Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza
Hutnicza
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 5
Charakterystyki
częstotliwościowe
Wykład 5
Wykład 5
Charakterystyki
częstotliwościowe
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
2
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Sygnał harmoniczny
podawany na wejście elementu
liniowego jest istotny ze względu na:
9
dość częste występowanie w wielu układach,
9
możliwość rozkładu innych sygnałów o charakterze
okresowym na szereg Fouriera złożony z funkcji
harmonicznych.
Ogólny symbol graficzny elementu liniowego
Charakterystyki częstotliwościowe
Element
liniowy
y(t)
x(t)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
3
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Sygnał harmoniczny w postaci zespolonej można zapisać
jako:
( )(
)
( )
t
j
e
A
t
j
t
A
t
x
ω
ω
ω
ω
ω
1
1
sin
cos
)
(
=
+
=
gdzie:
A
1
- pulsacja sygnału (T - okres drgań)
T
π
ω
2
=
Przy takim sygnale wejściowym, odpowiedź y(t) elementu
ma również charakter harmoniczny.
( )
( )
(
)
( )
(
)
[
]
( )
( )
(
)
ω
ϕ
ω
ω
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
+
=
+
+
+
=
t
j
e
A
t
j
t
A
t
y
2
2
sin
cos
)
(
- amplituda sygnału
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
4
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Podstawiając wyżej wymienione równania do równania
różniczkowego
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
t
x
b
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
b
t
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
+
+
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
można wyznaczyć
stosunek amplitud
sygnałów
wyjściowego i wejściowego
( )
( )
ω
ω
ω
1
2
)
(
A
A
M
=
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
=
+
+
+
+
+
−
−
+
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
t
j
t
j
n
n
t
j
n
n
e
A
a
e
A
j
a
e
A
j
a
2
0
2
1
1
2
K
( ) ( )
( )
( )
( )
t
j
t
j
m
m
t
j
m
m
e
A
b
e
A
j
b
e
A
j
b
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
1
0
1
1
1
1
+
+
+
=
−
−
K
oraz przesunięcie fazowe
ϕ
(
ω
) między tymi sygnałami
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
5
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
(
1
2
0
1
1
0
1
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
j
G
e
A
A
a
j
a
j
a
b
j
b
j
b
j
n
n
n
n
m
m
m
m
=
=
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
K
K
Wielkość G(j
ω
) nazywana jest
transmitancją widmową
.
Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z
przekształceniem Fouriera, które przyporządkowuje
funkcjom czasu f(t), funkcje pulsacji G(j
ω
) wg zależności:
∫
∞
∞
−
−
=
dt
e
t
f
j
G
t
j
ω
ω
)
(
)
(
zwaną
całką Fouriera
.
Przekształcając
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
6
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Transmitancję widmową wyznaczyć można także na
podstawie transmitancji operatorowej stosując podstawienie
ω
ω
j
s
s
G
j
G
=
=
)
(
)
(
Z zależności wynika, że transmitancja widmowa jest
wektorem, którego
moduł M(
ω
)
dla każdej pulsacji
ω
, jest
stosunkiem
amplitudy sygnału wyjściowego do
amplitudy sygnału wejściowego
,
( )
( )
ω
ω
ω
ω
1
2
)
(
)
(
A
A
M
j
G
=
=
( )
( )
ω
ϕ
ω =
j
G
arg
a
argumentem
ϕ
(
ω
)
przesunięcie fazowe sygnału
wyjściowego względem sygnału wejściowego
.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
7
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przykładowy przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
P(
ω
)
Q(
ω
)
ω
=
∞
ω
=0
P(
ω
1
)
Q(
ω
1
)
M(
ω
1
)
ϕ
(
ω
1
)
ω
1
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
8
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych,
dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest
niższy od stopnia wielomianu mianownika, dążą do
początku układu współrzędnych
∞
→
→
ω
ω
gdy
,
0
)
( j
G
Korzystając z równania
( )
ω
ϕ
ω
ω
j
e
M
j
G
)
(
)
(
=
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
jQ
P
j
G
+
=
ϕ
+
ϕ
=
sin
cos
j
e
j
ϕ
transmitancję widmową można zapisać w następującej
postaci
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
9
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
gdzie
( )
ω
ϕ
ω
ω
ω
cos
)
(
)
(
Re
)
(
M
j
G
P
=
=
( )
ω
ϕ
ω
ω
ω
sin
)
(
)
(
Im
)
(
M
j
G
Q
=
=
Ponadto na podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej
można napisać
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
ω
ω
ω
ω
Q
P
j
G
M
+
=
=
( )
)
(
)
(
tg
)
(
arg
ω
ω
ω
ω
ϕ
P
Q
arc
j
G
=
=
oraz
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
10
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
ω
ω
ω
M
j
G
L
=
=
Charakterystyki logarytmiczne
9
logarytmiczna
charakterystyka amplitudowa
przedstawia wykres zależności między logarytmem
dziesiętnym modułu transmitancji widmowej M(
ω
) i
logarytmem dziesiętnym pulsacji
ω
. Logarytm z modułu
transmitancji widmowej M(
ω
) podaje się w dB.
9
logarytmiczna charakterystyka fazowa
przedstawia
natomiast wykres zależności argumentu
ϕ
(
ω
) od
logarytmu dziesiętnego pulsacji
ω
.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
11
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Załóżmy, że
( )
( )
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
2
1
)
(
)
(
oraz
)
(
)
(
2
2
1
1
j
j
e
M
j
G
e
M
j
G
=
=
( )
( )
[
]
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
+
=
=
j
e
M
M
j
G
j
G
j
G
)
(
)
(
)
(
2
1
ω
ω
ω
M
M
M
=
( )
( )
( )
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
2
1
+
=
9
duże znaczenie praktyczne charakterystyk
logarytmicznych wynika z łatwości określania
charakterystyki wypadkowej układu, złożonego ze
znanych elementów liniowych połączonych szeregowo.
Wypadkowa transmitancja widmowa G(j
ω
) takiego układu
jest równa iloczynowi
transmitancji elementów
składowych.
wtedy
stąd
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
12
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
( )
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
)
(
log
20
2
1
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
M
M
M
M
L
+
=
=
( )
( )
)
(
log
20
oraz
)
(
log
20
2
2
1
1
ω
ω
ω
ω
M
L
M
L
=
=
)
(
)
(
)
(
2
1
ω
ω
ω
L
L
L
+
=
( )
( )
( )
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
2
1
+
=
Na podstawie równania
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
ω
ω
ω
M
j
G
L
=
=
przyjmujemy
oznaczając
równania charakterystyk logarytmicznych układu można
zapisać jako
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
13
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(
ω
)
ω
20
15
10
5
0
10
-1
10
0
10
1
ϕ
(
ω
)
ω
0
-45
-90
10
-1
10
0
10
1
dokładna
-20 dB/dek
Przykładowe przebiegi charakterystyk logarytmicznych
przybliżona
ω
s
≈
3 dB
ω
s
1/5
ω
s
5
ω
s
przybliżona
dokładna
≈
11
°
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
14
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przykład 1
Sporządzić charakterystyki częstotliwościowe (amplitudowo-fazową,
logarytmiczne: amplitudową i fazową) układu automatyki, którego
schemat przedstawiono na poniższym rysunku:
gdzie:
d, x - wymiary okienka,
v - prędkość
przepływu
oleju w okienku,
A - powierzchnia tłoka
siłownika,
P
z
- ciśnienie zasilania
(p
z
= const),
P
s
- ciśnienie spływu
(p
s
= const).
u – przesunięcie dźwigni
(wejście)
y – przesunięcie tłoczyska
siłownika (wyjście)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
15
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wykorzystując zasadę superpozycji działanie dźwigni
można przedstawić jako złożenie przesunięć składowych,
pokazanych na rysunkach poniżej
A a B b
C
u
x
1
Dla małych kątów wychyleń dźwigni:
b
a
u
b
x
+
=
1
u
b
a
b
x
+
=
1
stąd
Dźwignia dwustronna
gdzie:
x
1
- przesunięcie dźwigni przy obrocie wokół punktu C
a)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
16
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
2
1
x
x
x
−
=
stąd
b
a
y
a
x
+
=
2
y
b
a
a
x
+
=
2
A a B b C
y
x
2
gdzie:
x
2
- przesunięcie dźwigni przy obrocie wokół punktu A
Wypadkowe przesunięcie punktu B dźwigni można
zapisać jako:
Podstawiając równania na x
1
i x
2
do powyższego równania
otrzymamy:
y
b
a
a
u
b
a
b
x
+
−
+
=
b)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
17
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Zmiana objętości oleju pod tłokiem siłownika wynosi
Q
dt
dy
A
=
Objętościowe natężenie przepływu Q oleju przez suwak
ν
⋅
⋅
=
x
d
Q
gdzie:
d·x - powierzchnia przepływu oleju
v - prędkość przepływu.
Porównując powyższe wzory i oznaczając
v
d
A
T
⋅
=
1
otrzymamy
x
dt
dy
T
=
1
Siłownik hydrauliczny
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
18
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie transmitancji operatorowej układu
Stosując przekształcenie Laplace’a do równań opisujących
działanie dźwigni i siłownika otrzymamy
)
(
)
(
)
(
s
Y
b
a
a
s
U
b
a
b
s
X
+
−
+
=
)
(
)
(
1
s
X
s
sY
T
=
Po podstawieniu otrzymamy
)
(
)
(
1
s
U
b
a
b
s
Y
b
a
a
s
T
+
=
+
+
i
1
)
(
)
(
)
(
1
1
+
+
=
+
+
+
=
=
s
a
b
a
T
a
b
b
a
a
s
T
b
a
b
s
U
s
Y
s
G
stąd
gdzie:
a
b
K
=
a
b
a
T
T
+
=
1
1
+
=
Ts
K
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
19
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
ω
ω
jT
K
)
j
(
G
+
=
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
)
1
(
1
1
1
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
KT
j
T
K
T
jT
K
jT
jT
jT
K
j
G
+
−
+
=
+
−
=
−
−
⋅
+
=
Wyznaczenie transmitancji widmowej układu
Podstawiając do równania na transmitancję operatorową
s=j
ω
otrzymamy
( )
2
2
1
)
(
Re
ω
ω
ω
T
K
P
j
G
+
=
=
( )
2
2
1
)
(
Im
ω
ω
ω
ω
T
KT
Q
j
G
+
−
=
=
gdzie:
Część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej można
obliczyć mnożąc licznik i mianownik powyższej zależności
przez
liczbę sprzężoną z mianownikiem
:
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
20
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
( )
( )
( )
0
2
2
=
−
+
ω
ω
ω
KP
P
Q
Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-fazowej
Z równań
( )
2
2
1
ω
ω
T
K
P
+
=
( )
2
2
1
ω
ω
ω
T
KT
Q
+
−
=
wynika równanie charakterystyki amplitudowo-fazowej
Po uzupełnieniu znoszącymi się wyrażeniami otrzymamy
( )
( )
( )
0
4
4
2
2
2
2
=
−
+
−
+
K
K
KP
P
Q
ω
ω
ω
( )
( )
4
2
2
2
2
K
K
P
Q
=
−
+
ω
ω
i
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
21
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wartości P(
ω
) i Q(
ω
) można również wyznaczyć ze wzorów
T
1
2
K
2
K
−
( )
2
2
1
ω
ω
T
K
P
+
=
( )
2
2
1
ω
ω
ω
T
KT
Q
+
−
=
i
dla różnych wartości
ω
z przedziału (0, +
∞
) i zestawić dane
w tabeli.
K
0
0
0
0
∞
ω
)
(
ω
P
)
(
ω
Q
Jest to równanie okręgu o promieniu K/2, o środku
leżącym w punkcie [K/2, j0]. Ze wzoru wynika, że część
urojona transmitancji widmowej jest ujemna dla
ω
> 0.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
22
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Q(
ω
)
P(
ω
)
0
ω
=
∞
ω
=0
2
K
−
T
1
=
ω
Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu
2
K
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
23
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wykorzystując wykładniczy zapis liczb zespolonych i równanie
( )
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
T
jarc
T
arc
j
j
e
M
e
T
K
e
T
Ke
jT
K
j
G
)
(
1
1
1
)
(
tg
2
2
tg
2
2
0
=
+
=
+
=
+
=
−
2
2
1
ω
ω
T
K
)
(
M
+
=
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej
( )
ω
ϕ
ω
ω
j
e
M
j
G
)
(
)
(
=
transmitancję widmową omawianego układu można zapisać jako
Równanie charakterystyki amplitudowej można więc zapisać w postaci
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
ω
ω
ω
ω
Q
P
j
G
M
+
=
=
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
24
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
K
T
K
Q
P
j
G
M
+
+
+
=
+
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
1
(
)
1
(
)
(
ω
ω
ω
ω
T
K
T
T
K
M
+
=
+
+
=
Chcąc wyrazić moduł M(
ω
) w decybelach, korzystamy z równania
2
2
1
log
20
)
(
log
20
)
(
ω
ω
ω
T
K
M
L
+
=
=
2
2
1
log
20
log
20
)
(
ω
ω
T
K
L
+
−
=
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
ω
ω
ω
M
j
G
L
=
=
Otrzymujemy
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
25
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Częstotliwość graniczna
nazywana jest częstotli-
wością sprzęgającą.
Ponieważ wykreślenie charakterystyki według powyższego
wzoru jest pracochłonne, można użyć charakterystyk
asymptotycznych, które są przybliżeniem charakterystyk
rzeczywistych. Powstają w ten sposób charakterystyki
logarytmiczne aproksymowane odcinkami linii prostych.
T
1
<<
ω
T
s
1
=
ω
Cały zakres częstotliwości dzielimy na dwie części:
Dla T
2
ω
2
>> 1 czyli
T
1
>>
ω
Dla T
2
ω
2
<< 1 czyli
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
26
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla pierwszego zakresu częstotliwości, można w równaniu
Dla drugiego zakresu częstotliwości, można w równaniu
pominąć jego drugi składnik, stąd
2
2
1
log
20
log
20
)
(
ω
ω
T
K
L
+
−
=
pominąć jedynkę pod pierwiastkiem, stąd
2
2
1
log
20
log
20
)
(
ω
ω
T
K
L
+
−
=
K
L
T
log
20
)
(
1
=
<<
ω
ω
dla
ω
ω
ω
T
K
L
T
log
20
)
(
1
=
>>
dla
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
27
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Ponieważ oś odciętych logarytmicznej charakterystyki amplitudowej ma
podziałkę logarytmiczną, równaniom
T
s
1
=
ω
K
T
KT
L
s
log
20
log
20
)
(
=
=
ω
20
log
20
10
log
20
log
20
10
log
20
)
10
(
−
=
−
=
=
K
K
T
KT
L
s
ω
odpowiadają na wykresie odcinki linii prostej. Wstawiając do drugiego
równania dwie dowolne wartości
ω
, wyznaczamy nachylenie tego
odcinka charakterystyki względem osi odciętych.
K
L
T
log
20
)
(
1
=
<<
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
K
T
K
L
T
log
20
log
20
log
20
)
(
1
=
−
=
>>
Przykładowo dla mamy
20
)
(
)
10
(
−
=
−
s
s
L
L
ω
ω
[dB/dek]
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
28
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Prosta o równaniu
T
K
T
K
T
K
=
⇒
=
⇒
=
ω
ω
ω
1
0
log
20
przecina więc oś odciętych przy pulsacji
i obniża się
o 20 dB/dek (występuje dziesięciokrotny wzrost pulsacji).
T
K
=
ω
przecina oś odciętych przy pulsacji
ω
dla której L(
ω
)=0, czyli
ω
ω
ω
T
K
T
K
L
log
20
log
20
log
20
)
(
=
−
=
Charakterystyka określona równaniem
ω
ω
ω
T
K
T
K
L
log
20
log
20
log
20
)
(
=
−
=
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
29
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
ω
ω
ϕ
T
arc tg
)
(
−
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
arc
T
K
T
KT
arc
P
Q
arc
tg
1
1
tg
)
(
)
(
tg
)
(
2
2
2
2
−
=
+
+
−
=
=
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
fazowej
Na podstawie równań
można napisać, że
( )
ω
ϕ
ω
ω
j
e
M
j
G
)
(
)
(
=
( )
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
T
jarc
T
arc
j
j
e
M
e
T
K
e
T
Ke
jT
K
j
G
)
(
1
1
1
)
(
tg
2
2
tg
2
2
0
=
+
=
+
=
+
=
−
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
30
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla różnych wartości
ω
z przedziału (0, +
∞
) można
wyznaczyć wartość
ϕ
(
ω
) na podstawie wzoru
T
1
∞
( )
ω
ϕ
4
π
−
2
π
−
i zestawić dane w tabeli
ω
ω
ϕ
T
arc tg
)
(
−
=
ω
0
0
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
31
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(
ω
)
ω
20
15
10
5
0
10
-1
10
0
10
1
ϕ
(
ω
)
ω
0
-45
-90
10
-1
10
0
10
1
Charakterystyki logarytmiczne układu
ω
s
ω
s
1/5
ω
s
5
ω
s
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
32
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
s
T
s
T
s
G
2
1
1
)
(
+
=
ω
ω
ω
j
j
j
G
+
=
1
2
)
(
Przykład 2
Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe (amplitudowo-
fazową, logarytmiczne: amplitudową i fazową) elementu o
transmitancji:
gdzie T
1
= 2[s], T
2
= 1[s]
Wyznaczenie transmitancji widmowej
9
podstawiamy s=j
ω
do równania na transmitancję operatorową
9
obliczamy część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
+
=
+
+
=
−
−
⋅
+
=
j
j
j
j
j
j
j
G
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
33
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
2
2
1
2
)
(
ω
ω
ω
+
=
P
2
1
2
)
(
ω
ω
ω
+
=
Q
Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-fazowej
Wyznaczamy wartości P(
ω
) i Q(
ω
) z powyższych równań
dla różnych wartości
ω
z przedziału (0, +
∞
) i zestawiamy
dane w tabeli.
ω
)
(
ω
P
)
(
ω
Q
0
0
0
1
1
1
∞
2
0
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
34
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
ω
=
∞
ω
=0
1
Q(
ω
)
P(
ω
)
0
2
1
ω
=1
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
35
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Transmitancję widmową G(j
ω
) można zapisać jako:
)
tg
90
(
2
tg
2
90
1
2
1
2
1
2
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
arc
j
arc
j
j
e
e
e
j
j
j
G
−
+
=
+
=
+
=
stąd równanie charakterystyki amplitudowej
2
1
2
)
(
ω
ω
ω
+
=
M
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej
lub wyznaczone z równania:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
ω
ω
ω
ω
Q
P
j
G
M
+
=
=
2
2
2
2
2
4
2
2
)
1
(
4
)
1
(
4
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
+
=
+
=
Q
P
M
2
2
2
2
2
1
2
)
1
(
)
1
(
4
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
+
=
M
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
36
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Chcąc wyrazić
M(
ω
) w decybelach
korzystamy z
poniższego wzoru
2
2
1
log
20
2
log
20
1
2
log
20
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
=
L
T
1
<<
ω
Aby wyznaczyć charakterystyki asymptotyczne cały zakres
częstotliwości dzielimy na dwie części:
dla
ω
2
>> 1 czyli
T
1
>>
ω
Dla pierwszego zakresu częstotliwości, można w równaniu
pominąć jego drugi składnik, stąd
2
1
log
20
2
log
20
)
(
ω
ω
ω
+
−
=
L
ω
ω
ω
2
log
20
)
(
,
1
=
<<
L
dla
dla
ω
2
<< 1 czyli
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
37
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
dB
L
6
2
log
20
)
(
≈
=
ω
Prosta o równaniu
2
1
1
2
0
2
log
20
=
⇒
=
⇒
=
ω
ω
ω
Dla drugiego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2
1
log
20
2
log
20
)
(
ω
ω
ω
+
−
=
L
pominąć jedynkę pod pierwiastkiem, stąd
przecina oś odciętych przy pulsacji
ω
, dla której L(
ω
)=0, czyli
ω
ω
2
log
20
)
(
=
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
log
20
log
20
2
log
20
)
(
,
1
=
−
=
>>
L
dla
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
38
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Na podstawie równania
( )
ω
ω
ϕ
tg
90 arc
−
=
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
tg
90
1
tg
1
2
1
2
tg
)
(
)
(
tg
)
(
2
2
2
arc
arc
arc
P
Q
arc
−
=
=
+
+
=
=
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki fazowej
)
tg
90
(
2
tg
2
90
1
2
1
2
1
2
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
arc
j
arc
j
j
e
e
e
j
j
j
G
−
+
=
+
=
+
=
można napisać
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
39
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
∞
( )
ω
ϕ
2
π
4
π
ω
0
1
0
Dla różnych wartości
ω
z przedziału (0, +
∞
) można
wyznaczyć wartość
ϕ
(
ω
) na podstawie wzoru
i zestawić dane w tabeli
ω
ω
ϕ
T
arc tg
)
(
−
=
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
40
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przybliżoną logarytmiczną charakterystykę fazową
można wyznaczyć
stosując
aproksymację
trzyodcinkową
.
Na podstawie częstotliwości
sprzęgającej
ω
s
wyznaczamy dwie częstotliwości pomocnicze
ω
1
=1/5
ω
s
= 0.2[1/s] i
ω
2
=5
ω
s
= 5[1/s] i rysujemy trzy
odcinki aproksymujące.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
41
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(
ω
)
ω
10
5
0
-5
-10
10
-1
10
0
10
1
-15
ϕ
(
ω
)
ω
0
45
90
10
-1
10
0
10
1
ω
s
1/5
ω
s
5
ω
s
Charakterystyki logarytmiczne układu
ω
s
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
42
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Generowanie charakterystyk częstotliwościowych
w programie MATLAB
Dana jest transmitancja układu oscylacyjnego
1
)
(
2
2
1
+
+
=
s
T
s
T
K
s
G
którą przedstawiamy w przestrzeni roboczej MATLAB-a w
następujący sposób
- licznik transmitancji
- mianownik transmitancji
Generowanie charakterystyki amplitudowo-fazowej
nyquist(l,m)
Generowanie charakterystyk logarytmicznych: amplitudowej
i fazowej
l=[K]
m=[T
1
T
2
1]
bode(l,m)