plik

MATEMATYKA

I. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

1. Pojęcie funkcji wielu zmiennych, dziedzina funkcji, wykres.

Niech Ω c R

, nϵN

Funkcja n zmiennych x

,…,x

określona w zbiorze Ω, jest to przyporządkowanie każdemu punktowi

x=( x

,…,x

) dokładnie jednej liczby zϵR. Piszemy: z=f(x)=f(x

,…,x

Zbiór Ω nazywamy dziedziną funkcji.

Zbiór punktów w przestrzeni R

w postaci (x, y, f(x,y)) nazywamy wykresem funkcji.

2. Pochodne cząstkowe funkcji 1-go rzędu i wyższych rzędów. Pochodne mieszane.

Ω c R

, Ω - zbiór otwarty, f: Ω --> R, (x

) ϵ Ω

Pochodna cząstkowa funkcji względem zmiennej x:
𝑑𝑓
𝑑𝑥

(𝑥

, 𝑦

) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥

+ ℎ, 𝑦

) − 𝑓(𝑥

, 𝑦

)

ℎ

Pochodna cząstkowa funkcji względem zmiennej y:
𝑑𝑓
𝑑𝑥

(𝑥

, 𝑦

) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥

, 𝑦

+ ℎ) − 𝑓(𝑥

, 𝑦

)

ℎ

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie, gdy ma pochodną (posiada styczną)

Tw. Schwarza

Jeżeli

𝑑

𝑓

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑

𝑓

𝑑𝑦𝑑𝑥

są ciągłe w Ω, to

𝑑

𝑓

𝑑𝑥𝑑𝑦

(𝑥, 𝑦) =

𝑑

𝑓

𝑑𝑦𝑑𝑥

(𝑥, 𝑦) dla (x,y) ϵ Ω.

3. Definicja pochodnej kierunkowej funkcji dwóch i trzech zmiennych. Wyznaczanie kierunku najszybszego
wzrostu wartości funkcji.

Niech 𝑎⃗=[a

] oraz |𝑎⃗|=1. Niech f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu (x

). Jeżeli istnieje

skończona granica*, to nazywamy ją pochodną funkcji f w kierunku wektora 𝑎⃗ (pochodną kierunkową).
*

lim

ℎ→0

𝑓(𝑥

+ 𝑎

ℎ, 𝑦

+ 𝑎

ℎ) − 𝑓(𝑥

, 𝑦

)

ℎ

Gradient funkcji wskazuje najszybszy wzrost wartości funkcji w ustalonym punkcie.
𝑑𝑓
𝑑𝑎

(𝑥

, 𝑦

) = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑥

, 𝑦

) ° 𝑎⃗

W przypadku funkcji z=f(x,y) pochodna cząstkowa:

𝑑𝑓

𝑑𝑥

(𝑥

, 𝑦

)

oznacza szybkość zmiany wartości funkcji na kierunku wyznaczonym osią OX

𝑑𝑓

𝑑𝑦

(𝑥

, 𝑦

)

oznacza szybkość zmiany wartości funkcji na kierunku wyznaczonym osią OY

4. Różniczka zupełna funkcji i jej związek z przyrostem wartości funkcji. Przykłady zastosowania różniczki do
obliczeń przybliżonych.

Ω c R

, Ω - zbiór otwarty, f: Ω --> R, f. jest różniczkowalna w Ω,

xϵΩ, x=(x

,…,x

), x

ϵR, i=1,2,3,…,n, Δx=(Δx

, Δx

, …, Δx

)

Wyrażenie postaci 𝑑𝑓(𝑥) =

𝑑𝑓

𝑑𝑥

(𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑓

𝑑𝑥

(𝑥)𝑑𝑥

+…+

𝑑𝑓

𝑑𝑥

𝑛

(𝑥)𝑑𝑥

𝑛

nazywamy różniczką zupełną funkcji w

punkcie x=(x

,…,x

) dla przyrostów argumentów Δx

= dx

, Δx

= dx

, …, Δx

= dx

Dla dostatecznie małych przyrostów dx

, dx

,…, dx

argumentów funkcji x=(x

,…,x

) zachodzi

przybliżona równość Δf≈df(x).

x, y, z – wielkości fizyczne związane zależnością z=f(x,y), gdzie f jest różniczkowalna
Δx, Δy – błędy bezwzględne pomiarów wielkości x, y
Δz – błąd bezwzględny obliczania wielkości z

Wtedy: |∆𝑧| ≈ |

𝑑𝑓
𝑑𝑥

| ∗ ∆𝑥 + |

𝑑𝑓
𝑑𝑦

| ∗ ∆𝑦

5. Ekstrema lokalne funkcji dwóch i trzech zmiennych. Metoda najmniejszych kwadratów jako przykład
wyznaczania ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Ω c R

Ω - zbiór otwarty

Niech A(x

) ϵ Ω, f: Ω --> R,

𝑑𝑓

𝑑𝑥

oraz

𝑑𝑓

𝑑𝑦

istnieją i są ciągłe. Jeżeli:

𝑑𝑓

𝑑𝑥

(𝐴) = 0 i

𝑑𝑓

𝑑𝑦

(𝐴) = 0

-warunek konieczny

2. W(A)=|

𝑑

𝑓

𝑑𝑥

(𝐴)

𝑑

𝑓

𝑑𝑥𝑑𝑦

(𝐴)

𝑑

𝑓

𝑑𝑦𝑑𝑥

(𝐴)

𝑑

𝑓

𝑑𝑦

(𝐴)

| > 0

-warunek dostateczny

𝑑

𝑓

𝑑𝑥

(𝐴) > 0

𝑑

𝑓

𝑑𝑥

(𝐴) < 0

To funkcja ma w punkcie A(x

) minimum/maximum lokalne.

Jeżeli W(A)<0, to funkcja nie posiada ekstremum w punkcie A.
Jeżeli W(A)=0, to twierdzenie nie rozstrzyga kwestii istnienia ekstremum.

II. OPERATORY RÓŻNICZKOWE

1. Gradient, rotacja, dywergencja i laplasjan (definicje).

Gradientem funkcji f nazywamy wektor określony wzorem:

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [

𝑑𝑓
𝑑𝑥

(𝑥, 𝑦, 𝑧),

𝑑𝑓
𝑑𝑦

(𝑥, 𝑦, 𝑧),

𝑑𝑓

𝑑𝑧

(𝑥, 𝑦, 𝑧)]

f: Ω-->R, Ω c R

Dywergencją odwzorowania F nazywamy wyrażenie:

𝑑𝑖𝑣 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑑𝑃

𝑑𝑥

(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

𝑑𝑄

𝑑𝑦

(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

𝑑𝑅

𝑑𝑧

(𝑥, 𝑦, 𝑧)

F: R

--> R

, F=(P,Q,R), gdzie P,Q,R: R

--> R

Laplasjanem funkcji f nazywamy wyrażenie:

𝛥𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑑

𝑓

𝑑𝑥

(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

𝑑

𝑓

𝑑𝑦

(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

𝑑

𝑓

𝑑𝑧

(𝑥, 𝑦, 𝑧)

f: Ω-->R, Ω c R

Rotacją odwzorowania F nazywamy wyrażenie:

𝑟𝑜𝑡 𝐹 = |

𝑖⃗

𝑗⃗

𝑘

⃗⃗

𝑑

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑦

𝑑

𝑑𝑧

𝑃

𝑄

𝑅

𝑖⃗ = [1,0,0], 𝑗⃗ = [0,1,0], 𝑘⃗⃗ = [0,0,1]

F: R

--> R

, F=(P,Q,R), gdzie P,Q,R: R

--> R

Związek między dywergencją, gradientem i laplasjanem:

𝛥𝑓

= 𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓)

III. CAŁKOWANIE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

1. Całka podwójna po prostokącie o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na prostokącie P c R

Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemanna) na prostokącie P, jeżeli istnieje liczba
rzeczywista S taka, że każdy normalny ciąg sum całkowych funkcji f po prostokącie P jest zbieżny do S.

Liczbę S nazywamy całką podwójną funkcji po prostokącie P i oznaczamy:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑃

2. Definicja obszaru normalnego na płaszczyźnie. Całka podwójna po obszarze normalnym.

Obszar D={(x,y): a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x)}, gdzie: a,b ϵ R, g oraz h są funkcjami ciągłymi określonymi w przedziale
<a,b> nazywamy obszarem normalnym względem osi OX.

Całka podwójna po obszarze normalnym względem osi OX:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

= ∫ (∫

𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦)𝑑𝑥

ℎ(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑏

𝑎

3. Zamiana zmiennych w całce podwójnej (w tym: współrzędne biegunowe).

D c R

Dane jest przekształcenie x=x(u,v), y=y(u,v), gdzie u oraz v są nowymi zmiennymi określonymi na zbiorze D’,
które jest ciągłe i różniczkowalne oraz przekształca wzajemnie jednoznacznie obszar D’ na obszar D.

Jakobianem przekształcenia x=x(u,v), y=y(u,v) nazywamy wyrażenie postaci:

𝐽 = ||

𝑑𝑥
𝑑𝑢

𝑑𝑥
𝑑𝑣

𝑑𝑦
𝑑𝑢

𝑑𝑦
𝑑𝑣

Jeżeli wzory x=x(u,v), y=y(u,v) realizują powyższe przekształcenie, gdzie D’ c R

oraz J≠0, to:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) ∙ |𝐽|𝑑𝑢𝑑𝑣

𝐷′

𝐷

Współrzędne biegunowe:
x = rcosϕ
y = rsinϕ
J = rcos

ϕ + rsin

ϕ = r

4. Przykłady zastosowań całki podwójnej w geometrii i mechanice (w tym: wyznaczanie współrzędnych
środka ciężkości obszarów płaskich).

IV. CAŁKOWANIE FUNKCJI TRZECH ZMIENNYCH

1. Całka potrójna po prostopadłościanie o krawędziach równoległych do osi układu współrzędnych.

Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na prostopadłościanie P c R

Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemanna) na prostopadłościanie P, jeżeli istnieje liczba
rzeczywista S taka, że każdy normalny ciąg sum całkowych funkcji f po p-padłościanie P jest zbieżny do S.

Liczbę S nazywamy całką potrójną funkcji po prostopadłościanie P i oznaczamy:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑃

2. Całka potrójna po obszarze normalnym.

Funkcje h

(x), h

(x) są ciągłe w przedziale [a,b], natomiast funkcje k

(x,y), k

(x,y) są ciągłe w Ω.

D={(x,y,z) ϵ R

: a≤x≤b, h

(x) ≤y≤ h

(x), k

(x,y) ≤z≤ k

(x,y)}

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫

𝑑𝑦 ∫

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

(x,y)

(x)

𝑏

𝑎

𝐷

3. Zamiana zmiennych (w tym: współrzędne walcowe i sferyczne).

D c R

Dane jest przekształcenie x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w), gdzie u, v oraz w są nowymi zmiennymi
określonymi na zbiorze D’, które jest ciągłe i różniczkowalne oraz przekształca wzajemnie jednoznacznie
obszar D’ na obszar D.

Jakobianem przekształcenia x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) nazywamy wyrażenie postaci:

𝐽 =

𝑑𝑥
𝑑𝑢

𝑑𝑥
𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑤

𝑑𝑦
𝑑𝑢

𝑑𝑦
𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑧

𝑑𝑢

𝑑𝑧
𝑑𝑣

𝑑𝑧

𝑑𝑤

Jeżeli wzory x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) realizują powyższe przekształcenie, gdzie D’ c R

oraz J≠0, to:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)) ∙ |𝐽|𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤

𝐷′

𝐷

Współrzędne walcowe:
x = rcosϕ

0 < r < +∞

y = rsinϕ

gdzie:

0 < ϕ < 2𝜋

J=r

z = z

-∞

< z < +∞

Współrzędne sferyczne:
x = rsinΨcosϕ
y = rsinΨsinϕ
z = rcosΨ

V. CAŁKI KRZYWOLINIOWE

1. Definicja całki krzywoliniowej niezorientowanej.

Ω c R

, f: Ω-->R, f - funkcja ciągła, c - krzywa na płaszczyźnie zawarta w zbiorze Ω, c: y=y(x), xϵ[a,b]

Funkcja y=y(x) ma ciągłe pochodne w (a,b) oraz ciągłe pochodne jednostronne na krańcach przedziału [a,b].
Krzywą C dzielimy punktami Mi na n dowolnych części. W każdej z tych części wybieramy dowolnie punkt
NiϵMi-

Mi. Tworzymy sumę ∑

𝑓(𝑁𝑖)𝛥𝑆𝑖

∞

𝑖=1

. Jeżeli przy max ΔSi-->0 istnieje skończona granica sum

∑

𝑓(𝑁𝑖)𝛥𝑆𝑖

∞

𝑖=1

niezależna od sposobu podziału krzywej c punktami Mi i niezależna od wyboru punktów

pośrednich Ni, to nazywamy ją całką krzywoliniową nieskierowaną i oznaczamy:

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠

𝐶

2. Zamiana całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą (całkę Riemanna).

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))√1 + (𝑦

′

(𝑥))

𝑏

𝑎

𝐶

𝑑𝑥

Jeżeli krzywa ma opis parametryczny x=x(t), y=y(t) dla tϵ<α,β>, to:

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))√(𝑥

′

(𝑡))

+ (𝑦

′

(𝑥𝑡))

𝐶

𝑑𝑡

3. Przykłady zastosowania całek krzywoliniowych niezorientowanych.

4. Definicja całki krzywoliniowej zorientowanej.

P(x,y), Q(x,y) - funkcje ciągłe w Ω c R

Niech 𝐶 = 𝐴𝐵

̂ - krzywa opisana równaniem y=y(x), xϵ[a,b] przebiegająca od punktu A do punktu B.

Warunek: y’ istnieje w (a,b). Wtedy poniższe wyrażenie nazywamy całką krzywoliniową zorientowaną:

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝐶

5. Zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę Riemanna.

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ (𝑃(𝑥, 𝑦(𝑥)) + 𝑄(𝑥, 𝑦(𝑥))𝑦

′

(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝐶

Jeżeli krzywa ma opis parametryczny x=x(t), y=y(t) dla tϵ<α,β>, to:

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ (𝑃(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑥′(𝑡) + 𝑄(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑦

′

(𝑡)) 𝑑𝑡

𝐶

6. Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej zorientowanej.

Jeżeli

𝐹 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑖⃗ + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑗⃗

jest wektorem siły o składowych zmiennych wzdłuż krzywej K, to całka:

𝑊 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝐾

przedstawia pracę siły F przy przemieszczeniu masy jednostkowej wzdłuż krzywej K.

7. Twierdzenie Greena.

Niech C jest brzegiem obszaru Ω c R

, normalnego względem osi OX oraz OY, skierowanym dodatnio

(przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Niech funkcje P(x,y) oraz Q(x,y) będą określone na zbiorze ΩuC.

Funkcje P,Q,

𝑑𝑃

𝑑𝑦

𝑑𝑄

𝑑𝑥

są ciągłe na zbiorze

ΩuC. Wtedy:

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∬ (

Ω

𝐶

𝑑𝑄

𝑑𝑥

−

𝑑𝑃
𝑑𝑦

)𝑑𝑥𝑑𝑦

VI. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

1. Definicja równania różniczkowego zwyczajnego.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci f(x,y,y’,y’’,…,y

(n)

)=0, gdzie niewiadomą

jest funkcja y=y(x). Najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej występującej w równaniu nazywamy
rzędem równania różniczkowego zwyczajnego.

2. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego, całka ogólna i całka szczególna.

f(x,y,y’)=0

-równanie różniczkowe I-go rzędu

y=y(x)

-funkcja niewiadoma

Całką ogólną nazywamy funkcję y=F(x,c) zmiennej niezależnej x oraz stałej liczbowej c, która przy każdej
ustalonej i dopuszczalnej wartości c spełnia równanie różniczkowe.

Całką szczególną nazywamy funkcję y=y(x), która spełnia równanie różniczkowe dla wszystkich
argumentów x, dla których funkcja ta ma sens.

3. Zagadnienie Cauchy’ego.

Zagadnienie to dla równania różniczkowego f(x,y,y’)=0 polega na wyznaczeniu takiego rozwiązania
szczególnego, które dla pewnej, z góry ustalonej wartości zmiennej niezależnej x

przyjmuje z góry

określoną wartość y

. Równość y

=y(x

) nazywamy warunkiem początkowym dla danego r.r.

4. Praktyczne metody rozwiązywania wybranych typów równań liniowych pierwszego rzędu.

5. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach.

(n)

n-1

(n-1)

n-2

(n-2)

+…+a

y’+a

y=b(x)

dla i=0,1,2,…,n-1 są współczynnikami liczbowymi

y=y(x) jest funkcją niewiadomą

Jeżeli b(x)=0, to równanie nazywamy jednorodnym.

VII. SZEREGI POTĘGOWE I SZEREGI FOURIERA

1. Szeregi potęgowe (w tym: badanie zbieżności, całkowanie i różniczkowanie szeregu).

Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci:

∑ 𝑎

𝑛

(𝑥 − 𝑥

∞

𝑛=0

)

𝑛

-współczynniki liczbowe, x

-ustalona liczba, x-zmienna)

Jeżeli x

=0, to szereg przyjmuje postać

∑ 𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

Promień zbieżności:

𝑅 = sup {𝑟 > 0: ∑ 𝑎

𝑛

𝑟

𝑛

∞

𝑛=0

𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑦}

Tw. o obszarze zbieżności
Jeżeli R jest promieniem zbieżności szeregu ∑

𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

, to szereg jest zbieżny dla wszystkich argumentów x

spełniających nierówność |x|<R. Dla |x|>R szereg jest rozbieżny. Natomiast dla –R oraz R twierdzenie nie
rozstrzyga kwestii zbieżności.

Tw. o różniczkowaniu
Jeżeli 0<R<∞ jest promieniem zbieżności szeregu ∑

𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

, to:

(∑

𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

)

∞

𝑛=0

′ = ∑

𝑛𝑎

𝑛

𝑥

𝑛−1

∞

𝑛=0

dla |x|<R

Tw. o całkowaniu
Jeżeli 0<R<∞ jest promieniem zbieżności szeregu ∑

𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

, to:

∫ (∑

𝑎

𝑛

𝑡

𝑛

)

∞

𝑛=0

𝑑𝑡

𝑥

= ∑

𝑎

𝑛

𝑛+1

𝑥

𝑛+1

∞

𝑛=0

dla |x|<R

2. Rozwijanie w szereg potęgowy wybranych funkcji.

3. Współczynniki Eulera-Fouriera funkcji określonej na przedziale (-π, π). Szereg Fouriera.

Współczynniki liczbowe a

, a

, b

dla n=1,2,3… nazywamy współczynnikami Eulera-Fouriera funkcji f.

𝑎

𝜋

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑎

𝑛

𝜋

∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑏

𝑛

𝜋

∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

Poniższy szereg nazywamy szeregiem Fouriera.

1
2

𝑎

+ ∑(𝑎

𝑛

𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏

𝑛

𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥)

∞

𝑛=1

4. Kryterium Dirichleta.

Jeżeli funkcja [−𝜋, 𝜋] → 𝑅 jest:
-przedziałami monotoniczna
-przedziałami ciągła oraz w każdym punkcie nieciągłości x spełniony jest warunek:

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥 − 0) + 𝑓(𝑥 + 0)

oraz

𝑓(−𝜋) = 𝑓(𝜋) =

𝑓(−𝜋 + 0) + 𝑓(𝜋 − 0)

to:

𝑓(𝑥) =

1
2

𝑎

+ ∑(𝑎

𝑛

𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏

𝑛

𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥)

∞

𝑛=1

f(x-0) – lewostronna granica w punkcie x
f(x+0) – prawostronna granica w punkcie x
f(𝜋-0) – lewostronna granica w punkcie 𝜋
f(-𝜋+0) – prawostronna granica w punkcie -𝜋