Fizyka przepływów.
Elementy biofizyki układu kr
ąŜ
enia
Jakub Zieli
ń
ski
Zakład Biofizyki i Fizjologii Człowieka
Fizyka przepływów.
Elementy biofizyki układu kr
ąŜ
enia
Jakub Zieli
ń
ski
Zakład Biofizyki i Fizjologii Człowieka
Ci
ś
nienie i prawo Pascala
Ci
ś
nienie to wielko
ść
skalarna okre
ś
lona jako warto
ść
siły działaj
ą
cej
prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchni
ę
na jak
ą
ona działa:
F = p * s
Jednostk
ą
jest Pascal [Pa] = [N/m
2
].
Prawo Pascala (stało
ść
ci
ś
nienia).
Zastosowania prawa Pascala:
strzykawka, prasy hydrauliczne.
Przeliczanie jednostek
133
101325
98100
10
5
1
Pa
1
0,00132
0,00132
0,00133
1 tor [Tr] =
1 mmHg
760
1
1,033
1,013
1 atmosfera
fizyczna [atm] =
760 mmHg
736
0,968
1
0,981
1 atmosfera
techniczna [at] =
1 kG/cm
2
750
0,987
1,02
1
1 bar
0,0075
0,987×10
-5
0,102×10
-4
10
-5
1 Pa [N/m
2
]
mmHg
atm
at
bar
Ci
ś
nienie hydrostatyczne
i Prawo Archimedesa
Prawo Pascala „z grawitacj
ą
”
p = p
0
–
ρ
ρ
ρ
ρ
g h
h
p
2
= p
1
+
ρ
g h
p
1
s
F
w
= F
2
– F
1
= (p
2
– p
1
)*s
=
ρ
g h s =
ρ
g V
Zagadka
Dlaczego nie działa
nast
ę
puj
ą
ce
perpetuum mobile?
Prawo ci
ą
gło
ś
ci strumienia
Q
1
Q
2
Q
3
Q
1
= Q
2
+ Q
3
s
1
s
2
v
1
v
2
v
1
*s
1
= v
2
*s
2
Strumie
ń
– obj
ę
to
ść
przepływaj
ą
ca,
przez zadan
ą
powierzchni
ę
w jednostce czasu
Q = V/t = v*t*s/t = v*s
V = x*s = v*t*s
s
x
Równanie Bernoulliego
p +
ρ
ρ
ρ
ρ
g h + ½
ρ
ρ
ρ
ρ
v
2
= const
p – ci
ś
nienie statyczne
ρρρρ
g h – ci
ś
nienie hydrostatyczne
½
ρρρρ
v
2
– ci
ś
nienie dynamiczne
Prawo Bernoulliego to przejaw zasady
zachowania energii mechanicznej dla płynu.
Prawo to NIE uwzgl
ę
dnia spadku ci
ś
nienia
spowodowanego oporem naczy
ń
!
Kierunek przepływu
Pomiar tzw. ci
ś
nienia całkowitego
i ci
ś
nienia statycznego
Uwaga, ci
ś
nienie dynamiczne nie powoduje nacisku na
ś
cianki naczynia
!
Paradoks hydrodynamiczny
W miejscu przew
ęŜ
enia naczynia ci
ś
nienie wywierane przez
poruszaj
ą
cy si
ę
płyn na
ś
cianki naczynia jest zmniejszone
Zastosowania:
• siła no
ś
na skrzydła samolotu
•
Ŝ
eglowanie przy bocznym wietrze
• zw
ęŜ
ka Venturiego
Problemy:
• powstanie t
ę
tniaka powoduje lokalny wzrost ci
ś
nienia krwi
• spadek ci
ś
nienia w zw
ęŜ
eniu zwi
ę
ksza ryzyko „zapadni
ę
cia” si
ę
naczynia
• osiadanie statków w płytkim akwenie
• zrywanie spadzistych dachów podczas wichury
Ci
ś
nienie vs. napr
ęŜ
enie
ś
cinaj
ą
ce
Ci
ś
nienie to g
ę
sto
ść
powierzchniowa siły prostopadłej
do powierzchni.
Napr
ęŜ
enie
ś
cinaj
ą
ce to g
ę
sto
ść
powierzchniowa siły
równoległej do powierzchni
Siła wywołana przez ci
ś
nienie
Siła wywołana przez
napr
ęŜ
enie
ś
cinaj
ą
ce
Lepko
ść
(tarcie wewn
ę
trzne)
3 - 5 × 10
-3
Krew
1.9 - 2.3 × 10
-3
Osocze
1.003 × 10
−3
Woda (20
o
C)
17.4 × 10
−6
Powietrze (0
o
C)
Lepko
ść
[Pa*s]
Substancja
Lepko
ść
dynamiczna okre
ś
la sił
ę
z jak
ą
jedna warstwa płynu działa na drug
ą
,
równoległ
ą
do niej lecz poruszaj
ą
c
ą
si
ę
z inn
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
:
F =
µµµµ
s
∆
v/
∆
x
s
v
1
v
2
∆
x
Jednostk
ą
lepko
ś
ci dynamicznej jest [Pa*s].
Lepko
ś
ci nie nale
Ŝ
y myli
ć
z g
ę
sto
ś
ci
ą
– galaretka
„g
ę
stniej
ą
c” zwi
ę
ksza lepko
ść
, a nie g
ę
sto
ść
!
Lepko
ść
kinematyczna
ν
=
µ
/
ρ
[m
2
/s]
.
Rodzaje przepływów cieczy
Liczba Reynoldsa
Re = d v
ρ
ρ
ρ
ρ
/
µ =
µ =
µ =
µ =
d v /
νννν
d – wymiar charakterystyczny,
np.
ś
rednica naczynia
Re < 2300 – przepływ laminarny
2300 < Re < 4000 – przej
ś
ciowy
Re > 4000 – przepływ turbulentny
Przepływ laminarny mo
Ŝ
e by
ć
stacjonarny (ustalony) lub nie.
Turbulencje nigdy nie s
ą
stacjonarne.
Opór naczy
ń
Opór naczynia to iloraz spadku ci
ś
nienia przez strumie
ń
przepływaj
ą
cej cieczy:
R =
∆∆∆∆
p/Q
Jest to hydrodynamiczny odpowiednik prawa Ohma: spadek ci
ś
nienia
odpowiada spadkowi napi
ę
cia, a strumie
ń
cieczy nat
ęŜ
eniu pr
ą
du
Opory naczy
ń
poł
ą
czonych szeregowo
dodaj
ą
si
ę
: R = R
1
+ R
2
Dla naczy
ń
poł
ą
czonych równolegle, dodaj
ą
si
ę
odwrotno
ś
ci oporów: 1/R = 1/R
1
+ 1/R
2
.
Opór całkowity jest wi
ę
c mniejszy od oporów
pojedynczych naczy
ń
Pozostaje jednak pytanie: ile wynosi opór pojedynczego naczynia?
Prawo Hagena – Poiseuille’a
Zało
Ŝ
enia:
• niesko
ń
czona rura o przekroju kołowym
•
ś
cianki idealnie sztywne
• przepływ ustalony
• ciecz Newtonowska (stało
ść
lepko
ś
ci)
π
R
4
∆
p
8
µ
L
Q =
(R
2
– r
2
)
∆
p
4
µ
L
v =
2
π
R
2
v
max
=
Q
v
ś
r
= ½ v
max
T
ę
tnica szyjna
zewn
ę
trzna
T
ę
tnica szyjna
wewn
ę
trzna
T
ę
tnica szyjna
wspólna
Zmiany lepko
ś
ci krwi
Odkształcanie erytrocytów –
spadek lepko
ś
ci dla du
Ŝ
ych napr
ęŜ
e
ń ś
cinaj
ą
cych
Agregacja erytrocytów – wzrost lepko
ś
ci przy
ś
ciankach naczynia
Spadek lepko
ś
ci dla naczy
ń
o
ś
rednicy poni
Ŝ
ej 100 mikronów
Wzrost lepko
ś
ci gdy
ś
rednica naczynia mniejsza ni
Ŝ
10 mikronów –
krew nie mo
Ŝ
e by
ć
ju
Ŝ
traktowana jako o
ś
rodek ci
ą
gły. Lepko
ść
to suma
lepko
ś
ci osocza i tarcia erytrocytów o
ś
cianki naczy
ń
Lepko
ść
gwałtownie ro
ś
nie wraz
ze wzrostem hematoktytu
Prawo Hagena – Poiseuille’a
Zało
Ŝ
enia:
• niesko
ń
czona rura o przekroju kołowym
•
ś
cianki idealnie sztywne
• przepływ ustalony
• ciecz Newtonowska (stało
ść
lepko
ś
ci)
π
R
4
∆
p
8
µ
L
Q =
ś
adne z zało
Ŝ
e
ń
prawa Hagena–Poiseuille’a nie jest spełnione
-1
-0.5
0.5
1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Liczba Womersleya
r = 1 cm
ω
= 10 Hz
α
= 16,24
r = 1 cm
ω
= 1 Hz
α
= 5,14
r = 1 mm
ω
= 1 Hz
α
= 0,51
-1
-0.5
0.5
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.5
0.5
1
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
µ
ωρ
υ
ω
α
R
R
=
=
R – promie
ń
naczynia
ω
– cz
ę
sto
ść
t
ę
tna
ρ
– g
ę
sto
ść
krwi
µ
– lepko
ść
dynamiczna
ν
– lepko
ść
kinematyczna
Układ krwiono
ś
ny człowieka
Układ krwiono
ś
ny:
• doprowadza tlen i odprowadza CO
2
• dostarcza substancje od
Ŝ
ywcze
i odprowadza „odpady”
• rozprowadza ciepło (termoregulacja)
• transportuje hormony (no
ś
niki informacji)
• transportuje enzymy (katalizatory)
• transportuje przeciwciała
Ruch krwi wywoływany jest przez ró
Ŝ
nic
ę
ci
ś
nie
ń
mi
ę
dzy układem t
ę
tniczym i
Ŝ
ylnym
Typowo w kr
ąŜ
eniu płucnym i systemowym
w ci
ą
gu sekundy przepływa 88 ml krwi
Normalne ci
ś
nienie w aorcie: 120/80mmHg
(
ś
rednie 100mmHg)
Ci
ś
nienie w
Ŝ
yle głównej: około 10mmHg
Normalne ci
ś
nienie w t
ę
tnicy płucnej:
22/8mmHg (
ś
rednie 15mmHg)
Ci
ś
nienie w
Ŝ
yle płucnej: około 7mmHg
Efekt hydrostatyczny
Ujemne ci
ś
nienie w
Ŝ
yłach czaszki
mo
Ŝ
e powodowa
ć
zasysanie
powietrza przy zranieniu głowy
Efekt hydrostatyczny powoduje
wzrost ci
ś
nienia transmuralnego
(wi
ę
ksza g
ę
sto
ść
krwi od płynu
mi
ę
dzykomórkowego) i ucieczk
ę
wody z naczy
ń
do tkanek
Rozci
ą
gaj
ą
si
ę
te
Ŝ
podatne
Ŝ
yły,
co powoduje akumulacj
ę
krwi –
do 500 ml przy zamianie pozycji
na stoj
ą
c
ą
Napr
ęŜ
enia spr
ęŜ
yste
ś
cian naczynia
Napr
ęŜ
enie (napi
ę
cie) spr
ęŜ
yste poprzeczne = F/L = p *r* L /L = p*r
Napr
ęŜ
enie podłu
Ŝ
ne = F/2
π
r = p*
π
*r
2
/ 2
π
r = p*r/2
Ci
ś
nienie transmuralne to ró
Ŝ
nica pomi
ę
dzy ci
ś
nieniem krwi i ci
ś
nieniem
zewn
ę
trznym (panuj
ą
cym w tkankach otaczaj
ą
cych naczynie) p = p
w
- p
z
Ze wzgl
ę
du na wi
ę
ksze ci
ś
nienie,
napr
ęŜ
enia spr
ęŜ
yste s
ą
wi
ę
ksze w
t
ę
tnicach ni
Ŝ
w
Ŝ
yłach
Najwi
ę
ksze dla du
Ŝ
ych naczy
ń
Aorta T = 200 N/m
Naczynia włosowate T = 0,016 N/m
Fala t
ę
tna
Pr
ę
dko
ść
fali t
ę
tna
E – moduł Younga
h – grubo
ść
naczynia
ρ
– g
ę
sto
ść
krwi
r
–
promie
ń
naczynia
r
Eh
c
ρ
2
=
Pr
ę
dko
ść
fali t
ę
tna 5 – 8 [m/s]
Długo
ść
fali t
ę
tna to kilka metrów:
5 [m/s] * 0.8 [1/s] = 4 [m]
Nie mylmy pr
ę
dko
ś
ci fali t
ę
tna
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
krwi –
w t
ę
tnicach krew płynie
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
rz
ę
du 0,5 [m/s]
Ewolucja fali t
ę
tna
aorta zst
ę
puj
ą
ca
aorta piersiowa
aorta brzuszna
t
ę
tnica biodrowa
t
ę
tnica podskórna
W najwi
ę
kszych t
ę
tnicach ro
ś
nie (!) ci
ś
nienie skurczowe. Spada ci
ś
nienie
rozkurczowe i ci
ś
nienie
ś
rednie. W mniejszych t
ę
tnicach nast
ę
puje gwałtowny
spadek ci
ś
nienia oraz zanik amplitudy ci
ś
nienia (czyli zanik t
ę
tna)
Układ
Ŝ
ylny
ś
yły pełni
ą
funkcj
ę
zbiornika krwi. W przypadku wstrz
ą
su hipowolemicznego,
jako reakcja obronna, mo
Ŝ
e nast
ą
pi
ć
skurcz
Ŝ
ył. Dlatego przy podejrzeniu
wykrwawienia nale
Ŝ
y niezwłocznie zało
Ŝ
y
ć
wenflon – przy skurczonych
Ŝ
yłach
jest to niezwykle trudne.
Oczywi
ś
cie podczas wstrz
ą
su, dystrybucja krwi jest znacz
ą
co inna
Krew w
Ŝ
yłach płynie dzi
ę
ki ró
Ŝ
nicy ci
ś
nie
ń
, pompie mi
ęś
niowej działaj
ą
cej
wraz z systemem zastawek
Ŝ
ylnych