W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
5
5
O
O
P
P
I
I
S
S
R
R
U
U
C
C
H
H
U
U
,
,
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
E
E
N
N
E
E
R
R
G
G
I
I
I
I
I
I
C
C
A
A
Ł
Ł
K
K
A
A
E
E
N
N
E
E
R
R
G
G
I
I
I
I
D
D
L
L
A
A
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
U
U
P
P
A
A
S
S
C
C
A
A
L
L
A
A
.
.
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
O
O
P
P
I
I
S
S
R
R
U
U
C
C
H
H
U
U
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
U
U
P
P
A
A
S
S
C
C
A
A
L
L
A
A
Tensor naprężenia dla płynu Pascala:
Równania opisujące ruch – równania Eulera:
Obowiązuje prawo zachowania masy
i k
i
k
p
p
e e
i, k
1, 2,3
dv
1
F
p
dt
( v)
0
t
Bilans energii:
2
d
v
u
v
F v
T
Q
dt
2
Pole sił zewnętrznych
F
i gęstość mocy
Q
uważamy za zadane
.
Mamy 5 równań i 5 niewiadomych (
v
1
, v
2
, v
3
, p, ρ
)
Aby rozwiązać opisany układ:
Określamy obszar, w którym poszukujemy rozwiązań
Formułujemy warunki początkowe – określamy
v
1
, v
2
, v
3
,
p, ρ
w chwili
t=0
Formułujemy warunki brzegowe – opisujemy ruch i stan
płynu na powierzchni brzegowej
Czy istnieje
rozwiązanie
przedstawionego
układu równań?
Czy
, jeśli istnieje
rozwiązanie to jest
jedynym?
Czy
mała zmiana
warunków
początkowych lub
brzegowych powoduje
małą zmianę rozwiązania
naszego uk
ładu ?
U
U
P
P
R
R
O
O
S
S
Z
Z
C
C
Z
Z
O
O
N
N
E
E
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
E
E
N
N
E
E
R
R
G
G
I
I
I
I
D
D
L
L
A
A
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
U
U
P
P
A
A
S
S
C
C
A
A
L
L
A
A
–
–
B
B
E
E
Z
Z
P
P
R
R
Z
Z
E
E
W
W
O
O
D
D
Z
Z
E
E
N
N
I
I
A
A
C
C
I
I
E
E
P
P
Ł
Ł
A
A
,
,
Ź
Ź
R
R
Ó
Ó
D
D
E
E
Ł
Ł
I
I
P
P
R
R
O
O
M
M
I
I
E
E
N
N
I
I
O
O
W
W
A
A
N
N
I
I
A
A
O
kreślmy iloczyn
v
występujący w bilansie energii:
Wstawmy wynik do równania energii pomijając przewodzenie
ciepła, źródła i promieniowanie:
ik
i
k
j
j
j ik
i
k
j
j ik
i
kj
j
ik
kj
j
j
v
p
e e
v e
pv
e e
e
pv
e
pv
pv e
pv
2
d
v
u
p v
F v
dt
2
Przekształćmy je wykorzystując definicję pochodnej
substancjalnej:
Nat
omiast na mocy równania ciągłości wiemy, że
Wobec tego
p d
p
v
dt
2
p d
1 dp
1 p
p v
dt
dt
t
dp
p
p v
p
v v
p
p
v
dt
t
Co pozwala przepisać nam równanie energii w sposób
następujący:
2
d
v
p
p
u
F v
dt
2
t
Wiemy, że entalpia właściwa to zatem przedstawimy
powyższe równanie w postaci:
2
d
v
p
i
F v
dt
2
t
Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu.
p
i
u
C
C
A
A
Ł
Ł
K
K
A
A
E
E
N
N
E
E
R
R
G
G
I
I
I
I
Za
kładamy:
Potencjalność pola sił zewnętrznych:
F
Niezależność od czasu pól ciśnienia, masy właściwej i pola sił
zewnętrznych
Niezależność od czasu pola
F
implikuje
niezależne od czasu i
0
t
.
Możemy, zatem
napisać
d
d
v F
v
dt
t
dt
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
E
E
N
N
E
E
R
R
G
G
I
I
I
I
P
P
O
O
D
D
O
O
D
D
A
A
T
T
K
K
O
O
W
W
Y
Y
M
M
U
U
P
P
R
R
O
O
S
S
Z
Z
C
C
Z
Z
E
E
N
N
I
I
U
U
C
C
A
A
Ł
Ł
K
K
A
A
E
E
N
N
E
E
R
R
G
G
I
I
I
I
D
D
L
L
A
A
R
R
U
U
C
C
H
H
U
U
U
U
S
S
T
T
A
A
L
L
O
O
N
N
E
E
G
G
O
O
2
na linii pradu
v
i
const
2
energia
kinetyczna
entalpia
jednostkowej
masy
energia
potencjalna
entalpia
całkowita
oznaczana jako i
0
2
v
v grad
i
0
2
Wzdłuż linii prądu (…) jest
stały
2
d
v
i
0
dt
2
Przydatne definicje:
0
p
p
s
dp
i
p
i
o
gólna definicja entalpii przy stałej entropii
definicja entalpii dla płynu nieściśliwego (ciecze)
ρ = const, s = const
definicja entalpii dla płynu
ściśliwego (gazy) ρ ≠ const i
bez założenia o stałości s
0
T
p
0
p
T
i
c dT
i
c T
C
p
-
średnie lub stałe ciepło właściwe