2009 10 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 26670

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

( )

X

N

X

X

N

X

N

S

,

3

2

2

3

,

3

,

3

3

µ

µ

δ

µ

δ

µ

µ

µ

+

+

=

4

,

2

=

=

β

α

2

1

=

=

β

α

µ

X

8

1

2

2

=

=

β

α

δ

X

16

1

2

3

,

3

=

=

β

α

µ

X

1

6

3

6

2

6

1

=

+

+

=

N

µ

3

7

6

9

6

4

6

1

2

=

+

+

=

EN

6

6

27

6

8

6

1

3

=

+

+

=

EN

(

)

( )

( )

1

1

3

3

7

3

6

3

3

3

2

2

3

3

,

3

=

+

=

+

=

=

N

N

N

N

N

N

EN

EN

N

E

µ

µ

µ

µ

µ

µ

3

4

1

3

7

)

(

2

2

2

=

=

=

EN

EN

N

δ

(

)

16

7

16

1

4

2

16

1

4

1

8

1

16

1

1

8

1

2

1

3

4

3

2

1

1

3

3

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

ES

S

E


Zadanie 2

X=Y+V
U=2(Y+V)+Y
U=3Y+2V

3

3

2

3

2

V

U

V

V

U

X

V

U

Y

+

=

+

=

=

{

}

V

U

V

U

V

U

V

U

Y

X

D

>

>

+

>

>

>

>

0

2

0

2

0

,

0

:

{

}

V

U

V

U

R

V

U

>

>

>

,

2

,

,

0

:


background image

0

3

1

9

1

9

2

3

2

3

1

3

1

3

1

)

,

(

)

,

(

=

=

=

v

u

D

y

x

D

( )

+

=

v

u

v

u

v

u

v

u

f

,

dla

3

1

3

2

exp

3

exp

)

,

(

∫ ∫

∫ ∫

=

+

=

+

=

6

0

2

0

6

0

2

0

3

2

exp

3

1

3

1

3

2

exp

u

u

dvdu

v

u

dvdu

v

u

ODP

=





=

=

=

6

0

2

0

6

0

6

0

2

0

3

6

exp

3

3

2

exp

3

1

3

exp

3

3

2

exp

3

1

3

exp

3

2

exp

3

1

u

u

du

u

u

du

v

u

dvdu

v

u

=

+

+

=

+

=





=

6

0

4

3

6

0

2

3

2

2

3

2

3

2

exp

2

3

2

exp

2

3

2

exp

2

exp

e

e

u

u

du

u

u

(

)

4

3

4

3

3

4

1

2

1

2

3

2

2

1

+

=

+

=

e

e

e

e


Zadanie 3

( )

=

=

=

n

i

n

i

i

i

n

x

x

x

L

1

1

2

exp

,

θ

θ

θ

( )

=

=

+

=

n

i

n

i

i

i

x

x

n

x

L

1

1

ln

ln

2

,

ln

θ

θ

θ

=

=

=

=

n

i

i

i

x

n

x

n

L

1

2

ˆ

0

2

ln

θ

θ

θ

(

)

(

)

( )

2

2

2

2

2

1

4

2

ˆ

2

)

(

X

n

X

v

ENW

i

=

=

=

θ

θ

(

)

(

)

2

1

2

2

2

1

)

(

=

=

n

i

X

E

n

v

ENW

E

θ

background image

(

)

=

Γ

n

i

i

n

X

1

;

2

θ

2

2

2

2

2

2

4

2

2

1

ˆ

θ

θ

θ

=





+

=

n

n

n

c

v

E

2

2

2

)

2

1

(

θ

θ

=

+

n

n

c

n

n

c

n

n

c

2

1

2

2

)

2

1

(

+

=

=

+


Zadanie 4

(

)

2

,

i

i

i

x

x

N

Y

β

szukamy minimum:

=

=

=

=

16

1

16

1

2

2

1

iu

ograniczen

przy

i

i

i

i

i

i

x

c

x

c

f

bo nieobciążony

(

)

=

=

+

=

16

1

16

1

2

2

16

1

1

,

,...,

i

i

i

i

i

i

x

c

x

c

c

c

f

λ

λ

i

i

i

i

i

i

x

c

x

x

c

dc

df

2

0

2

2

λ

λ

=

=

+

=

=

=

16

1

1

i

i

i

x

c

=

=

16

1

0

1

2

i

i

i

x

x

λ

i

i

x

c

16

1

8

1

1

16

2

1

=

=

=

λ

λ

=

=

16

1

16

1

ˆ

i

i

i

Y

x

β

=

=

=

16

1

2

2

16

1

256

1

ˆ

var

i

i

i

x

x

β

(

)

49

,

0

96

,

1

4

95

,

0

4

4

ˆ

ˆ

)

1

,

0

(

=

=

=

<

=

<

c

c

c

P

c

P

N

4

8

47

6

β

β

β

β


Zadanie 5

(

)

(

)

max

>

<

=

M

X

P

M

X

P

f

i

k

n

i

k

dla

M

ze

zalozenie,

0

jest

>

>

θ

θ

M

(

)

(

)

θ

θ

θ

M

M

X

P

M

M

X

P

i

i

=

>

=

<

,

(

)

K

n

K

n

K

K

M

M

f

=

θ

θ

θ

background image

θ

θ

θ

ln

)

(

)

ln(

)

(

ln

ln

ln

K

n

M

K

n

k

M

K

f

+

=

K

nM

n

M

K

n

K

n

M

K

n

K

f

=

=

=

+

=

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

0

ln

z tego max i

K

nM

=

θ

ˆ


Zadanie 6

2

1

0

1

0

=





>

t

f

f

P

H

(

)

=



>



+

=

>



Π



+

Π

t

X

n

X

X

P

t

X

X

P

i

i

i

H

i

n

i

n

H

8

2

exp

8

exp

2

2

1

8

1

exp

2

2

1

2

2

2

2

0

0

=

<

=

>

=



>



=

5

,

0

ln

4

2

ln

8

4

8

2

exp

0

0

0

t

n

X

P

t

n

X

P

t

n

X

P

i

H

i

H

i

H

{

}

<

=

0

i

X

K

przy

)

4

;

(

:

1

n

n

N

X

H

i

rozpatrzmy D

=

Π





Π

=

Π

0

2

8

2

8

exp

8

exp

4

exp

8

exp

2

2

1

lim

2

lim

dx

n

n

n

x

n

x

n

n

e

n

n

β

=

=







=





=

0

0

2

0

2

1

4

exp

4

1

4

1

4

exp

8

exp

lim

4

1

4

exp

8

exp

lim

dx

x

x

n

x

x

n

x

n

n


Zadanie 7

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

var

)

2

var(

)

,

2

cov(

)

,

2

cov(

+

+

=

+

zauważmy, że varX=varY=varZ oraz cov(X,Y)=cov(X,Z)=cov(Y,Z)

czyli

X

Y

X

X

Y

X

ODP

var

)

,

cov(

4

var

5

)

,

cov(

3

+

=

varX obliczamy z rozkładu hipergeometrycznego dla N=60, n=24, M=20

1

var

,

1

=

=

N

n

N

npq

X

N

M

q

background image

59

3

59

24

60

3

2

3

1

24

var

3

2

=

=

=

X

q


var(X+Y) obliczamy z rozkładu hipergeometrycznego dla N=60, n=24, M=40

czyli

59

3

var

)

var(

=

=

+

X

Y

X

(

)

118

3

59

3

59

3

59

3

2

1

var

var

)

var(

2

1

)

,

cov(

=

=

+

=

Y

X

Y

X

Y

X

2

3

54

108

2

9

54

2

59

118

9

2

1

59

3

59

18

118

9

59

3

118

12

30

118

9

59

3

118

3

4

59

3

5

118

9

=

=

=

=

=

=

ODP



Zadanie 8

(

) (

) (

)

)

(

0

z

f

N

k

N

P

k

N

z

f

z

Z

k

N

P

>

=

=

=

=

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

=

=

=

>

t

X

P

t

P

t

X

X

P

k

N

t

Z

P

k

k

1

min

1

,...,

min

1

0

k

dla

( )

1

,

1

1

1

θ

θ

k

Pareto

t

k

+

=

(

)

(

) (

)

=

=

=



+

=

>

=

=

=

>

1

1

)

1

(

1

1

1

0

0

k

k

k

k

q

q

q

t

N

k

N

P

k

N

t

Z

P

z

t

Z

P

θ

=

+

=

+

+

+

=

+

=

1

1

)

1

(

1

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

1

1

1

)

1

(

1

k

k

k

q

t

q

t

t

t

q

t

q

q

θ

θ

θ

θ

θ

(

)

[

]

2

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

0

q

t

t

q

q

z

z

f

+

+

=

>

θ

θ

θ

(

)

[

]

[

]

1

2

1

1

2

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

+

+

+

=

+

+

+

=

=

=

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

z

q

z

kq

z

q

q

q

z

q

q

z

k

z

Z

k

N

P

k

k

k

[

] [

]

=

=

+

+

+

=

+

+

=

1

1

2

2

1

2

1

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

k

k

k

k

z

q

k

z

q

q

z

z

q

z

q

k

ODP

θ

θ

θ

θ

θ

(

) (

)

=

=

=

=

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

1

1

1

3

2

2

2

2

2

4

2

3

2

2

1

3

2

2

2

2

2

)

1

2

(

....

2

3

1

2

)

1

(

....

3

2

....

3

2

k

k

k

k

k

k

k

k

q

kq

q

k

q

q

q

q

A

q

q

q

Aq

q

q

q

q

k

A



background image

2

2

3

2

1

2

)

1

(

1

....

)

1

(

....

2

....

2

q

q

B

q

q

q

q

q

B

q

q

Bq

q

q

kq

B

k

k

=

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

=

3

3

2

3

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

2

1

)

1

(

2

)

1

(

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

A

q

q

q

q

q

A

+

=

=

=

=


Z tego:

[

]

[

] [

]

[

]

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

3

3

3

2

3

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

q

z

z

q

z

q

z

q

q

z

z

q

z

q

z

q

z

q

q

z

ODP

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

[

]

q

z

q

z

+

+

+

=

θ

θ

)

1

(

)

1

(


Zadanie 9

(

) (

) (

) (

)

=

=

<

=

<

=

<

+

+

+

+

+

1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Z

P

X

X

Z

P

X

Z

X

Z

P

Y

Y

P

(

) (

) (

) (

)

[

]

(

)

=

=

=

<

+

=

<

=

+

+

+

1

1

0

0

1

1

1

n

n

n

n

n

n

Z

P

Z

P

X

X

P

Z

P

X

P

(

)

(

)

[

]

75

,

0

75

,

0

25

,

0

0

1

<

+

>

=

+

n

n

n

X

X

P

X

P


szukamy rozkładu stacjonarnego:

[

]





+

+

+

+

=

3

2

3

1

3

2

1

3

2

1

3

1

75

,

0

,

3

1

5

,

0

,

3

1

25

,

0

5

,

0

3

1

3

1

3

1

75

,

0

0

25

,

0

0

5

,

0

5

,

0

,

,

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

2

3

3

3

2

2

3

1

1

3

2

1

8

9

III

z

3

1

75

,

0

3

1

5

,

0

3

1

25

,

0

5

,

0

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

=

=

+

=

+

=

+

+

do II wstawiamy:

1

2

2

2

1

5

4

8

3

5

,

0

p

p

p

p

p

=

=

+

27

10

1

10

27

1

10

9

5

4

1

ale

10

9

5

4

8

9

1

1

1

1

1

3

2

1

1

1

3

=

=

=

+

+

=

+

+

=

=

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

3

1

27

9

27

10

10

9

,

27

8

27

10

5

4

3

2

=

=

=

=

=

p

p

background image

(

)

(

) (

)

[

]

27

17

2

1

lim

0

lim

3

2

=

+

=

=

+

=

=

>

p

p

X

P

X

P

X

P

n

n

n

n

n

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

=

<

+

=

=

<

=

<

+

+

+

2

2

2

1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

X

P

X

X

P

X

P

X

X

P

X

X

P

(

)

(

)

(

) (

)

[

]

(

)

=

=

=

=

+

=

=

+

=

=

=

=

+

+

+

2

2

0

2

1

1

1

0

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

X

P

X

X

P

X

X

P

X

P

X

X

P

(

)

(

)

(

)

(

)

2

3

2

1

4

1

2

3

1

3

1

1

4

1

=

+

=

=

=





+

+

=

=

n

n

n

n

X

P

X

P

X

P

X

P

(

)

27

8

27

6

27

2

27

9

3

2

27

8

4

1

3

2

4

1

lim

3

2

1

=

+

=

+

=

+

=

<

+

p

p

X

X

P

n

n

n

144

41

4

3

108

41

4

3

108

24

108

17

4

3

4

3

27

8

4

1

27

17

=

=

+

=





+

=

ODP


Zadanie 10

Wyznaczamy najpierw test JNM dla weryfikacji hipotezy

0

0

:

K

wobec

:

θ

θ

θ

θ

=

H

na

poziomie

α

gdzie

( )

θ

,

0

,....

1

J

X

X

n

Iloraz gęstości przy

0

1

θ

θ

>

jest postaci:

(

)

(

)

(

)

+





=

0

:

0

:

1

0

1

1

gdy

,

0

gdy

,...,

,...,

0

1

θ

θ

θ

θ

θ

θ

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

p

x

x

p


a przy

0

1

θ

θ

<

jest postaci:

(

)

(

)

( )

[

)





=

0

1

:

1

:

1

0

1

1

,

gdy

0

,

0

gdy

,...,

,...,

0

1

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

p

x

x

p


dla weryfikacji

0

1

0

0

:

wobec

:

θ

θ

θ

θ

>

=

H

H

zbiór krytyczny jest postaci:

(

)

[

)

{

}

(

)

0

0

:

1

;

0

gdzie

;

:

,...,

θ

θ

=

A

A

x

X

X

K

n

n

n

spełnia warunek

(

)

α

θ

=

A

x

P

n

n:

0

dla weryfikacji

0

1

0

0

:

wobec

:

θ

θ

θ

θ

<

=

H

H

otrzymujemy, że test o obszarze krytycznym

(

)

[

)

{

}

=

;

)

,

0

(

:

,...,

0

:

1

θ

d

x

X

X

W

n

n

n

gdzie d spełnia

(

)

α

θ

=

<

d

x

P

n

n:

0

jest testem JNM.

Wybierając za zbiór A przedział (0,d) gdzie

n

d

1

0

α

θ

=

otrzymujemy K=W


W jest obszarem krytycznym dla testu JNM przy

0

1

0

0

:

wobec

:

θ

θ

θ

θ

=

H

H

(

)

[

)







=

;

,

0

:

,...,

0

1

0

:

1

θ

α

θ

n

n

n

n

x

X

X

W

Wiemy, że jeśli

(

)

θ

θ

θ

=

e

J

e

Y

x

e

X

X

x

;

0

to

dla

)

(

Czyli zadanie sprowadza się do wyznaczenia testu JNM dla weryfikacji hipotezy

n

Y

Y

e

b

e

b

b

b

H

b

b

H

,...,

podstawie

na

,

gdzie

:

wobec

:

1

0

0

1

0

0

0

θ

θ

=

=

=

z rozkładu J(0,b) gdzie

i

X

i

e

Y

=

czyli mamy obszar krytyczny:

background image

(

)

{

}

n

n

n

n

n

n

b

c

b

y

c

y

y

y

W

1

0

0

:

:

1

gdzie

:

,...,

α

=

<

=

zauważmy, że

n

X

n

n

e

Y

:

1

:

=

czyli:

(

)

=

>

=

n

x

x

X

X

W

n

n

n

α

θ

θ

ln

:

,...,

0

:

1

0

1

1

(

)

(

) (

)

=

>

=

;

ln

0

,

,...,

min

ln

0

:

,...,

1

:

1

:

1

1

n

x

x

n

x

x

X

X

n

n

n

n

α

α


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1996 10 05 prawdopodobie stwo i statystyka
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
1998 10 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 18585
2002 10 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21648
1996 10 26 prawdopodobie stwo i statystykaid 18572
2009.04.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2010.10.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.10.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.10.09 prawdopodobie stwo i statystyka
1998.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
1999 10 23 prawdopodobie stwo i statystykaid 18598
1998 12 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 18587

więcej podobnych podstron