5.4. Całka oznaczona Riemanna
Całka oznaczona Riemanna jest uogólnieniem całki oznaczonej w sensie Newtona -
Leibniza; dla funkcji ciągłej w przedziale domkniętym [a, b] obie całki są równe, o czym
mówi twierdzenie podane w tym paragrafie.
Normalny ciąg podziału przedziału
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b] . Przyporządkujemy kaŜdej
liczbie naturalnej n ciąg podziałów przedziału [a, b] na podprzedziały, wyznaczony przez
punkty pośrednie a = c
0
< c
1
< c
2
< … < c
n
= b .
Rysunek przedstawia podział przedziału [a, b] na 5 podprzedziałów punktami
c
0
, c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, c
5
:
Definicja
Ciąg podziałów przedziału [a, b] dowolnie wybranymi punktami nazywamy ciągiem
normalnym podziałów, gdy średnica najdłuŜszego z tych podprzedziałów, zmierza do
zera, gdy liczba punktów podziału rośnie nieograniczenie.
Sumy całkowe Riemanna
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b] . Dzielimy punktami pośrednimi
a = c
0
< c
1
< c
2
< … < c
n
= b przedział [a, b] na podprzedziały.
Wybieramy dowolnie w kaŜdym z podprzedziałów [c
k
, c
k+1
] liczbę x
k
, tzw. punkt
pośredni. Następnie obliczamy wartość f(x
k
) w tym punkcie i tworzymy sumę
∑
=
+
−
n
k
k
k
k
c
c
x
f
1
1
)
)(
(
zwaną sumą całkową Riemana funkcji f w przedziale [a, b].
a =c
0
b=c
5
c
1
c
2
c
3
c
4
Rysunek przedstawia interpretację geometryczną sumy całkowej w przypadku podziału
przedziału [a, b] na cztery podprzedziały punktami a = c
0
, c
1
, c
2
, c
3,
c
4
= b. Suma ta to nic
innego jak suma pól prostokątów.
Przykład
Rysunek poniŜej przedstawia sumy całkowe funkcji f(x) = x
2
na odcinku [0, 1], w przypadku
gdy ten odcinek podzielono na n równych części ( n = 2, n= 5, n = 10 oraz punkty pośrednie są
prawymi końcami odcinka, do którego naleŜą.
Obliczmy sumę całkową Riemana w przypadku n = 5:
∑
=
+
−
5
1
1
)
)(
(
k
k
k
k
c
c
x
f
=
=
)
0
5
1
(
5
1
2
−
+
)
5
1
5
2
(
5
2
2
−
+
)
5
2
5
3
(
5
3
2
−
+
)
5
3
5
4
(
5
4
2
−
+
)
5
4
5
5
(
5
5
2
−
=
=
)
25
16
9
4
1
(
5
1
3
+
+
+
+
=
25
11
.
Całka Riemana
Definicja
JeŜeli dla kaŜdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b] ciąg sum całkowych
∑
=
+
−
n
k
k
k
k
c
c
x
f
1
1
)
)(
(
jest zbieŜny do tej samej granicy właściwej (czyli będącej liczbą) niezaleŜnej
od wyboru punktów x
k
to granicę tę nazywamy całką Riemanna funkcji f w przedziale [a, b] i
oznaczamy symbolem
∫
b
a
dx
x
f
R
)
(
)
(
.
Definicje
Przedział [a, b] nazywamy, podobnie jak w przypadku całki oznaczonej, przedziałem
całkowania, a — dolną granicą całkowania, b — górną granicą całkowania, f zaś — funkcją
podcałkową.
JeŜeli granica
∑
=
+
−
n
k
k
k
k
c
c
x
f
1
1
)
)(
(
istnieje, to mówimy, Ŝe funkcja f jest całkowalna w sensie
Riemanna w przedziale [a, b].
Twierdzenie (o całkowalności w sensie Riemanna funkcji ciągłej).
JeŜeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to jest całkowalna w sensie
Riemanna w tym przedziale.
Funkcje całkowalne w sensie Riemanna stanowią szerszą klasę niŜ funkcje ciągłe. W
szczególności są to funkcje określone i monotoniczne na przedziale [ a, b].
Uwaga
1. Całka Riemanna ma wszystkie podstawowe własności całki oznaczonej, o których była
mowa w poprzednich paragrafach.
2. Funkcja nieograniczona na [a, b] nie jest całkowalna na tym przedziale.
Okazuje się, Ŝe w przypadku funkcji ciągłej całka oznaczona w sensie Newtona - Leibniza
jest identyczna z całką Riemanna; mówi o tym:
Twierdzenie
JeŜeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], to
∫
b
a
dx
x
f
R
)
(
)
(
=
∫
b
a
dx
x
f
)
(
.
Praktyczne reguły
1.
Aby obliczyć całkę Riemanna w przypadku funkcji ciągłej wystarczy obliczyć całkę
nieoznaczoną Newtona - Leibniza (czyli rodzinę F funkcji pierwotnych) i wykorzystać
wzór:
∫
b
a
dx
x
f
)
(
= F(b) – F(a).
2.
Jeśli f jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale [a, b], to jak wynika z rozumowania
prowadzącego do określenia całki Riemanna, całka
∫
b
a
dx
x
f
)
(
jest polem obszaru D
stanowiącego zbiór punktów P = (x, y) płaszczyzny , których współrzędne spełniają
warunki a
≤
x
≤
b, 0
≤
y
≤
f(x), czyli
pole D =
∫
b
a
dx
x
f
)
(
, gdzie D = { (x, y) : a
≤
x
≤
b, 0
≤
y
≤
f(x)}.
3.
Jeśli więc chcemy obliczyć pole P obszaru ograniczonego łukiem krzywej y = f(x),
odcinkiem osi 0X oraz prostymi x = a i x = b, przy czym o funkcji f wiemy, Ŝe w
przedziale [a, b] przyjmuje wartości zarówno dodatnie jak i ujemne, to dzielimy [a, b] na
podprzedziały tak, by w kaŜdym z nich z osobna funkcja f była stale bądź nieujemna,
bądź niedodatnia. Szukane pole jest wtedy sumą pól wyznaczonych przez łuki krzywej w
poszczególnych podprzedziałach przedziału [a, b] (zob. rys.).
Widać stąd, Ŝe zawsze pole P określonego wyŜej obszaru moŜna wyrazić całką
oznaczoną:
Pole P =
∫
b
a
dx
x
f
|
)
(
|
.
D
a
b
y=f(x)