Wykªad 13

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2008/09)

06 01 2009

c

Mariusz Krasi«ski 2009

Spis tre±ci

1 Interferencja

1

1.1 Droga optyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Soczewka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Pojedyncza szczelina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Zdolno±¢ rozdzielcza przyrz¡dów...

3

2.1 Przykªad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3 Podstawy interferometrii

5

3.1 Interferometr Macha-Zehndera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

UWAGA! Wi¦kszo±¢ rysunków wymaga wªasnor¦cznego dopisania oznacze«! Wyliczenia zamieszczone w

ramkach stanowi¡ materiaª uzupeªniaj¡cy.

Lektura uzupeªniaj¡ca:
M. Krasi«ski, Fale rozdziaª 11 (strony 267-300) w skrypcie pt. Wst¦p do analizy matematycznej i wybranych

dziaªów zyki, red. A. Just, Wyd. Polit. Šódzkiej, Šód¹ 2007.

1 Interferencja

1.1 Droga optyczna

Wielko±¢

x

opt

= nx

nazywamy drog¡ optyczn¡. Jest to po prostu droga geometryczna jak¡ przebywa ±wiatªo x pomno»ona przez

wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa n.

Rysunek 1: Kiedy ±wiatªo przechodzi przez kilka o±rodków......

Je±li ±wiatªo przechodzi w drodze do detektora przez kilka o±rodków to równanie dla nat¦»enia pola elektrycznego

przyjmuje posta¢

E = E

0

cos(φ) = E

0

cos

"

ωt − k

0

N

X

i=1

n

i

∆x

i

!#

gdzie

k

0

=

2π

λ

0

1

1.2 Soczewka

1 INTERFERENCJA

1.2 Soczewka

1.2.1 Dlaczego w ognisku jest jasno?

(a)

(b)

Rysunek 2: Soczewka. (a) Ilustracja do wzoru (1.1).(b) Ilustracja do wzoru (1.2).

Jaki ksztaªt musi mie¢ soczewka aby w punkcie odlegªym o x

2

od soczewki wszystkie przechodz¡ce promienie

miaªy jednakow¡ faz¦ (czyli wzmacniaªy si¦)?
Aby fazy byªy jednakowe to drogi optyczne promieni musz¡ by¢ jednakowe

x

1

+ nd

1

= x

2

+ nd

2

(1.1)

Na podstawie równania (1.1) i rysunku powy»ej mamy:

x

1

− x

2

= n(d

2

− d

1

) = nδx

(1.2)

oraz

z

2

= R

2

− (R − δx)

2

(1.3)

z

2

= x

2
1

− (x

2

+ δx)

2

(1.4)

Š¡cz¡c równania (1.3) i (1.4) otrzymamy

R

2

− R

2

+ 2Rδx − (δx)

2

= x

2
1

− x

2
2

− 2x

2

δx − (δx)

2

czyli

2Rδx = x

2
1

− x

2
2

− 2x

2

δx

2Rδx = (x

1

− x

2

)(x

1

+ x

2

) − 2x

2

δx

(1.5)

Podstawiaj¡c (1.2) do (1.5) i przyjmuj¡c, »e x

1

+ x

2

≈ 2x

2

otrzymamy

2Rδx = nδx2x

2

− 2x

2

δx

R = nx

2

− x

2

(1.6)

albo zapisuj¡c równanie (1.6) w inny sposób

1

x

2

= (n − 1)

1

R

(1.7)

Czy równanie (1.7) co± Ci przypomina?

c

Mariusz Krasi«ski 2009

2

1.3 Pojedyncza szczelina

2 ZDOLNO‘‚ ROZDZIELCZA PRZYRZDÓW...

1.3 Pojedyncza szczelina

Rysunek 3: Pojedyncza szczelina. Ilustracja do wyprowadzenia wzoru (1.9)

•

Dzielimy szczelin¦ na wiele jednakowych odcinków

•

Zakªadamy, »e do ekranu jest daleko

•

czyli promienie mo»emy uwa»a¢ za równolegªe.

Nat¦»enie pola elektrycznego na ekranie (w konkretnym punkcie) liczymy sumuj¡c wkªady od poszczególnych

fragmentów szczeliny. Otrzymamy wtedy

E =

E

0

a

e

i(ωt−kx

0

)

2 sin

2π

λ

a
2

sin α

2π

λ

sin α

(1.8)

Pami¦taj¡c, »e I ∝ |E

o

|

2

otrzymamy z równania (1.8)

I = I

0

4 sin

2

π
λ

a sin α

π
λ

a sin α

2

(1.9)

Rozkªad nat¦»enia ±wiatªa na ekranie wygl¡da jak na rysunku poni»ej.

Rysunek 4: Obraz dyfrakcyjny od pojedynczej szczeliny. Ilustracja do wzoru (1.9)

Minima interferencyjne wyst¦puj¡ dla k¡tów speªniaj¡cych równanie

a sin α = mλ

2 Zdolno±¢ rozdzielcza przyrz¡dów optycznych (czyli, dlaczego teleskopy

s¡ takie du»e?)

Poni»ej zamieszczono pomocnicze obrazki. Opisy nale»y uzupeªni¢ na wykªadzie.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

3

2.1 Przykªad

2 ZDOLNO‘‚ ROZDZIELCZA PRZYRZDÓW...

Rysunek 5: Zdolno±¢ rozdzielcza obiektywu zale»y od .................

Z powodu ograniczonej zdolno±ci rozdzielczej ukªadu optycznego dwa blisko poªo»one obiekty (punkty) nie

zawsze daj¡ si¦ rozró»ni¢

Rysunek 6: Dwa blisko poªo»one obiekty (punkty) nie zawsze daj¡ si¦ rozró»ni¢

Miar¡ zdolno±ci rozdzielczej jest minimalny k¡t Θ pod jakim widzimy dwa punktowe obiekty, które daj¡ si¦

jeszcze rozró»ni¢ (rysunek 7).

Rysunek 7: Denicja k¡ta Θ wykorzystywanego w denicji zdolno±ci rozdzielczej ukªadu optycznego.

Najcz¦±ciej przyjmuje si¦, »e zdolno±¢ rozdzielcza wynosi

sin Θ = 1, 22

λ

D

gdzie D jest ±rednic¡ wej±ciow¡ ukªadu optycznego.

2.1 Przykªad

Przyjmijmy, »e obserwujemy dwa punktowe obiekty z odlegªo±ci 100 m. Jak blisko mog¡ by¢ te punkty aby

mo»na je byªo rozró»ni¢ w przypadku ró»nych ukªadów optycznych?

Ukªad optyczny

±rednica wej±ciowa Minimalna odlegªo±¢ punktów

Oko

0,5 mm

12 cm

Lornetka

5 cm

1,2 mm

Najwi¦ksze teleskopy

10 m

0,006 mm (6 µm)

Tablica 1: Minimalna (zapewniaj¡ca optyczne rozdzielenie) odlegªo±¢ od siebie dwóch punktowych obiektów

umieszczonych w odlegªo±ci 100 m od obserwatora.

Dzi¦ki zastosowaniu ukªadu teleskopów (interferometr gwiazdowy) mo»liwe jest rozdzielenie obiektów, których

nie mo»na rozdzieli¢ klasycznym teleskopem. Poni»ej rysunek, który zostanie omówiony na wykªadzie, przed-

stawiaj¡cy zasad¦ dziaªania interferometru gwiazdowego. Opisz rysunek 8 podczas wykªadu.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

4

3 PODSTAWY INTERFEROMETRII

Rysunek 8: Interferometr gwiazdowy Michelsona.

3 Podstawy interferometrii

3.1 Interferometr Macha-Zehndera

Przykªady zastosowa« na wykªadzie oraz w sekcji Galeria

Rysunek 9: Interferometr Macha-Zehndera

Po przej±ciu przez o±rodek o grubo±ci d i wspóªczynniku zaªamania ±wiatªa n (rysunek 9a) czoªo fali opó¹nia

si¦ wzgl¦dem cz¦±ci czoªa fali, które przeszªy obok warstwy albo czoªa fali, która przeszªa doln¡ drog¡. Po

naªo»eniu czoªa fali, która przeszªa przez warstw¦ i czoªa fali id¡cej doln¡ drog¡ nast¡pi interferencja. Ró»nica

dróg optycznych pomi¦dzy promieniami b¦dzie

∆s = dn − d = d(n − 1)

(3.1)

Bior¡c pod uwag¦ (3.1) warunek wzmocnienia b¦dzie

d(n − 1) = N λ

(3.2)

W takim razie na obrazie interferencyjnym b¦dzie jasno (wzmocnienie) o ile grubo±¢ warstwy b¦dzie

d =

N λ

n − 1

(3.3)

Je±li grubo±¢ warstwy b¦dzie zmienna (rysunek 9b) to w miejscach gdzie grubo±¢ speªnia warunek (3.3) powstan¡

jasne pr¡»ki. Wzrost grubo±ci warstwy odpowiadaj¡cy dwóm kolejnym jasnym (albo ciemnym) pr¡»kom b¦dzie

d

N +1

− d

N

=

(N + 1)λ

n − 1

−

N λ

n − 1

=

λ

n − 1

(3.4)

Podstawiaj¡c dane dla szkªa i »óªtego ±wiatªa otrzymamy

∆d =

550

nm

1, 5 − 1

= 1100

nm

c

Mariusz Krasi«ski 2009

5

3.1 Interferometr Macha-Zehndera

3 PODSTAWY INTERFEROMETRII

Analizuj¡c zmiany jasno±ci pomi¦dzy pr¡»kami mo»na do±¢ ªatwo zmierzy¢ zmiany grubo±ci nawet do 100 razy

mniejsze czyli rz¦du 10 nm.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

6