Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
1
Metoda przemieszcze
ń
Wpływ obci
ąŜ
enia siłami
Schemat konstrukcji:
układ podstawowy metody przemieszcze
ń
SGN = 1 +1 = 2
Układ równa
ń
kanonicznych:
=
+
∆
⋅
0
0
2
1
2
1
22
21
12
11
p
p
r
r
r
r
r
r
ϕ
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
2
Współczynnik porównawczy sztywno
ś
ci
Przyj
ę
to: I
1
= I220 PE, I
2
= I240 PE
2
8
5
2
2
8
5
1
kNm
5
,
7974
10
3890
10
205
kNm
5
,
5678
10
2770
10
205
=
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
−
−
EI
EI
EI = EI
1
→
EI
2
= 1,404332EI
Ła
ń
cuch kinematyczny:
0
10
1
0
5
3
0
4210
14
1
0
7
3
0
425
2
1
1
2
0
325
6
1
1
6
0
425
01
12
12
42
25
25
42
23
23
42
42
=
Ψ
=
Ψ
⇒
=
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
↓
−
=
Ψ
⇒
=
Ψ
⋅
−
Ψ
⋅
+
↓
=
Ψ
⇒
−
=
Ψ
⋅
−
→
−
=
Ψ
⇒
−
=
Ψ
⋅
+
→
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
3
Stan
φ
1
= 1
W
ę
zeł 2:
0
5
3
3
2
3
3
7
3
3
83727
,
0
45
4
4
0,41863
45
2
2
01
1
21
1
23
1
25
2
24
2
42
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
M
EI
l
EI
M
EI
l
EI
M
EI
l
EI
M
EI
EI
l
EI
M
EI
EI
l
EI
M
EI
r
M
M
M
M
M
r
RPW
EI
EI
EI
EI
EI
r
57007
,
0
0
1
36584
,
3
7
3
83727
,
0
6
,
0
5
,
1
21
25
25
42
42
42
24
12
21
23
23
21
11
−
=
=
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
⋅
=
+
+
+
=
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
4
Stan
∆
2
= 1
EI
EI
EI
EI
EI
r
EI
r
EI
EI
EI
r
M
M
M
M
M
r
RPW
57004
,
0
98
3
209345
,
0
06
,
0
75
,
0
452968
,
0
0
14
1
98
3
6
1
2093454
,
0
2
10
1
50
3
2
1
4
3
0
1
12
22
22
25
25
42
42
42
24
12
21
23
23
22
−
=
+
+
−
−
=
=
=
−
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
−
+
⋅
−
+
=
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
⋅
EI
EI
l
EI
M
EI
EI
l
EI
M
EI
EI
l
EI
M
EI
EI
l
EI
M
EI
EI
l
EI
M
2093454
,
0
6
1,404332
45
6
6
2093454
,
0
6
1,404332
45
6
6
98
3
14
1
7
3
3
06
,
0
10
1
5
3
3
75
,
0
2
1
2
3
3
24
2
42
24
2
24
25
1
25
12
1
21
23
1
23
=
−
⋅
−
=
Ψ
⋅
−
=
=
−
⋅
−
=
Ψ
⋅
−
=
=
−
−
=
Ψ
⋅
−
=
−
=
⋅
−
=
Ψ
⋅
−
=
−
=
⋅
−
=
Ψ
⋅
−
=
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
5
Stan p
a) Obliczenie belki 5-2 statycznie niewyznaczalnej z sił
ą
skupion
ą
nie
znajduj
ą
c
ą
si
ę
w
ś
rodku ci
ęŜ
ko
ś
ci (metod
ą
sił):
U.RZ. U.P.
0
0
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
=
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
p
p
x
x
x
x
δ
δ
δ
δ
δ
δ
EI
EI
dx
EI
M
M
dx
EI
M
M
EI
EI
dx
EI
M
dx
EI
M
M
dx
EI
M
M
dx
EI
M
x
p
p
x
p
p
x
x
x
x
756
7
3
2
4
3
1
3
84
2
1
1
0
333
,
114
7
3
2
7
7
2
1
1
0
0
0
2
2
1
1
2
2
22
12
1
2
21
2
1
12
2
1
11
−
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
=
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
kN
612
,
6
0
0
0
2
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
=
=
=
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
x
x
x
x
x
x
p
p
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
6
Wykres momentów zginaj
ą
cych na belce 5-2
Wykres stanu „p” metody przemieszcze
ń
:
kNm
091
,
42
0
716
,
37
20
625
,
15
1
1
=
=
−
−
+
p
p
r
r
kN
58,5065
0
4
28
5
10
5
,
2
25
1
35
716
,
37
625
,
15
1
2
25
12
12
25
12
2
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
p
p
r
r
RPW
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
7
Rozwi
ą
zanie układu równa
ń
kanonicznych
Wyznaczenie momentów zginaj
ą
cych metod
ą
superpozycji
WYZNACZENIE WARTO
Ś
CI SIŁ TN
Ą
CYCH
( )
kNm
844
,
56
EI
184.15416
-
2093454
,
0
43.695412
-
41863
,
0
kNm
136
,
75
EI
184.15416
-
2093454
,
0
43.695412
-
83727
,
0
kNm
352
,
13
716
,
37
EI
184.15416
-
98
3
43.695412
-
7
3
kNm
573
,
72
EI
184.15416
-
75
,
0
43.695412
-
2
3
kNm
793
,
30
625
,
15
EI
184.15416
-
06
,
0
43.695412
-
5
3
0
42
24
25
23
21
01
2
2
1
1
−
=
⋅
+
⋅
=
−
=
⋅
+
⋅
=
=
+
⋅
+
⋅
=
=
⋅
−
⋅
=
−
=
−
⋅
−
⋅
=
=
+
∆
⋅
+
⋅
=
EI
EI
EI
M
EI
EI
EI
M
EI
EI
EI
M
EI
EI
EI
M
EI
EI
EI
M
M
M
M
M
M
p
n
p
ϕ
m
EI
184.15416
-
43.695412
-
0
0
5065
,
58
091
,
42
452968
,
0
57007
,
0
57007
,
0
36584
,
3
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
22
21
12
11
=
∆
=
=
+
∆
⋅
−
−
=
+
∆
⋅
rad
EI
EI
r
r
r
r
r
r
p
p
ϕ
ϕ
ϕ
kN
907
,
17
0
28
0
Y
kN
093
,
10
0
352
,
13
3
28
7
0
25
25
52
52
52
2
−
=
=
−
−
=
=
=
+
⋅
−
⋅
=
∑
∑
T
T
T
T
T
M
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
8
kN
6586
,
18
0
5
,
2
5
5
793
,
30
5
0
21
21
1
=
=
⋅
⋅
−
−
⋅
=
∑
T
T
M
kN
2865
,
36
kN
2865
,
36
0
2
573
,
72
0
23
32
23
23
3
−
=
=
−
=
=
⋅
+
=
∑
T
T
T
T
M
kN
3414
,
6
0
5
,
2
5
5
793
,
30
5
0
12
12
2
−
=
=
⋅
⋅
+
−
⋅
=
∑
T
T
M
kN
674
,
19
kN
674
,
19
0
45
844
,
56
136
,
75
0
42
24
42
42
2
=
=
=
=
⋅
−
+
=
∑
T
T
T
T
M
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
9
WYZNACZENIE SIŁ NORMALNYCH
Z równowagi w
ę
zła „3” wynika
Ŝ
e N
32
= -10 kN, N
23
=N
32
= -10 kN
Z równowagi w
ę
zła „5” wynika
Ŝ
e N
52
= -35 kN, N
25
=N
52
= -35 kN
Wyznaczenie momentu maksymalnego pod obci
ąŜ
eniem
ci
ą
głym
Wyznaczenie momentu pod sił
ą
skupion
ą
dla belki 2-5
kN
2253
,
42
N
N
kN
2253
,
42
N
0
sin
cos
674
,
19
6586
,
18
907
,
17
10
0
447213
,
0
cos
89442
,
0
sin
24
42
24
24
=
=
=
=
⋅
−
−
⋅
−
+
+
=
=
=
⋅
∑
α
α
α
α
N
Y
kNm
0213
,
4
)
(
793
,
30
6586
,
18
2
5
73172
,
3
0
5
6586
,
18
5
6586
,
18
)
(
max
2
=
=
−
⋅
+
⋅
−
=
=
⋅
−
⋅
−
=
M
x
M
x
x
m
x
x
x
x
T
kNm
369
,
40
3
907
,
17
352
,
13
−
=
=
⋅
−
=
M
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
10
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
11
Sprawdzenie kinematyczne
Sprawdzenie statyczne
0
07
,
0
75886
,
43
404332
,
1
353
,
61
417
,
0
2
1
5
8
5
5
3
2
417
,
0
3
2
5
794
,
30
2
1
583
,
0
3
2
583
,
0
7
4
3
1
3
352
,
13
2
1
583
,
0
3
1
583
,
0
7
4
3
2
3
369
,
40
2
1
583
,
0
7
4
3
2
4
369
,
40
2
1
1
1
45
136
,
75
2
1
1
844
,
56
45
2
1
1
1
2
2
≈
=
+
−
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
EI
EI
EI
EI
EI
δ
0
20
844
,
56
8
341
,
6
5
,
5
25
8
28
,
36
3
10
4
093
,
10
6
35
0
0
0024
,
0
447213
,
0
67
,
19
89442
,
0
225
,
42
341
,
6
5
5
10
28
093
,
10
0
0
0038
,
0
447213
,
0
225
,
42
89442
,
0
67
,
19
2865
,
36
35
0
4
=
−
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
≈
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
−
−
−
=
≈
=
⋅
+
⋅
−
−
=
∑
∑
∑
M
Y
X
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
12
Sprawdzenie napr
ęŜ
e
ń
normalnych wywołanych momentem
zginaj
ą
cym
a)
M
max
= 72,8 kNm dla zaprojektowanego
I
1
o W = 194 cm
3
(IPE200)
b)
M
max
= 75,1 kNm dla zaprojektowanego
I
2
o W = 324 cm
3
(IPE240)
Wnioski:
•
Oba przekroje okazały si
ę
zbyt małe dla danego obci
ąŜ
enia
zewn
ę
trznego.
•
Nale
Ŝ
ałoby wprowadzi
ć
przekroje znaczenie wi
ę
ksze (np. IPE 280) i
ponownie obliczy
ć
układ statycznie niewyznaczalny.
•
Je
Ŝ
eli zostawimy wybrane przekroje prawdopodobnie doprowadzi to do
katastrofy budowlanej.
•
Dla obci
ąŜ
enia wypadkowego od osiadania oraz sił oczywi
ś
cie dane
przekroje równie
Ŝ
nie wystarcz
ą
.
MPa
205
MPa
375
cm
kN
5015
,
37
cm
194
kNcm
275,3
7
dop
max
2
3
=
≥
=
=
δ
δ
MPa
205
MPa
232
cm
kN
19
,
23
cm
324
kNcm
513,6
7
dop
max
2
3
=
≥
=
=
δ
δ
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
13
Wpływ osiadania podpór
EI
K
−
−
=
452968
,
0
57007
,
0
57007
,
0
36584
,
3
Stan
∆
∆
1
= 0,7 cm
∆
2
= 1,1 cm
∆
3
= 1,4 cm
Φ
= 1,5
0
=
=0,0261799 rad
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
EI
EI
M
EI
EI
M
EI
EI
M
EI
M
EI
EI
M
M
01962
,
0
0018333
,
0
3
0261799
,
0
2
45
404332
,
1
2
008658
,
0
0018333
,
0
3
0261799
,
0
45
404332
,
1
2
0007653
,
0
0017857
,
0
7
3
0
0
2
3
00318
,
0
0053
,
0
5
3
0
42
24
25
23
21
01
=
⋅
−
⋅
⋅
=
=
⋅
−
⋅
=
−
=
−
=
=
=
=
=
=
rad
rad
rad
rad
0017857
,
0
014
,
0
5
7
0
5210
0053
,
0
014
,
0
5
3
0,007
4210
0
0
2
6
0,011
-
423
0018333
,
0
011
,
0
6
0
524
52
21
52
21
21
24
23
23
24
24
24
=
Ψ
−
=
⋅
Ψ
+
⋅
Ψ
+
↓
−
=
Ψ
−
=
⋅
Ψ
+
⋅
Ψ
+
↓
=
Ψ
=
⋅
Ψ
+
⋅
Ψ
+
→
=
Ψ
−
=
⋅
Ψ
−
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
14
(
)
EI
r
EI
EI
EI
EI
r
M
M
M
M
r
RPW
EI
EI
EI
EI
r
0043403
,
0
0
14
1
0007653
,
0
6
1
01962
,
0
6
1
008658
,
0
1
,
0
00318
,
0
0
1
011073
,
0
008658
,
0
0007652
,
0
00318
,
0
2
2
25
25
42
42
42
24
12
21
2
1
=
=
−
⋅
−
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
+
=
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
Ψ
⋅
+
⋅
=
+
−
=
∆
∆
∆
∆
m
0.0174395
-
0.0062435
-
0
0
0043403
,
0
011073
,
0
452968
,
0
57007
,
0
57007
,
0
36584
,
3
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
22
21
12
11
=
∆
=
=
+
∆
⋅
−
−
=
+
∆
⋅
∆
∆
rad
EI
EI
r
r
r
r
r
r
ϕ
ϕ
ϕ
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
15
WYZNACZENIE WARTO
Ś
CI SIŁ TN
Ą
CYCH
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
kNm
839
,
75
01962
,
0
0.0174395
-
2093454
,
0
0.0062435
-
41863
,
0
kNm
251
,
1
008658
,
0
0.0174395
-
2093454
,
0
0.0062435
-
83727
,
0
kNm
572
,
22
0007653
,
0
0.0174395
-
98
3
0.0062435
-
7
3
kNm
092
,
21
0.0174395
-
75
,
0
0.0062435
-
2
3
kNm
724
,
2
00318
,
0
0.0174395
-
06
,
0
0.0062435
-
5
3
0
42
24
25
23
21
01
2
2
1
1
=
=
+
⋅
+
⋅
=
−
=
=
+
⋅
+
⋅
=
−
=
−
⋅
+
⋅
=
=
⋅
−
⋅
=
=
+
⋅
−
⋅
=
=
+
∆
⋅
+
⋅
=
∆
∆
EI
EI
EI
M
EI
EI
EI
M
EI
EI
EI
M
EI
EI
M
EI
EI
EI
M
M
M
M
M
M
p
ϕ
kN
22457
,
3
0
0
Y
kN
22457
,
3
0
572
,
22
7
0
25
25
52
52
52
2
=
=
−
=
=
=
−
⋅
=
∑
∑
T
T
T
T
T
M
12
21
21
21
1
kN
5448
,
0
0
724
,
2
5
0
T
T
T
T
M
=
−
=
=
+
⋅
=
∑
kN
119
,
11
kN
119
,
11
0
45
839
,
75
251
,
1
0
42
24
42
42
2
−
=
=
−
=
=
⋅
+
+
−
=
∑
T
T
T
T
M
kN
546
,
10
kN
546
,
10
0
2
092
,
21
0
23
32
23
23
3
−
=
=
−
=
=
⋅
+
=
∑
T
T
T
T
M
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
16
WYZNACZENIE SIŁ NORMALNYCH
Z równowagi w
ę
zła „3” wynika
Ŝ
e N
32
= 0 , N
23
= N
32
= 0
Z równowagi w
ę
zła „5” wynika
Ŝ
e N
52
= 0 , N
25
= N
52
= 0
Z równowagi w
ę
zła „1” >>
Σ
X
= 0 > N
12
= 0
>>
Σ
y
= 0 > N
10
= -0,538 kN, N
01
=N
10
=-0,538 kN
kN
34
,
1
N
0
sin
cos
119
,
11
548
,
0
226
,
3
0
447213
,
0
cos
89442
,
0
sin
24
24
−
=
=
⋅
+
−
⋅
−
+
=
=
=
⋅
∑
α
α
α
α
N
Y
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
17
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2007/2008
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Bartosz Kośmieja
18
Sprawdzenie kinematyczne
Sprawdzenie
statyczne
(
)
(
)
°
−
=
−
=
−
=
−
+
−
=
=
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
−
=
⋅
5
,
1
0261809
,
0
77102
,
157
12
014
,
0
8287
,
28
404332
,
1
5679
,
258
014
,
0
12
1
417
,
0
3
2
5
7272
,
2
2
1
583
,
0
3
2
7
572
,
22
2
1
1
1
45
251
,
1
829
,
75
2
1
1
1
2
4
rad
EI
EI
EI
EI
EI
ϕ
∑ ∫
∑
∆
⋅
−
⋅
=
⋅
∆
x
n
R
dx
EI
M
M
0
0
4
1
ϕ
0
019
,
0
8
548
,
0
8
546
,
10
4
226
,
3
829
,
75
0
0
0000385
,
0
447213
,
0
119
,
11
89442
,
0
34
,
1
548
,
0
226
,
3
0
0
001678
,
0
447213
,
0
34
,
1
89442
,
0
119
,
11
546
,
10
0
4
≈
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
=
≈
−
=
⋅
−
⋅
+
+
=
≈
=
⋅
−
⋅
−
=
∑
∑
∑
M
Y
X