Zestaw VIII – granice funkcji
- BUDOWNICTWO I -
1
Na zajęciach rozwiążemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwiązane na tablicy należy rozwiązać
samemu w domu.
Zadanie 1.
Oblicz następujące granice:
(a) lim
x→0
(
x
2
−2x+1
x−2
+ 1)
(b) lim
x→9
6−2
√
x
x−9
(c) lim
x→5
x
2
−25
x
2
−8x+15
(d) lim
x→1
√
x+3−2
x
3
−1
(e)
lim
x→−1
x
2
+2x+1
x
2
+x
(f )
lim
x→−1
x
3
+x
2
+3x+3
x
2
−2x−3
(g) lim
x→0
√
x+1−1
x
(h) lim
x→3
2
√
x+1−
√
x+13
x
2
−9
(i) lim
x→0
x+1−
√
1−2x−x
2
2x
(j) lim
x→1
(
1
1−x
−
3
1−x
3
)
(k) lim
x→0
√
2x+9−3
1−
√
1−3x
(l)
lim
x→−1
−x−1
1−
√
−x
Zadanie 2.
Oblicz następujące granice:
(a) lim
x→0
sin 4x
x
(b) lim
x→0
sin 7x
sin 5x
(c) lim
x→0
2x
tg 3x
(d) lim
x→0
sin 7x+sin 3x
sin 5x−4x
(e) lim
x→0
4x · ctg 7x
(f ) lim
x→0
sin
2
2x
8x
2
(g) lim
x→0
1−cos x
x
2
(h) lim
x→0
cos 2x−cos x
2x
2
(i) lim
x→4
x
2
−3x−4
sin(x−4)
(j) lim
x→0
√
x+4−2
sin 3x
(k) lim
x→0
√
2−
√
1+cos x
sin
2
x
(l) lim
x→0
√
1+sin x−
√
1−sin x
tg x
Zadanie 3.
Oblicz następujące granice:
(a)
lim
x→−∞
(−4x
3
+ 5x
2
−
6
x
2
+
7
x
3
)
(b) lim
x→∞
4x
√
x
2
+7
9x
2
−13
(c)
lim
x→−∞
4x
√
x
2
+7
9x
2
−13
(d)
lim
x→−∞
(
√
x
2
+ 2x −
√
x
2
− 4x)
(e)
lim
x→−∞
(
x
2
x+2
−
x
3
x
2
+1
)
(f ) lim
x→∞
√
2x(
√
x + 3 −
√
x)
(g) lim
x→∞
10
√
x2 +2x+3
10
√
x2 +1
Zadanie 4.
Oblicz następujące granice:
(a) lim
x→∞
x
2
2x
3
−7
cos(3x
2
) (b) lim
x→∞
sin x
x
(c) lim
x→∞
arctg x
x
2
+1
Zadanie 5.
Oblicz następujące granice:
(a) lim
x→∞
4
x+2
+5·3
x
+2
x
−5·2
2x
+3
x−2
+1
(b)
lim
x→−∞
(7
x
+ 6
x
+ 5
x
− 4
x
+ (
1
2
)
x
) (c) lim
x→∞
3
x+2
+4
x
6
x
−3
x
(d) lim
x→∞
e
x
+e
−x
e
x
−e
−x
Zadanie 6.
Oblicz następujące granice:
(a) lim
x→∞
(
2x+1
2x−5
)
4x
(b) lim
x→∞
(
3x−4
3x+2
)
x+1
3
(c) lim
x→∞
(
x+1
x−2
)
2x−1
(d)
lim
x→−∞
(
x
2
+2
x
2
−3
)
x2
3
(e) lim
x→∞
x
2
(ln
x+1
x
+ ln
2x+3
2x
)
(f ) lim
x→∞
x
2
3
ln
2x
2x+1
Zadanie 7.
Oblicz następujące granice:
(a)
lim
x→−∞
cos(arctg x)
(b) lim
x→∞
sin(arctg x)
(c) lim
x→∞
log
2
|
x+1
x
2
+2
|
(d) lim
x→∞
arcsin
1−x
x+1
(e) lim
x→∞
(x+2)arctg x
x
(f ) lim
x→∞
ln(sin(arctg x))
(g) lim
x→∞
e
sin(arcctg (
2+x
2−x
)
(h) lim
x→∞
ln(sin(arcctg
1
x
))
Zadanie 8.
Określ wartość wyrażeń: (a)
2
0
+
(b)
3
0
−
(c)
−4
0
+
(d)
−5
0
−
Zadanie 9.
Oblicz granice jednostronne w podanych punktach:
(a) f (x) =
x−7
9−x
2
, x
0
= 3
(b) f (x) = e
1
x
, x
0
= 0
(c) f (x) =
1
1−π
1
x
, x
0
= 0
(d) f (x) = arctg
1
1−x
, x
0
= 1
(e) f (x) = 2
1
(x−1)2
, x
0
= 1
(f ) f (x) = (
1
2
)
1
x
, x
0
= 0
(g) f (x) =
3
−1
x+1
−1
3
−1
x+1
+1
, x
0
= −1
(h) f (x) =
x
1+e
1
x
, x
0
= 0
Zadanie 10.
Zbadaj, czy istnieje granica:
(a) lim
x→2
sin(2x−4)
|x−2|
(b) lim
x→0
tg |2x|
3x
(c) lim
x→0
|x|
| sin x|(x+3)
(d) lim
x→3
(3−x)
3
|x−3|
