1
1
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI 1
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI 1
-
-
ZMIENNEJ
ZMIENNEJ
Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x)
Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x)
(określonej
w
pewnym
przedziale
skończonym
lub
(określonej
w
pewnym
przedziale
skończonym
lub
nieskończonym), jeżeli w każdym punkcie tego przedziału
nieskończonym), jeżeli w każdym punkcie tego przedziału
spełniona jest równość
spełniona jest równość
( )
dF
f x
dx
=
Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w nim funkcję
Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w nim funkcję
pierwotną, o takiej funkcji mówimy że jest całkowalna w sensie
pierwotną, o takiej funkcji mówimy że jest całkowalna w sensie
Newtona na tym przedziale
Newtona na tym przedziale
Tw
Tw
.
.
Def
Def
.
.
Dwie funkcje F
Dwie funkcje F
1
1
(x) i F
(x) i F
2
2
(x) są wtedy i tylko wtedy funkcjami
(x) są wtedy i tylko wtedy funkcjami
pierwotnymi tej samej funkcji f(x), gdy różnią się między sobą w
pierwotnymi tej samej funkcji f(x), gdy różnią się między sobą w
rozważanym przedziale X o stałą wartość C
rozważanym przedziale X o stałą wartość C
Tw
Tw
.
.
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
F
F
1
1
(x)
(x)
F
F
2
2
(x)
(x)
x a
dF
tg
dx
α
=
=
a
a
X
X
1
2
(
)
)
(
F
F
C
x
x
=
+
2
2
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w
rozważanym przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną
rozważanym przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną
funkcji f(x), i oznaczamy symbolem
funkcji f(x), i oznaczamy symbolem
( )
f x dx
∫
Def
Def
.
.
Z
Z
tw
tw
. o funkcjach pierwotnych wynika że:
. o funkcjach pierwotnych wynika że:
a stała C nosi nazwę stałej całkowania
a stała C nosi nazwę stałej całkowania
( )
( )
f x dx
F x
C
=
+
∫
Znajdowanie funkcji pierwotnych
Znajdowanie funkcji pierwotnych
–
–
czyli całek
czyli całek
nieoznaczonych
nieoznaczonych
–
–
nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest
nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest
działaniem odwrotnym do różniczkowania, tzn.
działaniem odwrotnym do różniczkowania, tzn.
( )
( )
d
f x dx
f x
dx
=
∫
Przykład 1.1
Przykład 1.1
Zbadać , czy funkcja 2x
Zbadać , czy funkcja 2x
3
3
+4
+4
jest funkcją pierwotną funkcji 6x
jest funkcją pierwotną funkcji 6x
2
2
(
)
(
)
3
3
2
2
2
4
2
2
2 3
6
d
d
x
x
x
x
dx
dx
+
=
+
= ⋅ ⋅
=
Funkcja 2x
Funkcja 2x
3
3
+4 JEST funkcją pierwotną funkcji 6x
+4 JEST funkcją pierwotną funkcji 6x
2
2
Zadanie 1.1
Zadanie 1.1
Zbadać , czy funkcja 2cos(x)+4
Zbadać , czy funkcja 2cos(x)+4
jest funkcją pierwotną funkcji
jest funkcją pierwotną funkcji
2sin(x)
2sin(x)
Zadanie 1.2
Zadanie 1.2
Zbadać , czy funkcja 2sin(x)+4
Zbadać , czy funkcja 2sin(x)+4
jest funkcją pierwotną funkcji
jest funkcją pierwotną funkcji
2cos(x)
2cos(x)
3
3
adx
ax
C
=
+
∫
1
1
;
1
1
n
n
x dx
x
C
n
n
+
=
+
≠ −
+
∫
1
1
ln
x dx
dx
x
C
x
−
=
=
+
∫
∫
;
0,
1
ln( )
x
x
a
a dx
C
a
a
a
=
+
>
≠
∫
;
2.718...
x
x
e dx
e
C
e
=
+
=
∫
sin( )
cos( )
x dx
x
C
= −
+
∫
cos( )
sin( )
x dx
x
C
=
+
∫
2
1
cot( )
sin ( )
dx
x
C
x
= −
+
∫
2
1
( )
cos ( )
dx
tg x
C
x
=
+
∫
ln( )
ln( )
x dx
x
x
x
C
=
− +
∫
2
1
arcsin( )
1
dx
x
C
x
=
+
−
∫
2
1
arc
( )
1
dx
tg x
C
x
=
+
+
∫
sinh( )
cosh( )
x dx
x
C
=
+
∫
cosh( )
sinh( )
x dx
x
C
=
+
∫
2
1
coth( )
sinh ( )
dx
x
C
x
= −
+
∫
2
1
( )
cosh ( )
dx
tgh x
C
x
= −
+
∫
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji
Jeżeli funkcje f(x) oraz h(x) są całkowalne w sensie Newtona w
Jeżeli funkcje f(x) oraz h(x) są całkowalne w sensie Newtona w
pewnym przedziale, to funkcje
pewnym przedziale, to funkcje
f(x)+h(x)
f(x)+h(x)
oraz
oraz
a*f(x)
a*f(x)
(a
(a
–
–
stała)
stała)
Są także całkowalne w sensie Newtona w tym przedziale, oraz
Są także całkowalne w sensie Newtona w tym przedziale, oraz
Tw
Tw
[
]
[
]
[
]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
h x dx
f x dx
h x dx
af x dx
a f x dx
+
=
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
Przykład 1.2
Przykład 1.2
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji : 2x+5(2
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji : 2x+5(2
x
x
)
)
( )
( )
( )
2
2
1
2
5
2
5 2
2
5 2
2
5
2
2
5
2
2
ln 2
ln 2
x
x
x
x
x
x
dx
xdx
dx
xdx
dx
x
x
+
=
+
=
+
=
+
=
+
∫
∫
∫
∫
∫
4
4
Zadanie 1.3
Zadanie 1.3
Zadanie 1.4
Zadanie 1.4
Zadanie 1.5
Zadanie 1.5
Zadanie 1.6
Zadanie 1.6
Zadanie 1.7
Zadanie 1.7
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
3
5
x
2 sin( ) 3cos( )
x
x
+
2
1
3 4 (2 )
x
−
ln(5 )
x
4x x x
Techniki całkowania
Techniki całkowania
Całkowanie przez podstawienie.
Całkowanie przez podstawienie.
Cel: sprowadzenie zagadnienia wyjściowego wyznaczenia całki
Cel: sprowadzenie zagadnienia wyjściowego wyznaczenia całki
nieoznaczonej do równoważnego zagadnienia , o znanej
nieoznaczonej do równoważnego zagadnienia , o znanej
całce nieoznaczonej
całce nieoznaczonej
Jeżeli f(x)=g[h(x)]*h’(x), funkcja t=h(x) ma ciągłą pochodną w
Jeżeli f(x)=g[h(x)]*h’(x), funkcja t=h(x) ma ciągłą pochodną w
przedziale (a,b), gdzie t
przedziale (a,b), gdzie t
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
(A,B) gdy
(A,B) gdy
x
x
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
(a,b) , a funkcja g(t) jest
(a,b) , a funkcja g(t) jest
ci
ci
ą
ą
g
g
ł
ł
a w (A,B) to zachodzi
a w (A,B) to zachodzi
[
]
( )
( )
( )
'( )
f x dx
g h x
h x dx
g t dt
=
=
∫
∫
∫
Tw
Tw
.
.
5
5
Przykład 1.3
Przykład 1.3
1
1
1
1
cos(6 )
cos( )
cos( )
sin
sin 6
6
6
( )
6
1
'( )
6
6
6
6
x dx
t
dt
t dt
t
C
t
h x
x
dt
h x dx
dx
dx
C
d
x
t
=
=
=
=
+
= =
=
=
=
=
→
=
+
∫
∫
∫
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji cos(6x)
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji cos(6x)
Przykład 1.4
Przykład 1.4
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
2
1
4
x
+
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
4
4
4 1
1
4
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
arctg( )
arctg
4
4
4
4
4
2
1
(
1
1
)
2
1
'( )
2
2
2
dx
dx
dx
x
x
x
x
dx
dt
dt
t
C
C
x
t
h x
dt
h x dx
dx
dx
d
t
x
t
t
=
=
=
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
+
= =
+
+
+
+
=
→
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Przykład 1.5
Przykład 1.5
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
3
2
x
x e
−
3
3
2
3
2
2
2
2
1
1
1
3
3
3
( )
'(
1
3
1
3
)
3
x
t
t
t
x
t
h x
x
dt
h x dx
x d
x e
dx
x e
e dt
e
d
x
C
t
x
d
x
e
x
C
dt
−
−
−
= =
=
= −
+
= =
−
−
=
=
= −
= −
→
−
+
=
∫
∫
∫
Przykład 1.6
Przykład 1.6
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
6
(2
3)
x +
6
6
6
7
7
1
1 1
1
(2
3)
(2
3)
2
2 6 1
14
( )
2
3
'(
2
)
2
2
1
1
t
h
x
dx
t
t dt
t
C
x
C
dt
dx
d
x
x
dt
h x x
x
t
d
d
=
=
+
+
= =
=
=
+
= =
+
=
→
+
+
=
=
∫
∫
∫
6
6
Zadanie 1.8
Zadanie 1.8
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
ln
1 2 ln
x
x
x
+
Podpowiedź: zastosuj dwukrotnie podstawienie, najpierw by
Podpowiedź: zastosuj dwukrotnie podstawienie, najpierw by
pozbyć się
pozbyć się
ln
ln
(x) a następnie by pozbyć się pierwiastka.
(x) a następnie by pozbyć się pierwiastka.
ln
1 2 ln
1 2
1 2
l
1
1
n
d
x
t
t
dx
dt
x
x
t
t
x
x
dt
dx
x
t
x
=
=
=
+
+
=
=
+
∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
2
,
1/ 2
1
2
/ 2
2
3
3
1
( )
1 2
1
2
1
'( )
1 2
1 2
1
1
1 1
(
1)
(
1)
2
2
2
1 2
1 2
3
1 2
1 2
2
1
1
1 2
1 2
6
2
1 2
2
s
h t
t
t
s
d
t
t
dt
dt
s
s
d
s
h t dt
s
s
s
C
t
t
t
dt
t
dt
dt
t
t
C
t
t
dt
t
t
t
d
−
=
=
=
−
=
−
=
−
+
+
+
=
=
+
−
+
+
+
=
=
+
→
=
−
=
=
+
=
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
(
)
3
3
1
1
1
1
1 2
1 2
1 2 ln
1 2 ln
6
2
6
2
1 2
t
dt
t
t
C
x
x
C
t
=
+
−
+
+
= =
+
−
+
+
+
∫
1 podstawienie
1 podstawienie
2
2
podsta
podsta
-
-
wienie
wienie
Całkowanie przez części
Całkowanie przez części
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe
pochodne u’(x) i v’(x) to obowiązuje
pochodne u’(x) i v’(x) to obowiązuje
( ) '( )
( ) ( )
( ) '( )
u x v x dx
u x v x
v x u x dx
=
−
∫
∫
Tw
Tw
.
.
Przykład 1.7
Przykład 1.7
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
x
xe
1
(
1)
( )
'( )
1
'( )
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
xe dx
xe
e dx
xe
e
C
e x
C
u x
x
u x
v x
e
v x
e
=
=
−
=
−
+
=
− +
=
→
=
=
→
=
∫
∫
7
7
Przykład 1.8
Przykład 1.8
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
2
sin
x
x
2
2
2
sin
cos( )
( )
'( )
2
'( )
sin
(
2 c
)
co
s( )
s( )
o
x
xdx
x
x
u x
x
u x
x
v x
x
v x
x
x dx
x
=
= −
+
=
→
=
=
→
= −
∫
∫
[
]
2 cos( )
2
sin( ) c
2
sin( )
1sin( )
( )
'( )
1
'( )
cos( )
( )
sin(
)
)
os(
x
x
x
x
x dx
u x
x
u x
v x
x
v x
x
dx
x
x
x
C
=
+
+
=
−
=
=
→
=
=
→
=
∫
∫
[
]
2
2
2
2
si
sin
cos( )
cos( )
2 sin( )
2 cos( )
n( ) cos( )
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
x
x
x
C
C
=
+
+
−
+
= −
+
+
+
∫
2
2
sin
cos( )
2 sin( )
2 cos( )
x
xdx
x
x
x
x
x
C
= −
+
+
+
∫
Wzory rekurencyjne uzyskane dzięki zastosowaniu
Wzory rekurencyjne uzyskane dzięki zastosowaniu
całkowania przez części
całkowania przez części
(
)
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
;
1, 2,...
1
1
sin ( )
cos( ) sin
( )
sin
( )
;
2, 3,...
1
1
cos ( )
sin( ) cos
( )
cos
( )
;
2, 3,...
ln
ln
ln
;
1, 2,...
sin( )
cos( )
n
x
n
x
n
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x e dx
x e
x
e dx
n
n
x dx
x
x
x dx
n
n
n
n
x dx
x
x
x dx
n
n
n
x dx
x
x
n
x
dx
n
x
x dx
x
x
n
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
= −
+
=
−
=
+
=
=
−
=
= −
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
1
cos( )
;
1, 2,...
cos( )
sin( )
sin( )
;
1, 2,...
n
n
n
n
x
x dx
n
x
x dx
x
x
n x
x dx
n
−
−
=
=
−
=
∫
∫
∫
8
8
Inne użyteczne wzory całkowania
Inne użyteczne wzory całkowania
[
]
[
]
1
2
2
2
( )
'( )
( )
( )
( )
'( )
;
1
1
'( )
ln
( )
( )
'( ) ( )
'( ) ( )
( )
( )
( )
'( ) ( )
'( ) ( )
( )
ln
( ) ( )
( )
'( )
ln
( )
( )
( )
( )
1
( )
d
dx
n
n
f x dx
f x dx
f x
C
f x
f x
f
x dx
C
n
n
f x
dx
f x
C
f x
f x g x
g x f x
f x
dx
C
g x
g
x
f x g x
g x f x
f x
dx
C
f x g x
g x
f
x
dx
f x
f
x
a
f
x
a
f x
d
f x
+
=
=
+
=
+
≠ −
+
=
+
−
=
+
−
=
+
=
+
+
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
( )
dx
x
x
f x
= − +
−
∫
∫
Całkowanie funkcji wymiernych
Całkowanie funkcji wymiernych
Iloraz dwóch wielomianów F
Iloraz dwóch wielomianów F
N
N
(x) i
(x) i
f
f
n
n
(x) nazywamy
(x) nazywamy
funkcją
funkcją
wymierną
wymierną
( określoną na zbiorze punktów, dla których
( określoną na zbiorze punktów, dla których
f
f
n
n
(x)
(x)
≠
≠≠
≠
≠
≠≠
≠
0 )
0 )
( )
( )
( )
N
n
F
x
W x
f x
=
Jeżeli stopień „m” wielomianu
Jeżeli stopień „m” wielomianu
g
g
m
m
(x) jest mniejszy od stopnia „n”
(x) jest mniejszy od stopnia „n”
wielomianu
wielomianu
f
f
n
n
(x) , to funkcje wymierną
(x) , to funkcje wymierną
nazywamy
nazywamy
ułamkiem właściwym
ułamkiem właściwym
( )
( )
;
( )
m
n
g
x
W x
m
n
f
x
=
<
Rozkładem funkcji wymiernej nazywamy operacje wydzielenia
Rozkładem funkcji wymiernej nazywamy operacje wydzielenia
wielomianu F
wielomianu F
N
N
(x) przez wielomian
(x) przez wielomian
f
f
n
n
(x) , w wyniku czego
(x) , w wyniku czego
otrzymujemy
otrzymujemy
część całkowitą
część całkowitą
E
E
k
k
(x) (wspólną) i
(x) (wspólną) i
resztę
resztę
g
g
m
m
(x)
(x)
( )
( )
( )
;
( )
( )
N
m
k
n
n
F
x
g
x
E x
m
n
f
x
f x
=
+
<
9
9
Przykład 1.9
Przykład 1.9
Dokonać rozkładu funkcji wymiernej w(z)
Dokonać rozkładu funkcji wymiernej w(z)
na część całkowitą i ułamek właściwy
na część całkowitą i ułamek właściwy
5
2
9
2
1
( )
3
1
z
z
w z
z
+
+
=
+
(
)
3
5
3
5
2
3
5
3
2
2
3
( )
( )
( )
9
2
1 :
3
1
3
2
1
3
1
( )
9
2
1
3
1
3
3
9
1
1
3
3
3
3
z
z
F z
f z
E z
z
z
z
z
z
z
g z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
+
+
+
=
−
+
+
+ =
+
+
+
−
−
−
=
+
+
+
−
+
Każdy wielomian rzeczywisty może być przedstawiony w postaci
Każdy wielomian rzeczywisty może być przedstawiony w postaci
iloczynu następujących czynników rzeczywistych
iloczynu następujących czynników rzeczywistych
1.
1.
Stałej a
Stałej a
0
0
(czynnik przy najwyższej potędze)
(czynnik przy najwyższej potędze)
2.
2.
Czynników liniowych typu (x
Czynników liniowych typu (x
-
-
a)
a)
3.
3.
Czynników kwadratowych typu (x
Czynników kwadratowych typu (x
2
2
+
+
px
px
+q) , gdzie p
+q) , gdzie p
2
2
-
-
4q<0
4q<0
Każdą funkcję wymierną w postaci ułamka właściwego można
Każdą funkcję wymierną w postaci ułamka właściwego można
przedstawić w postaci sumy:
przedstawić w postaci sumy:
1.
1.
Ułamków prostych 1 rodzaju
Ułamków prostych 1 rodzaju
2.
2.
Ułamków prostych 2 rodzaju
Ułamków prostych 2 rodzaju
gdzie A,B,p,q rzeczywiste, p
gdzie A,B,p,q rzeczywiste, p
2
2
-
-
4q<0 , zaś r,s to liczby naturalne.
4q<0 , zaś r,s to liczby naturalne.
(
)
r
A
x
a
−
2
(
)
s
Ax
B
x
px
q
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
s
s
s
s
r
r
r
r
s
s
M x
K
M
x
K
A
A
A
M x
K
g x
f x
x
a
x
a
x
a
x
px
q
x
px
q
x
px
q
−
−
−
−
−
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
+
+
10
10
Aby scałkować dowolną funkcję wymierną postaci
Aby scałkować dowolną funkcję wymierną postaci
gdzie F(x) oraz f(x) są dowolnymi wielomianami nie mającymi
gdzie F(x) oraz f(x) są dowolnymi wielomianami nie mającymi
wspólnych czynników, należy najpierw wydzielić część
wspólnych czynników, należy najpierw wydzielić część
wspólną E(x), a następnie całkować osobno tę część całkowitą
wspólną E(x), a następnie całkować osobno tę część całkowitą
oraz funkcję wymierną będącą ułamkiem właściwym:
oraz funkcję wymierną będącą ułamkiem właściwym:
Całkowanie ułamka właściwego (stopień wielomianu g(x) licznika
Całkowanie ułamka właściwego (stopień wielomianu g(x) licznika
jest mniejszy od stopnia wielomianu f(x) mianownika),
jest mniejszy od stopnia wielomianu f(x) mianownika),
przebiega dwuetapowo:
przebiega dwuetapowo:
1.
1.
Rozkład ułamka właściwego g(x)/f(x) na ułamki proste
Rozkład ułamka właściwego g(x)/f(x) na ułamki proste
2.
2.
Całkowanie ułamków prostych
Całkowanie ułamków prostych
( )
( )
( )
N
n
F
x
w x
f x
=
( )
( )
( )
( )
( )
F x
g x
dx
E x dx
dx
f x
f x
=
+
∫
∫
∫
Całki ułamków prostych
Całki ułamków prostych
1
(
)
2
(1
)
(
)
ln
1
r
r
A
x
a
C
dla
r
A
r
dx
x
a
A
x
a
C
dla
r
−
−
+
≥
−
=
−
− +
=
∫
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
(1
)
1/ 2
2
4
2
2(1
)
2
2
ln
;dla
1
;dla
2,3,...
1
B Ap
x p
A
r
r
Ap
A
r
r
r
x
px
q
arctg
C
r
Ax
B
dx
dt
x
px
q
B
r
x
px
q
t
−
+
−∆
−∆
−
−
−
−∆
+
+ +
+
=
+
=
+
+
+
−
=
+
+
+
∫
∫
UWAGA:
UWAGA:
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
=p
=p
2
2
-
-
4q
4q
Wyznaczenie całki można dokonać drogą
Wyznaczenie całki można dokonać drogą
zastosowania (r
zastosowania (r
-
-
1)
1)
-
-
krotnie
krotnie
wzoru rekurencyjnego postaci:
wzoru rekurencyjnego postaci:
(
)
2
1
r
dt
t
+
∫
(
)
(
)
2
1
1
2
2
1
2
3
2(
1)
2
2
(
1)
1
1
r
r
r
dt
x
r
dt
r
r
x
t
t
−
−
−
=
+
−
−
+
+
+
∫
∫
11
11
Przykład:
Przykład:
6
5
4
3
2
5
4
3
2
2
5
8
4
1
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
+ +
−
+
−
Wyznacz całkę ogólną funkcji wymiernej
Wyznacz całkę ogólną funkcji wymiernej
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Krok 1. Wydziel wielomian przez wielomian aby uzyskać część całk
Krok 1. Wydziel wielomian przez wielomian aby uzyskać część całk
owitą i
owitą i
ułamek właściwy
ułamek właściwy
(
)
6
5
6
5
4
3
2
5
4
4
3
2
5
4
3
2
5
3
2
3
4
2
5
8
4
1:
4
4
4
4
4
1
4
1
1
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
−
+
+ +
−
+
−
=
−
−
+
−
+
−
−
+
−
+
+ +
+
(
)
6
5
4
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
( )
( )
( )
( )
( )
2
5
8
4
1
1
1
4
4
4
4
F x
g x
E x
f x
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
−
+
−
+
+ +
+
=
− +
−
+
−
−
+
−
Krok 2. Sprowadź mianownik ułamka właściwego do postaci
Krok 2. Sprowadź mianownik ułamka właściwego do postaci
iloczynowej
iloczynowej
zawierającej czynniki liniowe i kwadratowe
zawierającej czynniki liniowe i kwadratowe
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5
4
3
2
4
2
4
2
2
2
4
4
1
4
1
1
4
1
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
− +
−
=
=
−
+
=
−
+
(
)
(
)
(
)
5
4
3
2
2
2
( )
1
( )
1
1
( )
4
4
1
4
E x
x
g x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
=
−
+
+
=
=
−
+
−
−
+
Uzyskaliśmy zatem następujące postaci części całkowitej E(x) ora
Uzyskaliśmy zatem następujące postaci części całkowitej E(x) ora
z
z
ułamka właściwego g(x)/f(x)
ułamka właściwego g(x)/f(x)
Krok 3. Oblicz całkę nieoznaczoną części całkowitej
Krok 3. Oblicz całkę nieoznaczoną części całkowitej
(
)
2
1
1
1
2
( )
1
I
E x dx
x
dx
x
x C
=
=
−
=
− +
∫
∫
12
12
Krok 4. Przedstaw ułamek właściwy g(x)/f(x) jako sumę ułamków pr
Krok 4. Przedstaw ułamek właściwy g(x)/f(x) jako sumę ułamków pr
ostych
ostych
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
( )
4
4
1
( )
g
A
B
x
x
x
x
f x
x
x
Dx
E
x
x
C
x
+
=
=
+
−
+
+
+
+
+
−
Aby wyznaczyć wartości współczynników A,B,C,D i E , sprowadzamy
Aby wyznaczyć wartości współczynników A,B,C,D i E , sprowadzamy
sumę
sumę
ułamków prostych do wspólnego mianownika.
ułamków prostych do wspólnego mianownika.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
3
3
2
4
2
4
3
3
2
2
3
4
1
1
4
1
4
(
1)
4
(
1)
4
4
(
1)
1
4
4
4
4
4
4
4
4(
)
(4
4
)
(
)
(
)
x
A
B
C
Dx
E
x
x
x
x
x
x
x
Ax x
x
B x
x
Cx
x
Dx
E x x
x
x
x
Ax
Ax
Ax
Ax
Bx
Bx
Bx
B
Cx
Cx
Dx
x D
x E
x E
B
B
A x
A
C
E
B x
B
E
A
D x
A C
D x
+
+
=
+
+
+
=
−
+
−
+
−
+
+
−
+
+
+
+
+
−
=
=
−
+
=
+
−
−
+
+
−
− + +
+
+
−
+
−
= −
+
−
+
+
− −
+
+ − −
+
+ +
Ponieważ równość obu stron musi zachodzić dla każdej wartości
Ponieważ równość obu stron musi zachodzić dla każdej wartości
argumentu x, wystarczy tożsamościowo porównać liczniki, by uzysk
argumentu x, wystarczy tożsamościowo porównać liczniki, by uzysk
ać
ać
zestaw warunków, które muszą spełniać stałe:
zestaw warunków, które muszą spełniać stałe:
2
3
4
1
4
4(
)
(4
4
)
(
)
(
)
x
B
B
A x
A
C
E
B x
B
E
A
D x
A C
D x
+ ≡ −
+
−
+
+
− −
+
+ − −
+
+ +
2
3
4
0
2
3
4
1
4
4(
)
(4
4
)
(
)
(
)
:
4
1
: 4(
)
1
: (4
4
)
0
: (
)
0
: (
)
0
x
B
B
A x
A
C
E
B x
B
E
A
D x
A C
D x
x
B
x
B
A
x
A
C
E
B
x
B
E
A
D
x
A C
D
+ ≡ −
+
−
+
+
− −
+
+ − −
+
+ +
−
=
−
=
+
− −
=
+ − −
=
+ +
=
Uzyskany układ 5 równań liniowych z pięcioma niewiadomymi A,B,C,
Uzyskany układ 5 równań liniowych z pięcioma niewiadomymi A,B,C,
D,E
D,E
należy rozwiązać, by uzyskać:
należy rozwiązać, by uzyskać:
3
1
1
2
1
2
4
5
10
20
;
;
;
;
A
B
C
D
E
= −
= −
=
=
= −
Ostatecznie, ułamek właściwy g(x)/f(x) przyjmie postać:
Ostatecznie, ułamek właściwy g(x)/f(x) przyjmie postać:
(
)
(
)
(
)
3
1
10
20
2
2
2
2
1
1
1
2
2
5
1
4
4
1
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
= −
−
+
+
−
+
−
+
13
13
Krok 5. Obliczenie całki ułamka właściwego g(x)/f(x) rozłożonego
Krok 5. Obliczenie całki ułamka właściwego g(x)/f(x) rozłożonego
na ułamki
na ułamki
proste
proste
(
)
(
)
(
)
(
)
3
1
10
20
2
2
2
2
2
3
1
10
20
2
2
1
1
1
2
2
5
1
4
4
1
4
1
1
2
2
5
1
4
4
x
x
I
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
−
+
=
=
−
−
+
+
=
−
+
−
+
−
= −
−
+
+
−
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
1
2
1
4
2
2
5
3
1
2
10
20
3
1
1
20
40
2
2
1
ln
2
1
1
4
2
ln
1
5
1
ln(
4)
(
)
4
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
arctg
x
x
=
= −
=
−
−
−
=
+
−
+
∫
∫
∫
∫
Krok 6. Zebranie otrzymanych wyników etapów obliczeń w formie ca
Krok 6. Zebranie otrzymanych wyników etapów obliczeń w formie ca
łki
łki
nieoznaczonej zadanej funkcji wymiernej
nieoznaczonej zadanej funkcji wymiernej
6
5
4
3
2
5
4
3
2
2
2
3
1
1
1
2
1
1
2
2
4
5
20
40
2
2
5
8
4
1
4
4
1
ln
ln
1
ln(
4)
(
)
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
arctg
x
C
x
−
+
−
+
+ +
=
−
+
−
=
− +
−
+
−
+
−
+
∫
Zadanie 1.9
Zadanie 1.9
Wyznacz całkę ogólną funkcji wymiernej
Wyznacz całkę ogólną funkcji wymiernej
6
5
4
3
2
5
4
3
2
2
2
5
8
4
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
+ +
−
+
−
+ −
14
14
6
5
4
3
2
5
4
3
2
2
2
2
2
2
5
8
4
1
1
1 21 5
1
9 5
2
4(
1)
4
2
2
2
1
1
(
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
+ +
+
− +
=
+
−
−
−
−
+
−
+ −
+
+
(
)
6
5
4
3
2
5
4
3
2
2
2
5
1
1
4
5
8
2
2
2
5
8
4
1
2
2
1
18
10
ln
1
ln
1
3
( )
1
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
arctg x
C
x
−
+
−
+
+ +
=
−
+
−
+ −
−
−
=
+
− −
+ −
−
+
+
∫
Rozwiązanie zadania 1.9
Rozwiązanie zadania 1.9
Całki funkcji niewymiernych
Całki funkcji niewymiernych
Funkcją algebraiczną
Funkcją algebraiczną
nazywam,y taką funkcję y=f(x) która
nazywam,y taką funkcję y=f(x) która
spełnia równanie postaci
spełnia równanie postaci
a
a
n
n
(x)
(x)
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
y
y
n
n
+
+
a
a
n
n
-
-
1
1
(x)
(x)
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
y
y
n
n
-
-
1
1
+ . . . + a
+ . . . + a
1
1
(x)
(x)
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
y
y
1
1
+ a
+ a
0
0
(x) = 0
(x) = 0
Gdzie a
Gdzie a
0
0
(x),...,
(x),...,
a
a
n
n
(x) są wielomianami (
(x) są wielomianami (
a
a
n
n
(x)
(x)
≠
≠≠
≠
≠
≠≠
≠
0 ), n
0 ), n
–
–
l. całkowita.
l. całkowita.
Def
Def
.
.
Funkcje nie będące funkcjami algebraicznymi, noszą nazwę
Funkcje nie będące funkcjami algebraicznymi, noszą nazwę
funkcji przestępnych
funkcji przestępnych
, należą do nich np. funkcje:
, należą do nich np. funkcje:
trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne ...
trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne ...
Funkcje
algebraiczne
dzielimy
na
Funkcje
algebraiczne
dzielimy
na
wymierne
wymierne
(będące
(będące
wielomianami
lub
ilorazami
wielomianów)
i
wielomianami
lub
ilorazami
wielomianów)
i
funkcje
funkcje
niewymierne
niewymierne
, jakimi są np. poniższe funkcje:
, jakimi są np. poniższe funkcje:
Def
Def
.
.
(
)
3
2
2
2
1
1
2
1
;
2
1
x
x
x
−
+
−
+
15
15
(
)
(
)
(
)
3
2
2
1
0
3
2
1
0
2
2
3
2
1
0
3
2
3
2
3
2
1
0
2
3
3
( )
2
1
( )
( )
0
3
3
( )
( )
?
?
0
2
1
( )
2
1
;
( )
3
3
3
3
( )
( )
3
3
3
3
0
2
1
x
x
y
f x
x
x
a x y
a x
x
x
a x
a x
x
x
a x
x
x
a x
x
x
x
x
a x
a x
x
x
x
x
x
x
−
=
=
−
+
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
= −
−
−
+
=
−
−
−
=
−
+
Przykład
Przykład
Sprawdź, czy funkcja jest funkcją algebraic
Sprawdź, czy funkcja jest funkcją algebraic
zną.
zną.
3
2
2
3
3
2
1
x
x
x
x
−
−
+
Przykład
Przykład
Sprawdź, czy funkcja jest funkcją algeb
Sprawdź, czy funkcja jest funkcją algeb
raiczną.
raiczną.
2
3
2
1
x
x
−
+
(
)
(
)
2
2
2
2
2
( )
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
0
y
f x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
=
=
−
+
⋅
−
−
+
=
−
+ −
−
+
=
Algorytm
wyznaczania
całek
funkcji
niewymiernych
Algorytm
wyznaczania
całek
funkcji
niewymiernych
sprowadza się do zastosowania odpowiedniego podstawienia,
sprowadza się do zastosowania odpowiedniego podstawienia,
transformującego funkcję niewymierną w funkcję wymierną,
transformującego funkcję niewymierną w funkcję wymierną,
dla której możemy zastosować technikę całkowania przez
dla której możemy zastosować technikę całkowania przez
rozkład na ułamki proste.
rozkład na ułamki proste.
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
,
,
1
, 1
1
0 ;
0
2
,
2
0
4
0
n
n
ax
b
ax
b
N x
dx
z
cx
d
cx
d
N x
x
a dx
z
x
x
a
x
N x
x
dx
z
x
b
z
x a
gdy
a
a
a
b
N x
ax
bx
c dx
z
x
gdy
a
a
oraz
b
ac
+
+
=
+
+
+
= +
+
+
−
=
−
=
+
>
∆ ≠
+
+
=
+
<
∆
∆ =
−
>
∫
∫
∫
∫
całka
całka
podstawienie
podstawienie
uwagi
uwagi
16
16
Przykład
Przykład
Oblicz całkę nieoznaczoną
Oblicz całkę nieoznaczoną
2
1
dz
cz
d
z
a
+ +
+
∫
Podstawienie:
Podstawienie:
2
t
z
z
a
= +
+
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
(
)
2
a
t
t
z
z
a
z
a
t
zt
z
z
a
a
t
z
t
dz
dt
t
−
=
+
=
+
→
−
+
=
+
→
+
→
=
−
→
=
2
2
1
1
(
1)
dz
dz
cz
d
z
a
c
z
d
z
z
a
=
+ +
+
−
+ + +
+
∫
∫
2
2
1
2
2
2
1
2
2
(
)
2
2
2
2
2
3
3
2
3
1
2
2
2
3
1
1
(
1) (
)
2
(
1)
(
1)(
)
2
2
(
1)(
)
2
2
2
(
1)
(
1)
a
t
a
t
a t
dt
t
t
t
a
t
a
t
dz
dt
c
t
d
t
t
c
z
d
z
z
a
a
t
a
t
dt
dt
c
t
t
dt
t
c
t
at
dt
t
a
t
dt
dt
t c
a c
t
↑
↑
+
↑
−
+
=
−
−
+ +
−
+ + +
+
+
+
=
−
−
+
+
−
−
+
+
+
=
+
+ −
−
∫
∫
∫
∫
∫
Rozkładamy na ułamki proste, i wyznaczamy całkę ze względu
Rozkładamy na ułamki proste, i wyznaczamy całkę ze względu
na t, a następnie podstawiamy zwrotnie z
na t, a następnie podstawiamy zwrotnie z
Przekształcamy
Przekształcamy
f. podcałkową
f. podcałkową
Podstawiamy:
Podstawiamy:
(
)
2
1
3
1
3
dz
z
z
− +
+
∫
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
3
.
2
2
t
z
z
t
t
t
z
z
itd
z
dz
dt
t
t
= +
+
−
+
− =
+
=
→
=
(
)
2
2
2
2
2
2
3
2
1
1
3
1
3
2
3
3
1
1
3
1
3
2
2
1
3
2
3
3
2
3
2
dz
dz
z
z
z
z
z
t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
t
t
=
=
− +
+
− + +
+
+
+
=
−
−
−
− +
∫
∫
∫
∫
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
2
2
1
2
1
1
1
2
4
4
3
3
3
2
3
3
2
3
3
3
33
;
3
33
t
t
t
t t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
+
+
+
=
=
−
−
−
−
−
−
=
+
=
−
(
)(
)
(
) (
)
2
1
2
1
2
3
t
A
B
D
t t
t
t
t
t
t
t
t
t
+
=
+
+
−
−
−
−
Przykład
Przykład
Podstawienie
Podstawienie
Przekształcamy funkcję podcałkową:
Przekształcamy funkcję podcałkową:
Rozkładamy na ułamki proste:
Rozkładamy na ułamki proste:
17
17
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
4
4
1
3
1
3
1
1
1
ln
3
ln
3
ln
3
2
2
2
:
3
33
;
3
33
dz
z
z
A
z
z
B
z
z
t
D
z
z
t
C
gdzie
t
t
=
− +
+
+
+ +
+
+ − +
+
+ −
+
=
+
=
−
∫
Obliczenie całki nieoznaczonej
Obliczenie całki nieoznaczonej
dla przypomnienia
dla przypomnienia
–
–
(całki ułamków prostych):
(całki ułamków prostych):
1
(
)
2
(1
)
(
)
ln
1
r
r
A
x
a
C
dla
r
A
r
dx
x
a
A
x
a
C
dla
r
−
−
+
≥
−
=
−
− +
=
∫
(
)(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
ln
ln
ln
2
2
2
t
A
B
D
dt
dt
dt
dt
t t
t
t
t
t
t
t
t
t
A
t
B
t
t
D
t
t
C
+
=
+
+
=
−
−
−
−
=
+
−
+
−
+
∫
∫
∫
∫
Podstawiamy zwrotnie:
Podstawiamy zwrotnie:
Całkujemy:
Całkujemy:
Całki funkcji trygonometrycznych R(
Całki funkcji trygonometrycznych R(
sinx
sinx
,
,
cosx
cosx
)
)
sprowadzalne do całek funkcji wymiernych
sprowadzalne do całek funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych R(u,v) , gdzie u=sin(x), v=cos(x),
Całki funkcji wymiernych R(u,v) , gdzie u=sin(x), v=cos(x),
postaci :
postaci :
(sin , cos )
R
x
x dx
∫
da się sprowadzić do całki z funkcji wymiernej dzięki
da się sprowadzić do całki z funkcji wymiernej dzięki
podstawieniu :
podstawieniu :
tan
2
x
t
=
Uwagi: Sposób wykorzystania podstawienia wymaga omówienia
Uwagi: Sposób wykorzystania podstawienia wymaga omówienia
1 cos
tan
2
sin
x
x
x
−
=
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
co można udowodnić, bowiem
co można udowodnić, bowiem
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 cos
1 cos
2
2 tan
2
sin
sin
sin
2
1
1 tan
1 2 cos
cos
1 cos
1
1
sin
sin
1 cos
sin
1 cos
sin
1 cos
sin
sin
2
2
sin
2 2 cos
1 cos
sin
1 2 cos
cos
x
x
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=
=
=
=
=
+
+
−
+
−
+
+
−
−
−
=
=
=
−
−
+ −
+
18
18
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
1 cos
tan
2
sin
x
x
x
−
=
co można udowodnić, bowiem
co można udowodnić, bowiem
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 cos
1 2 cos
cos
1
1
1 tan
1
sin
sin
cos
1
1 tan
1 2 cos
cos
1 cos
1
1
sin
sin
1 cos
cos
sin
1 2 cos
cos
2 cos
2 cos
2
cos
2 2 cos
2
1 cos
sin
1 2 cos
cos
x
x
x
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
+
−
−
−
−
=
=
=
=
=
+
+
−
+
−
+
+
−
− +
−
−
=
=
=
−
−
+ −
+
Ponadto, w celu wyrażenia różniczki
Ponadto, w celu wyrażenia różniczki
dt
dt
, obustronnie
, obustronnie
różniczkujemy wyrażenie:
różniczkujemy wyrażenie:
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2(1
) 2 (2 )
2 2
4
1
1
2
cos
2
1
1
1
1
1
2
cos
cos
1
2
1
t
t
t
t
t
t
t
xdx
dt
dt
dt
dt
t
t
t
t
t
xdx
x
dt
t
dx
dt
t
+
−
+
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
+
=
+
=
+
(
)
2
2
1
dx
dt
t
=
+
Przykład:
Przykład:
2
sin
3
?
3 cos
sin
x
dx
x
x
+
=
+
∫
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tan
;
1
2
3
sin
3
1
2
1
...
cos
...
1
1
2
1
3 cos
sin
3
2
1
1
sin
1
x
t
dx
dt
t
t
x
t
t
dx
x
dt
t
t
t
t
x
x
t
t
t
x
t
=
=
+
+
+
−
+
=
=
=
+
−
+
+
+
+
+
=
+
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3 1
2
3
1
4
3 1
2
1
2
2
1
2
1
3 1
2
3 1
2
1
3
1
1
1
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
+
+
+
+
+
+
+
=
=
−
+
−
+
−
+
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
1
3
1
1
2
3
16 ;
4
3 1
2
3
2
3
..
..
3
3
3
3 ;
3
t
t
t
t
t
t
t
t
∆ =
∆ =
−
+
= −
+
+
=
= −
−
+
=
= −
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
1
3
4
3 1
2
3
10
3
2
3
3 1
2
1
3
3 1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
+
+
+
+
=
−
−
+
+
−
+
+
Technika podstawienia:
Technika podstawienia:
Przekształcamy wymierną funkcję podcałkową:
Przekształcamy wymierną funkcję podcałkową:
Wyrażamy wielomian kwadratowy w formie czynnikowej:
Wyrażamy wielomian kwadratowy w formie czynnikowej:
Zatem funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym, postaci:
Zatem funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym, postaci:
19
19
(
)(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
2
2
2
2
2
2
1
1
3
3
5
4
1
2
3
3
3
2
3
2
2
2
2
3
3
3
2
2
3
3
0
1
3
3
10
3
1
3
3
3
3 1
1
3
3
3
2
2
3
3
2 3
3
3
3
3
3
3
t
t
A
B
Ct
D
Et
F
t
t
t
t
t
t
t
Rozwinięcie licznika prawej strony względem potęg t
t
A
B C
t
A
B
C
D
t
A
B
D
E
t
A
B
C
E
F
t A
B C
D
E
F
t
A
B
D
F
+
+
+
+
=
+
+
+
+
−
+
−
+
+
+
+ +
+
−
−
+
+
+
−
+
+
−
−
−
+
+
+ − −
− −
+
−
−
−
15
16
1
2
15
3
3
16
2
3
3
2
2
2
3
3
3
4
2
2
1
3
3
2
3
1
2
3
1
1
1
0
0
0
3
0
3
3
3
1
0
0
3
3
2
2
0
3
1
0
0
0
10
3
2 3
3
0
3
1
0
1
1
1
3
1
3
3
3
3
3
0
1
0
1
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
−
−
−
−
×
=
→
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Rozkładamy ułamek właściwy na ułamki proste:
Rozkładamy ułamek właściwy na ułamki proste:
Układ równań liniowych algebraicznych, prowadzi do
Układ równań liniowych algebraicznych, prowadzi do
wyznaczenia stałych A, B, C, D, E, F :
wyznaczenia stałych A, B, C, D, E, F :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
15
1
1
16
15
1
1
2
2
3
16
3
1
3
2
3
3
3
4
2
3
4
4
4
2
2
2
2
ln
3
3 ln
3
3
ln
3
3 ln
3
3
1
ln 1
arctan( )
arctan( )
2
1
1 2
2
1
1 3
3
arctan( )
arctan( )
4
2
4
1
1
1
A
dt
A
t
C
t
C
t
B
dt
B
t
C
t
C
t
Ct
D
dt
C
t
D
t
C
t
C
t
Et
F
Ft
E
t
dt
F
t
C
t
C
t
t
t
=
−
+
=
−
+
−
=
+
+
= −
+
+
+
+
=
+
+
+
= −
+
+
+
−
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
(
)(
)
(
)
4
2
2
2
1
3
15
15
3
3
1
1
2
3
4
16
16
3
4
4
2
3
10
3
3
3 1
1 3
3
3 ln
3
3 ln
3
arctan( )
arctan( ) (
)
4 1
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
t
t
C
C
C
C
t
+
+
=
−
+
+
+
−
−
+
−
+
+
+
+
+
+
+
∫
(
)(
)
(
)
2
4
2
2
2
1
3
15
15
1
5
16
16
3
2
sin
3
2
3
10
3
3 cos
sin
3
3
3 1
1 3
3
3 ln
3
3 ln
3
4 1
x
t
t
dx
dt
x
x
t
t
t
t
t
t
C
t
+
+
+
=
=
+
−
−
+
+
+
−
−
+
+
+
+
∫
∫
(
)
2
1
2
15
15
1
1
1
5
16
2
16
2
3
2
1
2
sin
3
3 cos
sin
3 tan
3
1
3 ln tan
3
3 ln tan
3
4 1
tan
x
dx
x
x
x
x
x
C
x
+
=
+
+
−
−
+
+
+
+
∫
Obliczamy całki ułamków prostych:
Obliczamy całki ułamków prostych:
Całka funkcji wymiernej ze względu na „t” wynosi przeto:
Całka funkcji wymiernej ze względu na „t” wynosi przeto:
Powracamy do pierwotnej zmiennej „x”, by uzyskać wynik:
Powracamy do pierwotnej zmiennej „x”, by uzyskać wynik:
20
20
Zadanie
Zadanie
. Obliczyć całkę nieoznaczoną:
. Obliczyć całkę nieoznaczoną:
1
3sin(2
3)
dx
x +
∫
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
1
2
3
ln tan
6
2
x
C
+
+
UWAGA:
UWAGA:
W szczególnych przypadkach całek funkcji trygonometrycznych
W szczególnych przypadkach całek funkcji trygonometrycznych
gdy funkcja podcałkowa R(
gdy funkcja podcałkowa R(
sinx
sinx
,
,
cosx
cosx
) ma następujące własności,
) ma następujące własności,
korzystniej jest użyć podstawień postaci:
korzystniej jest użyć podstawień postaci:
( , )
(
, )
cos
( , )
( ,
)
sin
( , )
(
,
)
tan
R u v
R
u v
podstawienie
t
x
R u v
R u
v
podstawienie
t
x
R u v
R
u
v
podstawienie
t
x
= − −
→
=
= −
−
→
=
=
− −
→
=
Całki funkcji wymiernych R(u,v) , gdzie u=
Całki funkcji wymiernych R(u,v) , gdzie u=
sinh
sinh
(x), v=
(x), v=
cosh
cosh
(x),
(x),
postaci :
postaci :
(sinh , cosh )
R
x
x dx
∫
da się sprowadzić do całki z funkcji wymiernej dzięki
da się sprowadzić do całki z funkcji wymiernej dzięki
podstawieniu :
podstawieniu :
tanh
2
x
t
=
Uwagi: Sposób wykorzystania podstawienia wymaga omówienia
Uwagi: Sposób wykorzystania podstawienia wymaga omówienia
2
2
sinh
1
t
x
t
=
−
2
2
1
cosh
1
t
x
t
+
=
−
(
)
2
2
1
dx
dt
t
=
−
Zadanie domowe: Udowodnij w/w relacje!
Zadanie domowe: Udowodnij w/w relacje!
Zadanie: Wyznacz całkę nieoznaczoną
Zadanie: Wyznacz całkę nieoznaczoną
Zadanie: Wyznacz całkę nieoznaczoną
Zadanie: Wyznacz całkę nieoznaczoną
sinh
3cosh
2
x
dx
x +
∫
cosh
3cosh
2
x
dx
x +
∫
21
21
Całki następujących postaci funkcji podcałkowej
Całki następujących postaci funkcji podcałkowej
da się wyrazić przez funkcje elementarne
da się wyrazić przez funkcje elementarne
(
)
(
)
sin
;
cos
cx
cx
e
ax
b dx
e
ax
b dx
+
+
∫
∫
(
)
;
( )
ax
R e
dx
R t
jest funkcją wymierną t
−
∫
(
)
(
)
sin
;
cos
;
0,1, 2...
n
cx
n
cx
x e
ax
b dx
x e
ax
b dx n
+
+
=
∫
∫
( )
( )
arctan
;
arcsin
;
0,1, 2,...
n
n
x
x dx
x
x dx
n =
∫
∫
podstawienie t=
podstawienie t=
e
e
cx
cx
całkowanie przez części
całkowanie przez części
całkowanie przez części
całkowanie przez części
całkowanie przez części
całkowanie przez części
UWAGA: funkcje pierwotne wielu, nawet prostych funkcji
UWAGA: funkcje pierwotne wielu, nawet prostych funkcji
podcałkowych, nie są funkcjami elementarnymi ( bądź
podcałkowych, nie są funkcjami elementarnymi ( bądź
skończonymi kombinacjami funkcji elementarnych ).
skończonymi kombinacjami funkcji elementarnych ).
Z tego powodu całka nieoznaczona ( nawet gdy istnieje ) nie da
Z tego powodu całka nieoznaczona ( nawet gdy istnieje ) nie da
się wyrazić poprzez kombinację funkcji elementarnych!!!
się wyrazić poprzez kombinację funkcji elementarnych!!!
sin
cos
;
;
x
x
x
e
dx
dx
dx
x
x
x
∫
∫
∫
22
22
-20
-10
0
10
20
-4
-2
2
4
x
Funkcja Gamma
Funkcja Gamma
Euler’a
Euler’a
1
0
( )
x
t
t
e x dx
∞
−
−
Γ
=
∫
-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-2
2
4
x
Funkcja błędu
Funkcja błędu
( )
2
0
2
x
t
erf x
e
dt
π
−
=
∫
23
23
-20
-10
0
10
20
-1
1
2
3
4
x
Całka wykładnicza
Całka wykładnicza
Ei
Ei
(x)
(x)
( )
x
t
e
Ei x
dt
t
−∞
=
∫
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
1
2
3
4
5
x
Logarytm całkowy li(x)=
Logarytm całkowy li(x)=
Ei
Ei
(
(
ln
ln
(x))
(x))
Sinus całkowy
Sinus całkowy
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-30
-20
-10
10
20
30
x
0
sin
( )
x
t
Si x
dt
t
=
∫
24
24
Funkcja
Funkcja
Bessel’a
Bessel’a
pierwszego rodzaju
pierwszego rodzaju
J
J
p
p
(x),
(x),
Funkcja walcowa,
Funkcja walcowa,
jest rozwiązaniem równania różniczkowego
jest rozwiązaniem równania różniczkowego
Bessel’a
Bessel’a
(
)
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
0
d w z
dw z
z
z
z
p
w z
dz
dz
+
+
−
=
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-2
2
4
z
J
J
0
0
(x)
(x)
J
J
1
1
(x)
(x)
J
J
2
2
(x)
(x)