Elektryczność i magnetyzm.
Pole elektryczne w próŜni
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Elektryczność i magnetyzm.
Pole elektryczne w próŜni
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Podręczniki (HRW)
David Halliday, Robert
Resnick, Jearl Walker,
Podstawy fizyki. T. 3,
Elektryczność i
magnetyzm, Wydawnictwo
Naukowe PWN Warszawa,
2003, Cena: 49,90 zł.
Podręczniki (IWS)
I.W. Sawieliew, Wykłady
z fizyki, t. 2,
Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 1998,
cena 47 zł.
Podręcznik uzupełniający (WF)
Feynmana wykłady z fizyki.
T. 2, cz. 1, Elektryczno
ść
i
magnetyzm.
Elektrodynamika,
Wydawnictwo Naukowe
PWN, 2004, Cena:
39,00 zł.
Podręcznik bardziej zaawansowany
(DG)
David J. Griffiths,
Podstawy
elektrodynamiki,
Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa, 2005
Cena:
49,90
Ładunek elektryczny (HRW R.22)
•
Istnieją dwa rodzaje ładunku, umownie nazwane dodatnim
i ujemnym.
• Ładunki róŜnego znaku przyciągają się, jednakowego –
odpychają.
• Wszystkie ciała istniejące w przyrodzie mają zdolność
nabywania albo oddawania ładunku – elektryzowania się.
• Ładunek elektryczny jest nieodłączną własnością
niektórych cząstek elementarnych. Wszystkie one mają
ładunek jednakowej wielkości, chociaŜ moŜe on mieć róŜny
znak.
• Elementarny ładunek dodatni będziemy oznaczali literą
e
.
• Ładunek elektronu równy jest –e, protonu e, neutronu 0e.
Budowa otaczającej nas materii
(HRW R.22)
Otaczająca nas materia zbudowana jest atomów.
Składnikami atomów są elektrony, neutrony i
protony. Oprócz tego otaczają nas fotony – cząstki
bez ładunku elektrycznego i bez masy. Istnieją
jeszcze inne cząstki elementarne, ale spotykamy je
jedynie w wyjątkowych sytuacjach – w specjalnych
laboratoriach czy w wiązkach promieni kosmicznych.
Stabilna materia jest zrównowaŜona pod względem
elektrycznym.
Budowa nukleonu
d
d
u
d
u
u
Własno
ś
ci kwarka u (upper):
masa: 1,5 do 4 MeV/c²,
ładunek elektryczny: +2/3e,
spin: ½
Własno
ś
ci kwarka d (down):
masa: 4 do 8 MeV/c²,
ładunek elektryczny: -1/3 e,
spin: ½.
Ziarnistość ładunku
Ładunek Q kaŜdego ciała naładowanego jest
wielokrotnością ładunku elementarnego e
Q=
±
eN.
Jednak jeŜeli N>>1, to ziarnistości ładunku nie
odczuwamy.
Zasada zachowania ładunku
(HRW R.22)
Sumaryczny ładunek ciała odizolowanego
elektrycznie nie moŜe ulec zmianie.
Ogólniej: w procesach, w których biorą udział
cząstki elementarne ładunek jest zachowany.
Charles Augustin de Coulomb
Urodził się: 14 czerwca 1736 w Angoulême, Francja,
zmarł: 23 sierpnia 1806 w ParyŜu.
Grudniu 1761 Coulomb zakończył studia i został dobrze
wyszkolonym inŜynierem w randze porucznika w „Corps du
Génie”. Budował Fort Bourbon na Martynice. Po powrocie
do Francji zajął się statyką budowli. Pracując w Cherbourgu
napisał słynną rozprawę o kompasie magnetycznym, którą
przedstawił do nagrody Akademii Nauk w 1777. Następnie
zajął się drganiami torsyjnymi włókien. Zajmował się teorią
tarcia. Spełniał szereg funkcji państwowych.
Charles Augustin de Coulomb
Coulomb - fizyk
Wyniki badań dotyczące skręcania nici Coulomb
przedstawił w 1784 r. Zbudował instrument, który
pozwolił mierzyć z duŜą precyzją siły oddziaływania
ładunków elektrycznych, magnesów i oddziaływania
grawitacyjne.
Charles Coulomb razem z Henry Cavendishem jest
ojcem elektrostatyki i magnetostatyki. W serii
siedmiu prac Coulomb opisał w latach (1785-1791)
prawa elektrostatyki i magnetostatyki.
Aparat Coulomba
Ładunek punktowy
JeŜeli L
–
liniowe rozmiary ciała o ładunku q są
małe w porównaniu z odległościami tego ciała do
innych ciał naładowanych elektrycznie (L<<r), to
to ciało nazywamy ładunkiem punktowym.
L
r
Prawo Coulomba (HRW & 22.4)
1
2
12
12
21
12 12
2
q q
k
, gdzie
1
r
= −
= −
=
F
e
F
e e
Siła oddziaływania dwóch ładunków punktowych
jest proporcjonalna do kaŜdego z ładunków
i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości
r pomiędzy nimi. Kierunek tej siły pokrywa się
z prostą łączącą te ładunki. Kierunek tej prostej
określa jednostkowy wektor
.
12
e
e
12
q
1
q
2
F
12
F
21
Prawo Coulomba
1
2
12
12
2
q q
k
.
r
= −
F
e
JeŜeli ładunki mają ten sam znak q
1
q
2
>0, to
12
12
21
.
−
=
F
e
e
∼
Siła jest skierowana przeciwnie skierowana do
wektora .
12
e
JeŜeli ładunki mają róŜne znaki q
1
q
2
<0, to
12
12
.
F
e
∼
Siła Culomba jest siłą centralną
Siła oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy
dwoma ładunkami punktowymi jest
centralna
, bo
zaleŜy ona jedynie od wektora je łączącego.
1
2
12
12
2
12
q q
k
.
r
= −
F
e
r
1
r
2
r
12
q
1
q
2
x
y
z
12
21
12
21
= -
spelniona jest III
zasada dynamiki Newtona :
.
⇒
= −
e
e
F
F
Zbiór ładunków
Doświadczenie pokazuje, Ŝe
obecność dodatkowych
ładunków nie zmienia oddziaływania pomiędzy q
1
i
q
2
. RozwaŜymy N ładunków (N>2). Na i-ty ładunek
działa siła:
N
N
i
ij
ij
j 1
(
)
j 1
j i
,
=
=
=
≡
∑
∑
/
F
F
F
≠≠≠≠
gdzie
jest siłą z jaką, pod nieobecność
pozostałych ładunków, na wybrany i-ty ładunek
działa j-ty ładunek (j=1,2,..,i-1,i+1,...,N).
ij
F
Układ Gaussa jednostek
a) JeŜeli we wzorze Coulomba połoŜymy k=1,
wyrazimy ładunek elektryczny w
jednostkach
bezwzględnego elektrostatycznego układu
ładunku
. Po dołączeniu jednostek
magnetycznych powstaje w ten sposób układ
jednostek Gaussa. Oparty jest on na
pomiarach odległości (L), masy (M) i czasu
(T) (liniał, waga i zegar). Podstawowymi
jednostkami tego układu są gram (g),
centymetr (cm) i sekunda (s).
Układ jednostek SI
Współcześnie uŜywamy układu SI.
Podstawowymi jednostkami w SI są metr (m),
kilogram (kg), sekunda (s), amper (A), kelwin
(K), kandela i mol. Siłę określa się na podstawie
oddziaływania przewodników z prądem.
Prawo Coulomba w SI
W układzie SI stała k jest
róŜna od jedności
0
1
k
1 .
4
=
πε
≠≠≠≠
Stała
ε
0
nazywa się stałą elektryczną, albo
przenikalnością elektryczną próŜni.
W układzie SI jednostką ładunku jest
Coulomb (1C).
Siły oddziaływania pomiędzy
ładunkami 1C w odległości 1 m
Wielkość siły F
1
z jaką oddziałują dwa ładunki
punktowe o wielkości 1 C kaŜdy, znajdujące się
w odległości 1 m:
9
9
1
F
9 10 N
10 kG .
≈ ×
≈
Ładunek elementarny e wyraŜony w kulombach
e = 1,60
×
10
-19
C
Wielkość stałej elektrycznej
ε
0
2
2
11
0
9
2
11
F
1
C
C
1
0, 85 10
4
9 10 Nm
Nm m
0, 85 10
F / m.
−
−
ε =
≈
⋅
=
π ⋅ ⋅
=
⋅
W układzie SI: jednostkowe ładunki (kaŜdy równy
1C) znajdują się w odległości jednostkowej (1 m),
wtedy siła oddziaływania F
12
ich wzajemnego
oddziaływania równa jest 9
×
10
9
N.
( )
( )
2
9
12
2
0
1C
1
F
9 10 N
.
4
1m
= ⋅
=
πε
Stała
εεεε
0
ma wymiar fizyczny
C
2
/(Nm
2
)= [C
2
/Nm]/m
≡
1F/m.
Iloraz C
2
/Nm = F nazywa się faradem.
Pole elektryczne (HRW R. 23)
Oddziaływanie dwóch nieruchomych
ładunków odbywa się za pośrednictwem pola
elektrycznego. KaŜdy ładunek zmienia
własności otaczającej go przestrzeni –
wytwarza pole elektryczne. Pole elektryczne
badamy przy pomocy ładunku próbnego.
Wektor natęŜenia pola elektrycznego
ładunku punktowego
pr
r
2
0
1
q
q
.
4
r
=
πε
F
e
r
2
0
1
q
=
.
4
r
πε
E
e
pr
q .
≡
E
F/
Oddziaływanie ładunku punktowego q z ładunkiem
próbnym q
pr
określa natęŜenie pola
elektrycznego przezeń wytwarzanego:
E
PoniewaŜ:
NatęŜenie pola elektrycznego ładunku
punktowego w dowolnym punkcie przestrzeni
Punktowy ładunek q wytwarza w kaŜdym punkcie
przestrzeni pole elektryczne. NatęŜenie pola
elektrycznego w dowolnym punkcie
przestrzeni
równe jest:
( )
E r
r
r
2
0
1
q
=
.
4
r
πε
E
e
e
r
q
q
pr
F=q
pr
E
r
Pole elektryczne ładunku punktowego zaleŜy od
wektora r – jest niejednorodne przestrzennie. Nie
wyróŜnia kierunku w przestrzeni – jest izotropowe.
Pole elektryczne
E
E
JeŜeli w kaŜdym punkcie przestrzeni określony jest
wektor to mówimy o polu elektrycznym. Jest to
pole
wektorowe
. NatęŜenie
pola elektrycznego w
punkcie r jest równe sile działającej na jednostkowy
ładunek elektryczny umieszczony w tym punkcie.
Kierunek wektora natęŜenia wektora pola
elektrycznego pokrywa się z kierunkiem siły
działającej na jednostkowy ładunek dodatni.
Gdy q
pr
>0, to E i F mają jednakowe zwroty,
gdy q
pr
<0, to E i F mają przeciwne zwroty.
Jednostki natęŜenia pola
elektrycznego
pr
pr
q
q
jednostka
to N/C.
Jednak uŜywana jednostka natęŜenia pola
elektrycznego to wolt/m.
V/m = N/C
V = mN/C = J/C.
⇒
⇒
⇒
⇒
F =
E
E = F/
E
Jednostki natęŜenia pola elektrycznego
Za jednostkę natęŜenia pola elektrycznego przyjmuje-
my natęŜenie w punkcie, w którym na ładunek
jednostkowy 1C działa jednostkowa siła 1N. W SI
jednostka natęŜenia pola elektrycznego nosi nazwę
wolt na metr (V/m): q = 1C, r = 1 m.
2
9
2
0
9
9
1
1
C / m
C
E
9 10
1
4
1
mF
4
F / m
4
9 10
V
9 10
.
m
=
=
= ×
≡
πε
π
π× ×
≡ ×
1V
C / F.
≡
NatęŜenie pola elektrycznego
wytwarzane przez układ ładunków
Niech na ładunek q
pr
działa siła ze strony N innych
ładunków, wtedy
W kaŜdym punkcie przestrzeni o wektorze
natęŜenia pola elektrycznego na ładunek q
pr
(doznający działanie pola elektrycznego) działa siła
E
pr
q
.
=
F
E
N
N
j
pr
j
j 1
j 1
q
.
=
=
=
=
∑
∑
F
F
E
Zasada superpozycji pól elektrycznych
N
N
j
pr
j
j 1
j 1
pr
N
pr
j
j 1
q
.
Po podzieleniu obydwu stron przez q
otrzymamy :
/q
zasada sup erpozycji pól elektrycznych.
=
=
=
=
=
≡
−
∑
∑
∑
F
F
E
F
E =
E
Zasada superpozycji pól elektrycznych
N
pr
j
j 1
( )/q
( )
( ).
=
≡
∑
F r
E r =
E r
NatęŜenie pola elektrycznego
E
w dowolnym punkcie
r
przestrzeni jest sumą
wektorów
natęŜenia w
punkcie
r
wytwarzanych przez kaŜdy z N ładunków
układu.
Zastosowanie zasady superpozycji
pól elektrycznych
Zasada superpozycji pozwala znaleźć natęŜenie
pola elektrycznego dowolnego rozkładu
ładunków, takŜe rozkładów ciągłych. GdyŜ
ciągły rozkład ładunku moŜna podzielić na małe
fragmenty dq
i
(i=1,2,…,N).
Michael Faraday
(ur. 22 września 1791, zm. 25 sierpnia 1867) – fizyk i
chemik angielski, jeden z najwybitniejszych uczonych
XIX w., eksperymentator, samouk.
Profesor Instytutu Królewskiego i Uniwersytetu w
Oksfordzie, członek Royal Society, w młodości
asystent H.B. Davy'ego.
Największe znaczenie miały prace Faradaya
dotyczące elektryczności. W 1831 r. odkrył zjawisko
indukcji elektromagnetycznej, co przyczyniło się do
powstania elektrodynamiki. W latach 1833-34
sformułował prawa elektrolizy i wprowadził
nomenklaturę dla opisu tego zjawiska.
Stworzył podstawy elektrochemii. Faraday odkrył
równieŜ zjawisko samoindukcji, zbudował pierwszy
model silnika elektrycznego . W 1845 r. stwierdził,
Ŝ
e diamagnetyzm jest powszechną właściwością
materii, odkryty zaś przez niego paramagnetyzm –
właściwością szczególną niektórych jej rodzajów.
Faraday wprowadził pojęcie linii sił pola i wysunął
twierdzenie, Ŝe ładunki elektryczne działają na siebie
za pomocą takiego pola. W 1848 r. odkrył zjawisko
Faradaya.
Michael Faraday
Linie sił pola elektrycznego
Są to linie w przestrzeni takie, Ŝe w kaŜdym
punkcie przestrzeni wektory natęŜenia pola
elektrycznego są do nich styczne.
Linie sił pola elektrycznego
x
y
z
( )
1
1
=
E
E r
( )
2
2
=
E
E r
1
r
2
r
Linie sił pola róŜnoimiennych
ładunków punktowych
Umowa: linie sił pola wychodzą z ładunków
dodatnich i kończą się na ładunkach ujemnych.
Linie sił pola dwóch jednoimiennych
ładunków punktowych
Oś symetrii pola
elektrycznego
Linie sił pola elektrycznego układu dwóch
ładunków jednakowego znaku widzianego
z duŜej odległości
Obserwator znajdujący się
daleko od tego układu widzi
ładunek punktowy o ładunku
będący sumą ładunków.
Dlatego linie sił pola
elektrycznego powinny mieć
symetrię sferyczną.
q
1
+q
2
Linie sił pola elektrycznego dwóch
róŜnoimiennych ładunków punktowych
Oś symetrii pola
elektrycznego
20.12.10
Umowa:
Gęstość powierzchniową linii sił pola
elektrycznego dobiera się tak, aby liczba linii
przenikających przez element powierzchni
prostopadłej do linii sił pola w punkcie o
wektorze wodzącym , o jednostkowym polu,
była równa wielkości wektora natęŜenia .
( )
E r
r
Przykład
RozwaŜymy powierzchnię sferyczną otaczającą
ładunek punktowy q. Wielkość wektora
natęŜenia pola elektrycznego: E=(q/r
2
)/(4
πε
0
).
Obliczymy N
sf
– liczbę linii sił pola przechodzą-
cych przez powierzchnię kuli o promieniu r.
Pole tej powierzchni: S = 4
π
r
2
.
N
sf
= [(q/r
2
)/(4
πε
0
)]
×
4
π
r
2
= q/
ε
0
.
Liczba N
sf
nie zaleŜy od promienia kuli.
Potencjał pola elektrycznego
(HRW R. 25)
( )
r
r
2
0
F r
1
( )
F(r)
.
4
r
= −
=
πε
/
F r
e
e
Rozpatrzymy pole ładunku punktowego q. W
dowolnym punkcie o wektorze wodzącym r
przestrzeni na ładunek punktowy q
/
działa siła
Praca związana
z przesunięciem ładunku
Obliczymy pracę wykonaną na drodze ,
wykonaną w wyniku przesunięcia ładunku q
/
z
punktu o wektorze wodzącym r do punktu o
wektorze wodzącym r’.
/
d
r r
l = -
Praca dA wykonana w wyniku przesunięcia
ładunku q
/
na drodze S
12
1
W wyniku przesunięcia
⇒
r
r
/
/
r
r
,
e
, e
/
d
.
r r
l = -
F
dA
q ' E( )dr.
=
r
r
= dr
e
dl
S
12
d
l
r
1
r
2
r
/
r
/
r
e
r
e
.
Obliczymy pracę dA wykonaną
przy przesunięciu ładunku o
odcinek
:
d
l
r
dA
q ' ( )
q'E( )
,
=
E r
r e
dl =
dl
Praca związana z przesunięciem ładunku
wzdłuŜ odcinka łamanej
przybliŜającej S
12
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
dA
q '
q ' ( )
q ' E( )
q ' E( )dr
(i
1, 2,
, Z), bo
dr .
=
=
=
=
=
=
E
E r
r e
r
e
…
dl
dl
dl
dl
Dzielimy krzywą S
12
na Z małych odcinków
.
KaŜdy z nich moŜemy uwaŜać za prostoliniowy.
W ten sposób zamieniamy krzywą S
12
na łamaną.
Im odcinki dl
i
są mniejsze (liczba Z rośnie ), tym lepiej
łamana przybliŜa krzywą. Na drodze dl
i
praca dA
i
wykonana przy przemieszczeniu ładunku wynosi:
i
d
l
Praca A
12
związana z przesunięciem ładunku q
/
wzdłuŜ łamanej przybliŜającej S
12
Praca A
12
jest sumą prac wykonanych przy
przemieszczaniu ładunku q
/
na odcinkach dl
1
,
dl
2
,..., dl
Z
:
Z
Z
Z
12
i
i
i
i
i
i 1
i 1
i 1
A
dA
q
(r )d
q E(r )dr .
=
=
=
≈
=
=
∑
∑
∑
E
/
/
l
Gdy liczba odcinków łamanej dąŜy do
∞
(wtedy długość kaŜdego z nich dąŜy do 0),
to łamana przechodzi w krzywą S
12
. Zatem
( )
2
1
Z
Z
12
i
i
i
Z
Z
i 1
i 1
Z
r
i
i
r
Z
i 1
F r
A
lim
A
lim
q
(r )
lim
q E(r )dr
q E(r) dr .
→∞
→∞
=
=
→∞
=
=
=
=
=
≡
∑
∑
∑
∫
E
/
/
/
dl
Praca A
12
Dwa ładunki punktowe
Obliczymy całkę
2
1
F(r)dr
∫
2
2
2
12
2
1
1
1
0
0
p1
p 2
0
1
2
dr
1
A
F(r)dr
r
r
1
1
W
W .
r
r
=
= −
= −
=
4πε
4πε
=
−
≡
−
4πε
∫
∫
/
/
/
Energia potencjalna ładunku q’ w polu ładunku
punktowego q:
p
0
1
W
const.
4
r
≡
+
πε
/
20.12.14
Umowa
:
w punkcie nieskończenie odległym (r =
∞
)
energia potencjalna jest równa 0.
p
0
1
W
.
4
r
≡
πε
/
p
0
1
W
const.
4
r
≡
+
πε
/
Obserwacja:
Praca A
S
wykonana w wyniku przesunięcia ładunku
q
/
wzdłuŜ zamkniętego konturu S jest równa zero:
1
S
2
S
S
1
0
0
0
1
1
dr
1
1
1
A
F(r)dr
0.
r
r
r
r
=
= −
= −
=
−
=
4πε
4πε
4πε
∫
∫
/
/
/
1
S
y
r
x
z
Własności pracy sił zachowawczych
Zamiast punktu 1 moŜna by wybrać dowolny inny
punkt krzywej.
1
S
S
1
S
2
y
r
z
x
Przy pomocy punktu 1 i
czarnego punktu
podzieliliśmy kontur S na
dwa kontury S
1
i S
2
.
PołoŜenie czarnego
punktu jest dowolne.
1
2
S
S
S
S
A
F(r)dr
F(r)dr
F(r)dr
0.
=
=
+
=
∫
∫
∫
1
S
S
1
S
2
y
r
z
x
1
2
S
S
F(r)dr
F(r)dr .
= −
∫
∫
Praca A
12
związana z przesunięciem
ładunku q w polu elektrycznym
(
)
2
12
1
2
12
1
A
q
oraz A
q
d .
= ϕ − ϕ
=
∫
E
l
Praca sił pola elektrostatycznego zaleŜy jedynie
od punktów początkowego 1 i końcowego 2, nie
zaleŜy od drogi jej łączącej. Takie pole
nazywamy zachowawczym.
(
)
2
1
2
1
d .
ϕ − ϕ =
∫
E
l
Gdy przesunięcie ładunku odbywa się po S –
konturze zamkniętym to A
S
= 0:
S
S
A
d = 0 .
=
∫
E
l
calka po konturze zamkniętym
−
∫
Potencjał pola elektrycznego
RóŜne ładunki będą posiadały w tym samym
punkcie róŜne energie potencjalne. Wielkość
W
p
/q
/
jest dla wszystkich ładunków próbnych
taka sama, więc charakteryzuje pole, a nie
doświadczenie.
p
pr
0
W
1
q
.
q
4
r
ϕ ≡
=
πε
Potencjał
N ładunków punktowych
N
N
12
i
i 1
i 1
0
i1
i2
q q
q q
1
A
A
.
4
r
r
=
=
=
=
−
πε
∑
∑
/
/
i
i
Stąd energia potencjalna ładunku q/ w polu N
ładunków
N
i
p
i 1
0
i
q
1
W
.
4
r
=
=
πε
∑
Ładunki punktowe q
1
, q
2
, ...,q
N
w punktach o
wektorach wodzących odpowiednio r
1
, r
2
, ..., r
N
wytwarzają pole elektrostatyczne.
Praca A
12
związana z przesunięciem ładunku q
/
na
drodze łączącej punkty 1 i 2:
Potencjał układu
ładunków punktowych
N
N
N
i
i
i
i 1
i 1
i 1
0
i
W
q
W
1
.
4
r
q
q
=
=
=
ϕ =
=
=
ϕ =
πε
∑
∑
∑
/
/
Potencjał układu ładunków punktowych jest
równy algebraicznej sumie potencjałów
wytwarzanych przez kaŜdy ładunek oddzielnie.
Cząstka w elektrostatycznym
polu wielu cząstek
Rozpatrzymy układ N naładowanych cząstek
(N>2):
1
1
2
2
N
N
q , , q , ,
, q ,
.
r
r
r
…
Na i-tą cząstkę wpływa potencjał
ϕ
i
wytwarzany
przez wszystkie pozostałe cząstki
N
N
k
k
k 1
k 1
ik
ik
k i
q
q
.
r
r
=
=
ϕ =
≡
∑
∑
/
≠≠≠≠
i
Iloczyn
ϕ
i
q
i
=W
i
jest energią potencjalną i-tego
ładunku w polu elektrycznym pozostałych ładunków.
Inne spojrzenie na energię
potencjalną ładunków
0
12
0
12
1
q
1
q
W
q
q
q
q
.
4
r
4
r
= ϕ =
=
= ϕ
πε
πε
/
/
/
/
Rozpatrzymy energię potencjalną W ładunku
q
/
w polu ładunku q. MoŜna W uznać za
energię potencjalną ładunku q w polu
potencjalnym wytwarzanym przez ładunek q
/
:
Gdy ładunki q i q
/
są porównywalne moŜemy
mówić o energii oddziaływania dwóch
ładunków. Gdy q>>q
/
to lepiej mówić o
energii potencjalnej ładunku q
/
w polu
ładunku q.
Energia oddziaływania
układu N>2 cząstek
W
ik
- energia oddziaływania dwóch cząstek: i-tej i
k-tej
(
)
i
k
ik
ki
ik
i
k
ik
ik
0
ik
q q
1
W
W
, r
.
4
r
=
=
= −
=
πε
r
r
r
r
W energia oddziaływania N ładunków jest równa
sumie wyrazów W
ik
pomnoŜonej przez ½, co pozwala
uniknąć dwukrotnego uwzględniania wkładu i-tej i
k-tej cząstki (i,k=1,2,...,N):
N
N
i
k
i
i
i 1
i,k 1
0
0
ik
q q
1
1
1
1
W
q
.
2
4
2
4
r
=
=
=
ϕ =
πε
πε
∑
∑
/
Wektor wodzący r i jego składowe x,y,z
Dla określenia połoŜenia punktu
o wektorze wodzącym
moŜna
uŜywać składowych x,y,z, albo
i dwóch kątów –
θ
i
φ
;
r,
θ
i
φ
nazywają się
współrzędnymi sferycznymi.
r
r
=
r
- rzut wektora
na płaszczyznę x,y
⊥
r
r
x
y
z
r
r
θ
φ
e
z
x
y
z
= x
y
z
(x, y, z)
( )
x, ( )
y, ( )
z
+
+
≡
⇒
=
=
=
x
y
z
r
e
e
e
r
r
r
Pochodna kierunkowa
M(r)
M
/
(r+s
ε
)
s
RozwaŜymy prostą, którą określa
wektor s i przesunięcie o
ε
wzdłuŜ
niej.
Wektor s ma
składowe s
x
, s
y
, s
z
s=s
x
e
x
+ s
y
e
y
+ s
z
e
z
x
y
z
s
z
s
x
s
y
s
Pochodna kierunkowa
(
) ( )
/
(M )
(M)
.
∆ϕ = ϕ
− ϕ
= ϕ + ε − ϕ
r
s
r
Granica ilorazu:
(
) ( )
( )
0
0
lim
lim
,
s
ε→
ε→
ϕ + ε − ϕ
∂ϕ
∆ϕ
=
≡
ε
ε
∂
r
s
r
r
nazywa się pochodną kierunkową.
Wektor s wyznacza prostą.
ε
- długość odcinka MM
/
.
Niech
ε
<<1. RozwaŜmy przyrost
∆ϕ
=
ϕ
(M
/
) -
ϕ
(M):
Wektor gradientu
Wektor
x
y
z
x, y, z
x, y, z
x
x, y, z
x, y, z
.
y
z
∂ϕ
ϕ
≡ ϕ
−
−
∂
∂ϕ
∂ϕ
−
−
∂
∂
r
e
e
e
(
)
(
)
(
)
(
)
∇ ( ) ∇ (
) =
∇ ( ) ∇ (
) =
∇ ( ) ∇ (
) =
∇ ( ) ∇ (
) =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
nazywa się
gradientem
pola skalarnego
ϕ
(r).
Związek pochodnej kierunkowej
z gradientem
( )
( )
( )
x
y
z
x
y
z
x
y
y
(
)
(x
s , y s , z s )
(
)
( )
(x
s , y s , z s )
(x, y, z)
(x, y, z)
(x, y, z)
(x, y, z)
cos( , x)
cos( , y)
cos( , z)
x
y
z
(x, y, z)
(x, y, z)
(x, y, z)
x
y
z
ϕ + ε = ϕ + ε + ε + ε
⇒
ϕ + ε − ϕ
= ϕ + ε + ε + ε − ϕ
≈
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
≈ ε
+
+
=
∂
∂
∂
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
ε
+
+
∂
∂
∂
r
s
r
s
r
s
s
s
se
se
se
( )
( )
x
y
y
(x, y, z)
(x, y, z)
(x, y, z)
x
y
z
( )
.
s
=
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
= ε
+
+
= ε ∇ ϕ
⇒
∂
∂
∂
∂ϕ
= ∇ ϕ = ∇ϕ
∂
s
e
s
e
s
e
s
r
s
s
Nabla
Wektorowa operacja róŜniczkowania
x
y
z
,
x
y
z
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
∇ =
∇ =
∇ =
∇ =
e
e
e
nazywana jest nablą, gdzie na przykład
y,z const
y,z
f (x, y, z)
df (x, y, z)
df (x, y, z)
.
x
dx
dx
=
∂
≡
≡
∂
Działanie nabli na pole skalarne zamienia je
na pole wektorowe
Związek między natęŜeniem pola
elektrycznego i potencjałem
p
= - W .
F
∇
∇
∇
∇
q
(q ).
=
= −
ϕ
F
E
∇
∇
∇
∇
=
.
− ϕ
E
∇
∇
∇
∇
Siła F związana jest z energią potencjalną W
p
zaleŜnością
Dla cząstki naładowanej znajdującej się w polu
elektrostatycznym mamy
F
=q
E
i W
p
= q
ϕ
, zatem:
JeŜeli znamy zaleŜność
ϕ
od
r
moŜemy określić wektor
E
w kaŜdym punkcie przestrzeni
( ) =
( ) .
− ϕ
E r
r
∇
∇
∇
∇
Relacja pomiędzy
E i
ϕ
x
y
z
x
y
z
E
E
+ E
,
x
y
z
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
+
= −
−
−
∂
∂
∂
x
y
z
E =
e
e
e
e
e
e
gdzie:
y,z
f (x, y, z)
df (x, y, z)
.
x
dx
∂
≡
∂
Jak widać:
y
E
; E
; E
.
x
y
z
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
= −
= −
= −
∂
∂
∂
x
z
Rzut
E na dowolny kierunek l
( ) ( ) ( )
x
y
z
E
x
y
z
=
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
ϕ = −
+
+
≡
∂
∂
∂
∂ϕ
≡ −
∂
≡
− ⋅
e
e
e
E
∇
∇
∇
∇
l
l
l
l
l
l
l
- pochodna kierunkowa potencjału.
x
x
i
- cosinus kąta pomiędzy
, itd.
e
e
l
l
Związek pomiędzy E i
ϕ
wytwarzanymi
przez ładunek punktowy, mierzonymi
w punkcie o wektorze wodzącym r
2
2
2
0
0
1
q
1
q
(r)
.
4
r
4
x
y
z
ϕ =
=
πε
πε
+
+
(
)
3/ 2
2
2
2
2
2
2
0
0
y,z const
3
0
(r)
q
d
1
q
2x
x
4
dx
4
x
y
z
2 x
y
z
q
x
.
4
r
=
∂ϕ
=
= −
=
∂
πε
πε
+
+
+
+
= −
πε
(
)
(
)
( )
(
)
1/ 2
1/ 2 1
3/ 2
2
2
2
2
d
1
d
1
x
C
x
C
2x
x x
C
.
dx
dx
2
x
C
−
−
−
−
=
+
= −
+
= −
+
+
Wykorzystany wzór:
Związek pomiędzy E i
ϕ
dla ładunku
punktowego znajdującego się
w punkcie o wektorze wodzącym r
Pozostałe składowe:
3
3
0
0
(r)
q
y
(r)
q
z
,
.
y
4
r
z
4
r
∂ϕ
∂ϕ
= −
= −
∂
πε
∂
πε
Wektor pola elektrycznego ładunku punktowego
x
y
z
r
3
3
2
0
0
0
r
x
y
z
q
q
q
=
,
4
r
4
r
4
r
gdzie
r .
+
+
− ϕ=
=
≡
πε
πε
πε
≡
e
e
e
e
r
E
e
r/
∇
∇
∇
∇
Powierzchnie jednakowego potencjału
– powierzchnie ekwipotencjalne
Powierzchnia w przestrzeni R
3
, której punkty mają
jednakowy potencjał nazywa się powierzchnią
ekwipotencjalną. Jej równanie ma postać
(x, y, z)
const.
ϕ
=
Powierzchnię ekwipotencjalną moŜna przeprowadzić przez
kaŜdy punkt przestrzeni.
Powierzchnie ekwipotencjalne
Warunek
ϕ
(r)=const. określa w przestrzeni powierzchnię
stałego potencjału (w skrócie psp) – powierzchnię
ekwipotencjalną.
2
2
2
0
0
1
q
1
q
(r)
const.
4
r
4
x
y
z
ϕ =
=
=
πε
πε
+
+
To równanie określa powierzchnię kuli o promieniu r.
Przykład: powierzchnie ekwipotencjalne potencjału
wytwarzanego przez ładunek punktowy.
Powierzchnie ekwipotencjalne
ładunku punktowego
ϕ
1
ϕ
2
Umowa: Powierzchnie
ekwipotencjalne
rysujemy tak, aby róŜnica
potencjału pomiędzy sąsiednimi
powierzchniami była stała.
Wtedy gęstość linii obrazuje
szybkość zmiany potencjału.
Praca związana z przesunięciem ładunku
wzdłuŜ powierzchni ekwipotencjalnej
RozwaŜymy przesunięcie ładunku próbnego o odcinek dl
wzdłuŜ linii leŜącej na powierzchni stałego potencjału.
Praca dA
pr
pr
pr
pr
t
t
dA
q
q E d
q
d
q E = 0
E
0 .
∂ϕ
=
⇒
=
∂
Ed
l
l = -
l = -
l
l =
To oznacza, Ŝe składowa E
t
wektora pola elektrycznego
styczna do powierzchni stałego potencjału znika: E
t
=0.
Wektor pola elektrycznego jest
⊥
do powierzchni ekwipotencjalnej
W kaŜdym punkcie r dowolnej
krzywej leŜącej na psc moŜna
wprowadzić układ współrzędnych
związany z n - wektorem
t
B
B
n
B
t
n
prostopadłym do powierzchni i wektorem t - stycznym do
krzywej. KaŜdy wektor, np. E(r), moŜna zapisać w postaci
sumy E(r) = nE
n
+ tE
t
. PoniewaŜ E
t
= 0, więc E = nE
n
.
WNIOSKI
a) Wektor pola elektrycznego jest prostopadły do psp.
b) E
= -
∇
∇
∇
∇
ϕ
∇
∇
∇
∇
ϕ
jest
⊥
do psc.
Wektor gradientu dowolnego
pola
skalarnego
A(
r)
Rozpatrzymy
Σ
A
- powierzchnię stałej wartości A(r)=const.
Wektor
∇
∇
∇
∇
A jest
⊥
do
Σ
A
, a skierowany jest w kierunku
rosnących wartości A.
Przykład:
psp dla ładunku punktowego
Niech
ϕ
= f(r),
2
2
2
r
x
y
z
=
+
+
e
r
ϕ
1
=
ϕ
(r
1
)
ϕ
2
=
ϕ
(r
2
)
r
2
r
1
Psp są powierzchniami
kul.
x
y
z
x
y
z
r
x
y
z
d (r)
r
r
r
(r)
dr
x
y
z
r
r d (r)
d (r)
.
r
dr
dr
+
+
ϕ
∂
∂
∂
∇ϕ =
+
+
=
=
∂
∂
∂
ϕ
ϕ
e
e
e
e
e
e
=
e
Własności dipola
Dipol elektryczny – układ dwóch równych co do wartości,
lecz przeciwnego znaku, ładunków punktowych +q i –q
znajdujących się w odległości l.
Długość l jest znacznie
mniejsza od odległości r punktu, w którym mierzone
jest pole elektryczne.
Prosta, na której leŜą ładunki nazywa się osią dipola.
Pole wytwarzane przez dipol ma symetrię osiową.
Geometria dipola
PołoŜenie punktu P
względem dipola określa
wektor
r
, albo jego długość
i kąt (współrzędne
biegunowe). Wektor
l
określa oś dipola i łączy
ładunek –q z ładunkiem +q.
P
ϑ
-a
+a
E
E
E
r
ϑ
P
PołoŜenie ładunku +q względem
ś
rodka dipola określa wektor
a
,
ładunku –q –wektor –
a
.
l = 2a, r
+
jest
odległością punktu P od +q, r
-
-
odległość P od +q.
Potencjał dipola elektrycznego
r
r
a cos
r
;
r
r
a cos
r
.
≈ −
ϑ = −
≈ +
ϑ = +
++++
−−−−
r
r
ae
ae
(
)
(
)
( )
2
0
0
0
2
2
2
0
0
0
q r
r
q r
r
1
q
q
1
1
(r)
4
r
r
4
r r
4
r
q 2
q
1
1
1
4
r
4
r
4
r
gdzie
q jest momentem dipola
−
+
−
+
+
+
−
−
ϕ ≈
−
=
≈
=
πε
πε
πε
⋅
⋅
=
=
≡
πε
πε
πε
r
r
r
a e
e
p e
p =
l
l
.
−
−
−
−
−
−
−
−
Potencjał dipola
-q
+q
l
p
Potencjał dipola elektrycznego
Pole potencjalne dipola zaleŜy od jego momentu dipolowego
jest odwrotnie proporcjonalne do
kwadratu
odległości
punktu, w którym przeprowadzamy pomiar do dipola.
PoniewaŜ , więc
r
r
q
q cos
p cos
l
= ⋅ =
ϑ =
ϑ
pe
e
l
2
0
1
p cos
(r, )
.
4
r
ϑ
ϕ ϑ ≈
πε
(
)
2
0
p cos
/ 2
1
(r,
/ 2)
0.
4
r
π
ϕ ϑ = π
≈
=
πε
Na osi
⊥
do dipola przechodzącej przez jego środek
NatęŜenie pola elektrycznego dipola
-a
+a
E
E
E
r
ϑ
2
3
0
0
const.
r
(r, )
p cos
p cos
E
dr
/ dr
.
r
4
4
r
−
ϑ=
∂ϕ ϑ
ϑ
ϑ
= −
= −
=
∂
πε
πε
2
2
4
3
dr
d
1
2r
2
dr
dr r
r
r
−
=
= −
= −
Wykorzystany wzór
Składowa radialna wektora E
Składowa styczna wektora
E
Składowa styczna: Zmiana kąta
powoduje przesunięcie końca wektora
r
o
d (d
1)
ϑ → ϑ+ ϑ ϑ <<
Pole elektryczne:
d
rd
r
≈ ϑ <<
l
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0
3
0
3
3
0
0
3
0
cos
d
cos
d
d
p
E
d
rd
4
r
rd
cos cos d
sin sin d
cos
p
4
r
d
cos
d sin
cos
cos
d sin
cos
p
p
4
r
d
4
r
d
1
p sin
.
4
r
ϑ
ϑ + ϑ −
ϑ
ϕ
ϕ
≈
=
= −
=
ϑ
πε
ϑ
ϑ
ϑ −
ϑ
ϑ −
ϑ
= −
≈
πε
ϑ
ϑ − ϑ
ϑ −
ϑ
ϑ − ϑ
ϑ −
ϑ
≈ −
= −
=
πε
ϑ
πε
ϑ
ϑ
=
πε
l
Wykorzystane wzory: cosx
≅
1, sinx
≅
x (x<<1).
Długość E
wektora pola elektrycznego dipola
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
3
3
0
0
1
p
1
p
E
E
E
4 cos
sin
1 3cos
4
r
4
r
ϑ
=
+
=
ϑ +
ϑ =
+
ϑ
πε
πε
Stąd
2
3
0
1
p
E
1 3cos
.
4
r
=
+
ϑ
πε
Na osi dipola
Na osi prostopadłej do dipola, przechodzącej przez jego
ś
rodek:
3
0
1
p
/ 2, stąd E(r,
/ 2)
E
.
4
r
⊥
ϑ = π
ϑ = π
≡
=
πε
2
2
1
cos
sin
=
ϑ +
ϑ
3
0
1
2p
0 mamy E
.
4
r
ϑ =
=
πε
Linie sił pola elektrycznego dipola
- wektor natęŜenia
pola elektrycznego w
punkcie P na osi dipola
pochodzące od ładunku
dodatniego.
( )
+
E
- wektor natęŜenia
pola elektrycznego w
punkcie P na osi dipola
pochodzące od ładunku
ujemnego.
( )
−
E
Moment dipolowy jest
skierowany od ładunku
ujemnego do dodatniego.
p
Dipol w jednorodnym
polu elektrycznym
Niech na dipol działa jednorodne pole elektryczne E
tworzące z nim kąt
α
Siły działające na dipol w
jednorodnym polu elektrycznym
Pole jednorodne przestrzennie:
E
nie zaleŜy od r.
Ładunek –q:
F
2
=
F
-
=-
q
E,
ładunek +q:
F
1
=
F
+
=
q
E
|
F
-
|=|
F
+
|=
F
,
gdzie F=qE.
Siły F
-,
,
F
+
tworzą
parę sił
usiłujących ustawić
dipol równolegle do linii sił pola elektrycznego.
Na dipol działa para sił o momencie N
N - moment pary siły jest wektorem o długości
N=Flsin
α
=ql Esin
α
=pEsin
α
.
Wektor momentu siły
p
E
N
α
Długość wektora N
N = pEsin
α
.
Wektor N skierowany jest prostopadle do płaszczyzny, w
której leŜą wektory p i E. Zwrot wektora
N
zgodny jest z
kierunkiem śruby wkręcanej zgodnie z obrotem
przeprowadzającym p w E przez mniejszy kąt. Tak
zdefiniowany wektor jest iloczynem wektorowym
× ≡
N = p E
pE
Energia potencjalna W
p
dipola w
zewnętrznym
jednorodnym
polu elektrycznym
(
)
p
W
q
q
q
+
−
+
−
= ϕ − ϕ =
= ϕ − ϕ
Skierujemy E wzdłuŜ osi x
Potencjał jednorodnego pola
elektrycznego: aby E nie zaleŜało od x
d (x)
(x)
Ex
E .
dx
ϕ
ϕ
= −
⇒
−
=
Zatem
(
)
(
)
p
W
q
qE
x
x
E cos
.
+
−
= ϕ − ϕ = −
+ −
= −
α = −
l
l
pE
Energia potencjalna W
p
dipola w
zewnętrznym
niejednorodnym
polu elektrycznym
F
1
≠
F
2
Niejednorodne pole elektryczne
||
do osi dipola
W niejednorodnym polu elektrostatycznym równoległym
do osi dipola na dipol działa siła powodująca jego
przesunięcie wzdłuŜ osi x. Powód: siła F
+
działająca na
ładunek +q jest inna niŜ siła F
-
działająca na ładunek –q.
x
x
F
qE (x, y, z); F
qE (x
, y, z) .
−
+
= −
=
+
l
Siła wypadkowa F:
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
F (x, y, z)
F (x
, y, z) = q -E
x, y, z
E (x
, y, z)
dE (x, y, z)
E (x, y, z
q -E
x, y, z
E
x, y, z
q
dx
x
E (x, y, z)
E(x, y, z)
p
p
cos .
x
x
=
+
+
+
+
≈
∂
≈
+
+
=
=
∂
∂
∂
=
α
∂
∂
l
l
l
l