P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E
O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H
1
P
R A W A A U T O R S K I E
–
B
U D O W N I C T W O
P
O L S K I E
.
P L
G R U D Z I E Ń 2010
O
O
O
O
BLICZENIE
BLICZENIE
BLICZENIE
BLICZENIE
CZĘSTOŚCI
CZĘSTOŚCI
CZĘSTOŚCI
CZĘSTOŚCI
DRGAŃ WŁASNYCH
DRGAŃ WŁASNYCH
DRGAŃ WŁASNYCH
DRGAŃ WŁASNYCH
A
A
A
A
LGORYTM DO PROGRAMU
LGORYTM DO PROGRAMU
LGORYTM DO PROGRAMU
LGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
MATHCAD
MATHCAD
MATHCAD
P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E
O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H
2
P
R A W A A U T O R S K I E
–
B
U D O W N I C T W O
P
O L S K I E
.
P L
G R U D Z I E Ń 2010
Rozpatrujemy niewa
ż
k
ą
belk
ę
AB, dla której mamy wyznaczy
ć
cz
ę
sto
ść
drga
ń
swobodnych masy M.
Oznaczenia:
Dane:
M - masa skupiona obci
ąż
aj
ą
ca belk
ę
w [kg],
EJ - sztywno
ść
zginania w [Nm2] ,
l - długo
ść
prz
ę
sła belki,
n - mno
ż
nik sztywno
ś
ci zginania belki CB,
wielko
ś
ci szukane:
ω
- cz
ę
sto
ść
drga
ń
swobodnych masy M,
Parametry zadania:
P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E
O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H
3
P
R A W A A U T O R S K I E
–
B
U D O W N I C T W O
P
O L S K I E
.
P L
G R U D Z I E Ń 2010
Deklaracja danych:
(1)
Długo
ść
prz
ę
sła:
l
2
m
⋅
:=
(2)
Moduł Younga:
E
205
GPa
⋅
:=
(3)
Moment bezwładno
ś
ci:
J
30
cm
4
⋅
:=
(4)
Mno
ż
nik:
n
3
:=
(5)
Masa skupiona:
M
30 kg
⋅
:=
Korzystaj
ą
c z metody sił mo
ż
emy zapisa
ć
:
δ
11 X1
⋅
∆
p
+
X1
−
kc
1
( )
Obliczenia:
Cz
ęść
rozpatrywanej belki (belka CB) stanowi dla pozostałej cz
ęś
ci belki (tj. belki AD)
wył
ą
cznie podpor
ę
spr
ęż
yst
ą
z racji pomijalnej masy własnej. Charakterystyka spr
ęż
ysta
kc wynosi:
E J
⋅
6.15
10
4
×
N m
2
⋅
⋅
=
kc
3
n
⋅
E
⋅
J
⋅
l
3
:=
kc
6.919
10
4
×
N
m
⋅
=
P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E
O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H
4
P
R A W A A U T O R S K I E
–
B
U D O W N I C T W O
P
O L S K I E
.
P L
G R U D Z I E Ń 2010
Obliczamy przemieszczenie dla stanu jednostkowego. Wynosi ono:
δ
11
1
E J
⋅
1
2
l
⋅
l
⋅
2
3
⋅
l
⋅
⋅
:=
δ
11
l
3
3
E
⋅
J
⋅
:=
δ
11
4.336
10
5
−
×
m
N
⋅
=
Obliczamy przemieszczenie dla oddziaływania zewn
ę
trznego mno
żą
c wykres Mp przez
wykres M1. Wynosi ono:
∆
p
1
E J
⋅
−
1
2
l
2
⋅
l
2
⋅
2
3
l
2
⋅
l
2
+
⋅
⋅
:=
∆
p
5
l
3
⋅
48
E
⋅
J
⋅
−
:=
∆
p
1.355
−
10
5
−
×
m
N
⋅
=
To samo przemieszczenie mo
ż
emy uzyska
ć
mno
żą
c wykres M1 przez wykres Mp.
Wówczas mamy:
∆
p
1
E J
⋅
−
l
2
l
2
⋅
l
4
⋅
1
2
l
2
⋅
l
2
⋅
2
3
⋅
l
2
⋅
+
⋅
:=
∆
p
5
l
3
⋅
48
E
⋅
J
−
=
Zgodnie z (1)
δ
11 X1
⋅
∆
p
+
X1
−
kc
mamy:
X1
∆
p
−
δ
11
1
kc
+
:=
X1
0.234
=
P O M O C E N A U K O W E I D Y D A K T Y C Z N E
O B L I C Z E N I E C Z Ę S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H
5
P
R A W A A U T O R S K I E
–
B
U D O W N I C T W O
P
O L S K I E
.
P L
G R U D Z I E Ń 2010
uD
uDo uD1 X1
⋅
+
Ugi
ę
cie w punkcie D dla P=1 wynosi:
uDo
l
2
3
3
E
⋅
J
⋅
:=
uDo
5.42
10
6
−
×
m
N
⋅
=
uD1
∆
p
:=
uD1
1.355
−
10
5
−
×
m
N
⋅
=
uD
uDo uD1 X1
⋅
+
:=
uD
2.244
10
6
−
×
m
N
⋅
=
Charakterystyka zast
ę
pcza układu w punkcie D wynosi:
kzD
1
uD
:=
kzD
4.456
10
5
×
N
m
⋅
=
Szukan
ą
cz
ę
sto
ść
drga
ń
zapiszemy nast
ę
puj
ą
co:
ω
kzD
M
:=
Zestawienie wyników:
Ostatecznie mamy:
Cz
ę
sto
ść
drga
ń
swobodnych
masy M
ω
121.872
1
s
=