1
METODY STATYSTYCZNE I
ĆWICZENIA 1 - część 1
Zad. 1
Populacja generalna ma rozkład normalny N(6,3). Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia
z próby liczącej dziewięć elementów będzie mniejsza od 4? Wygenerować z tego rozkładu
próbę dziewięcioelementową i obliczyć dla niej średnią.
Zad. 2
Z pewnej populacji o rozkładzie N(3,1) pobrano dziewięcioelementową próbę prostą, z innej
populacji o rozkładzie N(5,2) pobrano czteroelementową próbę prostą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że średnia z pierwszej próby nie będzie większa od średniej z drugiej
próby. Wygenerować próby o podanych liczebnościach z powyższych rozkładów i wyznaczyć
dla nich średnie.
Zad. 3
Z populacji normalnej o wariancji równej 4 pobrano próbę o liczebności 11. Obliczyć:
a)
(
)
4
2
≤
S
P
b)
( )
2
S
E
c)
( )
2
2
S
D
Zad. 4
Z populacji normalnej o wariancji równej 4 pobrano próbę o liczebności 51. Obliczyć
(
)
5
2
<
S
P
.
Zad. 5
Zmienne losowe X, Y, Z, W są niezależne, przy czym
( )
0,1
N
~
X
,
( )
1,1
N
~
Y
,
2
8
~
χ
Z
,
2
10
~
χ
W
. Obliczyć prawdopodobieństwa:
a)
(
)
(
)
21
1
2
2
>
+
−
+
W
Y
X
P
b)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
<
Z
X
Y
P
2
12
13
1
c)
(
)
W
Z
Y
X
P
+
+
>
+
96
,
0
1
Zad. 6
Z dwóch populacji o rozkładach normalnych N(15, 28,82) i N(20, 28,82) wylosowano dwie
próby proste uzyskując następujące wyniki:
i = 1 2 3 4 5
i
x
1
17 16 13 18
i
x
2
18 21 24 19 18
Obliczyć prawdopodobieństwa:
a)
(
)
2
1
6 X
X
P
+
>
b)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
2
1
2
1
03
,
3
s
s
S
S
P
c)
(
)
2
1
956
,
3
S
S
P
>
2
Zad. 7
Niech
10
1
,
,
X
X
K
oraz
8
1
,
,
Y
Y
K
będą niezależnymi próbami prostymi z rozkładów
odpowiednio
(
)
σ
,
m
N
1
oraz
(
)
σ
,
m
N
2
.
a) Podać rozkład zmiennej losowej
(
)
2
2
1
1
σ
m
X
W
−
=
oraz
X
Y
Z
−
=
.
b) Obliczyć
(
)
2
2
9
,
6
Y
X
S
S
P
<
, gdzie
2
X
S oraz
2
Y
S są odpowiednio wariancjami z tych prób.
Zad. 8
Niech
4
1
,
,
X
X
K
będzie próbą losową prostą z rozkładu
( )
2
0,
N
. Obliczyć:
a)
(
)
56
,
6
4
3
2
1
≥
−
−
−
X
X
X
X
P
b)
(
)
26
,
31
3
2
≤
S
P
c)
{
}
{
}
(
)
26
,
31
3
56
,
6
2
4
3
2
1
≤
∪
≥
+
+
+
S
X
X
X
X
P
Zad. 9
Niech
6
1
,
,
X
X
K
będzie prostą próbą losową z rozkładu
( )
2
0,
N
.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo
(
)
14
,
2
~
2
≥
S
P
.
b) Obliczyć
( )
2
~
S
E
oraz
( )
2
2
~
S
D
.
Zad. 10
Z wykorzystaniem dowolnego pakietu obliczeniowego sporządzić wykresy dystrybuant
i funkcji gęstości rozkładów normalnych:
( )
1
0,
N
,
( )
1
2,
N
. Zamieścić w jednym układzie
współrzędnych wykresy dystrybuant a w drugim wykresy funkcji gęstości.
Zad. 11
Z wykorzystaniem dowolnego pakietu obliczeniowego sporządzić wykresy dystrybuant
i funkcji gęstości rozkładów chi-kwadrat dla 5 i 8 stopni swobody. Zamieścić w jednym
układzie współrzędnych wykresy dystrybuant a w drugim wykresy funkcji gęstości.
3
ĆWICZENIA 1 - część 2
Zad. 12
Z populacji generalnej o rozkładzie Poissona z parametrem
λ pobieramy n-elementową
prostą próbę losową
n
X
X
,
,
1
K
. Wyznaczyć metodą momentów oraz metodą największej
wiarogodności estymator parametru
λ . Czy uzyskane estymatory są nieobciążone i zgodne?
Sprawdzić efektywność uzyskanych estymatorów. Wygenerować stuelementową
oraz milionową próbę z rozkładu Poissona dla
2
=
λ
, obliczyć wartości uzyskanych
estymatorów, przeprowadzić dyskusję na temat otrzymanych wyników.
Zad. 13
Z populacji generalnej o rozkładzie wykładniczym z parametrem
λ pobieramy n-elementową
prostą próbę losową
n
X
X
,
,
1
K
. Wyznaczyć metodą momentów oraz metodą największej
wiarogodności estymator parametru
λ . Wygenerować stuelementową oraz milionową próbę
z rozkładu wykładniczego dla
1
=
λ
, obliczyć wartości uzyskanych estymatorów,
przeprowadzić dyskusję na temat otrzymanych wyników.
Zad. 14
Cecha X ma rozkład o dystrybuancie
( )
(
)
{
}
⎩
⎨
⎧
≤
>
+
−
−
=
0
,
0
0
,
1
exp
1
;
x
x
x
x
F
θ
θ
,
1
>
θ
.
Na podstawie n-elementowej prostej próby losowej
n
X
X
,
,
1
K
znaleźć metodą największej
wiarogodności oraz metodą momentów estymator parametru
θ .
Zad. 15
Niech
n
X
X
,
,
1
K
będzie prostą próbę losową pobraną z rozkładu wykładniczego o funkcji
gęstości
( )
x
X
e
x
f
λ
λ
−
=
,
0
>
x
. Niech
n
Y
Y
,
,
1
K
będzie niezależną od
n
X
X
,
,
1
K
prostą próbą
losową pobraną z rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości
( )
x
Y
e
x
f
λ
λ
2
2
−
=
,
0
>
x
. Znaleźć
metodą największej wiarogodności estymator parametru
λ
(
)
0
>
λ
na podstawie próby
n
n
Y
Y
X
X
,
,
,
,
,
1
1
K
K
.
Zad. 16
Niech
n
X
X
,
,
1
K
prostą próbę losową pobraną z rozkładu o funkcji gęstości
( )
(
)
1
1
+
−
−
+
=
α
α
x
x
X
e
e
x
f
,
0
>
α
. Znaleźć metodą największej wiarogodności estymator parametru
α .
Zad. 17
Z populacji, w której cecha X ma rozkład o funkcji gęstości
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
0
0
1
0
0
,
0
,
;
x
x
x
x
x
x
x
x
f
θ
θ
θ
,
1
>
θ
oraz
0
0
>
x
, wylosowano n-elementową prostą próbę losową
n
X
X
,
,
1
K
.
Wykorzystując metodę największej wiarogodności oraz metodę momentów znaleźć
estymatory parametru
θ .
4
Zad. 18
Na podstawie n-elementowej prostej próby losowej
n
X
X
,
,
1
K
wyznaczyć:
a) estymator MNW parametru
θ , jeśli próba pochodzi z rozkładu Weibulla o gęstości
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
=
−
0
,
0
0
,
3
3
2
x
x
e
x
x
f
x
θ
θ
,
0
>
θ
;
b) estymatory MM parametrów
µ
i
ν jeśli próba pochodzi z rozkładu o gęstości
( )
⎩
⎨
⎧
<
<
−
=
poza
,
0
1
0
,
x
x
x
f
ν
µ
.