dr inż. Marian Poniewiera
Gliwice, marzec 2007
.
Materiały powielane powstały na podstawie wykładów pracowników Zakładu Geodezji i Ochrony Terenów Górniczych Pol. Śl. w Gliwicach
oraz na podstawie literatury i nie stanowią publikacji w rozumieniu ustawy o prawach autorskich
Elementy rachunku współrzędnych
Powszechnie stosowany jest układ współrzędnych biegunowych i układ współrzędnych
prostokątnych.
Układ współrzędnych biegunowych płaskich określa przyjęty na płaszczyźnie punkt
początkowy (biegun), którym jest zazwyczaj stanowisko instrumentu, punkt S oraz kierunek
osi biegunowej SA. Położenie punktu P na płaszczyźnie wyznaczają w tym układzie dwie
współrzędne: P(d,
β
). Odległość poziomą d punktu P od bieguna S nazywamy promieniem
wodzącym punktu P, zaś
β
jest to kąt liczony zgodnie z ruchem wskazówki zegara od
przyjętego kierunku początkowego SA do promienia wodzącego SP punktu P. kąt
β
może
przybierać wartość od 0
o
do 360
o
. Jeżeli kierunek początkowy SA jest zgodny z osią odciętych
(x), wówczas kąt
β
nazywamy azymutem kierunku SP.
Układ współrzędnych biegunowych przestrzennych
Położenie punktu P w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne: P(d,
β
,
γ
). Długość SP = d
jest promieniem wodzącym punktu P (w przestrzeni), kąt
γ
= PSP’ jest kątem pochylenia
promienia wodzącego względem poziomej płaszczyzny odniesienia.
Układ współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie tworzą dwie osie: skierowana na północ
oś x, czyli oś odciętych i prostopadła do niej skierowana na wschód oś y, czyli oś rzędnych.
Położenie punktu P na płaszczyźnie wyznaczają dwie współrzędne P(X,Y).
Układ współrzędnych prostokątnych w przestrzeni określają trzy osie x, y, z. Położenie
punktu P w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne P(X,Y,Z).
1
Określenie znaków przyrostów współrzędnych zależnie od wartości azymutu (ćwiartki układu
współrzędnych).
przyrosty współrzędnych
∆
x
PK
= d
PK
cos
α
PK
∆
y
PK
= d
PK
sin
α
PK
długość odcinka PK:
2
2
PK
PK
PK
y
x
d
∆
+
∆
=
azymut
x
y
tg
∆
∆
=
γ
Przykłady:
Ciąg poligonowy
Elementy składowe ciągu poligonowego nawiązanego dwustronnie
Kolejność obliczeń współrzędnych punktów w ciągu poligonowym:
sprawdzenie sumy kątów,
przeprowadzenie wyrównania kątów,
obliczenie azymutów wszystkich boków ciągu,
obliczenie przyrostów współrzędnych wszystkich boków ciągu,
sprawdzenie sumy obliczonych przyrostów współrzędnych,
przeprowadzenie wyrównania przyrostów współrzędnych,
obliczenie współrzędnych kolejnych punktów ciągu.
2
Xa
Ya
Xb
Yb
dXab
dYab
czwartak
Azymut
ćwiartka
10
10
100
20
90
10
7,045
7,045
1
30
30
20
60
-10
30
79,517
120,483
2
40
20
10
10
-30
-10
20,483
220,483
3
51
12
61
6
10
-6
34,404
365,596
4
Kąt lewy – znajduje się po lewej stronie ciągu, poruszając się od punktu początkowego do
punktu końcowego ciągu.
Kąt prawy - znajduje się po prawej stronie ciągu, poruszając się od punktu początkowego do
punktu końcowego ciągu.
Związki geometryczne między kątem wierzchołkowym i azymutem boku:
a) kąt prawy b) kąt lewy
Wzory określające azymuty następnego boku:
α
nast.
=
α
pocz
+ 180
o
-
β
prawy
α
nast.
=
α
pocz
- 180
o
+
β
lewy
Wzór obliczający azymuty kolejnych boków dla ciągu o n wierzchołkach (dla kątów
prawych).
∑
=
−
+
=
n
i
i
o
pocz
końo
prawe
n
1
180
β
α
α
Suma teoretyczna kątów prawych w ciągu otwartym
o
końo
pocz
n
i
i
n
prawe
180
1
+
−
=
∑
=
α
α
β
kąty lewe:
o
pocz
końo
n
i
lewe
n180
1
+
−
=
∑
=
α
α
β
3
Suma przyrostów współrzędnych w ciągu poligonowym nawiązanym dwustronnie
Σ∆
x
PK
= X
końc
– X
pocz
Σ∆
y
PK
= Y
końc
– Y
pocz
Literatura:
1. Jagielski A.: Geodezja I. Wydawnictwo Stabil. Kraków 2002
2. Jamka M., Zielina L.: Geodezja inżynieryjna. Podręcznik dla studentów wyższych szkół
technicznych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2001r.
3. Przewłocki S.: Geodezja dla kierunków niegeodezyjnych. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2002r.
4
