Wykład 13
Witold Obłoza
11 stycznia 2011
Wykład 13
Witold Obłoza
11 stycznia 2011
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + c sprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + c sprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + c sprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + c sprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + c sprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + c sprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx =
R
−(t + 2)
−1
2
·
t
2
+2t+2
1+t
(1 +
1
2
·
t
2
−2
1+t
)
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt =
2
R
dt
t
= 2ln |t| + C = 2ln |x −
√
x
2
+ 2x + 2| + C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx =
R
−(t + 2)
−1
2
·
t
2
+2t+2
1+t
(1 +
1
2
·
t
2
−2
1+t
)
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt =
2
R
dt
t
= 2ln |t| + C = 2ln |x −
√
x
2
+ 2x + 2| + C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx =
R
−(t + 2)
−1
2
·
t
2
+2t+2
1+t
(1 +
1
2
·
t
2
−2
1+t
)
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt =
2
R
dt
t
= 2ln |t| + C = 2ln |x −
√
x
2
+ 2x + 2| + C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt =
− 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 175
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienie
x = a sint
sprowadza
R R(x,
√
a
2
− x
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej,
podstawienie
x = a tgt
sprowadza
R R(x,
√
a
2
+ x
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej, zaś
podstawienie
x =
1
a cost
sprowadza
R R(x,
√
x
2
− a
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 176
Całka postaci
R x
m
· (a + bx
n
)
p
dx gdzie m, n, p ∈ Q
sprowadza si
,
e do całki z funkcji wymiernejnast
,
epuj
,
acych trzech
porzypadkach:
p jest liczb
,
a całkowit
,
a (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
n
jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= t,
m + 1
n
+ p jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= x
n
t
r
,
gdzie r jest mianownikiem p.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 176
Całka postaci
R x
m
· (a + bx
n
)
p
dx gdzie m, n, p ∈ Q
sprowadza si
,
e do całki z funkcji wymiernejnast
,
epuj
,
acych trzech
porzypadkach:
p jest liczb
,
a całkowit
,
a (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
n
jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= t,
m + 1
n
+ p jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= x
n
t
r
,
gdzie r jest mianownikiem p.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 176
Całka postaci
R x
m
· (a + bx
n
)
p
dx gdzie m, n, p ∈ Q
sprowadza si
,
e do całki z funkcji wymiernejnast
,
epuj
,
acych trzech
porzypadkach:
p jest liczb
,
a całkowit
,
a (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
n
jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= t,
m + 1
n
+ p jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= x
n
t
r
,
gdzie r jest mianownikiem p.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewn
,
etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
⊕ : A × A −→ A.
DEFINICJA 178
Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy
a) ł
,
acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że działanie wewn
,
etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element
neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewn
,
etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
⊕ : A × A −→ A.
DEFINICJA 178
Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy
a) ł
,
acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że działanie wewn
,
etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element
neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewn
,
etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
⊕ : A × A −→ A.
DEFINICJA 178
Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy
a) ł
,
acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że działanie wewn
,
etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element
neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z działaniem ł
,
acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj
,
acy
warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup
,
a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup
,
e (A, ⊕)
nazywamy grup
,
a przemienn
,
a lub grup
,
a abelow
,
a lub grup
,
a Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A określone s
,
a dwa działania wewn
,
etrzne ⊕, ⊗ to
mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl
,
edem działania ⊕ wtw gdy
∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z działaniem ł
,
acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj
,
acy
warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup
,
a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup
,
e (A, ⊕)
nazywamy grup
,
a przemienn
,
a lub grup
,
a abelow
,
a lub grup
,
a Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A określone s
,
a dwa działania wewn
,
etrzne ⊕, ⊗ to
mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl
,
edem działania ⊕ wtw gdy
∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z działaniem ł
,
acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj
,
acy
warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup
,
a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup
,
e (A, ⊕)
nazywamy grup
,
a przemienn
,
a lub grup
,
a abelow
,
a lub grup
,
a Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A określone s
,
a dwa działania wewn
,
etrzne ⊕, ⊗ to
mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl
,
edem działania ⊕ wtw gdy
∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 183
Jeżeli w zbiorze A określone s
,
a dwa działania wewn
,
etrzne ⊕, ⊗ takie, że
spełnione s
,
a warunki
1) (A, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a z elementem neutralnym e
0
,
2) (A \ {e
0
}, ⊗) jest grup
,
a przemienn
,
a z elementem neutralnym e
1
6= e
0
,
3) działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl
,
edem działania ⊕
to (A, ⊕, ⊗) nazywamy ciałem.
ELEMENTY ALGEBRY
TWIERDZENIE 184
W zbiorze R
2
= R × R określamy dwa działania ⊕, ⊗ ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
wzorami
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⊗ (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaj
,
a zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb
rzeczywistych.
R
2
z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami
neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla ⊕ i ⊗.
ELEMENTY ALGEBRY
TWIERDZENIE 184
W zbiorze R
2
= R × R określamy dwa działania ⊕, ⊗ ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
wzorami
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⊗ (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaj
,
a zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb
rzeczywistych.
R
2
z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami
neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla ⊕ i ⊗.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)} oraz
(a, b) ⊕ (c, d) = (0, 0)
Mamy (a · c − b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a st
,
ad
(
ac − bd = 0
bc + ad = 0
Rozwi
,
azujemy powyższy układ traktuj
,
ac c i d jako niewiadome.
W = a
2
+ b
2
, W
c
= 0, W
d
= 0.
Ponieważ (a, b) 6= (0, 0) wi
,
ec W 6= 0 zatem układ ma dokładnie jedno
rozwi
,
azanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi
wewn
,
etrzności ⊗ w zbiorze R
2
\ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)} oraz
(a, b) ⊕ (c, d) = (0, 0)
Mamy (a · c − b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a st
,
ad
(
ac − bd = 0
bc + ad = 0
Rozwi
,
azujemy powyższy układ traktuj
,
ac c i d jako niewiadome.
W = a
2
+ b
2
, W
c
= 0, W
d
= 0.
Ponieważ (a, b) 6= (0, 0) wi
,
ec W 6= 0 zatem układ ma dokładnie jedno
rozwi
,
azanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi
wewn
,
etrzności ⊗ w zbiorze R
2
\ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊗ (c, d)) ⊗ (p, q) = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊗ (p, q)).
L = ((a, b) ⊗ (c, d)) ⊗ (p, q) = (ac − bd, ad + bc) ⊗ (p, q)
= ((ac − bd)p − (ad + bc)q, (ac − bd)q + (ad + bc)p)
= (acp − bdp − adq − bcq, acq − bdq + adp + bcp)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊗ (p, q)) = (a, b) ⊗ (cp − dq, cq + dp)
= (a(cp − dq) − b(cq + dp), a(cq + dp) + b(cp − dq))
= (acp − adq − bcq − bdp, acq + adp + bcp − bdq)) =
(acp − bdp − adq − bcq, acq − bdq + adp + bcp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊗ (1, 0) = (a, b)
oraz
(1, 0) ⊗ (a, b) = (a, b).
Zatem (1, 0) jest elementem neutralnym dla ⊗.
Element przeciwny. ∀(a, b) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) + (
a
a
2
+ b
2
,
−b
a
2
+ b
2
) = (
a
2
+ b
2
a
2
+ b
2
, 0) = (1, 0).
Podobnie
(
a
a
2
+ b
2
,
−b
a
2
+ b
2
) + (a, b) = (
a
2
+ b
2
a
2
+ b
2
, 0) = (1, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
\ {(0, 0)} ma element odwrotny
postaci (
a
a
2
+ b
2
,
−b
a
2
+ b
2
) ∈ R
2
\ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, bc + ad) =
∗
(ca − db, cb + da) = (c, d) ⊗ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pozostaje wykazać rozdzielność ⊗ wzgl
,
edem ⊕ czyli, że
∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
(a, b) ⊗ ((c, d) ⊕ (p, q)) = ((a, b) ⊗ (c, d)) ⊕ ((a, b) ⊗ (p, q)).
L = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊗ (c + p, d + q)
= (a(c + p) − b(d + q), a(d + q) + b(c + p)) =
(ac + ap − bd − bq, ad + aq + bc + bp)
((a, b) ⊗ (c, d)) ⊕ ((a, b) ⊗ (p, q))
= (ac−bd, ad+bc)⊕((ap−bq, aq+bp) = (ac+ap−bd−bq, ad+aq+bc+bp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P. Dowód Twierdzenia jest wi
,
ec zakończony.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) + ·(y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistyc na pierwszych elementach pary
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1). Oznaczając Liczbę (0, 1)
przez i i identyfikując liczby postaci (x, 0) zliczbą rzeczywistą x
otrzymamy z = a + bi.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz
,
eść rzeczywist
,
a Re z = a
cz
,
eść urojon
,
a Im z = b
sprz
,
eżenie z = a − bi
moduł |z| =
√
a
2
+ b
2
oraz arg z jako dowol
,
a liczb
,
e rzeczywist
,
a ϕ dla; której sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem
głównym i oznaczamy przez Arg z.
DEFINICJA 187
Dowoln
,
a liczb
,
e zespolon
,
a z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postaci
,
a trygonometryczn
,
a liczby zespolonej
z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
TWIERDZENIE 189
Dziel
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnosz
,
ac liczb
,
e zespolon
,
a w postaci trygonometrycznej do pot
,
egi n
podnosimy moduł do pot
,
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
TWIERDZENIE 189
Dziel
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnosz
,
ac liczb
,
e zespolon
,
a w postaci trygonometrycznej do pot
,
egi n
podnosimy moduł do pot
,
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
TWIERDZENIE 189
Dziel
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnosz
,
ac liczb
,
e zespolon
,
a w postaci trygonometrycznej do pot
,
egi n
podnosimy moduł do pot
,
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
TWIERDZENIE 189
Dziel
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnosz
,
ac liczb
,
e zespolon
,
a w postaci trygonometrycznej do pot
,
egi n
podnosimy moduł do pot
,
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
|z|(cosϕ + i sin ϕ), s
,
a postaci ω
k
=
n
p|z|(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
),
gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
z
1
± z
2
= z
1
± z
2
z
1
· z
2
= z
1
· z
2
i jeśli z
2
6= 0 to
z
1
z
2
=
z
1
z
2
.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
|z|(cosϕ + i sin ϕ), s
,
a postaci ω
k
=
n
p|z|(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
),
gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
z
1
± z
2
= z
1
± z
2
z
1
· z
2
= z
1
· z
2
i jeśli z
2
6= 0 to
z
1
z
2
=
z
1
z
2
.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) =
2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) =
32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).