
definiujemy początkowe przybliżenie
x2
3.3
−
:=
sprawdzamy wzór (czy wszystko OK?)
f x
( )
cos x
( )
.3 x
⋅
−
→
UWAGA: Omawiane funkcje - jako ogólniejsze - można również z powodzeniem stosować do
równań wielomianowych - "tylko po co wyciągać armatę do zabicia muchy".
Korzystając z techniki zoomowania można stwierdzić, że dwa pozostałe pierwiastki wynoszą około:
x2 = -3.3 i x3 = -2.4. Dokładniejsze przybliżenia możemy znaleźć przy pomocy funkcji:
root( f(x), x) tu musimy wcześniej określić punkt startowy
•
root( f(x), x, a, b) tu zamiast punktu startowego podajemy przedział (a,b)
•
lub za pomocą bloku given i funkcji find(x)
•
4
2
0
2
1
1
f x
( )
x
10
0
10
f x
( )
x
26
Powtórzymy teraz powyższe obliczenia przy zmniejszonej tolerancji na błędy
TOL
1
10
3
−
×
=
CTOL
1
10
3
−
×
=
tak było do tej pory
TOL
10
10
−
:=
CTOL
10
10
−
:=
podajemy nowe wartości (10
-10
to naprawdę bardzo
mały błąd) - przeważnie rozwiązanie będzie i tak
dokładniejsze o kilka rzędów
Given
f x0
( )
0
=
r
Find x0
( )
:=
---------------------
r
1.202
=
f r
( )
0
=
teraz jest OK
W bloku Given też możemy obliczyć wszystkie pierwiastki za jednym razem jeżeli za punkt startowy podamy wektor a
nie pojedynczą wartość
z
5
−
2
−
1
:=
Given
f z
( )
0
=
super dokładnie ale na ogół powstają pewne
błędy. Ich wielkość możemy kontrolować
poprzez globalne zmienne TOL i CTOL.
p
3.294
−
2.356
−
1.202
=
f p
( )
0
0
0
=
Zmienne TOL i CTOL używane są przede wszystkim przy rozwiązywaniu równań w bloku Given.
TOL określa dopuszczalny błąd względny rozwiązania
•
CTOL określa dopuszczalny błąd względny niespełnienia warunków ograniczających
•
Domyślnie wartości te ustawione są na 10
-3
ale możemy je definiować wg własnych potrzeb. Warto jednak pamiętać,
że zmniejszając dopuszczalny błąd zmuszamy Mathcada do cięższej pracy
Blok Given + funkcja find(x)
x0
1.5
:=
0. przed użyciem bloku given należy podać punkt startowy
Given
1. wpisujemy słowo kluczowe "Given"
f x0
( )
0
=
2. poniżej określamy równanie (lub kilka równań)
r
Find x0
( )
:=
3. i rozwiązujemy funkcją find(var1,var2,...)
---------------------------------------------
r
1.202
=
jak widać rozwiązanie jest mniej dokładne niż z funkcji root co
wynika z zastosowania innego algorytmu numerycznego. Możemy
jednak sterować dokładnością obliczeń, a prawdziwe zalety bloku
Given, będziemy mogli docenić dopiero dla układów równań z
kilkoma niewiadomymi.
f r
( )
1.099
10
7
−
×
=
p
2
1.202
=
f p
2
( )
0
=
Find z
( )
3.294
−
2.356
−
1.202
=
27
Układy równań z wieloma niewiadomymi
Układy równań liniowych
Temat ten szczegółowo omówiliśmy w ćw. 2 (zajrzyj do pliku mcad_2.mcd). Przypomnijmy jedynie, że obliczenia
możemy przeprowadzić z zastosowaniem funkcji lsolve(A,B) lub poprzez macierz odwrotną.
Nieliniowe układy równań
Rozwiązywanie nieliniowych układów równań jest skomplikowanym zagadnieniem. Klasyczne podejście
analityczne jest na ogół z góry skazane na niepowodzenie, gdyż eliminacja kolejnych zmiennych (nawet gdy
możliwa) jest czasochłonna i prowadzi na ogół do skomplikowanego równania przestępnego. Mathcad pozwala w
dość łatwy sposób przezwyciężyć te trudności na drodze numerycznej. Najbardziej uniwersalne jest w tym
przypadku zastosowanie bloku Given, ale w niektórych szczególnych przypadkach możliwe jest nawet uzyskanie
rozwiązania symbolicznego (solve, vec(x,y,z) ->).Aby nie zagłębiać się dalej w zawiłości teoretyczne przejdziemy
od razu do przykładu.
Przykład: Wyznacz okrąg przecinający punkty (x,y) = (2,-4), (-3,1), (5,5)
Zadanie to można łatwo rozwiązać wykonując proste obliczenia geometrii analitycznej. Na wstępie należy wyznaczyć
dwie proste prostopadłe do boków np. 12 i 23 i przechodzące przez ich środki. Następnie z układu 2 równań liniowych
(równań tych prostych) znaleźć można środek okręgu (x0,y0) a na koniec wyznaczyć promień jako odległość (x0,y0)
do np. (x1,y1). Opisany tu algorytm wymaga jednak trochę "ręcznej" pracy aby wpisać odpowiednie wzory i
równania.
Czy nie możemy wykonać obliczeń prościej? Spróbujmy zapisać w bezpośredniej postaci odpowiedni układ równań i
zlecić jego rozwiązanie Mathcadowi.
Poniżej podajemy różne sposoby zapisu i rozwiązania problemu.
28
Given
W bloku Given można również uzyskać rozwiązanie symboliczne (po find() wciskamy Ctrl+. anie =).
=======================================================================
x1
xs
−
(
)
2
y1
ys
−
(
)
2
+
rs
2
=
x2
xs
−
(
)
2
y2
ys
−
(
)
2
+
rs
2
=
x3
xs
−
(
)
2
y3
ys
−
(
)
2
+
rs
2
=
rs
0
>
solve
xs
ys
rs
,
2 1 5
(
)
→
Tu również możemy podać dodatkowe ograniczenia nierównościowe
x1
xs
−
(
)
2
y1
ys
−
(
)
2
+
rs
2
=
x2
xs
−
(
)
2
y2
ys
−
(
)
2
+
rs
2
=
x3
xs
−
(
)
2
y3
ys
−
(
)
2
+
rs
2
=
solve
xs
ys
rs
,
2
2
1
1
5
5
−
→
Rozpatrywany układ równań jest na tyle prosty, że można go nawet rozwiązać symbolicznie
=======================================================================
otrzymaliśmy okrąg o promieniu 5 i środku (2,1)
Find x0 y0
,
r
,
(
)
2
1
5
=
x3
x0
−
(
)
2
y3
y0
−
(
)
2
+
r
2
=
x2
x0
−
(
)
2
y2
y0
−
(
)
2
+
r
2
=
punkty muszą spełniać to samo równanie okręgu
mamy 3 równania z 3-ma niewiadomymi x0, y0, r
x1
x0
−
(
)
2
y1
y0
−
(
)
2
+
r
2
=
definiujemy blok Given
Given
podajemy punkt startowy do rozwiązania
r
4
:=
y0
0
:=
x0
0
:=
y3
5
:=
x3
5
:=
definiujemy parametry zadania (tu współrzędne punktów)
y2
1
:=
x2
3
−
:=
y1
4
−
:=
x1
2
:=
=======================================================================
29
x1
xx
−
(
)
2
y1
yy
−
(
)
2
+
rr
2
=
x2
xx
−
(
)
2
y2
yy
−
(
)
2
+
rr
2
=
x3
xx
−
(
)
2
y3
yy
−
(
)
2
+
rr
2
=
Ale z niewiadomych przyczyn nie można tu podać ograniczeń
typu rr > 0 (Mathcad protestuje).
Find xx yy
,
rr
,
(
)
2
1
5
2
1
5
−
→
xp
2
3
−
5
:=
yp
4
−
1
5
:=
0
5
5
5
1
5 sin t
( ) 1
+
yp
1
2
5 cos t
( ) 2
+ xp
,
2
,
Na zakończenie omawianego przykładu
zilustrujemy rozwiązanie graficznie.
1. tworzymy parametryczny wykres
znalezionego okręgu
2. dodajemy serie punktów xp i yp
3. oraz pojedynczy punkt (2,1)
Aby uzyskać końcowy efekt jak na wykresie
obok musimy go jeszcze odpowiednio
sformatować.
2
0
2
2
2
Wprowadzenie do optymalizacji
Tematyka optymalizacji jest na tyle bogata, że nie sposób tu podać nawet fragmentarycznych wiadomości. Punkt
niniejszy proszę więc traktować czysto technicznie - czyli jak znaleźć optimum pewnej funkcji (tzw. funkcji celu) w
Mathcadzie. Otóż rozwiązanie problemu zapisujemy praktycznie zawsze w podobny do opisanego niżej algorytmu. Z
formalnego punktu widzenia nie jest istotne czy rozwiązujemy zadanie z jedną lub wieloma zmiennymi decyzyjnymi, z
ograniczeniami lub bez, oraz czy zadanie jest liniowe lub nieliniowe. Zapis w Mathcadzie będzie zawsze podobny a
30
L
0.534
=
L
f a b
,
(
)
:=
Ostatecznie odległość jest równa
b
r
1
:=
a
r
0
:=
r
0.074
−
0.538
=
obliczenie (a,b) => min f(a,b)
r
Minimize f a
, b
,
(
)
:=
tu ew. mogą być zapisane ograniczenia
pusty blok given bo nie mamy ograniczeń
Given
punkty startowe - musimy zawsze podać
b
0
:=
a
0
:=
to tylko dla sprawdzenia czy OK
f 0 0
,
(
)
1
=
definiujemy funkcję celu
f a b
,
(
)
a
b
2
−
(
)
2
e
a
b
−
(
)
2
+
:=
Dla ułatwienia parametryzujemy obydwie krzywe - dla
pierwszej krzywej przyjmujemy parametr a= x, a dla drugiej
b=y. Musimy teraz zdefiniować funkcję odległości dla
tych parametrów i obliczyć kiedy osiągnie minimalną
wartość. Dla uproszczenia możemy wziąć kwadrat
odległości - unikniemy pierwiastkowania i zmniejszymy
stopień nieliniowości naszej funkcji celu
2
0
2
2
2
e
t
t
t t
2
,
Przykład: Obliczyć odległość dwóch krzywych y
e
x
=
i
y
2
x
=
.
solver sam będzie próbował sklasyfikować problem i zastosować odpowiednią procedurę numeryczną. Podobnie jak
wcześniej, przejdziemy do konkretnego przykładu.
31
Na koniec przedstawiamy wykres z zaznaczeniem znalezionych (najbliższych) punktów na wykresie.
rx
a b
2
( )
T
:=
ry
e
a
b
( )
T
:=
rx
0.0735622
−
0.2896245
=
1
0.5
0
0.5
1
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
e
t
t
ry
t t
2
,
rx
,
UWAGA: Aby prawidłowo pokazać odległość
musimy zadbać aby skale osi x i y były takie
same. W innym razie wykres będzie
zniekształcony i trudno będzie ocenić czy
rozwiązanie jest OK.
32
MATHCAD 2000/2001 - wykresy 3D
Wykresy 3D
Poniżej przedstawiamy wykresy funkcji f(x,y) omawianej przy zagadnieniu optymalizacji w pliku mcad4.mcd.
Formatowanie wykresu dokonujemy po jego dwukrotnym kliknięciu i ustawieniu żadanych opcji.
f x y
,
(
)
x
y
2
−
(
)
2
e
x
y
−
(
)
2
+
:=
f
f
Wykresy warstwicowe choć mniej efektowne od powierzchniowych są pomocne przy graficznym szukaniu ekstremów
funkcji. Nie mamy tutaj tak wygodnych narzędzi jak przy zwykłych wykresach 2D, takich jak zoom - powiększanie lub
trace - śledzenie punktów wykresu. Jednak przy niewielkiej dodatkowej pracy możemy łatwo przeskalować dziedzinę
(x,y) do interesującego nas obszaru co pozwoli na lepsze dobranie punktu startowego do bloku Given.
f
f
33
Przy definicji pewnych klas funkcji warunkowych przydatne mogą być funkcje min(), max() i mod() - pierwsze dwie
używamy w sytuacjach gdy chcemy ograniczyć (obciąć) zakresy wartości a ostatnia jest przydatna do definicji funkcji
okresowych.
Funkcje max(), min() i mod()
2
0
2
g x
( )
x
5
0
5
10
5
f x
( )
x
g x
( )
if x
p
−
≤
1
−
,
if x
p
≥
1
, sin x
( )
,
(
)
,
(
)
:=
f x
( )
if x
0
≤
x
, sin x
( )
,
(
)
:=
to tylko dla wygody
p
π
2
:=
należy zastosować zagnieżdżoną funkcję if()
Odpowiednia definicja w Mathadzie
ma postać:
>
≤
=
0
sin
0
)
(
x
dla
x
x
dla
x
x
f
≥
+
<
<
−
−
≤
−
=
2
/
1
2
/
2
/
sin
2
/
1
)
(
π
π
π
π
x
dla
x
x
dla
x
x
dla
x
g
Dla 3 przedziałów:
Dana jest następująca funkcja:
Przykład 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Przykład 1
Funkcja if() umożliwia warunkowe obliczanie wyrażenia w zależności od spełnienia określonego kryte- rium (testu)
logicznego. Przydatna jest przede wszystkim do definiowania tzw. funkcji warunkowych (zwanych też sklejanymi).
Funkcje te charakteryzują się tym, że nie dają się zapisać w postaci jednego wzoru obowiązującego w całej dziedzinie i
z reguły są nieciągłe lub mają nieciągłe pochodne w punktach zszycia. Definicja takiej funkcji składa się z dwóch lub
więcej wzorów obowiązujących w rozłącznych podzbiorach dziedziny. Składnia funkcji if() jest następująca:
if( test_logiczny, wartość_gdy_prawda, wartość_gdy_fałsz)
Przykłady jej zastosowań prezentujemy poniżej.
Funkcja if()
Obliczenia warunkowe
MATHCAD 2000/2001 - elementy programowania
34
10
0
10
1
0
1
max cos x
( ) 0.3
−
,
(
)
0
2
4
6
0
1
2
mod x 2
,
(
)
UWAGA: funkcje warunkowe definiowane przy pomocy if() można bez ograniczeń stosować w obliczeniach
numerycznych i rysować ich wykresy nawet gdy są nieciągłe. Nie można ich jednak używać w obliczeniach
symbolicznych:
f x
( )
→
f x
( )
x
f x
( )
d
d
→
x
f x
( )
d
d
błąd
Ograniczenie to można pokonać stosując odpowiednie funkcje z grupy "piecewise continuous", w szczególności
przydatna jest funkcja Heaviside'a. Na przykład omawianą powyżej funkcję f(x) można zapisać następująco:
f x
( )
Φ x
( ) sin x
( )
⋅
Φ x
−
( ) x
⋅
+
:=
co pozwoli na poprawne operowanie w obliczeniach symbolicznych:
f x
( )
Φ x
( ) sin x
( )
⋅
Φ x
−
( ) x
⋅
+
→
x
f x
( )
d
d
simplify
1
Φ x
( ) cos x
( )
⋅
Φ x
( )
−
+
→
Temat ten wykracza jednak poza ramy niniejszego opracowania, gdyż wymaga elementarnej wiedzy z dziedziny
dystrybucji
Materiał dodatkowy
Funkcja until()
Funkcja until() służy do iteracyjnego (cyklicznego) wykonywania obliczeń aż do spełnienia określonego warunku
logicznego. Typowe jej zastosowanie to obliczanie kolejnych wyrazów ciągu lub sumy szeregu dla z góry zadanej
dokładności (zob. przykłady poniżej). Pierwszy parametr funkcji until określa tzw. kryterium stopu. Obliczenia trwają
tak długo aż parametr ten przyjmie ujemną wartość. Nie podajemy więc warunku logicznego w bezpośredniej postaci
a jego odpowiednik liczbowy, tzn. zamiast wyrażenia typu x < a podajemy x-a (<0 już nie piszemy). Drugi parametr
określa zwracaną wartość. Aby cały cykl obliczeń miał sens należy dynamicznie zmieniać wartości obydwu
parametrów z wykorzystaniem zmiennych zakresowych (iterowanych). Wyjaśnimy to na konkretnym przykładzie
poniżej.
UWAGA 1: niewłaściwe użycie funkcji until może doprowadzić do bardzo długiego cyklu obliczeń. Co prawda - ze
względu na ograniczenia jakie są nałożone na zmiennne zakresowe - nie grozi nam pętla nieskończona (tzw.
"zapętlenie"), ale i tak należy definiować testowy warunek logiczny ze szczególną uwagą, tak aby zapewnić jego
spełnienie w skończonej liczbie iteracji.
UWAGA 2: funkcja until jest przeżytkiem i od Mathcada w wersji 2000 obsługiwana jest tylko dla zgodności z
wcześniejszymi wersjami programu. Obecnie zalecaną metodą obliczeń iteracyjnych jest zdefiniowanie własnej
funkcji-programu, wykorzystującej instrukcję while. Temat ten zostanie przedstawiony w dalszej części materiału.
35
wart1 gdy spełniony jest warunek1
wart2 gdy spełniony jest warunek2
itd.
wartX we wszystkich pozostałych przypadkach
wart1
warunek1
if
wart2
warunek2
if
"......."
wartX otherwise
Akcja = podaj wartość:
Składnia:
if ... if ... otherwise - warunkowe obliczenie wyrażenia
przypisz zmiennej var wartość value
zwiększ x o jeden
var
value
←
x
x
1
+
←
Akcja
Składnia:
←
- definicja lokalnej zmiennej wewnątrz bloku (operator przypisania)
Mathcad oferuje pewne narzędzia do programowania własnych funkcji. Należy podkreślić, że ich możliwości są
bardzo skromne w porównaniu do klasycznych języków programowania, z których zapożyczono na przykład
podstawowe instrukcje sterujące (takie jak if, for i while), jednak ich składnia jest inna i mało intuicyjna (szczególnie
dla osób mających już jakieś doświadczenie z programowaniem i przyzwyczajonych do innych niż Mathcad
standardów). Kod programu może być realizowany jedynie wewnątrz definicji funkcji, co ogranicza zakres jego
zastosowań. Największą wadą jest jednak brak jawnych deklaracji zmiennych i kontroli poprawności typów co
utrudnia znalezienie błędów w większych programach.
Pomimo wspomnianych wad warto jednak zapoznać się z elementami programowania oferowanymi w
Mathcadzie, ponieważ są sytuacje, w których programowanie (nawet prymitywne) jest wręcz niezbędne lub bardzo
upraszcza skomplikowane obliczenia. Materiał prezentowany poniżej jest krótkim przeglądem możliwości Mathcada w
tym zakresie a nie kursem programowania. Dlatego ograniczono się do podania podstawowych instrukcji sterujących
i kilku prostych przykładów bez wnikania w tajniki algorytmiki i sztuki programowania. Dalsze informacje i ciekawe
przykłady można znaleźć w "Resource Center".
Uwaga: Osobom nie mającym żadnego doświadczenia z programowaniem proponuję - a nawet zalecam -
przestudiowanie poniższego materiału dopiero pod koniec sem. 2.
Wskazówka: Aby zacząć programowanie funkcji, należy po wpisaniu początkowej definicji funkcji f(x) := kliknąć
przycisk "Add Line" z paska narzędziowego "Programming". W kolejnych liniach (Add Line) wpisujemy kod
programu, ale
słów kluczowych nie można wpisywać bezpośrednio z klawiatury
- należy je wywoływać poprzez
odpowiednie przyciski paska "Programming" (lub ew. skróty klawiaturowe).
Wprowadzenie
Materiał dodatkowy
Elementy programowania
36
10
! 3.629 10
6
×
=
1
11
i
i
2
∑
=
506
=
sum 11
( )
506
=
silnia 10
( )
3.629
10
6
×
=
sum n
( )
s
0
←
s
s
i
2
+
←
i
1 n
..
∈
for
s
:=
silnia n
( )
s
1
←
s
s i
⋅
←
i
2 n
..
∈
for
s
:=
suma: 1
2
2
2
+
3
2
+
..
+
N
2
+
Przykład 4
Przykład 3
Pętla for ma zastosowanie gdy z góry wiemy ile razy dana pętla będzie powtórzona. Szczególnie przydatna jest
przy operacjach na wektorach i macierzach
dla i równe od 1 do N
wykonaj podaną instrukcję
lub (tu z krokiem 2)
ciąg instrukcji w bloku
instrukcja
i
1 N
..
∈
for
lub
instr_1
"....."
instr_K
i
1 3
,
N
..
∈
for
Akcja = wykonaj-powtórz N razy
Składnia:
for - pętla "od-do-co" (cykliczne wykonanie instrukcji dla zmiennej zakresowej)
g x
( )
p
π
2
←
1
−
x
p
−
≤
if
1
x
p
≥
if
sin x
( ) otherwise
:=
0
5
10
4
2
2
f x
( )
x
x
0
≤
if
sin x
( ) otherwise
:=
podobna lecz trochę bardziej rozbudowana będzie
definicja funkcji g(x) - tu dla wygody definiujemy
roboczą-lokalną zmienną p; jest ona widoczna jedynie
wewnątrz bloku reprezento- wanego przez pionową
kreskę
funkcję f(x) omawianą na początku tego
dokumentu można zapisać następująco
Przykład 2
Przykład 1
37
Pętlę while stosujemy wtedy gdy nie wiemy z góry ile iteracji trzeba wykonać do osiągnięcia danego celu. Jest
ogólniejsza i bardziej wszechstronna od pętli for (na przykład tą ostatnią można bez trudu zapisać w formie while),
ale też wymaga większej uwagi, gdyż łatwo przez prostą pomyłkę doprowadzić do tzw. pętli nieskończonej.
Należy więc bardzo starannie programować warunek logiczny (i wewnętrzne instrukcje pętli), tak aby
zagwarantować osiągnięcie wartości fałsz w skończonej liczbie kroków.
tak długo jak spełniony jest warunek logiczny war_log
wykonaj podaną instrukcję
lub
(tu konkretny przykład na war_log).
wykonaj
ciąg instrukcji w bloku
instrukcja
war_log
while
lub
instr_1
"....."
instr_K
x
Xmax
<
while
Akcja = wykonaj-powtórz obliczenia
Składnia:
while - pętla "tak długo jak"
OK
max v
( )
8.228
=
imax v
( )
4
8.228
=
dla porównania funkcja max()
nasza funkcja
v
T
0.013 1.933 5.85 3.503 8.228 1.741 7.105 3.04 0.914 1.473
(
)
=
generujemy losowy wektor
v
i
rnd 10
( )
:=
i
0 9
..
:=
Testujemy naszą funkcję
Zmienna ix przechowuje dotychczasowy-
-najlepszy-znaleziony indeks.
Aby program był uniwersalny nie możemy
zaczynać od 0 lub 1 tylko od ORIGIN i kończyć
pętlę dla last(v).
imax v
( )
ix
ORIGIN
←
ix
i
←
v
i
v
ix
>
if
i
ORIGIN last v
( )
..
∈
for
ix
v
ix
:=
tu w odróżnieniu od standardowej funkcji max() chcemy znaleźć numer maksymalnego elementu, przy okazji
zwrócimy też wartość tego elementu. Nasza funkcja będzie więc zwracać od razu dwie wartości (w postaci
wektora dwuelementowego). Dla przejrzystości pomijamy w poniższym przykładzie sprawdzenie czy dane
wejściowe są wektorem (zakładamy, że tak jest).
znalezienie maksymalnego elementu wektora
Przykład 5
38
sqrt 17
2
10
12
−
,
(
)
1
145
73.4965517241379
38.7143544958308
23.0896429413719
17.8030386448063
17.0181112639791
17.0000096373175
17.0000000000027
17
=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sqrt a
ε
,
( )
x
1
←
i
0
←
v
i
x
←
x
1
2
x
a
x
+
⋅
←
i
i
1
+
←
v
i
x
←
x
2
a
−
ε
>
while
v
:=
Podobnie - drobna korekta - gdybyśmy chcieli prześledzić historię zbieżności naszego algorytmu:
sqrt 9 10
12
−
,
(
)
3 6
(
)
=
sqrt 9 0.0001
,
(
)
3.00000000139698 5
(
)
=
sqrt 9 0.1
,
(
)
3.00009155413138 4
(
)
=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sqrt a
ε
,
( )
x
1
←
i
0
←
x
1
2
x
a
x
+
⋅
←
i
i
1
+
←
x
2
a
−
ε
>
while
x i
(
)
:=
Gdybyśmy chcieli dowiedzeć się ile iteracji zostało przeprowadzonych wystarczy nieco zmodyfikować naszą
funkcję
sqrt 4 10
7
−
,
(
)
2
=
sqrt 4 10
5
−
,
(
)
2.00000009292229
=
sqrt 4 0.001
,
(
)
2.00000009292229
=
sqrt 4 0.01
,
(
)
2.00060975609756
=
Testujemy naszą funkcję
licz kolejne przybliżenia
tak długo jak błąd >
ε
pierwsze przybliżenie
sqrt a
ε
,
( )
p
1
←
p
1
2
p
a
p
+
⋅
←
p
2
a
−
ε
>
while
:=
Obliczenie pierwiastka kwadratowego a metodą iteracyjną p
i 1
+
1
2
p
i
a
p
i
+
=
Przykład 6
39
kolejne elementy szeregu można liczyć efektywnie z rekurencyjnej formuły: a
i
a
i 2
−
x
2
−
i i
1
−
(
)
⋅
⋅
=
.
podobnie można postąpić dla oszacowania bieżącego błędu (reszty) szeregu
dla dużych x szereg może być na początku wolno zbieżny dlatego warto policzyć jego resztę z
dzielenia przez 2
π
(modulo), aby uniknąć niepotrzebnej pracy procesora - można tu zapewnić jeszcze lepszą
(szybszą) zbieżność ale... (pomyśl sam).
Jeszcze kilka uwag zanim zaczniemy programować!!!
Ale ile wyrazów trzeba zsumować aby osiągnąć ustaloną dokładność???
Aby nie wnikać za głęboko w tajniki szeregów funkcyjnych podajemy gotowe rozwiązanie.
Reszta rozpatrywanego szeregu jest nie większa niż
R
k
x
k 1
+
k
1
+
(
)
!
<
dla k = 2i+1 nieparzyste
Trzeba po prostu sumować szereg tak długo jak (ang. while) błąd określony powyższym wzorem jest większy od
ustalonego z góry, dopuszczalnego błędu
ε
.
sin 1
( )
0.841470984807897
=
sinN 1 4
,
(
)
0.841471009700176
=
sinN x N
,
(
)
0
N
i
1
−
(
)
i
x
2 i
⋅ 1
+
2 i
⋅
1
+
(
)
!
⋅
∑
=
:=
Sumę określonej liczby wyrazów takiego szeregu można zapisać bez programowania:
Ten szereg potęgowy możemy przedstawić w postaci: x
x
3
3
!
−
x
5
5
!
+
..
−
sin x
( ) series x
, 10
,
x
1
6
x
3
⋅
−
1
120
x
5
⋅
1
5040
x
7
⋅
−
+
1
362880
x
9
⋅
+
→
rozwijamy sin(x) w szereg Taylora
Na początek trochę teorii
Napiszemy własną funkcję sinus(x,
ε
), która liczy wartość sin(x) z ustaloną dokładnością
Jak zauważyliśmy używanie funkcji until() jest niewygodne i mało efektywne gdyż wymaga tworzenia wektorów
(czasami o dużych rozmiarach) tylko po to aby wyciągnąć jego ostatni element. W takich przypadkach idealnym
wręcz rozwiązaniem jest zastosowanie własnej funkcji zaprogramowanej z użyciem pętli while.
Sumowanie szeregów z ustaloną dokładnością
Przykład 7
40
Definicja naszej funkcji sinus
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Testowe zadanie
sinus x
ε
,
( )
x
mod x 2
π
,
(
)
←
i
1
←
a
x
←
s
a
←
r
x
2
2
÷
←
xx
x
− x
⋅
←
i
i
2
+
←
a
a
xx
i i
1
−
(
)
⋅
⋅
←
s
s
a
+
←
r
a x
⋅
i
1
+
←
r
ε
>
while
s
i
:=
x
1
:=
e
10
8
−
:=
sin x
( )
0.841470984807897
=
sinus x e
,
(
)
0.841470984648068
11
=
trzeba było obliczyć szereg do wyrazu x
11
err
sin 10
( )
sinus 10 e
,
(
)
0
−
:=
err
4.915
−
10
10
−
×
=
rzeczywisty błąd jest dużo mniejszy, gdyż
zastosowane oszacowanie błędu jest pesymistyczne
(gwarantowane) - w typowych sytuacjach błąd jest
o 1 lub 2 rzędy niższy.
dodano "i" do wyniku dla celów testowych