Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
1
Ruch harmoniczny
Równanie ruchu harmonicznego opisuje ruch w bardzo wielu uk»adach fizycznych:
Przyk»ad: jednowymiarowe drgania swobodne masy na spr“óynie
m
x
x
0
k
x
k
-
=
dt
x
d
m
x
k
-
=
F
2
2
x
m
k
0
=
x
+
dt
x
d
2
0
2
0
2
2
≡
ω
ω
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
2
Równanie to ma rozwizania w postaci funkcji harmonicznych
)
+
t
(
D
=
)
t
(
x
)
+
t
(
C
=
)
t
(
x
)
t
(
B
+
)
t
(
A
=
)
t
(
x
0
0
0
0
ψ
ω
ϕ
ω
ω
ω
sin
cos
sin
cos
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
3
To samo równanie opisuje drgania wahad»a matematycznego
Momentem si»y zwrotnej jest składową momentu si»y grawitacyjnej prostopadłą do wahad»a:
ϕ
ϕ
sin
g
m
l
=
N
.
Std równanie ruchu dla masy m jest:
0
=
l
g
m
+
dt
d
l
m
2
2
2
ϕ
ϕ
sin
ϕ
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
4
Dla ma»ych któw sinus moóna rozwinƒ w szereg i obciƒ na pierwszym (tj. liniowym) wyrazie:
0
=
l
g
m
+
dt
d
l
m
2
2
2
ϕ
ϕ
Po uporzdkowaniu otrzymuje si“ równanie ruchu harmonicznego
l
g
0
=
+
dt
d
2
0
2
0
2
2
≡
ω
ϕ
ω
ϕ
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
5
Podobnie: równanie ruchu dla obwodu rezonansowego sk»adajcego si“ z równolegle po»czonej
indukcyjnoÑci L oraz pojemnoÑci C:
LC
1
0
=
Q
+
dt
Q
d
2
0
2
0
2
2
≡
ω
ω
Uniwersalnoу równania ruchu harmonicznego daje dobre narz“dzie do znajdowania cz“stoÑci drga½
nieraz dosyƒ z»oóonych uk»adów.
Potrzeba jedynie sprowadziƒ równania ruchu uk»adu do postaci równania ruchu oscylatora
harmonicznego a rozwizanie jest wtedy znane a jego cz“stoу wyraóa si“ przez sta»e uk»adu.
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
6
Przyk»ad
Wyznaczyƒ cz“stoу harmonicznych drga½ w»asnych uk»adu jak na rysunku:
Poszukujemy równania w postaci
x
k
-
=
dt
x
d
m
ef
2
2
Aby doprowadziƒ do tej postaci rózwaómy si»“ jaka dzia»a na mas“ m:
F
+
F
+
F
=
F
4
3
1
r
r
r
r
Si»a
x
k
-
=
F
p
1
1
k
k
k
k
k
k
1
2
3
4
m
p
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
7
Z III zasady dynamiki Newtona:
)
x
-
x
(
k
=
x
k
p
2
p
1
gdzie x jest przesuni“ciem masy m.
To równanie da si“ uporzdkowaƒ tak aby wyznaczyƒ x
p
:
x
k
+
k
k
=
x
x
k
=
x
)
k
+
k
(
2
1
2
p
2
p
2
1
Ostatecznie
x
k
1
+
k
1
=
x
k
+
k
k
k
-
=
F
2
1
-1
2
1
2
1
1
OtrzymaliÑmy analogiczny wzór jak dla »czenia szeregowego pojemnoÑci. (Dlaczego ?)
Podobnie:
x
)
k
+
k
(
-
=
F
+
F
x
k
=
F
x
k
=
F
4
3
4
3
4
4
3
3
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
8
Ostateczna postaƒ równania ruchu:
m
k
0
=
x
+
dt
x
d
eff
2
0
2
0
2
2
≡
ω
ω
z
k
+
k
k
k
+
k
+
k
=
k
2
1
2
1
4
3
ef
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
9
W»asnoÑci ruchu harmonicznego
1) Izochronizm
Rozwizaniem równania ruchu dla oscylatora harmonicznego jest funckcja harmoniczna np. w postaci
)
+
t
(
A
=
)
t
(
x
0
ϕ
ω
sin
gdzie A, ω
0
,
ν
s sta»ymi.
izochronizm:
W ruchu harmonicznego (tj. dla drga½ liniowych) cz“stoу ruchu nie zaleóy od amplitudy drga½.
2) pr“dkoу i przyspieszenie w ruchu harmonicznym dane s przez funkcje harmoniczne
3) podobnie energia kinetyczna
)
+
t
(
m
A
2
1
=
dt
dx
m
2
1
=
E
0
2
2
0
2
2
k
ϕ
ω
ω
cos
oraz energia potencjalna
m
k
=
)
+
t
(
m
A
2
1
=
x
k
2
1
=
dx
2
0
0
2
2
0
x
x
0
p
F
-
=
E
ω
ω
ω
ϕ
;
sin
2
2
∫
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
10
Energia potencjalna i energia kinetyczna w ruchu harmonicznym s przesuni“te w fazie o 90
°
.
Std: energia mechaniczna w ruchu harmonicznym swobodnym jest sta»a
ω
2
0
2
p
k
A
m
2
1
=
E
=
)
t
(
E
+
)
t
(
E
4) Ðrednia energia kinetyczna
ω
ϕ
ω
ω
π
ω
π
ω
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
k
T
0
k
A
m
4
1
=
dt
)
+
t
(
A
m
2
1
2
=
dt
)
t
(
E
T
1
=
>
E
<
0
cos
∫
∫
zaś Ñrednia energia potencjalna
ω
2
0
2
2
p
T
0
p
A
m
4
1
=
A
k
4
1
=
dt
)
t
(
E
T
1
=
>
E
<
∫
Ðrednia energia mechaniczna
ω
2
0
2
p
k
A
m
2
1
=
>
E
<
+
>
E
<
=
E
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
11
Oscylator harmoniczny z t»»»»umieniem
Równanie ruchu:
dt
dx
-
x
k
-
=
dt
x
d
m
2
2
γ
JeÑli wprowadziƒ oznaczenia:
m
k
m
1
2
0
≡
≡
ω
γ
τ
to równanie ruchu przybierze postaƒ:
0
=
x
+
dt
dx
1
+
dt
x
d
2
0
2
2
ω
τ
wiemy, óe:
oscylator niet»umiony ma rozwizanie
x(t) = A sin (ω
0
t)
obserwacja wskazuje, óe amplituda drga½ w obecnoÑci tarcia maleje eskponencjalnie.
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
12
Poszukujemy wi“c rozwizania w postaci
x(t) = A e
-βt
sin (ωt)
przy czym drgania zachodz z cz“stoÑci
τ
ω
ω
ω
2
1
-
1
=
0
2
0
która róóni si“ od cz“stoÑci drga½ swobodnych ω
0
Tylko gdy ω
0
τ >> 1
to
ω
≅
ω
0
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
13
Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego
Równanie ruchu dla oscylatora harmonicznego w obecnoÑci t»umienia oraz si»y wymuszajcej:
Po uporzdkowaniu
t)
(
=
m
F(t)
m
F(t)
=
x
+
dt
dx
1
+
dt
x
d
0
2
0
2
2
ω
α
ω
τ
sin
Wnioski z obserwacji:
najpierw stany nieustalone, których postaƒ zaleóy od warunku pocztkowego
potem drgania o sta»ej amplitudzie z cz“stoÑci si»y wymuszajcej ω
≅
ω
0
Poszukujemy rozwizania w postaci
)
+
t
(
x
=
)
t
(
x
0
ϕ
ω
sin
gdzie
ϕ
jest przesuni“ciem fazy pomi“dzy si» zewnetrzn a drganiem
F(t)
=
x
k
+
dt
dx
+
dt
x
d
m
2
2
γ
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
14
)
t
(
x
-
=
)
+
t
(
x
-
=
dt
x
d
)
+
t
(
x
=
dt
dx
2
0
2
2
2
0
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
sin
cos
Po podstawieniu do równania otrzymuje si“
)
t
(
=
)
+
t
(
x
+
)
+
t
(
x
)
-
(
0
0
0
2
2
0
ω
α
ϕ
ω
τ
ω
ϕ
ω
ω
ω
sin
cos
sin
Aby powyósze równanie by»o spe»nione dla dowolnej chwili czasu t stałe
ω
,
τ
i
ϕ
muszą spełniać
warunki:
ω
ω
τ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
0
-
-
=
=
tg
cos
sin
oraz
]
)
(
+
)
-
[(
=
x
2
1
2
2
2
2
0
0
τ
ω
ω
ω
α
0
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
15
Gdy ω << ω
0
k
F
=
k
m
=
x
-0
0
0
2
0
0
0
α
ω
α
ϕ
→
→
gdy ω = ω
0
wyst“puje rezonans
ω
τ
α
π
ϕ
0
0
0
=
x
2
-
→
dla
∞
→
∞
→
0
x
τ
Maksymalne wychylenie w rezonansie nie wyst“puje dla ω = ω
0
ale gdy mianownik wyraóenia na amplitud“ x
0
osiąga minimum
Warunek minimum:
0
=
2
+
)
)(-2
-
(
2
=
]
)
(
+
)
-
[(
d
d
2
2
2
0
2
2
2
2
0
τ
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
Równanie to jest spe»nione dla
)
(2
1
-
1
=
2
0
0
τ
ω
ω
ω
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
16
Dla ω >> ω
0
ω
ω
α
π
ϕ
2
0
2
0
0
m
F
=
x
-
→
→
0
1
2
3
4
ω / ω
0
0
4
8
12
16
x
0
Tlumienie
1/tau = 0.005
1/tau = 0.05
1/tau = 0.1
1/tau = 0.2
Fizyka Ogólna
Wyk
»
ad III
17
Moc absorbowana przez oscylator
]
)
(
+
)
-
[(
m
2
1
=
P
>
)
+
t
(
t)
(
<
]
)
(
+
)
-
[(
m
=
>
dt
dx
F
<
=
P
2
1
2
2
2
2
0
2
2
0
2
1
2
2
2
2
0
2
0
τ
ω
ω
ω
τ
ω
α
ϕ
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
α
cos
sin
oznaczajc
τ
ω
ω
ω
2
2
0
2
-
-
X
X
+
1
1
=
(x)
f
≡
oraz
-4
-2
0
2
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (x)