1
Spis treści
1.
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
2.
Związek między szeregiem i transformacją Fouriera
3.
Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera
4.
Widma sygnałów
5.
Własności transformacji Fouriera
6.
Przykład transformat Fouriera
7.
Uogólniona transformacja Fouriera
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
SYGNAŁÓW
2
Trochę historii
Baron Jean Baptiste Joseph
FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkołę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem
Politechniki w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w
wyniku ekspedycji z 1798 roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble.
Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku
został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej
członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21
tomowy Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy
pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy
przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował
do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
3
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
Dla sygnałów spełniających dwa warunki:
)
,
(
C
s
s t
s t
T
( )
(
)
s t
c
c
nf t
n
n
T
n
( )
cos
0
1
2
gdzie
f
T
T
1 /
oraz
c
f
s t dt
T
T
0
0
( )
c
a
b
n
n
n
2
2
n
n
n
b a
arc tg(
)
a
f
s t
nf t dt
n
T
T
T
2
2
0
( ) cos(
)
b
f
s t
nf t dt
n
T
T
T
2
2
0
( ) sin(
)
można utworzyć szereg
widmo amplitudowe
widmo fazowe
4
Od szeregu do transformacji Fouriera
s t
s e
n
jnf t
n
T
( )
2
gdzie
s
f
s t e
dt
n
T
jnf t
f
T
T
( )
2
0
1
T
f
T
1 /
Niech
f
nf
T
czyli
,
n
f
T
0
Po zmianie granic całkowania
s
f
s t e
dt
n
T
j n f t
T
fT
fT
( )
2
1
2
1
2
s t
s e
n
n
jnt T
( )
/
2
+
s
T
s t e
dt
n
T
j n t T
1
0
2
( )
/
+
s
f s f
n
T
( )
Dodatkowo niech
5
Od szeregu do transformacji Fouriera
Podstawiając
s
f s f
n
T
( )
oraz
nf
f
T
otrzymujemy
( )
( )
s f
s t e
dt
jft
2
f
T
0
dla
Ze wzoru
s t
s n f
e
f
T
jn f t
T
n
T
( )
(
)
2
oznaczając
f
df
T
otrzymujemy
s t
s f e
df
jft
( )
( )
2
6
Bramka prostokątna i jej widmo Fouriera
A
m
pl
it
ud
a
Sygnał
Czas
-T
0
T
0
1
s (t)
-2 /T
-1 /T
0
-1 /T
2 /T
0
1
s (f)
^
Częstotliwość
Widmo jest funkcją
rzeczywistą
s t
T
t
T
t
T
t
T
( )
1
0
dla
dla
i
( )
sin(
)
s f
e
dt
j f
e
f T
f
jft
jft
T
T
T
T
2
2
1
2
2
Obliczyć widmo sygnału
Posługując się definicją transformacji Fouriera
7
Definicja transformacji Fouriera
Ogólnie
( )
( )
s f
s t e
dt
j f t
s t
s f e
df
j f t
( )
( )
2
Dla nas
1
i
2
Często
1
i
lub
1
1
2
/
i
1
)
(
ˆ
)
(
f
s
t
s
8
Warunki odwracalności transformacji
Fouriera
Twierdzenie 1.
Niech dany będzie sygnał
s
L
1
( )
taki, że jego transformata
Fouriera
( )
s
L
1
, wtedy
s t
e
s t e
dt df
jft
jft
( )
( )
2
2
w każdym punkcie t dla którego sygnał s jest ciągły.
Twierdzenie 2.
Jeżeli sygnał
s
L
L
1
2
( )
( )
to wtedy jego transformata
).
(
ˆ
2
L
s
9
Widma sygnałów
( )
( )
s f
s t e
dt
jft
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
s f
r f
j i f
s f e
A f e
j
f
j
f
( )
s f
,
A f
( )
- widma amplitudowe,
( )
f
,
( )
f
- widma fazowe,
( )
r f
- widmo rzeczywiste,
( )
i f
- widmo urojone.
( )
( ) ( )
s f
r
f
i
f
2
2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
tg
arc
)
(
f
r
f
i
f
10
Widma sygnałów
arc tg :
/ , /
2
2
/
( )
/
2
2
f
A f
r
f
i
f
i f
f
f
r f
f
( )
( ) ( )
( )
sin ( )
( )
( )
( )
2
2
0
0
dla
dla
0
)
(
dla
)
(
0
)
(
dla
)
(
)
(
ˆ
arg
)
(
<
f
A
f
f
A
f
f
s
f
( )
t
Wzajemna jednoznaczność między widmem
( )
s f
a widmami
amplitudowymi i fazowymi:
( )
s f
razem z
( )
f
lub
A f
( )
( )
f
)
(
ˆ
)
(
f
s
f
A
zatem
)
(
ˆ
)
(
ˆ
tg
arc
)
(
f
r
f
i
f
razem z
11
Parzystość widma rzeczywistego i amplitudowego
oraz nieparzystość widma urojonego i fazowego
( )
( )
( ) cos (
)
sin(
)
( )
( )
s f
s t e
dt
s t
ft
j
ft dt
r f
j i f
jft
2
2
2
gdzie
( )
( )cos(
)
r f
s t
ft dt
2
( )
( )sin(
)
i f
s t
ft dt
2
(
)
( )
(
)
( )
r
f
r f
i
f
i f
)
(
ˆ
)
(
ˆ
tg
arc
)
(
f
r
f
i
f
( )
( ) ( )
s f
r
f
i
f
2
2
)
(
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
f
f
f
s
f
s
12
Własności widm
( )
( ) ( )
s f
r
f
i
f
2
2
( )
(( ) ( ))
f
i f
r f
arc tg
Dla sygnału
s t
s
t
( )
( )
otrzymujemy
0
)
2
cos(
)
(
2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
dt
ft
t
s
f
r
f
s
Dla sygnału
s t
s
t
( )
( )
otrzymujemy
0
)
2
sin(
)
(
2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
dt
ft
t
s
j
f
i
j
f
s
( )
( )
( ) cos (
)
sin(
)
( )
( )
s f
s t e
dt
s t
ft
j
ft dt
r f
j i f
jft
2
2
2
13
Transformacja Fouriera jest
przekształceniem liniowym
Addytywność
s t
s t e
dt
s
f
s
f
j f t
1
2
2
1
2
( )
( )
( ) ( )
Jednorodność
a s t e
dt
as f
jft
( )
( )
2
Zatem
a s t
b s t e
dt
a s
f
b s
f
jft
1
2
2
1
2
( )
( )
( )
( )
14
Zachowanie iloczynu skalarnego
Twierdzenie Rayleigha
s t s t dt
s f
s
f df
1
2
1
2
( ) ( )
( ) ( )
Wynika stąd
0
ˆ
,
ˆ
0
,
2
1
2
1
s
s
s
s
15
Zachowanie energii
Twierdzenie Parsevala
s
s
L
L
2
2
2
2
zatem
s
t dt
s f
df
2
2
( )
( )
16
Zachowanie odległości
Skoro
)
(
)
(
)
(
2
1
t
s
t
s
t
s
dzięki liniowości transformacji Fouriera otrzymujemy
df
f
s
dt
t
s
2
2
)
(
ˆ
)
(
to przyjmując
df
f
s
f
s
dt
t
s
t
s
2
2
1
2
2
1
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
Ograniczone nośniki
Analityczna funkcja - funkcja różniczkowalna, której pochodne są
również różniczkowalne. Oznacza to, że funkcja analityczna zmiennej
zespolonej może być lokalnie (tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego
punktu ) przedstawiona w postaci szeregu potęgowego
T
jft
dt
e
t
s
f
s
0
2
)
(
)
(
ˆ
T
jft
dt
e
t
s
t
j
df
f
s
d
0
2
)
(
2
)
(
ˆ
T
jft
n
n
n
n
dt
e
t
s
t
j
df
f
s
d
0
2
)
(
2
)
(
ˆ
1
2
)
(
2
)
(
ˆ
0
L
n
n
n
T
n
n
n
n
n
s
T
dt
t
s
T
df
f
s
d
Oznacza to, że widmo
)
(
ˆ f
s
jest funkcją analityczną.
0
f
!
)
(
ˆ
)
(
ˆ
0
0
0
n
f
f
df
s
d
f
s
n
f
f
n
n
n
Niech sygnał ma ograniczony nośnik.
Zasada nieoznaczoności Heinsenberga
Oznacza to, że widmo może być lokalnie, tzn. w pewnym otoczeniu
dowolnego punktu przedstawione w postaci szeregu potęgowego
,
0
f
-T
0
T
0
1
s (t)
-2 /T
-1 /T
0
-1 /T
2 /T
0
1
s (f)
^
0
0
0
!
)
(
ˆ
)
(
ˆ
0
n
n
n
n
f
f
n
n
n
f
a
n
f
f
df
s
d
f
s
czyli nośnik widma nie może być ograniczony!
Impuls prostokątny i jego widmo amplitudowe.
Postępując podobnie można udowodnić, że jeżeli nośnik widma jest
ograniczony, to nośnik sygnału nie może być ograniczony.
19
Nieoznaczoność Heinsenberga
Środek rozłożenia energii sygnału
dt
t
s
t
s
t
2
2
*
)
(
Środek rozłożenia energii widma sygnału
df
f
s
f
s
f
2
2
*
)
(
ˆ
Unormowane kwadraty odchyleń standardowych dla rozkładów
energii
dt
t
s
t
t
s
t
)
(
)
(
2
2
*
2
2
df
f
s
f
f
s
f
2
2
*
2
2
)
(
ˆ
)
(
Zasada Heinsenberga
t
f
0 5
,
20
Dualność transformacji Fouriera
( )
( )
s f
s t e
dt
j f t
2
( )
( )
s
e
s t e
dt df
jf
j f t
2
2
Otrzymujemy zależność zwaną dualnością transformacji Fouriera
( )
(
)
s
s
( )
( )
(
)
( )
s f
s t e
dt
s
f
s t e
dt
jft
jft
2
2
21
)
(
)
(
1
t
t
s
)
(
)
(
3
2
2
t
t
s
2
2
π
2
π
3
sin
2
3
)
(
ˆ
f
f
f
s
2
1
π
π
sin
)
(
ˆ
f
f
f
s
Zmiana skali czasu sygnału
s at
a
s f
a
( )
( / )
1
)
(
ˆ
)
(
f
s
t
s
22
Przesunięcie w dziedzinie czasu
i częstotliwości
Przesunięcie w dziedzinie czasu
s t
t
s f e
jft
(
)
( )
0
2
0
bo
s t
t e
dt
jft
(
)
0
2
po podstawieniu
t
t
0
równa się
s
e
e
d
jft
jf
( )
2
2
0
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
s t e
s f
f
jf t
( )
(
)
2
0
0
s t e
s f
f
jf t
( )
(
)
2
0
0
2
2
0
0
0
s t
f t
s f
f
s f
f
( )cos(
)
(
) (
)
Sumując obustronnie otrzymujemy
23
)
(
)
(
2
3
1
t
t
t
s
f
f
f
f
f
f
s
j2π
1
π
)
π
sin(
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
1
)
1
(
)
1
(
)
(
2
1
1
2
t
t
t
s
t
s
)
j2π
exp(
j2π
1
π
)
π
sin(
π
)
π
sin(
)
j2π
exp(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
1
2
f
f
f
f
f
f
f
f
s
f
s
Przesunięcie w dziedzinie czasu
24
)
1
2
(
)
1
2
(
)
(
1
t
t
t
s
)
π
cos(
π
2
π
sin
2
)
(
ˆ
1
f
f
f
f
s
)
j2π
exp(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
(
2
t
t
t
t
s
)
1
π(
cos
)
1
π(
2
)
1
π(
sin
2
)
1
(
ˆ
)
(
ˆ
1
2
f
f
f
f
s
f
s
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
25
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
Jeżeli :
- sygnał s(t) i jego kolejne pochodne aż do rzędu n-1 są ciągłe,
- pochodna rzędu n istnieje prawie wszędzie,
- sygnał i wszystkie jego pochodne aż do rzędu n posiadają
transformaty Fouriera, czyli dostatecznie szybko dążą do zera dla
t
d s t
dt
jf
s f
n
n
n
( )
( )
2
to
26
)
(
)
(
1
t
t
s
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
1
2
t
t
dt
t
ds
t
s
2
1
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
f
f
f
s
f
f
f
s
π
)
π
(
sin
j2
)
(
ˆ
2
2
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
27
Różniczkowanie
w dziedzinie częstotliwości
( ) ( )
( )
s f
r f
ji f
(
)
( )
(
)
( )
r
f
r f
i
f
i f
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d r
f
d
f
d r f
df
d i
f
d
f
d i f
df
n
n
n
df
f
s
d
t
s
jt
)
(
ˆ
)
(
)
2
(
Warunek wystarczający
t s t d t
n
( )
Obustronnie różniczkując otrzymujemy
Można udowodnić, że
28
Splot w dziedzinie czasu
s t
s
s t
d
( )
( ) (
)
1
2
gdy
s s
L
1
2
2
,
(
,
)
Splot oznaczamy
s t
s t
1
2
( )
( )
Przemienność splotu
s t
s t
s
s t
d
s
s t
d
s t
s t
1
2
1
2
2
1
2
1
( )
( )
( ) (
)
( ) (
)
( )
( )
Gdy
s t
1
0
( )
i
s t
2
0
( )
dla
t
0
to
t
d
t
s
s
t
s
t
s
0
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
Musi być
t
0
aby
s t
2
(
)
nie było równe zeru
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
2
1
2
1
f
s
f
s
dt
t
s
s
29
Przykład splotu w dziedzinie czasu
30
f
f
f
f
f
s
t
t
t
s
j2π
)
π
cos(
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
)
(
)
(
1
1
f
f
f
s
t
t
s
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
)
(
)
(
2
2
f
f
f
f
f
f
s
f
s
t
t
t
t
t
t
t
s
t
s
j2π
2π
)
π
2
sin(
π
)
π
sin(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
2
)
(
2
)
(
*
)
(
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
Wzory do rysunków
Splatane sygnały
Splot w dziedzinie czasu i jego widmo
31
Splot w dziedzinie częstotliwości
i całkowanie w dziedzinie czasu
Całkowanie w dziedzinie czasu
s
d
jf
s f
t
( )
( )
1
2
Warunek
( )
s 0
0
s t dt
( )
0
Splot w dziedzinie częstotliwości
s t s t
s
f
s
f
s g s
f
g dg
1
2
1
2
1
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
32
Impuls paraboliczny
Dla sygnału
s t
t
t
t
t
t
( )
6
6
1
1
1
0
1
1
2
dla
dla
i
znaleźć składową parzystą i nieparzystą oraz wyznaczyć ich widma.
33
Rozłożenie na część parzystą i nieparzystą
Każdy sygnał można jednoznacznie rozłożyć na sumę
s
s
s
p
n
gdzie
sygnał parzysty
s t
s t
s
t
p
( )
( )
( )
1
2
sygnał nieparzysty
s t
s t
s
t
n
( )
( )
( )
1
2
tzn.
s t
s
t
s t
s
t
n
n
p
p
( )
( )
( )
( )
s
t
t
s t
t
p
n
( )
( )
6
1
6
2
Z teoretycznych rozważań wiemy, że
sygnał parzysty ma widmo czysto
rzeczywiste
a
nieparzysty widmo czysto urojone
.
Dla rozważanego przykładu otrzymujemy
34
Widmo części parzystej
( )
(
)
s
f
t
e
dt
p
jft
6
1
2
2
1
1
Posługując się tożsamością
t e dt
e
a
a t
at
at
at
2
3
2 2
2
2
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
( )
cos(
)
sin(
)
s
f
f
f
f
f
f
p
6
2
1
7
3
2
2
2
2
2
jf
a
2
gdzie
35
Prezentacja części parzystej
-1
0
1
0
5
s
p
(t)
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
6
s
p
(f)
^
Sygnał
Widmo
amplitudowe
Czas
Częstotliwość
36
Widmo części nieparzystej
( )
s
f
t e
dt
n
jft
6
2
1
1
Posługując się tożsamością
t e dt
e
a
at
at
at
2
1
otrzymujemy widmo czysto urojone
f
f
f
f
j
f
s
n
2
)
2
sin(
)
2
cos(
)
(
ˆ
gdzie
jf
a
2
37
Prezentacja części nieparzystej
-1
0
1
-5
0
5
s
n
(t)
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
6
s
n
(f)
^
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
38
Wykresy do powyższego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-1
0
1
0
1 0
s (t)
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
6
s (f)
^
39
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
6
s (f)
^
0
1
2
0
1
s (t)
40
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału
s t
t
t
t
t
( )
2
0
1
1
1
2
0
dla
dla
dla pozostałych
Ze wzoru definiującego transformatę Fouriera
( )
s f
t e
dt
e
dt
jft
jft
2
2
2
1
2
0
1
Posługując się tożsamością
t e dt
e
a
a t
at
at
at
2
3
2 2
2
2
otrzymujemy
f
f
f
f
f
j
f
f
f
f
f
f
s
)
2
cos(
)
2
sin(
)
4
cos(
2
1
)
4
sin(
)
2
sin(
)
2
cos(
2
1
)
(
ˆ
2
2
41
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
0
0 .5
1
2
0
1
s (t)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0
1
s (f)
^
42
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału
s t
t
t
( )
,
1
0
0 5
0
dla
i 1 t 2
dla pozostałych
Posługując się definicją transformaty Fouriera
( )
,
s f
e
dt
e
dt
jft
jft
2
0
0 5
2
1
2
1
)
cos(
)
2
cos(
)
4
cos(
)
sin(
)
2
sin(
)
4
sin(
2
1
f
f
f
j
f
f
f
f
43
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-T
0
T
-1
0
1
s (t)
-5 /T
-4 /T
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
4 /T
5 /T
0
1
s (f)
^
44
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
s
t
T
t
t
T
t
T
( )
1
0
1
0
0
dla
dla
dla
Posługując się definicją transformaty Fouriera
( )
s
f
e
dt
e
dt
jft
T
jft
T
2
0
2
0
Po całkowaniu
( )
s
f
jf
e
jf
e
jft
T
jft
T
1
2
1
2
2
0
2
0
Po podstawieniu granic
( )
sin (
)
s
f
j
f
fT
2
2
45
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-T
0
T
0
1
s (t)
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
0
1
s (f)
^
46
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
s
t
t
T
T
t
t
T
t
T
t
T
( )
dla
dla
dla
0
0
0
Korzystając z zależności
s
t
s
t dt
T
t
( )
( )
i posługując się twierdzeniem o transformacie z całki
( )
( )
s
f
s
f
j f
2
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
( )
sin (
)
s
f
fT
f
2
2
2
47
Wykresy do jeszcze jednego przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
0
T
2 T
3 T
0
1
s (t)
-3 /T
-2 /T
-1 /T
0
1 /T
2 /T
3 /T
0
1
s (f)
^
48
Jeszcze jeden przykład dzisiaj
Jakie jest widmo sygnału
s t
e
t
t
Tt
( )
dla
dla
0
0
0
Posługując się definicją transformacji Fouriera
( )
(
)
(
)
s f
e
dt
T
jf
e
T
jf
T
jf t
T
jf t
2
0
2
0
1
2
1
2
49
Kolejny pouczający przykład
transformaty Fouriera
Dla sygnału w postaci funkcji Gaussa
s t
t
( )
exp
(
)
2
2
2
widmo ma postać
( ) exp
s f
f
j f
2
2
2
2
50
Wykresy do kolejnego pouczającego
przykładu
Widmo
amplitudowe
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-1
0
1
0
1
s (t)
= 2
= 0
-1
0
1
0
1
s (f)
^
= 2
= 0
51
Uogólnienie transformacji Fouriera
lim ( )
( )
0
s t
s t
gdzie
0
lim ( ) ( )
0
s
f
s f
( )
s f
uogólniona transformata Fouriera,
czyli transformata w sensie granicznym
52
Widma impulsu Diraca i sygnału stałego
Widmo impulsu Diraca
s
t
s
t
T
T
( )
( )
2
s
t
t
T
T
t
t
T
t
T
t
T
( )
dla
dla
dla
0
0
0
lim
( )
( )
T
T
s
t
t
0
( )
sin (
)
s
f
fT
f T
T
2
2
2
2
lim ( )
T
T
s
f
0
1
s t
t
s f
( )
( )
( )
1
zatem
( )
t
1
Transformata Fouriera sygnału stałego
s t
s f
f
( )
( )
( )
1
53
Transformaty Fouriera sygnałów
okresowych
s t
a
a
nf t
b
nf t
n
n
n
( )
cos(
)
sin(
)
0
0
0
1
2
2
lub
s t
c e
n
j n f t
n
( )
2
0
Widmo
)
2
cos(
)
(
0
t
nf
t
s
c
s t
nf t
s f
nf
s f
nf
( )cos(
)
, (
)
, (
)
2
0 5
0 5
0
0
0
cos(
)
, (
)
, (
)
2
0 5
0 5
0
0
0
nf t
f
nf
f
nf
sin(
)
,
(
)
,
(
)
2
0 5
0 5
0
0
0
nf t
j
f
nf
j
f
nf
e
nf t
j
nf t
jnf t
2
0
0
0
2
2
cos(
)
sin(
)
e
f
nf
jnf t
2
0
0
(
)
( )
( )
,
(
)
(
)
s f
a
f
a
jb
f
nf
a
jb
f
nf
n
n
n
n
n
0
0
0
0 5
( )
(
)
s f
c
f
nf
n
n
0
54
t
t
t
s
π
)
π
sin(
)
(
1
)
π
(
j2sin
)
(
j2π
)
(
1
2
t
t
s
t
t
s
)
(
)
(
ˆ
1
f
f
s
)
(
)
(
)
(
ˆ
2
1
2
1
2
f
f
f
s
Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości
55
)
1
(
)
1
(
2
1
)
(
ˆ
)
π
2
cos(
)
(
2
2
f
f
f
s
t
t
s
)
1
π(
2
)
1
π(
sin
)
1
π(
2
)
1
π(
sin
)
(
ˆ
*
)
(
ˆ
)
(
)
π
2
cos(
)
(
)
(
2
1
2
1
f
f
f
f
t
s
t
s
t
t
t
s
t
s
Iloczyn w dziedzinie czasu
f
f
f
s
t
t
s
)
sin(
)
(
ˆ
)
(
)
(
1
1
56
Iloczyn w dziedzinie czasu
57
Transformacja Fouriera sygnału
z niezerową wartością średnią
s t
s t
s
( )
( )
0
gdzie
)
(
0
t
s
ma zerową wartość średnią
s
T
s t dt
T
T
T
lim
( )
1
2
s t
s t
s
s f
s
f
s
f
( )
( )
( ) ( )
( )
0
0
58
Transformacja Fouriera sygnału 2-D
Widmo sygnału dwu-wymiarowego
dy
dx
e
y
x
s
f
f
s
y
f
x
f
j
y
x
y
x
)
(
2
)
,
(
)
,
(
ˆ
s x y
s f
f
e
df df
x
y
j f x f y
x
y
x
y
( , )
( , )
(
)
2
59
Wielowymiarowe przekształcenia Fouriera
Jeśli
x f
n
,
to
( )
( )
s f
s x e
dx
dx
j f x
n
x
x
T
n
2
1
1
s x
s f e
df
df
j f x
n
f
f
T
n
( )
( )
2
1
1