Kolokwium II
rok 2007/2008
Zadanie 2 :
Korzystając z własności szeregów potęgowych obliczyć sumę szeregu liczbowego
∑
(−1)
𝑛 1
5
𝑛
1
𝑛
∞
𝑛=1
Dla odpowiedniego szeregu potęgowego wyznaczyć promień zbieżności, przedział
zbieżności oraz zbadać zbieżność na krańcach przedziału zbieżności.
Rozwiązanie:
Ustalamy wzór szeregu potęgowego:
∑(−1)
𝑛
∗
𝑥
𝑛
𝑛
∞
𝑛=1
1.
Wyznaczamy przedział zbieżności i promień zbieżności szeregu ( z twierdzenia d’Alamberta)
lim
𝑛→∞
|
(−1)
𝑛+1
∗ 𝑥
𝑛+1
𝑛 + 1
∗
𝑛
(−1)
𝑛
∗ 𝑥
𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
𝑛
𝑛 + 1
∗
𝑥
𝑛
∗ 𝑥
𝑥
𝑛
| = |𝑥| < 1
|𝑥| < 1
−1 < 𝑥 < 1
𝑥
0
= 0 → 𝑅 = 1
Dla
𝒙 ∈ (−1: 1)
szereg jest bezwzględnie zbieżny, promień zbieżności R=1.
2.
Badamy zbieżność na krańcach przedziału zbieżności
x=1
∑(−1)
𝑛
∞
𝑛=1
∗
1
𝑛
𝑛
= ∑
(−1)
𝑛
𝑛
∞
𝑛=1
Szereg o wyrazach naprzemiennych
– badamy bezwzględną zbieżność:
∑ |
(−1)
𝑛
𝑛
| =
∞
𝑛=1
∑
1
𝑛
∞
𝑛=1
→ 𝑠𝑧𝑒𝑟𝑒𝑔 ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐𝑧𝑛𝑦 𝑜 𝛼 = 1, 𝑟𝑜𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑦
Szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, badamy zbieżność z kryterium Leibnitza:
𝑏
𝑛
=
1
𝑛
𝑏
𝑛
> 0
ciąg malejący
lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
= [
1
∞
] = 0
szereg warunkowo zbieżny
