PRAWO FOURIERA
PRAWO FOURIERA
-
-
KIRCHOFFA
KIRCHOFFA
WYKŁAD 12
WYKŁAD 12
Dariusz Mikielewicz
Dariusz Mikielewicz
Politechnika Gdańska
Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Wydział Mechaniczny
Katedra Techniki Cieplnej
Katedra Techniki Cieplnej
PRAWO FOURIERA
PRAWO FOURIERA
-
-
KIRCHOFFA
KIRCHOFFA
WYKŁAD 12
WYKŁAD 12
Dariusz Mikielewicz
Dariusz Mikielewicz
Politechnika Gdańska
Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Wydział Mechaniczny
Katedra Techniki Cieplnej
Katedra Techniki Cieplnej
Prawo Fouriera
Prawo Fouriera
-
-
Kirchhoffa
Kirchhoffa
Założenia upraszczające równanie F-K:
1. zagadnienie stacjonarne,
∂/∂τ
2. zagadnienie izobaryczne, p
≈const
3. brak generacji wewnętrznych źródeł ciepła, q
v
=0
4. ciało w stanie stałym, w=0
5. stałe wartości własności fizycznych ciała, c
p
,
µ,λ,ρ=0
Bardzo często mamy do czynienia z zagadnieniem ciała w stanie
stałym, procesem izobarycznym, gdzie własności fizyczne są stałe.
Gęstość strumienia ciepła q=-
λ grad T
(
)
q
q
T
c
v
p
∇
−
=
∂
∂
τ
ρ
Prawo Fouriera
Prawo Fouriera
-
-
Kirchhoffa
Kirchhoffa
( )
(
)
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∇
+
∂
∂
+
∇
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∇
+
∂
∂
p
w
p
q
q
T
w
T
c
v
p
τ
τ
ρ
1. Równanie Fouriera
T
a
z
T
y
T
x
T
a
T
2
2
2
2
2
2
2
∇
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
τ
2. Równanie Poissona
3. Równanie Laplace’a
λ
v
q
T
−
=
∇
2
0
2
=
∇ T
Prawo Fouriera
Prawo Fouriera
-
-
Kirchhoffa
Kirchhoffa
Układ walcowy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
z
T
T
r
r
T
r
r
T
z
T
T
r
r
T
r
r
r
T
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∇
θ
θ
Układ sferyczny
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
1
1
2
sin
1
sin
sin
1
1
φ
θ
θ
θ
θ
φ
θ
θ
θ
θ
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∇
T
r
T
ctg
r
T
r
r
T
r
r
T
T
T
r
T
r
r
r
T
Prawo Fouriera
Prawo Fouriera
-
-
Kirchhoffa
Kirchhoffa
Warunki jednoznaczności problemu
Charakterystyczne własności zjawiska wraz z równaniem różniczkowym to warunki
jednoznaczności problemu. Warunki te obejmują rozkład temperatury w chwili
początkowej, geometrię ciała oraz wzajemne oddziaływanie cieplne rozważanego
układu z otoczeniem.
Opis rozkładu temperatury w obszarze w chwili rozpoczęcia analizy nosi nazwę
warunków początkowych. Rozkład temperatury na brzegach analizowanego obszaru
nosi nazwę warunków brzegowych.
Dodatkowo, zagadnienia konwekcji opisane są ponadto równaniami ciągłości strugi i
równaniami stanu.
Prawo Fouriera
Prawo Fouriera
-
-
Kirchhoffa
Kirchhoffa
Zagadnienia niestacjonarne –
warunek Cauchy’ego, dla
τ=0
( )
const
T
r
T
=
=
0
0
,
( ) ( )
r
T
r
T
0
0
,
=
W przypadkach, gdy temperatura ciała w chwili początkowej
τ=0 jest stała
Warunki brzegowe opisujące wymianę ciepła na brzegu rozpatrywanego obszaru,
definiowane są w
jeden z czterech następujących sposobów
:
Określony jest rozkład temperatury na brzegu A w dowolnej chwili,
warunek brzegowy
pierwszego rodzaju, warunek Dirichleta
:
( )
)
(
,
τ
τ
T
A
T
=
Określona jest wartość gęstości strumienia cieplnego na brzegu A w dowolnej chwili,
warunek brzegowy drugiego rodzaju, warunek Neumana:
( )
τ
λ
q
n
T
A
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
Prawo Fouriera
Prawo Fouriera
-
-
Kirchhoffa
Kirchhoffa
Określona jest temperatura otaczającego ośrodka oraz zależność, która opisuje
wymianę ciepła pomiędzy ciałem a otoczeniem na drodze konwekcji i promieniowania,
warunek brzegowy trzeciego rodzaju, warunek Newtona:
(
)
f
w
A
T
T
n
T
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
α
λ
Określone są równe sobie temperatury układu i otoczenia na ich styku – wówczas na
brzegu układu zachodzi równość gęstości strumieni ciepła dla układu i stykającego się
z nim otoczenia,
warunek brzegowy czwartego rodzaju:
''
''
'
'
A
A
n
T
n
T
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
λ
λ
PRZEWODZENIE CIEPŁA W CIAŁACH O MAŁYM
PRZEWODZENIE CIEPŁA W CIAŁACH O MAŁYM
OPORZE PRZEWODZENIA
OPORZE PRZEWODZENIA
WYKŁAD 4
WYKŁAD 4
Dariusz Mikielewicz
Dariusz Mikielewicz
Politechnika Gdańska
Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Wydział Mechaniczny
Katedra Techniki Cieplnej
Katedra Techniki Cieplnej
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze cieplnym (Lumped Capacity Method) jest
potężnym narzędziem w obliczeniach niestacjonarnej wymiany ciepła.
Przyjmijmy, że ciało ma objętość V, powierzchnię A, gęstość właściwą
ρ, oraz ciepło
właściwe c. Jego temperatura T, jest jednakowa w całej objętości, i zmienia się na
skutek wymiany ciepła z otaczającym je płynem o stałej w czasie temperaturze T
∞.
powierzchnia A
objętość, V
ρ, c, T(t)
olej w temp.
∞
T
qA
dt
dU
−
=
(
)
(
)
∞
−
=
−
=
T
T
q
T
T
c
V
U
α
ρ
0
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Podstawiając powyższe wyrażenia do równania bilansu energii:
(
)
∞
−
−
=
T
T
A
dt
dT
c
V
α
ρ
Warunki brzegowe:
0
0
T
T
t
dla
=
=
dt
cV
A
T
T
dT
ρ
α
−
=
−
∞
Po przekształceniach:
∫
∫
−
=
−
∞
τ
ρ
α
0
0
dt
cV
A
T
T
dT
T
T
τ
ρ
α
cV
A
T
T
T
T
−
=
−
−
∞
∞
0
ln
Rozwiązanie równania ma postać:
0
0
τ
τ
τ
ρ
α
−
−
∞
∞
=
=
−
−
e
e
T
T
T
T
cV
A
A
cV
α
ρ
τ
=
0
Cieplna stała czasowa:
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Zdefiniujmy bezwymiarową temperaturę oraz czas:
cV
A
ρ
τ
α
τ
τ
τ
=
=
0
*
∞
∞
−
−
=
T
T
T
T
T
0
*
cV
A
ρ
τ
α
τ
τ
τ
=
=
0
*
∞
∞
−
−
=
T
T
T
T
T
0
*
Umożliwia to nam analizę
przypadków gdzie występuje
gwałtowna zmiana
temperatury
Aby teoria przewodzenia ciepła miała zastosowanie musi być spełniony warunek, że
opór przewodzenia w ciele stałym musi być dużo mniejszy od oporu przejmowania
ciepła na zewnątrz
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Zdefiniujmy bezwymiarową liczbę Biota:
λ
α
l
Bi
=
( )
( )
λ
α
α
λ
l
A
A
L
=
≈
/
1
/
zewnąewn
na
konwekcji
opór
wewnąewn
ia
przewodzen
opór
Wymiar charakterystyczny, l, jest wyrażony stosunkiem V/A
Teorię można stosować w przypadku, gdy Bi<0.1 dla płaskich płyt, walców, kul.
Ciała stałe
Wymiary charakterystyczne dla różnych przypadków:
1.
Płyta o grubości l:
L=l/2
2.
Walec o promieniu R:
L=R/2
3.
Kula o promieniu R
L=R/3
4.
Sześcian o krawędzi l
L=l/6
Zdefiniujmy bezwymiarową liczbę Biota: i Fouriera
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Równanie można przedstawić w postaci zależności pomiędzy liczbami
podobieństwa. W tym celu wykładnik liczby e należy przekształcić do postaci:
λ
α
l
Bi
=
Wymiar charakterystyczny, l, jest wyrażony stosunkiem V/A
Teorię można stosować w przypadku, gdy Bi<0.1 dla płaskich płyt, walców, kul
L
l
Fo
Bi
A
V
l
l
a
l
V
c
A
p
)
)(
(
2
=
=
τ
λ
α
ρ
τ
α
2
l
a
Fo
τ
=
L
l
Fo
Bi
e
T
T
T
T
/
)
(
)
(
0
−
∞
∞
=
−
−
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Wyznaczmy jeszcze strumień ciepła przepływający przez powierzchnię ciała.
Jest on zmienny w czasie, gdyż pomimo stałej wartości współczynnika
wnikania ciepła
α, ulega zmianie różnica temperatur pomiędzy ciałem a
otaczającym je płynem zna skutek zmiany temperatury ciała.
Chwilowy strumień ciepła:
Całkowita ilość ciepła wymienioną przez ciało, w czasie do dowolnej chwili:
τ
ρ
d
dT
V
c
Q
p
=
&
τ
ρ
α
ρ
α
τ
V
c
A
p
p
e
V
c
A
T
T
d
dT
−
∞
−
=
)
(
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
=
−
∞
∫
L
l
Fo
Bi
e
T
T
A
d
Q
Q
)
)(
(
0
1
)
(
α
τ
&
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Hartowanie płyty stalowej
Płyta stalowa o grubości 1 cm zostaje wyjęta z pieca o temperaturze 600°C i
wrzucona do kąpieli olejowej o temperaturze 30°C. Jeżeli współczynnik
przejmowania ciepła ma wartość 400 W/m
2
K, ile czasu potrzeba aby schłodzić płytę
do temperatury 100°C? Założyć własności fizyczne materiału
λ
, ρ, c jak dla stali,
czyli 50 W/mK, 7800 kg/m
3
, oraz 450 J/kg K, odpowiednio.
Dane:
Płyta stalowa hartowana w oleju.
Szukane:
Czas schłodzenia z 600°C do 100°C.
Założenia:
Ciało o małym oporze przewodzenia.
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Sprawdzamy wartość liczby Biota:
V/A=WHL/2WH=L/2
Bi=
α(L/2)/λ=400*0.005/50=0.04
czyli Bi = 0.04 < 0.1
Wynika stąd, że ciało ma mały opór cieplny
przewodzenia i można skorzystać z omawianej teorii
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Znajdźmy stałą czasową zagadnienia
Podstawiając dane zadania, tj.: T
0
=600
o
C,
T
final
=100
o
C, T
∞
=30
o
C
Rozwiązujemy ze względu na czas:
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Końcówka termopary, którą można modelować za pomocą kulki, jest używana do
pomiaru temperatury w przepływie gazu. Współczynnik przejmowania ciepła pomiędzy
powierzchnią końcówki a gazem wynosi
α=400 W/m
2
K. Własności termofizyczne
końcówki wynoszą
λ=20 W/mK, c=400 J/kgK, ρ=8500 km/m
3
. Wyznaczyć średnicę
końcówki termopary tak aby miała ona stałą czasową równą 1s. Zakładając, że
początkowo końcówka ma temperaturę 25
o
C i następnie jest użyta do pomiaru
temperatury gazu o temperaturze 200
o
C, ile czasu zajmie wskazanie przez końcówkę
temperatury 199
o
C?
końcówki termopary
α
λ
złącze
termopary
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Założenia:
1. Temperatura końcówki stała w każdej chwili czasu
2. Radiacyjna wymiana ciepła z otoczeniem do pominięcia
3. Przewodzenie ciepła przez końcówki do pominięcia
4. Stałe własności termofizyczne końcówki
(
)
c
D
D
cV
A
6
1
1
3
2
0
ρπ
απ
ρ
α
τ
=
=
c
D
ρ
ατ
0
6
=
6
6
2
3
D
D
D
A
V
=
=
π
π
4
10
35
.
2
6
−
×
=
=
λ
α
D
Bi
(
)
∞
∞
∞
∞
−
−
=
−
−
=
T
T
T
T
n
Dc
T
T
T
T
cV
A
i
i
α
ρ
ρ
α
τ
6
ln
1
0
4
5
2
.
5
200
199
200
25
ln
400
6
400
10
06
.
7
8500
τ
τ
≈
≈
−
−
×
×
×
×
=
−
s
PRZEWODZENIE CIEPŁA W STANACH USTALONYCH
PRZEWODZENIE CIEPŁA W STANACH USTALONYCH
–
–
PRĘTY I ŻEBRA
PRĘTY I ŻEBRA
WYKŁAD 5
WYKŁAD 5
Dariusz Mikielewicz
Dariusz Mikielewicz
Politechnika Gdańska
Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Wydział Mechaniczny
Katedra Techniki Cieplnej
Katedra Techniki Cieplnej
Wstęp
Wstęp
CEL STOSOWALNOŚCI ŻEBER
Biorąc pod uwagę fakt, że wymiana ciepła poprawia się wraz ze
zwiększaniem powierzchni wymiany ciepła, jak również biorąc pod uwagę
fakt że opór cieplny pomiędzy powierzchnią wymiany ciepła oraz otoczeniem
jest często dużo większy od pozostałych oporów cieplnych to celem
intensyfikacji wymiany ciepła często używa się żeber.
Wstęp
Wstęp
Wstęp
Wstęp
Zastosowania w elektronice
Zastosowania w elektronice
Teoria prętów
Teoria prętów
–
–
najprostszego żebra
najprostszego żebra
Pręt umocowany do
powierzchni ciała stałego
celem rozwinięcia
powierzchni
Teoria prętów
Teoria prętów
αP∆x (T-T
f
)
Teoria prętów
Teoria prętów
Rozpatrzmy bilans ciepła dla elementarnej objętości kontrolnej
∆x
(
)
0
=
−
∆
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
+
−
f
T
T
x
P
x
dx
dq
A
qA
qA
α
Wykorzystując prawo Fouriera, q=-
λ grad , oraz zakładając stałą wartość λ:
(
)
0
2
2
=
−
−
f
T
T
P
dx
T
d
A
α
λ
Otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami
:
(
)
0
2
2
2
=
−
−
f
T
T
m
dx
T
d
A
P
m
λ
α
=
2
Można je rozwiązać zakładając następujące warunki brzegowe:
0
0
≈
=
x
dx
dT
(
)
0
=
−
−
−
=
=
f
L
x
L
x
T
T
dx
dT
α
λ
0
0
T
T
x
=
=
lub
Teoria prętów
Teoria prętów
Dla warunków brzegowych dla x=L mamy następujące rozkłady temperatury:
0
0
≈
=
x
dx
dT
(
)
0
=
−
−
−
=
=
f
L
x
L
x
T
T
dx
dT
α
λ
T
x
T
f
T
x
T
f
Teoria prętów
Teoria prętów
Mając do rozwiązania równanie różniczkowe drugiego rzędu, wprowadzamy zmienną
:
(
)
0
2
2
2
=
−
−
f
T
T
m
dx
T
d
A
P
m
λ
α
=
2
Postać ogólna rozwiązania otrzymujemy metodą przewidywań:
f
T
T
−
=
ϑ
0
2
2
2
=
−
ϑ
ϑ
m
dx
d
Ogólna postać równania do rozwiązania
:
mx
mx
De
Ce
−
+
=
ϑ
lub
( )
( )
mx
F
mx
E
cosh
sinh
+
=
ϑ
Teoria prętów
Teoria prętów
Zakładając, że gradient temperatury na końcu pręta przyjmuje wartość 0, żebro
doskonale zaizolowane, mamy dla x=0:
D
C
+
=
0
ϑ
Zakładając, że żebro jest nieskończenie długie
:
mL
mL
L
De
Ce
−
+
=
ϑ
Rozkład temperatury w żebrze przybiera postać:
(
)
[
]
( )
mL
x
L
m
T
T
T
T
f
cosh
cosh
0
0
−
=
−
−
=
ϑ
ϑ
A
P
m
λ
α
=
2
Teoria prętów
Teoria prętów
–
–
strumień ciepła
strumień ciepła
Ciepło wymieniane przez żebro na drodze przewodzenia ciepła:
(
)
∫
−
=
L
f
dx
T
T
P
Q
0
α
&
Podstawiając profil temperatury dla żebra doskonale zaizolowanego:
(
)
[
]
( )
mL
x
L
m
T
T
T
T
f
cosh
cosh
0
0
−
=
−
−
=
ϑ
ϑ
Otrzymujemy:
(
)
( )
( )(
)
∫
−
−
=
L
f
dx
x
L
mL
mL
T
T
P
Q
0
cosh
cosh
α
&
Aby rozwiązać powyższe równanie należy wykonać podstawienie:
(
)
x
L
m
−
=
ξ
m
d
dx
ξ
−
=
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
mL
tgh
T
T
m
P
mL
mL
mL
T
T
m
P
d
mL
T
T
m
P
Q
f
f
L
f
−
=
−
−
−
=
−
−
=
∫
α
α
ξ
ξ
α
cosh
sinh
0
sinh
cosh
cosh
cosh
0
&
Rozwiązanie końcowe:
Teoria prętów
Teoria prętów
–
–
strumień ciepła
strumień ciepła
Podobne rozwiązanie można uzyskać z definicji strumienia ciepła:
(
)
(
)
[
]
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
( )
(
)
( )
ml
tgh
T
T
A
ml
x
L
m
m
T
T
A
ml
x
L
m
dx
d
T
T
A
dx
dT
A
Q
f
x
f
x
f
x
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
cosh
sinh
cosh
cosh
λ
λ
λ
λ
&
Jest to równoważne z zapisem poprzednio wyprowadzonym:
A
P
m
λ
α
=
2
(
)
( )
(
)
( )
mL
tgh
T
T
A
mL
tgh
T
T
m
P
Q
f
f
−
=
−
=
λ
α
&
Teoria prętów
Teoria prętów
–
–
sprawność żebra
sprawność żebra
Wymiana ciepła jest największa jest największa jeżeli żebro jest utrzymywane w
temperaturze podstawy. Sprawność żebra to stosunek rzeczywistego strumienia ciepła
wymienianego przez żebro do strumienia ciepła, które odpowiadałoby strumieniowi
ciepła żebra utrzymywanego w stałej temperaturze podstawy.
(
)
(
)
( )
(
)
( )
mL
mL
tgh
T
T
PL
mL
tgh
T
T
m
P
T
T
PL
Q
Q
Q
f
f
f
ideal
=
−
−
=
−
=
=
α
α
α
η
&
&
&
mL
( )
mL
mL
tgh
=
η
Żebro prostokątne
Żebro prostokątne
W praktyce inżynierskiej występuje szereg innych rodzajów żeber. Poniżej zostanie
omówionych kilka przykładów:
W praktyce inżynierskiej można korzystać ze wzorów
wyprowadzonych dla przypadków pręta, przy
wprowadzeniu oznaczeń jak obok:
Opór cieplny żebra:
( )
η
α
α
PL
mL
tgh
m
P
R
th
1
1
=
=
Sprawność powierzchni ożebrowanej
Sprawność powierzchni ożebrowanej
Całkowita sprawność powierzchni ożebrowanej:
(
)
f
A
A
−
α
1
η
α
A
1
(
)
f
f
t
A
A
A
A
η
η
+
−
=
Rozwiązując ze względu na sprawność całkowitą:
(
)
η
η
−
−
=
1
1
A
A
f
t
t
th
A
R
η
α
1
=
∑
=
i
i
R
R
1
1
η
α
λ
δ
α
2
1
1
1
2
1
1
1
f
f
f
A
A
A
T
T
Q
+
+
−
=
&
Opór cieplny powierzchni ożebrowanej:
Celowość stosowania żeber
Celowość stosowania żeber
Stosowanie żeber jest celowe tylko w przypadku, gdy przez ożebrowanie
powierzchni osiąga się zwiększenie strumienia przejmowanego ciepła.
Dla wyprowadzenia kryterium celowości stosowania żeber chłodzących
należy przyrównać do zera pochodną dQ/dh.
Celowość stosowania żeber określa teoretycznie warunek, Bi=
αδ/λ<2
W praktyce zaleca się stosowanie żeber gdy Bi<0.4
Celowość stosowania żeber
Celowość stosowania żeber
Sprawdzić celowość stosowania żeber w przypadku cienkich żeber
stalowych omywanych gazem (
δ=1mm, λ=45 W/mK, α=15W/m
2
K) oraz
żeber odlewanych omywanych wodą (
δ=10 mm, α=2000 W/m
2
K).
Dla przypadku 1, Bi=
αδ/λ=15*0.001/45=0.003
Dla przypadku 2, Bi=
αδ/λ=2000*0.01/45=0.44
WNIOSEK: Stosowanie żeber ma sens w przypadku 2
Celowość stosowania żeber
Celowość stosowania żeber
W podsumowaniu rozważań dotyczących powierzchni ożebrowanych należy
stwierdzić że:
• stosowanie żebrowania powierzchni jest celowe, gdy współczynnik
wnikania ciepła po tej stronie przegrody jest mały,
• dla żeber prostych o przekroju prostokątnym, ożebrowanie powoduje
zwiększenie ilości wnikającego ciepła jeżeli spełniony jest warunek,
gdzie oznacza połowę grubości żebra,
• stosowanie ożebrowania powierzchni jest zwykle bardziej zasadne w
przypadku wymiany ciepła pomiędzy przegrodą a gazem niż pomiędzy
przegrodą a cieczą,
• przy doborze kształtu żeber należy brać pod uwagę względy konstrukcyjne,
oraz fakt, że ożebrowanie powierzchni powoduje zwiększenie oporu
przepływu czynnika omywającego tę powierzchnie,
• ożebrowanie powierzchni powoduje zwiększenie zużycia materiału na
wykonanie elementu z powierzchnią ożebrowaną.
Żebra o zmiennym przekroju
Żebra o zmiennym przekroju
(
)
(
)
( )
( )
(
)
f
T
T
r
r
dr
rtq
d
t
r
q
t
r
q
−
∆
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
π
α
π
π
π
2
2
4
2
2
2
2
Elementarny bilans energii:
( )
(
)
f
T
T
r
dr
rtq
d
−
−
−
α
Upraszczając:
A
P
m
λ
α
β
=
=
2
2
(
)
f
T
T
r
dr
dT
r
dr
T
d
r
−
−
+
2
2
2
2
2
β
Podstawiając prawo Fouriera:
f
f
T
T
T
T
−
−
=
0
ϑ
Robimy podstawienie:
r
z
β
=
Żebra o zmiennym przekroju
Żebra o zmiennym przekroju
(
)
f
T
T
r
dr
dT
r
dr
T
d
r
−
−
+
2
2
2
2
2
β
A
P
m
λ
α
β
=
=
2
2
Równanie przewodzenia ciepła:
Podstawienie:
f
f
T
T
T
T
−
−
=
0
ϑ
r
z
β
=
0
2
2
2
2
=
−
+
ϑ
ϑ
ϑ
z
dz
d
z
dz
d
z
Otrzymujemy równanie:
Warunki brzegowe:
1
1
1
0
1
=
=
=
⇒
=
=
ϑ
β
r
z
z
T
T
r
r
0
0
2
2
2
=
=
=
⇒
=
=
dz
d
r
z
z
dr
dT
r
r
ϑ
β
Możliwe jest znalezienie rozwiązania analitycznego w zależności od funkcji Bessela:
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2
1
2
1
1
0
2
1
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
,
,
,
z
K
z
I
z
K
z
I
z
z
F
z
K
z
z
F
z
I
z
I
z
z
F
z
K
+
=
+
=
ϑ
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
1
0
2
1
1
0
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
/
2
r
K
r
I
r
I
r
K
r
K
r
I
r
I
r
K
r
r
r
β
β
β
β
β
β
β
β
β
η
+
−
−
=
Sprawność żebra okrągłego:
Żebra o zmiennym przekroju
Żebra o zmiennym przekroju
Żebra o zmiennym przekroju
Żebra o zmiennym przekroju