Ćwiczenia do wykładu Synteza i właściwości nanostruktur 

 

Zestaw 3 

 

Zadanie 1 – gęstość stanów w nanostrukturach 

W celu opisu spektrum energetycznego elektronów w nanostrukturach wprowadza się funkcję zwaną 
gęstością  stanów  ρ(E),  która  pozwala  określić  liczbę  stanów  dN(E)  w  małym  przedziale  energii  dE 
wokół energii o wartości E: 

dN(E) = ρ(E)dE. 

W ogólności gęstość stanów jest dana przez następujące wyrażenie: 

                

 

 

 

, 

gdzie  µ  oznacza  zestaw  liczb  kwantowych  potrzebnych  do  określenia  stanu  o  energii  E

µ

,  a  δ(x) 

oznacza funkcję delta Diraca. 
Zastosuj relację dyspersyjne użyte w zadaniu nr 2 z poprzedniego zestawu oraz powyższą definicję do 
wyliczenia  gęstości  stanów  struktury  3D  (kryształ),  2D  (studnia  kwantowa)  i  1D  (kwantowy  drut). 
Narysuj schematyczne wykresy ρ(E) dla każdej z tych struktur. 
 

Wskazówka 1: 
Funkcja delta Diraca ma następujące właściwości: 

                    

            

  

oraz 

 

      

  

  

   . 

Całkowana z funkcją f(x) na przedziale od a do b da w wyniku: 

         

 

       

 

 

     

 

  

jeśli           . 
 
Wskazówka 2: 
Przy ustalaniu µ przyjąć założenie, że energia nie zależy od spinu. Następnie skorzystać z zamiany sumowania 
na całkowanie, według przepisu ze wskazówki nr 2 do zadania nr 2 z zestawu nr 2. 
 

 
 
Zadanie 2 – powierzchnia i wnętrze kryształu 

W  skali  makro  atomy  z  wnętrza  kryształu  określają  jego  właściwości,  gdyż  stanowią  większość 
atomów tworzących dany materiał. W sytuacji, gdy rozpatrujemy obiekt, którego rozmiary są rzędu 
nanometrów,  stosunek  liczby  atomów  powierzchniowych  do  liczby  atomów  z  wnętrza  kryształu 
F rośnie.  Tym  samym  istotny  wpływ  na  właściwości  danego  obiektu  zaczynają  mieć  właśnie  atomy 
powierzchniowe.  Proszę  wyznaczyć  zależność  stosunku  liczby  atomów  powierzchniowych  do  liczby 
atomów  z  wnętrza  w  funkcji  całkowitej  liczby  atomów  N,  F(N),  dla  materiału  o  prostej  strukturze 
kubicznej.  Proszę  przyjąć,  że  obiekt  jest  sześcianem  o  boku  a  zawierającym  n  atomów,  oczywiście 
N = n

3

. Proszę narysować wykres F(N) dla obiektów posiadających od 2 do 100 atomów na krawędzi. 

 
 

Zadanie 3 - nanourządzenie 

Mamy  urządzenie  wykonane  z  kryształu  GaAs  o  wymiarach  L

X

,  L

Y

  i  L

Z

,  gdzie  wymiar  L

X

  oznacza 

odległość pomiędzy elektrodami i przepływ prądu następuje tylko w tym kierunku. Masa efektywna 
elektronów  w  GaAs  wynosi  m*  =  0.067m

e

  (m

e

  oznacza  masę  swobodnego  elektronu),  a  mobilność 

w temperaturze T = 77K przyjmuje wartość μ = 10

5

cm

2

V

−1

s

−1

. Oblicz 

• długość fali de Broglie elektronów, 

• średni czas między elastycznymi zderzeniami elektronów τ

e

, 

• termiczną szybkość elektronów v

T

 , 

• średnią drogę swobodną l

e

, 

• współczynnik dyfuzji (D = v

T

2

τ

e

/3 dla struktury 3D). 

Następnie  proszę  określić  sposób  opisu  zjawisk  transportu  elektronów  dla  urządzenia  wykonanego 
z tego materiału o rozmiarach L

X

 = 0.05 μm, 0.5 μm, i 5 μm, posługując się klasyfikacja przedstawioną 

w Tabeli 1. 
 

Warunek 

Zakres 

 

 

    

kwantowy 

 

 

   

 

 

mezoskopowy 

 

 

   

 

 i  

 

   

 

 

klasyczny transport balistyczny 

 

 

   

 

 i  

 

   

 

 

klasyczny transport kwazibalistyczny 

 

 

   

 

 

klasyczny transport dyfuzyjny 

Tabela 1. Klasyfikacja sposobów opisu zjawisk transportu nośników w zależności od rozmiarów urządzenia L

x

 , λ 

- długość fali de Broglie elektronów, L

T

 - długość dyfuzji termicznej, l

e

 - średnia droga swobodna. 

 

Wskazówka: 
Elektrony poruszając się w krysztale podlegają elastycznym i nieelastycznym zderzeniom. Zderzenia elastyczne 
nie  niszczą  koherencji  ruchu  elektronów.  Średni  czas  między  zderzeniami  elastycznymi  τ

e

  wyznacza  średnią 

drogę swobodną między zderzeniami l

e

 = v

T

 τ

e

, gdzie v

T

 oznacza termiczna szybkość elektronów i jest związany 

z mobilnością elektronów następującą relacją: 

μ = e∙τ

e

/m*. 

Zderzenia  nieelastyczne  natomiast  niszczą  koherencje  ruchu  elektronów.  Odległość  pokonana  przez  elektron 
pomiędzy zderzeniami nieelastycznymi L

E

, zwykle jest znacznie większa od l

e

 (to samo dotyczy średniego czasu 

między  zderzeniami  nieelastycznymi  τ

E

  i  elastycznymi  τ

e

).  W  tej  sytuacji  mamy  do  czynienia  z  dyfuzja 

elektronów, a odległość przebyta pomiędzy zderzeniami nieelastycznymi wyznaczona jest następująco: 

 

 

        

 

 

 

  

 

   

 

  

gdzie D = v

T

2

τ

e

/3 to współczynnik dyfuzji. 

Innym  procesem  prowadzącym  do  utraty  koherencji  jest  niezerowa  temperatura  gazu  elektronów,  która 
wyznacza kolejną skalę czasową,  

 

 

 

  

. Jeśli tylko mamy do czynienia z sytuacją, że τ

E

 > τ

T

 > τ

e

 (zwykle ma to 

miejsce, gdy τ

E

 >> τ

e

) to po upływie czasu τ

T

 na dystansach 

 

 

        

 

 

spójność  elektronów  jest  utracona.  Najmniejsza  z  wartości  L

E

  i  L

T

  ,  wyznacza  skalę  przestrzenną  związaną 

z utratą koherencji kwantowomechanicznej: 

l

φ

 ≈ min{L

E

,L

T

}. 

Długość  koherencji  l

φ

  wyznacza  granicę,  poniżej  której  transport  elektronów  ma  kwantowomechaniczny 

charakter.  Zwykle  L

E

  jest  tak  duże,  że  można  przyjąć  l

φ

  =  L

T

  (tak  tez  uczyniono  w  klasyfikacji  przedstawionej 

w Tabeli 1). Powyższe skale wielkości pozwalają na klasyfikację rodzaju transportu z jakim mamy do czynienia 
w urządzeniach elektronicznych różnej wielkości. 

 
 

Szymon Godlewski