EM1-wykład 2

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Wykład 2

2. Teoria preferencji konsumenta

2.1. Potrzeby a preferencje konsumenta jako podstawa wyborów rynkowych

Praprzyczyn

działalno

ci gospodarczej człowieka jest konieczno

ść

zaspokajania jego potrzeb

konsumpcyjnych. Zatem jednym z najistotniejszych problemów ekonomii jest problem racjonalnego

zachowania si

konsumenta, który wydatkuje swoje dochody na zakup towarów słu

Ŝą

cych

konsumpcji. Za racjonalne uznaje si

zachowanie, polegaj

ce na wyborze, spo

ród wszystkich

dost

pnych na rynku towarów, takich produktów czy usług, które s

yteczne, czyli maj

zdolno

ść

zaspokajania potrzeb ludzi.

Rozwa

ania na temat zachowa

konsumenta przeprowadzane s

przy zało

eniach idealizacyjnych

wła

ciwych dla tak zwanego rynku doskonałego. Zatem przyjmuje si

e uczestnikami rynku jest

wielu sprzedawców i nabywców. Sprzedawcy s

jednocze

nie producentami towarów, które oferuj

na rynku, a nabywcy pełni

jednocze

nie funkcj

konsumentów i kupuj

towary, aby zaspokoi

swoje

potrzeby. Dysponuj

oni pełn

informacj

po zerowym koszcie, co jest warunkiem podejmowania

przez nich optymalnych decyzji wyboru. Uczestnicy rynku doskonałego zachowuj

racjonalnie

(model homo economicus),

aden z nich nie ma przewagi nad pozostałymi, podejmuj

decyzje

niezale

nie. Na rynku doskonałym nie ma barier wej

cia i wyj

cia (uczestnicy s

mobilni). Wa

cech

tego rynku jest zało

enie o doskonałej podzielno

ci towarów.

Pojedynczy uczestnik rynku ze wzgl

du na swoja mał

moc ekonomiczn

, je

eli tylko dostosuje si

do warunków rynku (zaakceptuje cen

równowagi), mo

e zrealizowa

swoje zamiary zakupu lub

sprzeda

Przyjmuje si

równie

e nabywca d

ąŜ

y do maksymalizacji stopnia zaspokojenia swoich potrzeb

i znajduje si

w sytuacji niedosytu, co skutkuje d

ąŜ

eniem nabywcy do wyboru i konsumpcji mo

liwie

ego koszyka towarów

2.2. Przestrze

towarów jako formalne przedstawienie poda

Zanim przejdziemy do wła

ciwej tre

ci wykładu wprowad

my nast

puj

ce oznaczenia:

X- zbiór wszystkich dost

pnych na rynku koszyków towarów,

- nieujemny orthant n-wymiarowej przestrzeni wektorowej R

, tj. zbiór wszystkich n-

wymiarowych

wektorów

nieujemnych

współrz

dnych

rzeczywistych

{

}

,...,

)

,...,

(

≥

∈

(i=1,2,…,n) – ilo

ść

i-tego towaru mierzona w okre

lonych jednostkach fizycznych (np.

w kilogramach, sztukach, litrach, metrach bie

Ŝą

cych itp.) .

Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu,

Pozna

2000, rozdział 1

Proponujemy przypomnie

sobie teori

preferencji konsumenta, teori

rynku doskonałego, podstawowe poj

cia

dotycz

ce rynku z podr

czników z zakresu mikroekonomii np. B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo

Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 2001, H. R. Varian, Mikroekonomia,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995 lub inne

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Zakładamy,

e w danym okresie na rynek dostarczona zostaje sko

czona liczba n ró

nych

asortymentów towarów. Wówczas wektor postaci:

(

)

⊆

∈

,...,

opisuje uporz

dkowany zestaw okre

lonych ilo

ci poszczególnych towarów wybranych przez

nabywc

. Przestrze

towarów stanowi sformalizowany sposób przedstawienia poda

y towarów.

Zbiór

⊆

, czyli zbiór wszystkich dost

pnych na rynku koszyków towarów z norm

max

nazywamy

przestrzeni

towarów

, natomiast jego elementy, czyli wektory

∈

koszykami towarów w przestrzeni X

Nale

y podkre

, i

przyj

ta definicja normy, w odró

nieniu od powszechnie stosowanej normy

euklidesowej pozwala unikn

ąć

m.in. popełnienia takich bł

dów jak dodawanie do siebie wielko

o ró

nych mianach, co miałoby miejsce w przypadku, gdyby współrz

dne wektora towarów wyra

one

były w ró

nych jednostkach fizycznych.

Okre

laj

c norm

na przestrzeni towarów w taki a nie inny sposób, skonstruowali

my miar

zró

nicowania dwóch koszyków

(

)

,...,

(

)

,...,

, tj. odległo

ść

dzy nimi.

Co zapisujemy:

(1)

−

max

Poniewa

norma okre

lona wzorem (1) jest metryk

, tj. spełnia nast

puj

ce warunki:

∈

∀

≥

−

oraz

⇔

−

∈

∀

−

∈

∀

−

≤

−

to przestrze

towarów jest przestrzeni

metryczn

. Ten fakt wykorzystamy przy definiowaniu wa

nych

dla dalszych rozwa

poj

ęć

Przykład 2.1.

Załó

my,

e danego dnia na targu dost

pne s

jedynie dwa rodzaje towarów, a mianowicie kurze

jaja i jabłka, oba w ograniczonych ilo

ciach, odpowiednio 300 sztuk i 120 kg. Wówczas przez

przestrze

towarów dla rozwa

anego rynku rozumie

dziemy zbiór:

(

)

{

}

120

300

;

≤

∈

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Geometrycznie jest to zbiór odcinków prostopadłych do osi O

, co przedstawiono na rysunku 2.1.

Rys. 2.1. Przestrze

towarów dla rynku z przykładu 2.1.

Przykład 2.2. (przypadek dyskretny)

Załó

my,

e danego dnia na rynku dost

pne s

jedynie dwa rodzaje towarów, a mianowicie torebki

damskie oraz portfele m

skie, oba w ograniczonych ilo

ciach; odpowiednio 6sztuk i 3 sztuki.

Wówczas przez przestrze

towarów dla rozwa

anego rynku rozumie

dziemy zbiór:

(

)

{

}

;

≤

∈

Geometrycznie jest to zbiór 18 punktów, co przedstawiono na rysunku 2.2.

[kg]

[sztuki]

…

0 1 2 3 4

120

299 300

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Rys. 2.2. Przestrze

towarów dla rynku z przykładu 2.2.

Zadanie 2.1.:

Jak wygl

da dwuwymiarowa przestrze

towarów X, je

eli na rynku dost

pne jest 10 kg m

ki oraz

20 litrów soku pomara

czowego?

Rozwi

zanie:

Przy zało

eniu doskonałej podzielno

ci towarów, przestrze

towarów dla rozwa

anego rynku to

zbiór postaci:

(

)

{

}

≤

∈

Jego geometryczny obraz przedstawia rysunek 2.3.

[sztuki]

0 1 2 3 4 5 6

3

2

1

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Rys. 2.3. Przestrze

towarów z zadania 2.1.

2.3.Relacje preferencji i ich wła

ciwo

Zachowaniem konsumenta, maj

cego do dyspozycji cał

przestrze

towarów i staj

cego przed

wyborem okre

lonego koszyka towarów, kieruj

pewne okre

lone motywy. Przede wszystkim

konsument wybiera koszyk towarów ze wzgl

du na konieczno

ść

zaspokojenia swoich potrzeb.

Ze wzgl

du na przyj

te zało

enia o pełnej wiedzy konsumenta o rynku, mo

emy przyj

ąć

e zdaje

on sobie spraw

ze swoich potrzeb, a tak

e wie jakie cechy, własno

ci i wła

ciwo

ci maj

oferowane

na rynku towary. W tej sytuacji konsument jest w stanie wyrazi

swoj

opini

o ka

dym potencjalnym

koszyku towarów z punktu widzenia przydatno

ci owego koszyka.

dy konsument jest podmiotem, który ma swój system warto

ci wynikaj

cy z jego predyspozycji

psychofizycznych. Na ukształtowanie tego systemu wpływaj

czynniki kulturowe, społeczne, moda itp.

Konsument zatem postawiony w sytuacji wyboru okre

lonego zestawu towarów z wielu wariantów,

jest w stanie okre

, który wariant uznaje za optymalny, czy uporz

dkowa

zbiór dost

pnych

koszyków ze wzgl

du na ich subiektywnie ocenian

yteczno

ść

. W ekonomii ocenianie koszyków

traktujemy jako egzemplifikacj

preferencji konsumentów, natomiast relacj

porz

dkuj

koszyki

nazywamy relacj

preferencji konsumenta.

Dodatkowo zakładamy,

e konsument jest w stanie naby

dy koszyk dóbr lub inaczej,

e na

jego decyzj

nie maj

wpływu (nie ograniczaj

go) ani wielko

ść

osi

ganych przez niego dochodów ani

ceny dóbr, a wybór konkretnego koszyka zale

y jedynie od jego gustów (indywidualnych preferencji,

upodoba

[litry]

[kg]

5 10

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Dzi

ki przyj

tym zało

eniom preferencje konsumenta mo

na scharakteryzowa

, jak ju

wspomniano, w sposób sformalizowany za pomoc

okre

lonej w przestrzeni towarów X relacji słabej

preferencji

. Do opisania własno

ci tej relacji zastosowano j

zyk logiki matematycznej.

Poniewa

teoria ekonomi zakłada doskonał

podzielno

ść

towarów, to w teorii preferencji zakłada

o relacji słabej preferencji

e jest ci

gła oraz

e spełnia dwa nast

puj

ce aksjomaty zwane

warunkami pełnego preporz

dku:

(I)













⇒

∧

∈

∀

(II)













∨

∈

∀

Uwagi:

1. Zapis „

” oznacza „koszyk towarów x jest słabo preferowany nad koszyk towarów y” albo

„koszyk x nie jest gorszy od koszyka towarów y”.

2. Aksjomat (I), zwany aksjomatem przechodnio

ci (tranzytywno

ci), wprowadza liniowy porz

dek

w przestrzeni towarów X. Innymi słowy, je

eli koszyk x jest słabo preferowany na koszyk y,

a koszyk y jest słabo preferowany nad koszyk z, to koszyk x jest te

słabo preferowany nad

koszyk z.

3. Aksjomat (II), zwany aksjomatem zupełno

ci, wyklucza istnienie sytuacji nieokre

lonej, w której

konsument nie potrafi okre

, który z dwóch koszyków x, y

∈

X jest jego zdaniem nie gorszy

od drugiego. Nie jest to jednak sytuacja, gdy koszyki s

dla niego indyferentne, jednakowo

dobre.

4. Z aksjomatu (II) wynika ponadto,

e relacja słabej preferencji jest zwrotna, tj.

( )

∈

∀

Oznacza to,

e ka

dy koszyk jest co najmniej tak samo dobry jak on sam.

Relacja słabej preferencji „

” jest odpowiednikiem słabej nierówno

ci w matematyce „

≥

”. Jest

ona zatem relacj

nieostr

i mo

na j

podzieli

na dwie silne relacje, a mianowicie relacj

indyferencji

„~” oraz relacj

silnej preferencji „

”, których matematycznymi odpowiednikami s

relacja równo

„=” i relacja ostrej nierówno

ci „>”.

eli równocze

nie

x f

oraz

, wówczas koszyki x, y nazywamy

indyferentnymi.

eli natomiast

( )

∧

, wówczas o koszyku x mówimy,

e jest on

silnie preferowany

eli koszyki s

indyferentne oznacza to,

e dla konsumenta s

one tak samo dobre

(nierozró

nialne), tzn. czerpałby z ich posiadania taka sam

satysfakcj

. Relacj

indyferencji

oznaczamy symbolem ~.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

eli natomiast koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y to rozumiemy przez to,

e dla

konsumenta koszyk x jest lepszy od koszyka y. Relacj

silnej preferencji oznaczamy symbolem

Bardzo łatwo mo

na zauwa

e relacja indyferencji jest relacj

równowa

ci, tj. spełnia trzy

kolejne warunki:

(I)

(

)

∈

∀

(warunek zwrotno

ci),

(II)

(

) (

)

(

)

⇒

∈

∀

(warunek symetryczno

ci),

(III)

(

) (

)

(

) (

)

[

]

⇒

∧

∈

∀

(warunek przechodnio

ci).

(Dowód tego faktu pomijamy. Dla zainteresowanych dowód w ksi

ąŜ

ce: E. Panek „Ekonomia

matematyczna”, APE, Pozna

2000, str. 27-28).

Uwagi:

Ekonomiczne uzasadnienie wszystkich trzech wy

ej wymienionych warunków jest intuicyjnie

bardzo oczywiste.

1. W odniesieniu do warunku zwrotno

ci, wydaje si

bezdyskusyjne,

e dla normalnie

rozumuj

cego człowieka dwa identyczne koszyki s

tak samo satysfakcjonuj

ce.

2. W przypadku warunku symetryczno

ci stwierdzenie konsumenta, i

koszyk x jest dla niego tak

samo dobry jak koszyk y i jednocze

nie,

e koszyk y jest jego zdaniem gorszy lub lepszy od

koszyka x, wydałoby si

nielogicznie, zaprzeczałby on bowiem sam sobie.

3. Przechodnio

ść

relacji indyferencji oznacza,

e nienaturalne wydaje si

stwierdzenie

konsumenta, i

koszyki x i y, podobnie jak koszyki y i z s

dla niego parami nierozró

nialne, ale

koszyk z uwa

ałby za gorszy od koszyka x. W praktyce oznaczałoby to,

e koszyk z jest jego

zdaniem równie

gorszy od koszyka y, sk

d otrzymaliby

my sprzeczno

ść

Bazuj

c na własno

ciach relacji indyferencji oraz relacji słabej preferencji mo

emy przyst

omówienia własno

ci relacji silnej preferencji, które prezentujemy w lemacie 2.1.

Lemat 2.1.

Relacja silnej preferencji ma nast

puj

ce własno

ci:

(I)

(

)

∈

¬∃

∈

∀

(II)

∨

∈

∀

(III)

∨

∈

∀

(IV)

(

)

∨

⇔

∈

∀

(V)

(

)

⇒

∧

∈

∀

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Uwagi:

1. Pierwsza własno

ść

oznacza,

e nie istnieje taki koszyk towarów, który byłby zdaniem

konsumenta lepszy od identycznego z nim koszyka. Własno

ść

ta jest zaprzeczeniem warunku

zwrotno

ci relacji indyferencji.

2. Własno

ść

druga prezentuje dwie wykluczaj

ce si

sytuacje: albo konsument preferuje koszyk x

nad koszyk y albo koszyk y jest jego zdaniem nie gorszy od koszyka x. Własno

ść

ta opisuje

wszystkie mo

liwe relacje mi

dzy par

koszyków. Z własno

ci tej mo

na wyprowadzi

własno

ść

trzeci

3. Własno

ci trzecia równie

prezentuje wykluczaj

ce si

relacje mi

dzy par

koszyków towarów

wyra

one przy u

yciu relacji silnej preferencji i indyferencji.

4. Czwarta własno

ść

, któr

czytamy: koszyk x jest nie gorszy od koszyka y, wtedy i tylko wtedy,

gdy koszyk x jest lepszy od koszyka y lub koszyki x i y s

indyferentne. Wskazuje na istot

podziału relacji słabej preferencji na dwie wykluczaj

ce si

ostre relacje.

5. Pi

ta własno

ść

wskazuje,

e alternatywa relacji silnej preferencji i relacji słabej preferencji

koszyków (niezale

nie od ich kolejno

ci) jako relacje przechodnich, daj

w wyniku relacj

słabej preferencji.

Przykład 2.3.

Dana jest 4-elemetowa przestrze

towarów

{

}

, gdzie A, B, C, D s

koszykami

towarów. Wiedz

, okre

zale

ci pomi

dzy elementami

oraz

Poniewa

B ~

, to z symetryczno

ci relacji indyferencji mamy:

C ~

. Wiemy ponadto,

A f

. Skoro

A f

oraz

C ~

równocze

nie, to

A f

. Z kolei poniewa

D f

oraz

A f

to z przechodnio

ci relacji preferencji otrzymujemy:

D f

2.4.Definicja pola preferencji

Wychodz

c z definicji przestrzeni towarów oraz relacji słabej preferencji, mo

emy przyst

zdefiniowania pola preferencji konsumenta:

Par

(X,

), gdzie X jest przestrzeni

towarów (Ø

≠

⊆

), a

relacj

preferencji konsumenta

w X, nazywamy

polem preferencji konsumenta

Pole preferencji jest formalnym opisem mo

liwo

ci wyra

enia przez konsumenta opinii

o wszystkich koszykach towarów, które daj

wyodr

bni

przy danej poda

y. Obserwacje

zachowa

konsumentów pozwoliły opisa

na gruncie teorii ekonomii tzw. zjawisko niedosytu, które

definiujemy nast

puj

co:

Mówimy,

e w polu preferencji

)

(

obserwujemy

zjawisko niedosytu

, je

eli

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

)

(

⇒

≠

∧

≥

∈

∀

Konsument znajduj

cy si

w sytuacji niedosytu preferuje zatem koszyk wi

kszy, tzn. zawieraj

ksze ilo

ci chocia

by jednego z towarów. Sytuacja niedosytu konsumenta była charakterystyczna

dla pocz

tkowych faz rozwoju kapitalizmu. Wprowadzona została do teorii ekonomii jako jedna

z podstawowych cech charakteryzuj

cych zachowania konsumenta na rynku doskonałym. Nale

wspomnie

e współczesna teoria ekonomii wprowadza do swoich rozwa

analiz

sytuacji

nasycenia konsumenta i skutek w postaci zmniejszenia si

yteczno

ci koszyków wi

kszych od

koszyka optymalnego, który maksymalizuje u

yteczno

ść

konsumenta (porównaj Hal R. Varian,

„Mikroekonomia”, str. 60).

Z zało

eniem niedosytu nabywcy zwi

zane jest

le zało

enie wypukło

ci pola preferencji.

Ograniczeniem dla tego zało

enia, które szczegółowo przedyskutowane b

dzie przy okazji rozwa

nad kategori

popytu, jest fakt, i

konsument dysponuj

cy okre

lon

wielko

dochodu, przy danych

cenach, nie mo

e sobie pozwoli

na zakup koszyka zawieraj

cego wi

ksz

ilo

ść

dóbr.

Zało

enie wypukło

ci pola preferencji jest warunkiem istnienia jednego optymalnego dla

konsumenta koszyka towarów. Wypukło

ść

pola preferencji zale

y od zachowa

nabywców.

Mówimy,

e pole preferencji jest

słabo wypukłe

, je

eli koszyki dóbr s

słabo rozró

nialne

( )

Natomiast je

eli mo

na znale

źć

tylko jeden preferowany (optymalny) koszyk towarów, to

pole preferencji jest

silnie wypukłe

Słaba wypukło

ść

pola preferencji oznacza,

e relacja słabej preferencji jest ci

gła i istnieje

preferowany

koszyk

towarów

(mo

wyodr

bni

preferowany

zbiór

koszyków

towarów:

{

}

: f

∈

). W tym momencie nale

y podkre

e ci

gło

ść

relacji słabej preferencji

jest kolejnym, obok warunków pełnego preporz

dku, fundamentalnym zało

eniem teorii preferencji.

Mówimy,

relacja słabej preferencji

jest ci

gła

w przestrzeni towarów X, je

eli zbiór

( )

{

}

∈

;

⊂

jest otwarty w przestrzeni metrycznej

z metryk

(

) (

)

min

(

−

Z powy

ej definicji wynika,

e je

eli relacja preferencji jest ci

gła, to istnieje takie

−

otoczenie

punktu

( )

∈

(gdzie x jest koszykiem silnie preferowanym nad y):

(

)

(

)

{

}

−

∈

)

(

)

(

e dla ka

dej pary

(

)

(

∈

tak

e koszyk x’ jest silnie preferowany nad koszyk y’.

Oznacza to tyle,

e je

eli zdaniem konsumenta koszyk towarów x jest silnie preferowany nad koszyk

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

y, to równie

koszyk x’ (niewiele ró

cy si

od koszyka x) jest lepszy od koszyka y’ (niewiele

ró

cy si

od koszyka y).

Wniosek:

Relacja słabej i silnej preferencji jest ci

gła, je

eli istnieje taki zbiór, który zawiera par

koszyków

( )

, przy czym koszyk x jest silnie preferowany nad y i oba nale

Ŝą

do n nieujemnej przestrzeni

towarów X i zbiór ten jest otwarty.

W naszych rozwa

aniach zakładamy,

e konsument ma nieograniczony dost

p do rynku oraz

posiada o nim pełn

informacj

, a jego zachowanie jest racjonalne (inaczej: konsument działa

w warunkach konkurencji doskonałej). Decyzje konsumenta działaj

cego w warunkach konkurencji

doskonałej zale

Ŝą

jedynie od jego własnych odczu

oraz jego ograniczenia bud

etowego. Nale

podkre

e nie b

dzie on podejmował wyborów koszyków w oparciu o cał

przestrze

towarów, ale

ograniczy si

do takiego jej podzbioru, którego elementy b

w kr

gu jego zainteresowania tzn. b

zaspokaja

jego potrzeb, z uwzgl

dnieniem jego gustów i wielko

ci dochodów (np. konsumenta, który

nie pali papierosów, nie b

interesowały koszyki zawieraj

ce papierosy).

Zakładamy zatem,

e konsument dokonuje wyboru koszyka towarów ograniczaj

c si

do pewnego

niepustego podzbioru

⊆

, gdzie

( )

, f

- pole preferencji oraz

e potrafi wskaza

w podzbiorze

M koszyki optymalne, zwane M-preferowanymi.

Koszyk towarów

∈

, dla którego spełniony jest warunek:

( )

∈

∀

nazywamy

koszykiem M-preferowanym

i oznaczamy x=m.pref.M.

Inaczej mówimy równie

e koszyk x jest optymalnym koszykiem w zbiorze M, je

eli jest on nie

gorszy od ka

dego innego koszyka z tego zbioru. Naturalnie w zbiorze M mo

e istnie

cej ni

jeden optymalnych koszyków. Załó

my zatem,

e w zbiorze M s

dwa optymalne koszyki

∈

. Oznacza to,

)

(

;

∈

∀

oraz

)

(

;

∈

∀

. Oba warunki implikuj

)

(

x f

oraz

)

(

x f

, czyli

)

(

. Zatem wszystkie optymalne koszyki w zbiorze M s

wzgl

dem siebie indyferentne. Wnioskujemy st

e o ile w zbiorze M istnieje tylko jeden optymalny

koszyk x, to jest on najlepszy spo

ród wszystkich koszyków w zbiorze M, co zapisujemy:

;

∈

∀

Wychodz

c z obserwacji dotycz

cych mo

liwo

ci zaspokojenia potrzeb nabywcy przez ró

koszyki towarów, a wi

c z rozwa

anego w teorii ekonomii zjawiska substytucji wyprowadza si

poj

cie

obszaru oboj

tno

ci, a w przypadku dwuwymiarowym (

) krzywej oboj

tno

ci.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Zbiór wszystkich koszyków indyferentnych z koszykiem

∈

, tj. zbiór postaci

{

}

;

∈

nazywamy

obszarem oboj

tno

w przestrzeni towarów i oznaczamy

symbolem

Analogicznie dla przypadku dwuwymiarowego:

Zbiór wszystkich koszyków towarów, wobec których konsument pozostaje oboj

tny

w porównaniu z danym koszykiem nazywamy

krzyw

oboj

tno

Obszar oboj

tno

ci (krzywa oboj

tno

ci) jest graficznym opisem preferencji konsumenta. Przykład

krzywej oboj

tno

ci dla wybranych dóbr konsumpcyjnych przedstawiono na rysunku 2.4. Ilustruje on

zbiór koszyków indyferentnych wzgl

dem wybranego koszyka

(

)

, x

. Zacieniowany obszar

prezentuje z kolei zbiór wszystkich koszyków, które s

słabo preferowane wzgl

dem koszyka

(

)

, x

Rys. 2.4. Przykładowa krzywa preferencji.

Przykład 2.5.

Naszym zadaniem jest znalezienie optymalnego koszyka towarów w zbiorze:

{

}

)

(

⊂

≤

∈

w przypadku, gdy relacja preferencji jest zdefiniowana nast

puj

co:

⇔

oraz

⇔

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Rozwa

my dwa koszyki

)

(

oraz

)

(

, dla których obszary oboj

tno

ci (krzywe

oboj

tno

ci) maj

nast

puj

posta

{

}

)

(

∈

oraz

{

}

)

(

∈

Ich przebieg ilustruje rysunek 2.5.

Krzywe

oraz

, to proste równoległe prezentuj

ce ró

ne poziomy u

yteczno

ci, przy czym

krzywa

przedstawia wszystkie koszyki, które zdaniem konsumenta s

tak samo dobre jak koszyk

y, natomiast krzywa

przedstawia wszystkie koszyki indyferentne z koszykiem z. Jednocze

nie

dy koszyk nale

Ŝą

cy do

jest lepszy od ka

dego koszyka nale

Ŝą

cego do

, co wynika

z zało

enia niedosytu konsumenta.

Rys. 2.5. Obszary oboj

tno

ci wzgl

dem koszyków y i z dla przykładu 2.5.

Poniewa

koszyki towarów s

tym lepsze, im wy

ej le

y utworzony wzgl

dem nich obszar

oboj

tno

ci, zatem optymalnym koszykiem towarów w zbiorze M, b

dzie ten koszyk, który znajduje

na najwy

ej poło

onej krzywej oboj

tno

ci i który nale

y do zbioru M.

Przypomnijmy,

e w naszym przykładzie zbiór M jest postaci:

{

}

)

(

⊂

≤

∈

Na rysunku 2.6. przedstawiono zbiór M, obszary oboj

tno

ci oraz optymalne koszyki towarów.

1 2

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

W naszym przypadku zbiór optymalnych koszyków towarów ma nast

puj

posta

{

}

)

(

⊂

∈

optym

Przykładem koszyka optymalnego s

zatem koszyki: (4,0), (0,4) oraz ka

dy koszyk postaci:

)

)(

(

)

(

−

, gdzie

]

;

[

∈

. Na rysunku zbiór wszystkich optymalnych koszyków

zaznaczono na niebiesko.

Rys.2.6. Zbiór optymalnych koszyków w zbiorze M wzgl

dem zadanej relacji preferencji.

Przy okazji naszych rozwa

warto przypomnie

podstawowe własno

ci powierzchni oboj

tno

(krzywych oboj

tno

ci):

1. Krzywe oboj

tno

ci s

wypukłe wzgl

dem pocz

tku układu współrz

dnych, co wynika

z przyj

cia sytuacji niedosytu konsumenta (ka

dy konsument ceni sobie bardziej koszyk

kszy).

2. Krzywe oboj

tno

ci nie przecinaj

. W przypadku przeci

cia si

krzywych, które zawieraj

koszyki ró

ce si

yteczno

, koszyk le

Ŝą

cy na przeci

ciu owych krzywych

prezentowałby dwa ró

ne poziomy u

yteczno

ci, co jest nielogiczne.

3. Im wy

ej poło

ona jest krzywa u

yteczno

ci, tym wy

yteczno

ść

posiadaj

koszyki na

niej poło

one.

Podsumowuj

c, je

eli poruszamy si

po krzywej oboj

tno

ci, to znajdujemy si

w zbiorze

koszyków indyferentnych, maj

cych t

sam

yteczno

ść

, natomiast przechodzenie z jednej krzywej

oboj

tno

ci na drug

oznacza zmian

yteczno

ci koszyków.

0 1 2 3 4

optym

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Bezpo

rednio z własno

ci obszarów oboj

tno

ci oraz sytuacji niedosytu wynika monotoniczno

ść

relacji preferencji, co w rezultacie prowadzi do zało

enia wypukło

ci relacji preferencji.

Mówimy,

e relacja preferencji okre

lona na wypukłej przestrzeni towarów X jest

wypukła

eli

)

(

]

;

[

−

⇒

∈

∀

∈

∀

Mówimy,

e relacja preferencji okre

lona na wypukłej przestrzeni towarów X jest

silnie

wypukła

, je

eli

)

(

]

;

[

−

⇒

∈

∀

∈

∀

Aby ustali

jednoznacznie czy dana relacja preferencji jest wypukła, posłu

ymy si

poni

szym

twierdzeniem.

Twierdzenie 2.1.

Relacja preferencji

jest wypukła na X wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dego koszyka

∈

zbiór

{

}

)

(

∈

wszystkich koszyków nie gorszych od y

jest wypukły.

eli relacja preferencji jest silnie wypukła, to dla ka

dej pary koszyków x, y mamy nast

puj

własno

ci:

Twierdzenie 2.2.

eli relacja preferencji jest silnie wypukła, to spełnione s

warunki:

(I)

[ ]

∈

∀

(

)

(

−

⇒

≠

∈

∀

(II)

)

;

(

∈

∀

(

)

(

−

⇒

≠

∈

∀

(III)

)

;

(

∈

∀

(

)

(

−

⇒

≠

∈

∀

Uwagi:

1. Warunek pierwszy, oznacza,

e je

eli koszyk towarów x jest silnie preferowany nad koszyk y,

to koszyk z b

cy ich kombinacj

liniow

postaci z=

)

(

−

(

])

;

[

(

∈

, czyli

zawieraj

cy wi

ksze ilo

ci towarów ni

koszyk y, ale mniejsze ni

koszyk x jest silnie

preferowany nad koszyk y.

2. Warunki drugi i trzeci oznaczaj

e koszyk le

Ŝą

cy na odcinku pomi

dzy indyferentnymi

koszykami x i y, b

dzie nale

ał do wy

ej poło

onej krzywej oboj

tno

ci ni

krzywa oboj

tno

ci,

na której poło

one s

koszyki x i y.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Przykład 2.6.

Dane s

dwa koszyki towarów: x=(5 bułek, 1 litr mleka) oraz y=(3 bułki, 2 litry mleka). Zdaniem

konsumenta koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y. W przypadku wypukłej relacji preferencji

zachodzi m.in.:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Podsumowanie:

1. Zało

enia (aksjomaty) stoj

ce u podstaw teorii preferencji oraz sformułowane w niej

twierdzenia, pozwalaj

nam na sformułowanie teorii wyboru konsumenta w kategoriach

preferencji.

2. Zało

enia teorii preferencji s

fundamentalne i

adnego z nich nie mo

na pomin

ąć

. Odrzucenie

któregokolwiek z nich doprowadziłoby m.in. do sprzeczno

ci z postulowanym w teorii ekonomii

zało

eniem,

e konsumenci post

puj

racjonalnie i dokonuj

„najlepszych wyborów”. W tym

przypadku odrzucenie zało

enia np. o przechodnio

ci relacji preferencji, oznaczałoby,

istnieje zbiór koszyków, w obr

bie którego nie ma najlepszego wyboru. Tak jednak nie jest,

poniewa

zakładamy,

e konsument zawsze potrafi wskaza

najlepszy (jego zdaniem) lub

przynajmniej nie gorszy od pozostałych koszyków przestrzeni X koszyk towarów.

3. Wyprowadzone z relacji preferencji obszary oboj

tno

ci stanowi

geometryczny obraz

liwych wyborów konsumenta na rynku doskonałym.

4. Z warunków rynku doskonałego wynika tak

e konsument ma niesko

czenie wiele

wariantów koszyków do wyboru i b

dzie d

ąŜ

ył do wyboru jego zdaniem najlepszego koszyka.

5. Konsument pojawia si

na rynku w celu dokonania wyboru koszyka, nie rozwa

amy zatem

sytuacji, kiedy konsument nie jest zainteresowany udziałem w rynku.

Pytania kontrolne:

1. Podaj aksjomaty pełnego preporz

dku.

2. Co oznacza,

e konsument znajduje si

w sytuacji niedosytu?

3. Z jakich zało

o rynku doskonałym wyprowadzana jest wypukło

ść

pola preferencji i jego

gło

ść

4. Podaj przykłady dóbr doskonale podzielnych.

5. Czym ró

relacje słabej i silnej preferencji?

6. Uzasadnij wyodr

bnienie z przestrzeni towarów podzbioru M-preferowanych koszyków.

7. Dlaczego krzywe oboj

tno

ci nie mog

przecina

? Zilustrowa

odpowied

przykładem.